Hilbert krátká aritmetika

Stabilní verze byla odhlášena 17. dubna 2022 . Existují neověřené změny v šablonách nebo .

Hilbertova krátká aritmetika  je příkladem pologrupy , ilustrující skutečnost, že k prokázání hlavní věty aritmetiky je nutné použít vlastnosti nejen násobení , ale také sčítání . Tento příklad má na svědomí David Hilbert [1] .

Definice

Hilbertova krátká aritmetika je množina čísel ve tvaru , kde prochází všechna přirozená čísla [2] :

Někdy se jim říká Hilbertova čísla [3] . Na této množině lze správně definovat standardní operaci násobení, protože součin dvou čísel z množiny dává opět číslo z této množiny: . Tak krátká Hilbertova aritmetika je pologrupa .

Hilbert připraví

V Hilbertově aritmetice lze prvočísla definovat ( Hilbert připraví [a] ) standardním způsobem: Hilbertovo číslo se nazývá Hilbertovo prvočíslo , pokud není dělitelné menším Hilbertovým číslem (jiným než ) [5] [6] . Sekvence Hilbertových prvočísel začíná takto [7] :

Hilbertovo prvočíslo není nutně prvočíslo v obvyklém smyslu . Například, je složený v přirozených číslech , protože , nicméně, to je Hilbert prvočíslo, protože ani , ani (to je, všichni dělitelé čísla jiný než a číslo sám) být Hilbert čísla. Z vlastností modulového násobení vyplývá, že Hilbertovo prvočíslo je buď prvočíslo tvaru (taková čísla se nazývají pythagorejská prvočísla ) nebo poloprosté číslo tvaru .

Nesplnitelnost základního teorému aritmetiky

Jakékoli Hilbertovo číslo lze rozložit na součin Hilbertových prvočísel, nicméně základní věta aritmetiky neplatí pro krátkou Hilbertovu aritmetiku : takový rozklad nemusí být jedinečný. Například je Hilbertovo číslo, ale rozkládá se na Hilbertova prvočísla dvěma způsoby:

.

kde čísla , a jsou Hilbertova prvočísla [1] [4] .

Poznámky

Komentáře

  1. ↑ V Kostrikinově učebnici se jim říká kvazi-prvočísla [4] .

Zdroje

  1. ↑ 1 2 Žikov V. V. Základní teorém aritmetiky  // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , č. 3 . - S. 113 . Archivováno z originálu 23. listopadu 2018.
  2. ↑ OEIS sekvence A016813 _
  3. ↑ Flannery S. , Flannery D. In Code: A Mathematical Journey. - Profilové knihy, 2000. - S. 35.
  4. ↑ 1 2 Kostrikin A. I. Úvod do algebry. - M .: Nauka, 1977. - S. 72-73. — 496 s.
  5. ↑ Don Redmond. Teorie čísel: Úvod do čisté a aplikované matematiky . — CRC Press, 1996-04-23. - S. 30. - 784 s.
  6. ↑ James J. Tattersall. Základní teorie čísel v devíti kapitolách . - Cambridge University Press, 14. 10. 1999. - S. 84. - 420 s.
  7. ↑ OEIS sekvence A057948 _

Odkazy