Koberec Apollonius

Apolloniův koberec nebo Apolloniova mřížka - fraktál , postavený na třech párových tečných kruzích. Představuje limitní množinu všech možných posloupností kružnic, z nichž každá se dotýká tří již sestrojených. Pojmenován po řeckém matematikovi Apolloniovi z Pergy .

Konstrukce

Začněme třemi kružnicemi, z nichž každá je tečnou k dalším dvěma. Dále k existujícímu obrazci rekurzivně přidáme kružnice, z nichž každá se dotýká nějakých tří již sestrojených kružnic. V prvním kroku přidáme dva, ve druhém šest a tak dále.

Pokračujeme ve stavbě a v n-tém kroku přidáme 2 3 n nových kružnic .

Uzavření sestrojených kružnic se nazývá Apolloniova mřížka .

Vlastnosti

• Apolloniova mřížka má Hausdorffův rozměr asi 1,3057 [1] .
• Apolloniovu mřížku lze považovat za spojení dvou podmnožin homeomorfních k Sierpinského trojúhelníku , které sdílejí vrcholy.
• Podskupina Möbiovy transformační grupy , sestávající z těch transformací, které do sebe berou Apolloniovu mřížku, působí tranzitivně na kružnice mřížky.
• Apolloniovu mřížku lze definovat jako limitní množinu skupiny transformací roviny tvořené inverzemi ve čtyřech párových tečných kruzích.

Zakřivení

Zakřivení kruhu je definováno jako převrácená hodnota jeho poloměru.

• Záporné zakřivení znamená, že všechny ostatní kruhy se dotýkají tohoto kruhu zevnitř. Toto je ohraničující kruh.
• Nulové zakřivení dává přímku (kružnici s nekonečným poloměrem).
• Kladné zakřivení znamená, že všechny ostatní kružnice jsou tečné k tomuto kruhu zvenčí. Tento kruh je uvnitř kruhu s negativním zakřivením.

V Apolloniově mřížce mají všechny kružnice kladné zakřivení, kromě jedné, ohraničující kružnice.

Celé Apolloniovy mřížky

Předpokládejme, že označte zakřivení čtyř párových tečných kružnic. Podle Descartovy věty

Z toho vyplývá, že pokud čtyři párové tečné kruhy mají celočíselné zakřivení, pak všechny ostatní kruhy v jejich Apolloniově mřížce mají celočíselné zakřivení. Takových celočíselných mřížek je nekonečně mnoho . [2] Níže je několik celých sítí s vyznačenými obvodovými zakřiveními.

Variace a zobecnění

3D ekvivalentem apollónské mřížky je apollónské balení koulí.

Poznámky

1. ↑ Curtis T. McMullen. Hausdorffova dimenze a konformní dynamika, III: Výpočet dimenze // American Journal of Mathematics. — Sv. 120. - S. 691-721. - doi : 10.1353/ajm.1998.0031 .
2. ↑ Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks a Catherine H. Yan; "Apollonian Circle Packings: Number Theory" , J. Number Theory, 100 (2003), 1-45.

Literatura

• A. A. Kirillov. Část II. Apolloniův koberec // Příběh dvou fraktálů . - 2. vyd., opraveno. - M . : Nakladatelství MTsNMO , 2010. - ( Letní škola "Moderní matematika" ). - ISBN 978-5-94057-670-9 .