Loxodromu

Loxodrom , nebo loxodrom [1] (z jiného řeckého "λοξός" - "šikmý", "nakloněný" a "δρόμος" - "cesta" [2] ) - křivka na rotační ploše, která protíná všechny meridiány pod konstantním úhlem , nazývaný loxodromický úhel stopy.

Historie

Zavedl jej portugalský matematik Nonius v roce 1529 [3] .

Nizozemský matematik Willebrord Snell v díle „ Tiphys batavus “ (1624) nazval křivku protínající všechny meridiány pod konstantním úhlem „loxodrom“ a studoval ji. Práce se skládala ze dvou částí – teoretické a praktické cvičení s doporučeními [4] .

V geodézii a kartografii

Na povrchu Země jsou loxodromy všechny rovnoběžky (úhel stopy může být 90°, 270° atd.) a všechny meridiány (úhel stopy 0°, 180° atd.). Loxodromy v jiných úhlech jsou spirály, které dělají neomezený počet otáček a přibližují se k pólům . Přesto, pokud se cestovatel pohybuje po libovolném loxodromu (kromě rovnoběžek) konstantní rychlostí bez zastavení, pak k některému z pólů v konečném čase určitě dorazí. Mapová projekce , ve které jsou všechny loxodromy nakresleny jako rovné čáry, se nazývá Mercatorova projekce .

V navigaci

Pokud se pohybujete s pevným úhlem dráhy na Zemi, která je podmíněně brána jako koule nebo geoid , pak trajektorie pohybu objektu bude loxodrom [5] . Loxodrom není nejkratší cesta mezi dvěma body (výjimkou jsou meridiány a rovník). Nicméně za starých časů se lodě a cestovatelé často pohybovali po loxodromech, protože je jednodušší a pohodlnější jet pod konstantním úhlem k Polárce . S vynálezem kompasu navigátoři přešli na pohyb po „magnetických loxodromech“, tedy po liniích s konstantním úhlem k magnetickému severu, což umožnilo pokračovat v pohybu i za oblačného počasí. Ale jakmile byly na všech místech Země zjištěny magnetické deklinace , lidé opět přešli na obyčejné loxodromy. Ještě ve 20. století se loxodrom používal při výpočtu potřebného kurzu při kladení trasy letadel a lodí. Postupem času, kdy se objevila zařízení s dostatečným výpočetním výkonem pro výpočet aktuálního požadovaného úhlu dráhy, se začaly aktivně využívat velké kružnice (nejkratší dráha), zejména pro dálkové trasy letadel [6] .

Konstrukce loxodromu koule

Aby bylo možné položit dráhu loxodromu na letové mapy, je nutné spojit koncové body trasy přímkou a změřit úhel dráhy na středním poledníku. Přesněji řečeno, úhel stopy loxodromu se vypočítá jako průměrný úhel vzatý z počátečního a koncového bodu trasy. Poté se výsledný úhel stopy sestaví postupně u všech poledníků na mapě, počínaje výchozím bodem. Přerušovaná čára získaná při stavbě je téměř blízko loxodromu. Přesněji řečeno, úhel dráhy loxodromu lze vypočítat podle vzorce: $\alpha$

${\mathrm {tg}}\alpha ={\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{\varphi _{2}-\varphi _{1}}}\cos \varphi _{ m}$ ,

kde je požadovaný úhel stopy; $\alpha$
$\varphi_{1}$ a — zeměpisné šířky místa odjezdu a příletu; $\varphi _{2}$
$\lambda _{1}$ a jsou zeměpisné délky těchto bodů; $\lambda _{2}$
${\displaystyle \varphi _{m))$ je průměrná zeměpisná šířka letu.

