Spline Hermite

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 30. září 2019; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Kubický hermitovský splajn - splajn vytvořený z kubických polynomů pomocí hermitovské interpolace , podle kterého je interpolovaná funkce dána nejen svými hodnotami v n bodech, ale také svými prvními derivacemi. Pro danou interpolační mřížku pro a danou hodnotu nezávisle proměnné x se funkce vypočítá v odpovídajícím intervalu se známými hraničními hodnotami funkce p a její derivace m . Pro zjednodušení výpočtů je nezávislá proměnná x nahrazena nezávisle proměnnou t podle vzorce . V důsledku takového nahrazení se levá hranice intervalu rovná 0 a pravá 1 . Kubický polynom použitý k výpočtu interpolované funkce v odpovídajícím intervalu má tvar: $x_k$ $k=1,...,n$ $(x_{k},x_{k+1})$ $t=(x-x_{k})/(x_{k+1}-x_{k})$

{\boldsymbol {p}}(t)=(2t^{3}-3t^{2}+1){\boldsymbol {p}}_{k}+(t^{3}-2t^ {2}+t)(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{k}+(-2t^{3}+3t^{2}){\boldsymbol {p }}_{k+1}+(t^{3}-t^{2})(x_{k+1}-x_{k}){\boldsymbol {m}}_{k+1}

Ve výše uvedeném vzorci se hodnoty derivátů vztahují k nezávislé proměnné t . Pro jejich výpočet je nutné vynásobit počáteční hodnoty derivací délkami intervalů . Jak vyplývá ze vzorce, hodnota interpolované funkce se vypočítá pomocí čtyř kubických polynomů . Tyto polynomy nejsou v žádném případě klasickými Hermitovými polynomy, jak je uvedeno v anglické verzi článku. V praxi jsou obvykle známy pouze hodnoty funkce v uzlových bodech, nikoli však hodnoty první derivace. Pro výpočet hodnot první derivace se používají různé metody. Nejjednodušší je vypočítat aritmetický průměr dělených prvních rozdílů na dvou sousedních intervalech. ${\displaystyle x_{k+1}-x_{k))$ $h_{00}(t),h_{10}(t),h_{01}(t),h_{11}(t)$

${\boldsymbol {m}}_{k}={\frac ({\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k}}{2(x_{ k+1}-x_{k})}}+{\frac {{\boldsymbol {p}}_{k}-{\boldsymbol {p}}_{k-1}}{2(x_{k} -x_{k-1})}}$

Takzvaný kardinální spline používá vzorec

{\boldsymbol {m}}_{k}=(1-c){\frac ({\boldsymbol {p}}_{k+1}-{\boldsymbol {p}}_{k-1 }}{x_{k+1}-x_{k-1}}}

V tomto vzorci se parametr c mění z 0 na 1 . V souladu s tímto vzorcem se derivace uprostřed segmentu rovná dělenému prvnímu rozdílu na celém segmentu, vynásobeném určitým koeficientem. V případě c = 0 se vzorec nazývá Catmull-Roma spline (základní spline).

Viz také

Literatura

Rogers D., Adams J. Matematické základy počítačové grafiky. — M .: Mir, 2001. — 604 s. — ISBN 5-03-002143-4 .

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius