Vlnová funkce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 12. července 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Vlnová funkce nebo psi funkce je komplexní funkce používaná v kvantové mechanice k popisu čistého stavu systému . Nejběžnějšími symboly pro vlnovou funkci jsou řecká písmena ψ a Ψ (malá a velká písmena psi ). Je to expanzní koeficient stavového vektoru z hlediska báze (obvykle souřadnicové): $\psi$

$\left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx$

kde je souřadnicový základní vektor a je vlnová funkce v reprezentaci souřadnic. $\left|x\right\rangle =\left|x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right\rangle$ $\Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle$

Podle kodaňské interpretace kvantové mechaniky se hustota pravděpodobnosti nalezení částice v daném bodě konfiguračního prostoru v daném čase považuje za rovnou druhé mocnině absolutní hodnoty vlnové funkce tohoto stavu v souřadnici . zastoupení.

Vlnová funkce je funkcí stupňů volnosti odpovídajících nějaké maximální množině pozorovatelných veličin při dojíždění . Jakmile je zvolena taková reprezentace , lze vlnovou funkci odvodit z kvantového stavu.

Pro daný systém není volba stupňů volnosti dojíždění jednoznačná, a proto také doména definice vlnové funkce není jedinečná. Například, to může být považováno za funkci všech souřadnic polohy částice v prostoru souřadnic nebo hybnosti všech částic v prostoru hybnosti ; tyto dva popisy jsou příbuzné Fourierovou transformací . Některé částice, jako jsou elektrony a fotony , mají nenulový spin a vlnová funkce takových částic zahrnuje spin jako vnitřní diskrétní stupeň volnosti; také jiné jednotlivé proměnné takový jako isospin mohou být zvažovány pro různé systémy . Když má systém vnitřní stupně volnosti, vlnová funkce v každém bodě spojitých stupňů volnosti (například bod v souřadnicovém prostoru) přiřadí komplexní číslo pro každou možnou hodnotu diskrétních stupňů volnosti (například z-složka spinu) - tyto hodnoty se často zobrazují jako vektorový sloupec (například 2 × 1 pro nerelativistický elektron se spinem.

Podle principu superpozice v kvantové mechanice lze vlnové funkce sčítat a násobit komplexními čísly za účelem konstrukce nových vlnových funkcí a definování Hilbertova prostoru . Vnitřní součin v Hilbertově prostoru mezi dvěma vlnovými funkcemi je mírou překrytí mezi odpovídajícími fyzikálními stavy a používá se ve fundamentální pravděpodobnostní interpretaci kvantové mechaniky, Bornově pravidle , vztahující pravděpodobnosti přechodu k tečkovému součinu stavů. Schrödingerova rovnice definuje, jak se vlnové funkce vyvíjejí v průběhu času, a vlnová funkce se kvalitativně chová jako jiné vlny , jako jsou vlny na vodě nebo vlny v řetězci, protože Schrödingerova rovnice je matematicky variací vlnové rovnice . To vysvětluje název "vlnová funkce" a vede k dualitě vlny a částic . Vlnová funkce v kvantové mechanice však popisuje jakýsi fyzikální jev, stále otevřený různým interpretacím , který se zásadně liší od klasického mechanického vlnění [1] [2] [3] [4] [5] [6] [ 7] .

V Bornově statistické interpretaci nerelativistické kvantové mechaniky [8] [9] [10] je druhý mocninový modul vlnové funkce reálné číslo, interpretované jako hustota pravděpodobnosti měření částice jako na daném místě resp. mít danou hybnost v daném čase a případně mít určité hodnoty pro diskrétní stupně volnosti. Integrál této hodnoty přes všechny stupně volnosti systému musí být roven 1 v souladu s pravděpodobnostní interpretací. Tento obecný požadavek, který musí vlnová funkce splňovat, se nazývá normalizační podmínka . Protože vlnová funkce má komplexní hodnoty, lze měřit pouze její relativní fázi a relativní velikost – její hodnota, brána samostatně, neříká nic o velikostech nebo směrech měřených pozorovatelných veličin; je nutné aplikovat na vlnovou funkci ψ kvantové operátory , jejichž vlastní čísla odpovídají množinám možných výsledků měření, a vypočítat statistická rozdělení pro měřitelné veličiny.

Historie

V roce 1905 Albert Einstein postuloval úměrnost mezi frekvencí fotonu a jeho energií [ 11] a v roce 1916 odpovídající vztah mezi hybností fotonu a jeho vlnovou délkou [ 12] , kde je Planckova konstanta . V roce 1923 De Broglie jako první navrhl, že vztah , nyní nazývaný De Broglieho vztah , platí pro masivní částice, přičemž hlavním klíčem k pochopení je Lorentzova invariance [13] , a to lze považovat za výchozí bod. pro moderní rozvoj kvantové mechaniky. Rovnice popisují dualitu vlna-částice pro bezhmotné i hmotné částice. $F$ $E$ $E=hf$ $p$ $\lambda$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$ $h$ $\lambda ={\frac {h}{p}}$

Ve dvacátých a třicátých letech se kvantová mechanika rozvinula pomocí počtu a lineární algebry . Analýza byla použita ve své práci Louis de Broglie , Erwin Schrödinger a další, kteří vyvinuli " mechaniku vln ". Mezi těmi, kdo aplikovali metody lineární algebry, byli Werner Heisenberg , Max Born a další, kteří vyvinuli „maticovou mechaniku“. Následně Schrödinger ukázal, že tyto dva přístupy jsou ekvivalentní [14] .

V roce 1926 Schrödinger publikoval slavnou vlnovou rovnici, nyní pojmenovanou po něm, Schrödingerovu rovnici . Tato rovnice byla založena na klasickém zákonu zachování energie , ale byla napsána pomocí kvantových operátorů a de Broglieho vztahů a její řešení byla reprezentována vlnovými funkcemi kvantového systému [15] . Nikdo však nevěděl, jak si to vyložit [16] . Nejprve si Schrödinger a další mysleli, že vlnové funkce jsou částice, které jsou rozmístěny v prostoru, přičemž většina částice se nachází tam, kde je vlnová funkce velká [17] . To se ukázalo jako neslučitelné s elastickým rozptylem vlnového balíčku (což je částice) z rozptylovače, protože se šíří všemi směry [8] . Přestože se rozptýlená částice může rozptýlit v libovolném směru, nerozbije se na kusy a neodletí všemi směry. V roce 1926 představil Born svůj výklad amplitudy pravděpodobnosti [9] [18] . Vztahuje výpočty kvantové mechaniky přímo na pravděpodobnosti pozorované v experimentu. Tento obrázek je nyní přijímán jako součást kodaňské interpretace kvantové mechaniky. Existuje mnoho dalších výkladů kvantové mechaniky . V roce 1927 udělali Hartree a Fock první krok ve snaze popsat vlnovou funkci pro N-částice a vyvinuli self-konzistentní proceduru : iterační algoritmus pro aproximaci řešení kvantově mechanického problému s mnoha částicemi. Tato metoda je nyní známá jako Hartree-Fock metoda [19] . Slaterův determinant a trvalý ( matice ) byly součástí metody navržené Johnem C. Slaterem .

Schrödinger pracoval s rovnicí pro vlnovou funkci, která splňovala relativistický zákon zachování energie , než publikoval nerelativistickou verzi, ale zavrhl ji, protože předpovídala negativní pravděpodobnosti a negativní energie . V roce 1927 ji našli také Klein , Gordon a Fock, ale vzali v úvahu elektromagnetickou interakci a dokázali, že je Lorentzova invariantní . De Broglie také dospěl ke stejné rovnici v roce 1928. Tato relativistická vlnová rovnice je nyní nejčastěji známá jako Klein-Gordonova rovnice [20] .

V roce 1927 Pauli fenomenologicky našel nerelativistickou rovnici pro popis částic se spinem 1/2 v elektromagnetických polích, která se nyní nazývá Pauliho rovnice [21] . Pauli zjistil, že vlnová funkce není popsána jednou komplexní funkcí prostoru a času, ale jsou vyžadována dvě komplexní čísla, která odpovídají fermionovým stavům se spinem +1/2 a -1/2. Krátce nato, v roce 1928, Dirac našel rovnici z prvního úspěšného sjednocení speciální teorie relativity a kvantové mechaniky aplikované na elektron , nyní nazývanou Diracova rovnice . Vlnová funkce je v tomto případě spinor reprezentovaný čtyřmi komplexními složkami [19] : dvěma pro elektron a dvěma pro elektronovou antičástici , pozitron . V nerelativistickém limitu se Diracova vlnová funkce podobá Pauliho vlnové funkci pro elektron. Později byly nalezeny další relativistické vlnové rovnice .

Vlnové funkce a vlnové rovnice v moderních teoriích

Všechny tyto vlnové rovnice mají věčný význam. Schrödingerova rovnice a Pauliho rovnice jsou v mnoha případech vynikajícími aproximacemi pro relativistické problémy. V praktických problémech se řeší mnohem snadněji než jejich relativistické protějšky.

Klein-Gordonovy a Diracovy rovnice , protože jsou relativistické, plně neslučují kvantovou mechaniku a speciální relativitu. Obor kvantové mechaniky, kde jsou tyto rovnice studovány stejným způsobem jako Schrödingerova rovnice, často nazývaná relativistická kvantová mechanika , i když velmi úspěšná, má svá omezení (viz např. Lamb shift ) a koncepční problémy (viz např. Diracovo moře ).

Díky relativitě je nevyhnutelné, že počet částic v systému není konstantní. Plná shoda vyžaduje kvantovou teorii pole [22] . V této teorii se také používají vlnové rovnice a vlnové funkce, ale v trochu jiné podobě. Hlavním objektem zájmu nejsou vlnové funkce, ale spíše operátory, takzvané operátory polí (nebo jednoduše pole , čímž rozumíme "operátory") v Hilbertově stavovém prostoru. Ukazuje se, že pro konstrukci Hilbertova prostoru jsou stále potřeba původní relativistické vlnové rovnice a jejich řešení. Navíc operátory volného pole , tj. pro neinteragující částice, v mnoha případech formálně splňují stejnou rovnici jako pole (vlnové funkce).

Klein-Gordonova rovnice (spin 0 ) a Diracova rovnice (spin 1 ⁄ 2 ) tedy teoreticky zůstávají v této podobě. Analogy s vyšším spinem zahrnují Procovu rovnici (spin 1 ), Rarita-Schwingerova rovnice (spin 3 ⁄ 2 ) a obecněji Bargmann-Wignerovy rovnice . Pro bezhmotná volná pole jsou příklady Maxwellovy rovnice volného pole (spin 1 ) a Einsteinova rovnice volného pole (spin 2 ) pro operátory pole [23] . Všechny jsou v podstatě přímým důsledkem Lorentzova požadavku na invarianci . Jejich řešení musí být v rámci Lorentzovy transformace transformována daným způsobem, tedy v souladu s určitým zastoupením Lorentzovy skupiny a spolu s některými dalšími rozumnými požadavky, např. principem dekompozice shluků [24] , při zohlednění účet kauzalita , je dostačující k úpravě rovnice.

To platí pro rovnice volného pole, pokud nejsou zahrnuty interakce. Pokud je k dispozici hustota Lagrangianu (včetně interakcí), pak Lagrangeův formalismus dá pohybovou rovnici na klasické úrovni. Tato rovnice může být velmi složitá a nelze ji vyřešit. Jakékoli řešení bude odkazovat na pevný počet částic a nebude brát v úvahu termín „interakce“, jak je chápán v těchto teoriích, který zahrnuje vytváření a ničení částic, spíše než vnější potenciály, jako v běžné kvantové teorii ( primární kvantování ) .

V teorii strun zůstává situace podobná. Například vlnová funkce v prostoru hybnosti hraje roli Fourierova expanzního koeficientu v obecném stavu částice (struny) s hybností, která není jasně definována [25] .

Fyzický význam

V souřadnicové reprezentaci závisí vlnová funkce na souřadnicích (nebo zobecněných souřadnicích) systému. Fyzikální význam vlnové funkce je ten, že druhá mocnina jejího modulu je hustota pravděpodobnosti (pro diskrétní spektra jednoduše pravděpodobnost) detekce systému v určitém okamžiku : $\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)$ ${\displaystyle \left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)\right|^{2))$ $\omega$ ${\displaystyle x_{1}=x_{01},x_{2}=x_{02},\ldots ,x_{n}=x_{0n))$ $t$

\omega ={\frac {dP}{dv}}=\left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)\right|^{2} =\Psi ^{\ast }\Psi

Takže v daném kvantovém stavu systému popsaném vlnovou funkcí je pravděpodobnost , že částice bude detekována v oblasti konečného objemu konfiguračního prostoru , rovna $\Psi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},t)$ $P$ $PROTI$

P={\int {dP}}={\int \limits _{V}{\omega }dv}={\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast }\Psi }dv }

(jeden)

Je také možné měřit fázový rozdíl vlnové funkce, například v Aharonov-Bohmově experimentu .

Normalizace vlnové funkce

Protože celková pravděpodobnost detekce částice v celém prostoru je rovna jedné, musí její vlnová funkce splňovat tzv. normalizační podmínku, například v souřadnicovém zobrazení ve tvaru: $\psi$

{\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast }\Psi }dv}=1

V obecném případě by měla být integrace provedena přes všechny proměnné, na kterých vlnová funkce v tomto zobrazení explicitně závisí (kromě času).

Princip superpozice kvantových stavů

Pro vlnové funkce platí princip superpozice , což znamená, že pokud systém může být ve stavech popsaných vlnovými funkcemi a , pak pro libovolný komplex a , může být i ve stavu popsaném vlnovou funkcí. $\Psi _{1}$ $\Psi _{2}$ $c_{1}$ $c_{2}$ $|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1$

{\displaystyle \Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2))

Samozřejmě lze také hovořit o superpozici (sčítání) libovolného počtu kvantových stavů, tedy o existenci kvantového stavu systému, který je popsán vlnovou funkcí

\Psi _{\Sigma }=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+\ldots +{c}_{N}{\Psi }_{N }=\sum _{n=1}^{N}{c}_{n}{\Psi }_{n}

V takovém stavu určuje druhá mocnina modulu koeficientu pravděpodobnost, že při měření bude systém nalezen ve stavu popsaném vlnovou funkcí . ${c}_{n}$ ${\displaystyle {\Psi }_{n))$

Proto pro normalizované vlnové funkce . $\sum _{n=1}^{N}\left|c_{n}\right|^{2}=1$

Podmínky pravidelnosti vlnové funkce

Pravděpodobnostní význam vlnové funkce ukládá vlnovým funkcím v problémech kvantové mechaniky určitá omezení nebo podmínky. Tyto standardní podmínky se často nazývají podmínky pravidelnosti pro vlnovou funkci.

Podmínka konečnosti vlnové funkce. Vlnová funkce nemůže nabývat nekonečných hodnot, aby se integrál stal divergentním. Proto tato podmínka vyžaduje, aby vlnová funkce byla čtvercovou integrovatelnou funkcí, tj. patřila do Hilbertova prostoru . Zejména v problémech s normalizovanou vlnovou funkcí musí mít čtvercový modul vlnové funkce sklon k nule v nekonečnu. $(jeden)$ $L^{2}$
Podmínka jednoznačnosti vlnové funkce. Vlnová funkce musí být jednoznačnou funkcí souřadnic a času, protože hustota pravděpodobnosti detekce částic musí být v každém problému jednoznačně určena. V úlohách využívajících válcový nebo sférický souřadnicový systém vede podmínka jednoznačnosti k periodicitě vlnových funkcí v úhlových proměnných.
Podmínka spojitosti vlnové funkce. Vlnová funkce musí být v každém okamžiku spojitou funkcí prostorových souřadnic. Kromě toho musí být parciální derivace vlnové funkce , , , také spojité . Tyto parciální derivace funkcí pouze ve vzácných případech problémů s idealizovanými silovými poli mohou tolerovat diskontinuitu v těch bodech prostoru, kde potenciální energie popisující silové pole, ve kterém se částice pohybuje, zažívá diskontinuitu druhého druhu . ${\frac {\partial \Psi }{\partial x))$ ${\frac {\partial \Psi }{\partial y))$ ${\frac {\partial \Psi }{\partial z))$

Vlnová funkce v různých reprezentacích

Sada souřadnic, které fungují jako argumenty funkce , je úplným systémem dojíždění pozorovatelných . V kvantové mechanice je možné vybrat několik úplných sad pozorovatelných, takže vlnovou funkci stejného stavu lze zapsat z různých argumentů. Kompletní sada veličin vybraných pro záznam vlnové funkce určuje reprezentaci vlnové funkce . Takže je možná reprezentace souřadnic, reprezentace hybnosti, v kvantové teorii pole se používá druhá kvantizace a reprezentace výplňových čísel nebo Fockova reprezentace atd.

Pokud je vlnová funkce, například elektronu v atomu, uvedena v souřadnicovém znázornění , pak druhá mocnina modulu vlnové funkce je hustota pravděpodobnosti nalezení elektronu v určitém bodě prostoru. Jestliže stejná vlnová funkce je dána v reprezentaci impulsu , pak druhá mocnina jejího modulu je hustota pravděpodobnosti odhalovat jeden nebo jiný impuls .

Maticové a vektorové formulace

Vlnová funkce stejného stavu v různých reprezentacích bude odpovídat vyjádření stejného vektoru v různých souřadnicových systémech. Ostatní operace s vlnovými funkcemi budou mít také analogy v jazyce vektorů. Ve vlnové mechanice se používá reprezentace, kde argumenty psi funkce jsou úplným systémem pozorovatelných veličin spojitého dojíždění, a v mechanice matic se používá reprezentace, kde argumenty funkce psi jsou úplným systémem pozorovatelných veličin diskrétní dojíždění. Funkční (vlnová) a matricová formulace jsou tedy zjevně matematicky ekvivalentní.

Popis smíšených kvantových stavů

Vlnová funkce je metoda pro popis čistého stavu kvantově mechanického systému. Smíšené kvantové stavy (v kvantové statistice ) by měly být popsány pomocí matice hustoty .

Reprezentace souřadnic a hybnosti

Vlnová funkce znázorněná jako funkce souřadnic se v souřadnicové reprezentaci nazývá vlnová funkce [26] $\psi =\psi ({\vec {r)))$

Jakákoli vlnová funkce v reprezentaci souřadnic může být rozšířena z hlediska vlastních funkcí jejího operátoru hybnosti :

\psi _{\vec {p}}={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}e^{{\frac {i}{\hbar }} {\vec {p}}{\vec {r}}}

Výsledkem je inverzní Fourierova transformace :

\psi ({\vec {r)))=\int a({\vec {p)))\psi _{\vec {p))({\vec {r)))d^{3 }p={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\int a({\vec {p}})e^{{\frac {i}{\hbar } }{\vec {p}}{\vec {r}}}d^{3}p

kde $d^{3}p=dp_{x}dp_{y}dp_{z}$

Expanzní koeficienty se rovnají Fourierově transformaci $a({\vec {p)))$

a({\vec {p)))=\int \psi ({\vec {r)))\psi _{\vec {p}}^{*}({\vec {r}}) dV={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2))}\int \psi ({\vec {r)))e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\vec {p}}{\vec {r}}}d^{3}V

Funkce se nazývá vlnová funkce částice v reprezentaci hybnosti , protože je možné, aby hybnost částice měla hodnoty v intervalu [27] . $a({\vec {p)))$ $|a({\vec {p)))|^{2}d^{3}p$ $d^{3}p$

Vlnové funkce a funkční prostory

Koncept funkčních prostorů se přirozeně používá v diskuzi o vlnových funkcích. Funkční prostor je sbírka funkcí, obvykle s určitými definujícími požadavky na funkce (v tomto případě jsou integrovatelné do čtverce ), někdy s danou algebraickou strukturou na množině (v tomto případě vektorová prostorová struktura s vnitřním součinem ) spolu s topologie na sadě. Ten se zde bude používat jen zřídka, je potřeba pouze získat přesnou definici toho, co znamená uzavřená podmnožina funkčního prostoru. Níže dojde k závěru, že funkční prostor vlnových funkcí je Hilbertův prostor . Toto pozorování je základem převládající matematické formulace kvantové mechaniky.

Struktura vektorového prostoru

Vlnová funkce jako prvek funkčního prostoru je částečně charakterizována následujícími konkrétními a abstraktními popisy.

Schrödingerova rovnice je lineární. To znamená, že jeho řešení, vlnové funkce, lze sčítat a násobit skaláry a získat tak nové řešení. Množinou řešení Schrödingerovy rovnice je vektorový prostor.
Princip superpozice kvantové mechaniky. Jestliže Ψ a Φ jsou dva stavy v abstraktním stavovém prostoru kvantově mechanického systému a aab jsou jakákoli dvě komplexní čísla, pak a Ψ + b Φ je platný stav . Zda je nulový vektor považován za platný stav („neexistuje žádný systém“), je věcí definice. Vektor nuly v žádném případě nepopisuje stav vakua v kvantové teorii pole. Množina přípustných stavů je vektorový prostor.

Tato podobnost není náhodná. Uvědomte si také rozdíly mezi prostory.

Zobrazení

Základní stavy jsou charakterizovány souborem kvantových čísel. Toto je množina vlastních hodnot maximální množiny pozorovatelných veličin při dojíždění . Fyzické pozorovatelné jsou reprezentovány lineárními operátory, nazývanými také pozorovatelné, v prostoru vektorů. Maximalita znamená, že do takové množiny nelze přidat žádné další algebraicky nezávislé pozorovatelné, které komutují s těmi existujícími. Volbu takové množiny lze nazvat volbou reprezentace .

V kvantové mechanice se předpokládá, že fyzikálně pozorovatelná veličina systému, jako je poloha, hybnost nebo rotace, je reprezentována lineárním hermitovským operátorem ve stavovém prostoru. Možnými výsledky měření této veličiny jsou vlastní čísla operátoru [17] . Na hlubší úrovni většina pozorovatelných, možná všechny, vznikají jako generátory symetrií [17] [28] [nb 1] .
Fyzikální výklad je takový, že takový soubor představuje něco, co lze teoreticky současně měřit s libovolnou přesností. Heisenbergův vztah neurčitosti zakazuje současná exaktní měření dvou pozorovatelných veličin bez dojíždění .
Sada není unikátní. Pro jednočásticový systém by to mohla být z projekce ( x , S z ) y projekce ( p , S y ) . V tomto případě operátor odpovídající pozici ( operátor násobení v souřadnicové reprezentaci) a operátor odpovídající hybnosti ( diferenciální operátor v reprezentaci souřadnic) nekomutují.
Po zvolení reprezentace zůstává nejednoznačnost. Zbývá zvolit souřadnicový systém. To může například odpovídat volbě os x , y a z nebo volbě křivočarých souřadnic, jak je znázorněno na příkladu sférických souřadnic , používaných pro vlnové funkce atomů vodíku. Tato konečná volba také fixuje základ v abstraktním Hilbertově prostoru. Základní stavy jsou označeny kvantovými čísly odpovídajícími maximální sadě pozorovatelných dojížděk a odpovídajícímu souřadnicovému systému [nb 2] .

Abstraktní stavy jsou „abstraktní“ pouze v tom smyslu, že není dána libovolná volba požadovaná pro konkrétní explicitní popis. Nebo jinými slovy, nebyla dána žádná volba maximálního souboru pozorovatelných objektů při dojíždění. Což je obdoba vektorového prostoru bez daného základu. Vlnové funkce odpovídající kvantovému stavu tedy nejsou jedinečné. Tato nejednoznačnost odráží nejednoznačnost ve volbě maximálního souboru pozorovatelných veličin při dojíždění. Pro jednu částici se spinem v jedné dimenzi odpovídají konkrétnímu stavu dvě vlnové funkce Ψ( x , S z ) a Ψ( p , S y ) , obě popisují stejný stav.

Pro každou volbu maximální množiny pozorovatelných dojížděk pro abstraktní stavový prostor existuje odpovídající zobrazení, které je spojeno s funkčním prostorem vlnových funkcí.
Mezi všemi těmito různými funkčními prostory a abstraktním stavovým prostorem existují vzájemné korespondence (normalizace a nepozorovatelné fázové faktory zde nejsou brány v úvahu) a společným jmenovatelem je zde konkrétní abstraktní stav. Spojení mezi impulsní a souřadnicovou vlnovou funkcí, například popisující stejný stav, dává Fourierovu transformaci .

Každá volba reprezentace by měla být považována za definující jedinečný funkční prostor, ve kterém jsou definovány vlnové funkce odpovídající této volbě reprezentace. Tento rozdíl je nejlépe zachován, i když by se dalo tvrdit, že dva takové funkční prostory jsou matematicky stejné, jako je například soubor čtvercových integrovatelných funkcí. Funkční prostory si pak můžeme představit jako dvě různé kopie této sady.

Vnitřní produkt

Existuje další algebraická struktura pro vektorové prostory vlnových funkcí a abstraktní prostor stavů.

Fyzikálně odlišné vlnové funkce jsou interpretovány jako částečně se překrývající. Systém ve stavu Ψ , který se nepřekrývá se stavem Φ , nelze při měření nalézt ve stavu Φ . Pokud se však Φ 1 , Φ 2 , … do určité míry překrývají s Ψ , existuje možnost, že měření systému popsaného pomocí Ψ najdeme ve stavech Φ 1 , Φ 2 , … Pravidla výběru jsou také dodržena . Obvykle jsou formulovány z hlediska zachování určitých kvantových čísel. To znamená, že k určitým procesům, které jsou z některých hledisek přípustné (například zachování energie a hybnosti), nedochází, protože počáteční a konečná celková vlnová funkce se nepřekrývají.
Matematicky se ukazuje, že řešení Schrödingerovy rovnice pro specifické potenciály jsou jaksi ortogonální , obvykle se to popisuje integrálem

\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},

kde m , n jsou (množiny) indexů (kvantových čísel) označujících různá řešení, striktně kladná funkce w se nazývá váhová funkce a δ mn je Kroneckerův symbol . Integrace se provádí přes celý odpovídající prostor.

To motivuje zavedení vnitřního součinu do vektorového prostoru abstraktních kvantových stavů, což je v souladu s matematickými výsledky uvedenými výše při přechodu k reprezentaci. Označuje se (Ψ, Φ) , nebo v notaci podprsenka a ket . Co dává komplexní číslo. S vnitřním součinem je funkční prostor prostorem před Hilbertovým . Explicitní forma vnitřního součinu (obvykle integrál nebo suma integrálů) závisí na volbě reprezentace, ale komplexní číslo (Ψ, Φ) nikoli. Velká část fyzikální interpretace kvantové mechaniky pochází z Bornova pravidla . Říká, že pravděpodobnost p detekce při měření stavu Φ za předpokladu, že systém je ve stavu Ψ , je $\langle \Psi |\Phi \rangle$

p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},

kde se předpokládá, že Φ a Ψ jsou normalizované. Zvažte experiment s rozptylem . V kvantové teorii pole, pokud Φ out popisuje stav ve „vzdálené budoucnosti“ („odchozí vlna“) po ukončení interakcí mezi rozptylujícími částicemi a Ψ in je dopadající vlna ve „vzdálené minulosti“, pak veličiny ( Φ out , Ψ in ) , kde Φ out a Ψ in se mění v celém souboru příchozích a odchozích vln, v tomto pořadí, nazývaných S-matice nebo rozptylová matice . Vědět to v podstatě znamená vyřešit daný problém, alespoň co se předpovědí týče. Měřitelné veličiny, jako je rychlost rozpadu a průřezy rozptylu , se vypočítávají pomocí S-matice [29] .