Příklad . Určete skutečný úhel dráhy loxodromu při letu z Remeše do Postupimi . $\alpha$

Řešení . Určíme souřadnice:

— Remeš

\varphi _{1}=49^{\circ }15'=2955';\lambda _{1}=4^{\circ }02'=242';

— Postupim

\varphi _{2}=52^{\circ }24'=3144';\lambda _{2}=13^{\circ }04'=784';

střední zeměpisná šířka ; . Tudíž, $\varphi _{m}=50^{\circ }50'$ $\cos 50^{\circ }50'=0{,}6316$

\mathrm {tg} \alpha ={\frac {784-242}{3144-2955}}0{,}6316=1{,}806

{\displaystyle \alpha =61^{\circ ))

Výsledek bude správný, pokud koncový bod trasy leží v první čtvrtině (0 - 90°). Pokud koncový bod leží ve druhé čtvrtině (90° - 180°), požadovaný úhel stopy se získá odečtením výsledného počtu stupňů od 180°. Pokud je koncový bod ve třetí čtvrtině (180° - 270°), k výslednému úhlu se přičte 180°, a pokud je ve čtvrté čtvrtině (270° - 360°), pak se výsledný úhel odečte od 360°.

Délka loxodromu v km je určena vzorcem:

a) Pro úhly blízké 0° nebo 180°, $\alpha$

S\cca {\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{\cos \alpha }}\cdot 1{,}852

km,

kde a jsou zeměpisné šířky míst odjezdu a příjezdu, vyjádřené v minutách, popř $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$

S\cca {\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{\cos \alpha }}\cdot 111{,}18

km,

kde a jsou vyjádřeny ve stupních. $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$

b) Pro úhly blízké 90° nebo 270°, $\alpha$

S\cca {\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{\sin \alpha }}\cdot \cos \varphi _{m}\cdot 1{,}852

km.

Rozdíl mezi délkou loxodromu a ortodromu DS dosahuje maximální hodnoty při letu po rovnoběžce.

Takže například délku loxodromu mezi Remeší a Postupimí z předchozího příkladu lze přibližně vypočítat podle vzorce:

S\approx {\frac {784-242}{\sin 61^{\circ ))}\cdot 0{,}6316\cdot 1{,}852\cca 725

km.

Vzorce v kartézských souřadnicích

Parametrické vzorce , které definují loxodrom s úhlem dráhy na sféře poloměru v kartézském souřadnicovém systému, jsou: $\alpha$ $r$

x=r{\frac {\cos \lambda }{\mathrm {ch} [(\lambda -\lambda _{0})\název operátora {ctg} \alpha ]));

y=r{\frac {\sin \lambda }{\mathrm {ch} [(\lambda -\lambda _{0})\název operátora {ctg} \alpha ])));

z=r\,\mathrm {th} [(\lambda -\lambda _{0})\název operátora {ctg} \alpha ];

kde se parametr pohybuje od 0 do a je zeměpisná délka bodu. Zde a jsou hyperbolický kosinus a tangens . $\lambda$ $2\pi$ $\mathrm {ch}$ $\mathrm {th}$

Viz také

ortodromu

Poznámky

↑ Loxodrome // Námořní encyklopedická referenční kniha / Ed. N. N. Isanina. - Leningrad: Stavba lodí, 1987. - T. 1. - S. 398. - 512 s. — 30 000 výtisků.
↑ Historický slovník galicizmů ruského jazyka. - M .: Slovníkové nakladatelství ETS. Nikolaj Ivanovič Epiškin. 2010
↑ Šátek, Michel . Historický přehled vzniku a vývoje geometrických metod . Ch. III, n. 39.
↑ MacTutor .
↑ To není těžké dokázat pomocí definic úhlu dráhy a definice loxodromu.
↑ Pro úsporu paliva a zkrácení doby cestování.

Odkazy

Online kalkulačka: Sledujte úhel a vzdálenost mezi dvěma body podél loxodromu (loxodromu)
Laxodromia // Vojenská encyklopedie : [v 18 svazcích] / ed. V. F. Novitsky ... [ a další ]. - Petrohrad. ; [ M. ] : Napište. t-va I. D. Sytin , 1911-1915.
John J. O'Connor a Edmund F. Robertson . Loxodrome (anglicky) - biografie v archivu MacTutor .

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius