Epicykloida

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 8. března 2020; kontroly vyžadují 9 úprav .

Epicykloida (z jiného řeckého ὲπί - na, přes, na a κύκλος - kruh, kruh) - plochá křivka tvořená pevným bodem kružnice valící se po vnější straně jiné kružnice, aniž by sklouzla. Podle Leibnize, dříve v roce 1676, Ole Römer učinil prakticky důležitý objev, že epicykloidní zuby v ozubeném kole produkují nejmenší tření.

Rovnice

Pokud je střed pevné kružnice v počátku souřadnic, její poloměr je , poloměr kružnice valící se podél ní je , pak je epicykloida popsána parametrickými rovnicemi s ohledem na : $R$ $r$ $\varphi$

{\begin{cases}x=(R+r)\cos \varphi -r\cos(\alpha +{\frac {R+r}{r))\varphi )\\y=(R+r)\ sin \varphi -r\sin(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\end{cases}}

kde je úhel natočení bodu popisujícího epicykloidu vzhledem ke středu pohybující se kružnice v okamžiku začátku pohybu (proti směru hodinových ručiček od osy x), je parametr, ale ve skutečnosti je to úhel sklonu segment mezi středy k ose . $\alpha$ $\varphi$ $VŮL$

Můžete zadat hodnotu , pak se rovnice objeví ve formuláři $\textstyle k={\frac {R}{r}}$

{\begin{cases}x=r(k+1)\left(\cos \varphi -{\frac {\cos((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\\y =r(k+1)\left(\sin \varphi -{\frac {\sin((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\end{cases}}

Hodnota určuje tvar epicykloidy. Když epicykloida tvoří kardioidu a když tvoří nefroid . Jestliže je neredukovatelný zlomek tvaru ( ), pak je počet vrcholů dané epicykloidy a je to počet úplných otočení valící se kružnice. Pokud je iracionální číslo , pak křivka není uzavřená a má nekonečný počet neshodných vrcholů. $k$ $k=1$ $k=2$ $k$ ${\frac {m}{n}}$ $m,n\in \mathbb {N}$ $m$ $n$ $k$

Epicykloidy pro různé hodnoty parametru k:
$k=1$ ( kardioidní )
$k=2$ ( nefroid )
$k = 3$
$k={\frac {3}{4}}$
$k={\frac {1}{3}}$
$k=0.5={\frac {1}{2))$
$k=2,1={\frac {21}{10}}$
$k=3,8={\frac {19}{5}}$
$k=5,5={\frac {11}{2}}$
$k=7,2={\frac {36}{5}}$

Získání

Nechť - požadovaný bod, - úhel odchylky bodu od bodu dotyku dvou kružnic, - úhel odchylky mezi středy těchto kružnic.

P

\alpha

P

\theta

Protože se kruh kutálí bez uklouznutí

\ell _{R}=\ell _{r}

Podle definice délky oblouku kruhu :

\ell _{R}=\theta R\land \ell _{r}=\alpha r

Z těchto dvou tvrzení vyplývá, že

\theta R=\alpha r

Dostaneme poměry pro :

\alpha

\alpha ={\frac {R}{r}}\theta

Nechť střed pevného kruhu , střed druhého kruhu . To je zřejmé

A

B

{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {AP}}

Přepíšeme na souřadnice :

{\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {(\left(R+r\right)\cos \theta ;\left(R+r\right)\sin \theta )))+{\overrightarrow {(r\cos \left(\pi +\theta +\alpha \right);r\sin \left(\pi +\theta +\alpha \right))))={\overrightarrow {(\left(R) +r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right);\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \že jo))}}

Poloha bodu je tedy: $p$

x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\ cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\ sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

Viz také

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius