Cissoid of Diocles

Dioklova kissoida je rovinná algebraická křivka třetího řádu. V kartézském souřadnicovém systému , kde osa úsečky směřuje podél a osa pořadnice podél , je na segmentu , stejně jako na průměru , postavena pomocná kružnice . V bodě je nakreslena tečna . Z bodu je nakreslena libovolná přímka , která protíná kružnici v bodě a tečnu v bodě . Z bodu se ve směru bodu odkládá segment , jehož délka je rovna délce segmentu . Když se úsečka otáčí kolem bodu , bod popisuje čáru nazývanou Dioklova Cissoida . Dvě větve této linie na Obr. 1 jsou znázorněny modrou a červenou barvou. $VŮL$ $OY$ $OA=2a$ $A$ $UV$ $Ó$ $OF$ $E$ $F$ $F$ $Ó$ $FM$ $OE$ $OF$ $Ó$ $M$

Rovnice

Kissoidní rovnice v pravoúhlém souřadnicovém systému je zapsána takto:

y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}.\qquad \qquad (1)

Kissoidní rovnice v polárních souřadnicích je:

\rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi )).

Někdy je kissoidní rovnice v polárním souřadnicovém systému zapsána takto:

\rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi }}=

=2a\left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\cos \varphi \right)=

=2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).

Parametrická cisoidová rovnice:

x={\frac {2au^{2}}{1+u^{2}}},

y={\frac {2au^{3}}{1+u^{2}}},

kde

u=\mathrm {tg} \,\varphi

Historie

Cissoid poprvé prozkoumal řecký matematik Diocles ve 2. století před naším letopočtem. E. Dioklés postavil křivku takto: existuje bod , který je umístěn na pomocné kružnici symetricky k bodu ; osou symetrie je průměr . Z bodu je nakreslena kolmice na osu úsečky. Bod patřící do kissoidy je v průsečíku této kolmice a přímky . Touto metodou zkonstruoval Diocles pouze křivku uvnitř pomocné kružnice. Pokud je tato část kissoidy ( ) uzavřena obloukem kruhu , získáme obrazec , který svým tvarem připomíná list břečťanu . V řečtině je břečťan κισσός ("kissos"), z čehož pochází název křivky - "Cissoid". $P$ $E$ $BD$ $P$ $M$ $OE$ $nar.$ $nar.$ $EAD$

Ve své moderní podobě byl cissoid reprodukován francouzským matematikem Gillesem Robervalem v roce 1640 . Později cissoid prozkoumal také holandský matematik Sluz .

Vlastnosti

Cissoid je symetrický vzhledem k ose x.
Cissoida protíná pomocnou kružnici v bodech a , které patří k průměru této kružnice. $B$ $D$
Cissoid má jeden vrchol a asymptotu , jejíž rovnice je: , kde je poloměr pomocné kružnice. $UV$ $x=2a$ $A$
Cissoid je evolventa paraboly s vrcholem na vrcholu paraboly. Navíc přímka paraboly je asymptotou kissoidy . [jeden]

Oblast mezi cisoidem a asymptotou

Tato oblast se rovná:

S_{1}=3\pi a^{2}.

Závěr

Oblast uzavřená mezi větvemi kissoidy a asymptoty . Rovnice horní větve : $KOL$ $UV$ $S_{1}$ $OL$

y={\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}}.\qquad \qquad (2)

Polovina plochy uzavřené mezi cisoidou a asymptotou se rovná integrálu rovnice (2) v rozsahu od 0 do : $2a$

{\frac {1}{2}}S_{1}=\int \limits _{0}^{2a}{\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}} \,dx.\qquad \qquad(3)

Náhrada:

u^{2}=2a-x,\qquad x=2a-u^{2},\qquad dx=-2u\,du.

Integrační limity:

x=0\Rightarrow u={\sqrt {2a)),\qquad x=2a\Rightarrow u=0.

Integrál (3) se transformuje do tvaru:

{\frac {1}{2}}S_{1}=-2\int \limits _{\sqrt {2a}}^{0}{\sqrt {(2a-u^{2})^ {3}}}\,du=

=\left.-2\left({\frac {u}{8}}(10a-2u^{2}){\sqrt {2a-u^{2}}}+{\frac {3a ^{2}}{2}}\arcsin {\frac {u}{\sqrt {2a}}}\right)\right|_{\sqrt {2a}}^{0}={\frac {3\ pi a^{2}}{2}}.

Tak:

{\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.

S_{1}=3\pi a^{2}.

Objem rotačního tělesa

Objem ( ) tělesa vytvořeného rotací větve kolem osy úsečky se vypočítá takto: $V_{1}$ $OL$

V_{1}=\pi \int \limits _{0}^{2a}{\frac {x^{3}}{2a-x}}\,dx=

=\pi \int \limits _{0}^{2a}\left(-x^{2}-2ax-4a^{2}+{\frac {8a^{3}}{2a-x }}\vpravo)\,dx=

=\left.-{\frac {44\pi a^{3}}{3}}-8\pi a^{3}(\ln(2a-x))\right|_{0} ^{2a}.

Pokud tedy , to je . $x\to 2a$ $\ln(2a-x)\to -\infty$ $V_{1}\to \infty$

Poznámky

↑ Akopyan A.V. Geometrie v obrazech .

Literatura

Savelov A.A. Ploché křivky. Systematika, vlastnosti, aplikace (Referenční příručka). - Moskva: Státní nakladatelství fyzikální a matematické literatury, 1960. - 293 s.
Smogorzhevsky A.S., Stolova E.S. Příručka teorie rovinných křivek třetího řádu. - Moskva: Fizmatgiz, 1961. - 263 s.

J. Dennis Lawrence. Katalog speciálních rovinných křivek. - Dover Publications, 1972. - 53-56 s. - ISBN 0-486-60288-5 .
Brieskorn E., Knörrer H. Ebene algebraische Kurven. Basilej: Birkhäuser, 1981. 721 s.

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius