Honička v zatáčce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 14. června 2017; kontroly vyžadují 5 úprav .

Chase křivka je křivka reprezentující řešení "pronásledovacího" problému, který je položen následovně. Ať se bod pohybuje rovnoměrně po určité dané křivce. Je potřeba najít trajektorii rovnoměrného pohybu bodu tak, aby tečna nakreslená k trajektorii v každém okamžiku pohybu procházela polohou bodu odpovídající tomuto okamžiku . $A$ $P$ $A$

Historie

Problém pronásledování křivek navrhl Leonardo da Vinci a vyřešil jej Bouguer v roce 1732.

Obecný případ nastavení problému

Pro odvození přímkové rovnice zvolíme souřadnicový systém, ve kterém osa úsečky prochází počáteční polohou bodů a a bod je v počátku souřadnicového systému xAy . Poměr konstantních rychlostí bodů budeme označovat k . $P$ $A$ $A$

Pokud předpokládáme, že za nekonečně malý časový úsek prošel bod vzdálenost , a bod - vzdálenost , pak podle výše uvedené podmínky získáme vztah , popř. $P$ $dS$ $A$ $dS_{1}$ $dS=kdS_{1}$

{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=k{\sqrt {d\xi ^{2}+d\eta ^{2}}}.

(jeden)

Dále je třeba vyjádřit a pomocí x, y a jejich diferenciálů. Podle podmínky musí souřadnice bodu splňovat rovnici tečny k požadované křivce, tzn $d\xi$ $d/eta$ $P$

\eta -y={\frac {dy}{dx}} (\xi -x).

Přidáním rovnice trajektorie pohybu „vyhýbače“ dané podmínkou k této rovnici lze z výsledné soustavy rovnic určit a . Po dosazení těchto hodnot do diferenciální rovnice (1) se zapíše do tvaru $F(\xi,\eta)$ $\xi$ $\eta$

\Phi \left(x,y,{\frac {dy}{dx)),{\frac {d^{2}y}{dx^{2))}\right)=0

Konstanty integrace lze zjistit z počátečních podmínek ( na ). $y=0;y'=0$ $x=0$

V obecném případě je pro libovolně danou křivku poměrně obtížné najít řešení výsledné rovnice. Problém se značně zjednoduší, vezmeme-li v úvahu nejjednodušší případ, kdy je trajektorie „úhybníka“ přímá. $F(\xi,\eta)$

Jednoduchá křivka honičky

Jednoduchá křivka pronásledování se získá v jednoduchém případě, kdy se sledovaný bod pohybuje přímočaře. Poprvé ji popsal Pierre Bouguer v roce 1732. Později Pierre Louis de Maupertuis zvažoval křivku pronásledování pro jiné případy.

Definice

Nechte výchozí bod předmětu pronásledování a buďte výchozím bodem pronásledovatele. Nechte bod se pohybovat rovnoměrně rychlostí v nějakém konkrétním směru a nechte bod se pohybovat rychlostí vždy směřující k bodu . Trajektorie bodu je jednoduchá honička. $A_0$ $P_0$ $A$ $V=konst$ $P$ $W=konst$ $A$ $P$

Rovnice v kartézských souřadnicích

Nechat $k={\tfrac {V}{W}}$

Nechť se bod A také pohybuje podél osy x . Pak $A_{0}=(0,0),P_{0}=(1,0),$

x(y)={1 \přes 2}\left({{1-y^{(1-k)}} \over (1-k)}-{{1-y^{(1+ k)}} \přes {(1+k)}}\right)

pro

k\neq 1

x(y)={1 \over 4}\cdot \left({y^{2}}-\ln {y^{2}}-1\right)

pro

k = 1\;

Závěr

Uvažujme případ A 0 (0,0), P 0 (0,1) , kdy se „vyhýbač“ pohybuje podél osy x a pro k > 0. V libovolném časovém okamžiku je „vyhýbač“ vždy zapnut tečnu ke křivce trajektorie pohybu „pronásledovatele“, tzn

{\frac {{\mathrm {d}}y}{{\mathrm {d}}x}}={\frac {-y}{ax}},

na jehož základě napíšeme diferenciální rovnici :

y+y'(ax)=0\;

, kde

y>0

Vyplývá to z podmínky , po časovém rozlišení a , na základě které: $a=V\cdot t$ ${\frac {y}{y'}}+Vt=x$ ${\dot y}=y'\cdot {\tečka x}$ ${\dot y}'=y''\cdot {\tečka x}$

{\dot x}={\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}t}}={\frac {V\cdot y'^{2}}{y\cdot y ''}}

Napišme výraz pro určení délky křivky :

l=Wt=k\int _{0}^{x}{\sqrt {1+(y')^{2}}}{\mathrm {d}}x

{\mathrm {d}}x^{2}+{\mathrm {d}}y^{2}=W^{2}{\mathrm {d}}t^{2}

w^{2}={\frac {{\mathrm {d}}x^{2}}{{\mathrm {d}}t^{2}}}+{\frac {{\mathrm {d}} y^{2}}{{\mathrm {d}}t^{2}}}={\dot x}^{2}+(y'\cdot {\dot x})^{2}

by měl

{\dot x}={\frac {W}{{\sqrt {1+y'^{2))))}

Podobně rozlišujeme podle : $y$

y''-k\cdot {\frac {y'^{2}}{y}}\cdot {\sqrt {1+y'^{2}}}=0

Substituční řešení

u=x'={\frac {1}{y'}},y''={\frac {-1}{u^{3}}}{\frac {{\mathrm {d}}u}{ {\mathrm {d}}x}}

když oddělení proměnných vede k

{\frac {-{\mathrm {d}}u}{{\sqrt {1+u^{2}}}}=k\cdot {\frac {{\mathrm {d}}y}{y} }

po integraci dostaneme:

\operatorname {arsinh}u=k\cdot \ln y+C

a dále po použití formální definice sinh z dostaneme: $C_{1}=e^{C}$

x'={\frac {{\mathrm {d}}x}{{\mathrm {d}}y}}={\frac {1}{2}}\left[(C_{1}\cdot y) ^{k}-(C_{1}\cdot y)^{{-k}}\right]

Znovu se integrujte s definicí integrační konstanty . Z počátečních podmínek $C_{2}$

\left.{\tfrac {dx}{dy}}\right|_{{y=1}}=0

by měl

C_{1}=1

stejně jako

\left.x\right|_{{y=1}}=0

dostaneme:

C_{2}={\frac {k}{1-k^{2))}

nebo pro

C_{2}=-{\frac {1}{4}}

k=1

nebo:

x(y)={1 \přes 2}\left({\begin{matice}\quad \\{y^{{(1+k)}} \over (1+k)}\\\quad \end {matrix}}-\left\lbrace {\begin{matrix}{y^{{(1-k)}} \over (1-k)}\\{\ln {|y|}}\end{matrix }}\right\rbrace \right)+\left\lbrace {\begin{matrix}{k \over {1-k^{2}}}\\-{1 \over 4}\end{matrix}}\ vpravo\rbrace \ {\begin{cases}{k\neq 1}\\{k=1}\end{cases))

Na základě těchto rovnic lze získat rovnice výše.

Vlastnosti

Pro k > 1 bude pronásledovací čára protínat linii pohybu „vyhýbače“ a bod P skutečně předběhne bod A.

Pro k ≤ 1 se pronásledovací čára asymptoticky přibližuje k linii pohybu "vyhýbače" a bod P nepředběhne bod A .

Pro racionální hodnotu k ≠ 1 je chase linka algebraická křivka. Když k = 1 a když k je iracionální, křivka pronásledování se stane transcendentální křivkou.

Pro k = 1 (se stejnými rychlostmi „pronásledovatele“ a „vyhýbače“) se křivka pronásledování podobá tractrixu , ale má jinou rovnici.

Problém s více pronásledovateli

Praktická aplikace

Úkol sestrojit stíhací křivku vyvstal nejprve při volbě kurzu lodi s přihlédnutím k vnějším faktorům (boční větry, proudy) pro optimální dosažení cílového bodu cesty.

Tento problém opět vyvstal s vojenským využitím ponorek, torpéd a později řízených střel k dosažení a zničení pohyblivých cílů. Kromě toho je křivka pronásledování použita při navigaci v prostoru.

Systémy navádění raket

Hlavním úkolem naváděcího systému rakety je zajistit, aby zasáhla nebo zachytila cíl s minimálním minutí. Vzhledem k tomu, že řízené střely mají schopnost měnit dráhu střely ihned po odpálení, existuje mnoho trajektorií, po kterých naváděcí střela zasáhne cíl. Ale v praxi se snaží vybrat tu, která za daných podmínek střelby poskytuje nejvyšší pravděpodobnost zásahu cíle.

Stav, který je základem fungování naváděcího systému rakety, se nazývá metoda navádění. Metoda navádění určuje teoretickou dráhu střely. Zvolený způsob navádění je realizován zpravidla pomocí výpočetního zařízení, které přijímá informace o vzájemné poloze střely a cíle, o rychlostech a směrech jejich pohybu. Na základě těchto informací je vypočítána požadovaná dráha střely a určen nejvýhodnější bod jejího setkání s cílem. Na základě výsledků výpočtů jsou generovány řídicí povely, které dorazí na řídicí kormidla. Kormidla řídí raketu podle daného zákona. Jednou z metod navádění střely je využití matematických vztahů, které popisují křivku honění [1] .

Variace a zobecnění

V širším slova smyslu není požadována rovnoměrnost pohybu bodu a právě v tomto smyslu je křivka honičky tractrixu . $P$

Poznámky

↑ Kurotkin V.I., Sterligov V.L. Navádění střely. M.: Vojenské nakladatelství Ministerstva obrany SSSR. 1963, 88 s.

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius