Steinmetzovo tělo

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 28. ledna 2022; kontroly vyžadují 14 úprav .

Steinmetzovo těleso je těleso získané průnikem dvou nebo tří válců o stejném poloměru , které jsou na sebe kolmé . Každá křivka tvořená průsečíkem válců je elipsa.

Průsečík dvou válců se nazývá dvouválcový . Topologicky je dvouválec ekvivalentní čtvercovému osoedru . Existují i tělesa tvarově podobná tělesu Steinmatz, např.: průsečík tří válců se nazývá trojválec a polovina dvouválce se nazývá klenba [1] . [2] Klenutá klenba v architektuře je také klenba.

Steinmetzova tělesa jsou pojmenována podle matematika Charlese Protea Steinmetze [3] , který vyřešil problém nalezení průsečíkového objemu. Tento problém však dávno před ním vyřešili Archimedes ve starověkém Řecku [4] [5] , Zu Chongzhi ve starověké Číně [6] a Piero della Francesca během rané italské renesance [4] .

Dvouválec

Dvouválec tvořený dvěma válci o poloměrech má objem: , a povrch [1] [7] . $r$ $V={\frac {16}{3}}r^{3}$ $S=16r^{2}$

Horní polovina dvouválce je čtvercová verze uzavřené klenby , klenuté těleso spočívající na konvexním mnohoúhelníku, jehož vodorovné části jsou zmenšenými kopiemi podstavy. Pro výpočet objemu a povrchu uzavřeného oblouku existují podobné vzorce jako odpovídající veličiny (s některými racionálními koeficienty) hranolu se stejnou základnou [8] .

Odvození objemového vzorce

Pro získání objemového vzorce je vhodné použít obecnou myšlenku výpočtu objemu koule - součet tenkých válcových vrstev. V našem případě budou vrstvy čtvercové rovnoběžnostěny (viz obrázek). Pak dostaneme:

V=\int _{-r}^{r}(2x)^{2}\mathrm {d} z=4\cdot \int _{-r}^{r}x^{2}\ mathrm {d} z=4\cdot \int _{-r}^{r}(r^{2}-z^{2})\mathrm {d} z={\frac {16}{3)) r^{3}

Je známo, že objemy kužele vepsaného do polokoule (s výškou polokoule a spočívajícího na základně polokoule), polokoule a válce popsaného kolem koule (s výškou polokoule) souvisí jako 1: 2: 3. Podobná tvrzení platí pro polovinu dvouválce:

Poměry objemů vepsaného čtvercového jehlanu ( ), poloviny dvouválce ( ) a opsaného pravoúhlého rovnoběžnostěnu ( ) jsou rovny 1:2:3. $a=2r,h=r,V={\frac {4}{3}}r^{3}$ $V={\frac {8}{3}}r^{3}$ ${\displaystyle a=2r,\,h=r,\,V=4r^{3))$

Analytické odvození

Zvažte vzorce válce:

${\displaystyle x^{2}+z^{2}=r^{2))$ a ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2))$

Objem je dán vzorcem:

$V=\iiint _{V}\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x$

S limity integrace:

$-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\leqslant z\leqslant {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

$-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\leqslant y\leqslant {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$

$-r\leqslant x\leqslant r$

Substitucí získáme:

$V=\int \limits _{-r}^{r}\int \limits _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2))))^{\sqrt {r^ {2}-x^{2}}}\int \limits _{-{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}}^{\sqrt {r^{2}-x^{ 2))}\mathrm {d} z\mathrm {d} y\mathrm {d} x=8r^{3}-{\frac {8r^{3}}{3}}={\frac {16r^ {3}}{3}}$

Důkaz plošného vzorce

Uvažovaná plocha se skládá ze dvou červených a dvou modrých válcových dvojúhelníků. Jeden červený digon je rozdělen na polovinu rovinou yz a rozložen na rovině tak, že polovina kružnice (průsečík s rovinou yz) je rozvinuta do kladné osy a rozložený trojúhelník je shora ohraničen oblouk . Plocha tohoto rozloženého obrázku (polovina úhlopříčky) se tedy rovná: $\xi$ $\eta =r\sin \left({\frac {\xi }{r}}\right),\ 0\leqslant \xi \leqslant \pi r$

B=\int _{0}^{\pi r}r\sin \left({\frac {\xi }{r))\right)\mathrm {d} \xi =2r^{2}

a celková plocha je:

A=8\cdot B=16r^{2}

Alternativní důkaz objemového vzorce

Výstup objemu dvouválce (bílý) lze provést zabalením do krychle (červený). Průsečík roviny (rovnoběžné s osami válce) a dvouválce tvoří čtverec a průsečík s krychlí tvoří větší čtverec. Rozdíl mezi plochami těchto dvou čtverců je stejný jako u 4 malých čtverečků (modré). Jak se letadlo pohybuje tělem, tyto modré čtverce tvoří čtvercové pyramidy s rovnoramennými plochami v rozích krychle. Pyramidy mají vrcholy uprostřed čtyř hran krychle. Postup letadla přes celý dvouválec vykreslí 8 pyramid.

Metoda Zu Chongzhi (podobná nedělitelné metodě ) pro výpočet objemu koule zahrnuje výpočet objemu dvouválce.
Vztah mezi plochou průřezu povrchu dvouválce a průřezem krychle

Objem krychle (červená) mínus objem osmi jehlanů (modrá) se rovná objemu dvouválce (bílá). Objem 8 pyramid je , a nyní můžeme vypočítat objem dvouválce $\textstyle 8\times {\frac {1}{3}}r^{2}\times r={\frac {8}{3}}r^{3}$ $\textstyle (2r)^{3}-{\frac {8}{3}}r^{3}={\frac {16}{3}}r^{3}$

Tříválec

Průsečík tří válců s kolmými protínajícími se osami tvoří povrch tělesa s vrcholy, z nichž každý sbíhá 3 hrany, a vrcholy, z nichž každý sbíhá 4 hrany. Klíčovým faktem pro stanovení objemu a povrchu je pozorování, že z krychle, jejíž vrcholy se shodují s vrcholy tříválce, v níž se sbíhají 3 hrany (viz obrázek), a 6 křivočarých jehlanů (trojúhelníky jsou součástí), lze sestavit trojválec. povrchů válců). Objem a povrch křivočarých trojúhelníků lze vypočítat stejným způsobem jako výše pro dvouválec [1] [7] .

Objem tříválce je:

V=8(2-{\sqrt {2}})r^{3}

A povrchová plocha je:

A=24(2-{\sqrt {2}})r^{2}.

Křížení více válců

Pro čtyři válce, jejichž osy odpovídají výšce čtyřstěnu , je objem [1] [7] :

PROTI čtyři = 12 ( 2 2 − 6 ) r 3 {\displaystyle V_{4}=12\left(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}\right)r^{3}\,}

V_{4}=12\left(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {6}}\right)r^{3}\,

Pro šest válců, jejichž osy jsou rovnoběžné s úhlopříčkami stěn krychle , je objem [1] [7] :

V_{6}={\frac {16}{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}-4{\sqrt {2}}\right)r^{3}\,

Viz také

hřebík

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 Steinmetz Solid ? . matematický svět. . Získáno 27. října 2021. Archivováno z originálu dne 28. října 2021. (neurčitý)
↑ Klenutá klenba je variantou uzavřené klenby. Uzavřená klenba má v patě obdélník, klenba klenutá čtvercová.
↑ Eves, 1981 , str. 111.
↑ 12 Peterson , 1997 , s. 33–40.
↑ Hogendijk, 2002 , str. 199–203.
↑ Swetz, 1995 , str. 142–145.
↑ 1 2 3 4 Moore, 1974 , str. 181–185.
↑ Apostol, Mnatsakanian, 2006 , str. 521–540.

Literatura

Howard Eves. Slicing it thin // Matematický Gardner, Wadsworth International. - 1981. - S. 111.
Jan Hogendijk. Plocha dvouválce a Archimédova metoda // Historia Mathematica . - 2002. - T. 29 , no. 2 . — S. 199–203 . - doi : 10.1006/hmat.2002.2349 .
Frank J. Swetz. Objem koule: Čínská derivace // Učitel matematiky. - 1995. - Únor ( roč. 88 , číslo 2 ). — S. 142–145 . — .
Mark A. Peterson. Geometrie Piera della Francesca // The Mathematical Intelligencer . - 1997. - T. 19 , no. 3 . — S. 33–40 . - doi : 10.1007/BF03025346 .
Moore, M. Symetrické průniky pravých kruhových válců // The Mathematical Gazette . - 1974. - T. 58 , čís. 405 . — S. 181–185 . - doi : 10.2307/3615957 . — .
Tom M. Apostol, Mamikon A. Mnatsakanian. Tělesa ohraničující koule // Americký matematický měsíčník . - 2006. - T. 113 , č. 6 . — S. 521–540 . doi : 10.2307 / 27641977 . — .

Odkazy

3D model tělesa Steinmetz v Galerii 3D objektů Google

Úseky reálné analýzy
Základy analýzy	Eulerova funkce $\phi(n)$ Funkce Jordan Binomická věta konvexní funkce nepřetržité zobrazení Faktorový Konečné rozdíly Volné a vázané proměnné Graf funkcí Lineární funkce Radian Rolleova věta Secant Sklon Tečna
limity	Zveřejnění nejistot Funkční limit Jednostranný limit Limit sekvence Přibližné pořadí (ε, δ)-definice limity
Diferenciální počet	Derivace funkce Diferenciální rovnice Diferenciální operátor Střední věta Notový zápis Leibnizova notace Newtonův zápis Pravidla diferenciace Linearita Diferenciace stupňů Diferenciace komplexních funkcí L'Hopitalovo pravidlo pravidlo produktu Leibnizova formule Derivace zlomku Jiné techniky Implicitní diferenciace Inverzní derivace funkcí logaritmická derivace Související kurzy Stacionární body První derivační test Druhý derivační test Extrémní teorém Extrémní Jiné aplikace Newtonova metoda Taylorova věta
Integrální	primitivní Délka křivky Integrační konstanta Hlavní věta analýzy Diferenciace pod znaménkem integrálu Integrace po částech Substituční metoda Trigonometrické substituce Eulerovy substituce Weierstrassovo střídání Rozklad na nejjednodušší Kvadratický integrál Lichoběžníková metoda Svazky Metoda podložky Integrace podkresů
Vektorová analýza	Deriváty Rotor Směrová derivace Divergence Spád laplacký Základní věty gradientová věta Greenova věta Stokesova věta Gauss-Ostrogradského vzorec
Analýza funkcí mnoha proměnných	Gauss-Ostrogradského vzorec Geometrická analýza Hessenské funkce Jakobiánská matice Lagrangeovy multiplikátory Křivočarý integrál Maticová analýza Vícenásobný integrál Parciální derivace Plošné integrály Objemový integrál Další kapitoly Diferenciální formy Externí derivace Zobecněná Stokesova věta tenzorová analýza )
Sekvence a řádky	Aritmeticko-geometrická progrese Typy řádků znamení střídání Binomický Fourierova řada geometrické řady Harmonický Řádek Napájení Maclaurin Taylor Teleskopický Známky konvergence abel Leibniz Cauchy Srovnávací znamení Dirichlet Integrální Limitní srovnání D'Alembert Radikální Nutná podmínka
Speciální funkce a čísla	Bernoulliho čísla e (číslo) Exponenciální funkce přirozený logaritmus Stirlingova formule
Analýza infinitezimálů _	Přiměřenost Brooke Taylorová Colin Maclaurin Univerzálnost algebry Gottfried Wilhelm Leibniz Nekonečně malý a nekonečně velký Isaac Newton Fluxy Metoda toku Princip kontinuity Leonard Euler Metoda mechanických vět