Hilbertův prostor

Výše uvedené výsledky odrážejí podstatu funkčních prostorů, jejichž prvky jsou vlnové funkce. Popis však ještě není úplný. Existuje další technický požadavek na prostor funkcí, jmenovitě požadavek na úplnost , který umožňuje vzít limity sekvencí ve funkčním prostoru a zaručit, že pokud limita existuje, pak je prvkem prostoru funkcí. Kompletní pre-Hilbertův prostor se nazývá Hilbertův prostor . Vlastnost úplnosti je zásadní pro pokročilé přístupy a aplikace kvantové mechaniky. Například existence promítacích operátorů nebo závisí na úplnosti prostoru [30] . Tyto projekční operátory jsou zase nezbytné pro formulaci a důkaz mnoha užitečných teorémů, jako je spektrální teorém . To není pro úvodní část kvantové mechaniky příliš důležité a technické podrobnosti a odkazy lze nalézt v poznámkách pod čarou, jako je následující [nb 3] . Prostor L 2 je Hilbertův prostor, jehož skalární součin bude uveden níže. Funkční prostor v příkladu na obrázku je podprostorem L 2 . Podprostor Hilbertova prostoru se nazývá Hilbertův prostor, pokud je uzavřený.

Množina všech možných normalizovaných vlnových funkcí pro systém s určitou volbou báze tedy spolu s nulovým vektorem tvoří Hilbertův prostor.

Ne všechny zájmové funkce jsou prvky nějakého Hilbertova prostoru, řekněme L 2 . Nejvýraznějším příkladem je množina funkcí e 2 πi p · x ⁄ h . Tyto rovinné vlny jsou řešením Schrödingerovy rovnice pro volnou částici, ale nejsou normalizovány, proto nepatří do L 2 . Ale přesto jsou zásadní pro popis kvantové mechaniky. Mohou být použity k vyjádření funkcí, které lze normalizovat pomocí vlnových paketů . V jistém smyslu jsou základem (ale ne Hilbertovým prostorovým základem, ani Hamelovým základem ), ve kterém lze vyjádřit vlnové funkce, které nás zajímají. Existuje také další popis: „normalizace na funkci delta“, která se často používá pro usnadnění zápisu, viz níže. Samotné delta funkce také nejsou integrovatelné do čtverce.

Výše uvedený popis funkčního prostoru obsahujícího vlnové funkce je motivován převážně matematicky. Funkční prostory jsou v určitém smyslu velmi velké díky své úplnosti . Ne všechny funkce jsou realistickým popisem jakéhokoli fyzického systému. Například ve funkčním prostoru L 2 můžete najít funkci, která má hodnotu 0 pro všechna racionální čísla a - i pro iracionální [0, 1] . Tato funkce je integrovatelná do čtverce [nb 4] , ale stěží může reprezentovat fyzický stav.

Prostory generála Hilberta

Ačkoli je rozhodovací prostor obecně Hilbertovým prostorem, existuje mnoho dalších Hilbertových prostorů.

Čtvercové integrovatelné komplexní funkce na intervalu [0, 2 π ] . Množina { e int /2 π , n ∈ ℤ } je základem Hilbertova prostoru, tedy maximální ortonormální množiny.
Fourierova transformace transformuje funkce z výše uvedeného prostoru na prvky l 2 (ℤ) , prostor čtvercových sčítaných funkcí ℤ → ℂ . Poslední prostor je Hilbertův prostor a Fourierova transformace definuje izomorfismus Hilbertových prostorů [nb 5] . Jeho základem je { e i , i ∈ ℤ} kde e i ( j ) = δ ij , i , j ∈ ℤ .
Nejjednodušším příkladem ohraničených polynomů je prostor čtverečně integrovatelných funkcí na intervalu [–1, 1], pro který jsou Legendreovy polynomy základem Hilbertova prostoru (úplná ortonormální množina).
Čtvercové integrovatelné funkce na jednotkové kouli S 2 tvoří Hilbertův prostor. Základní funkce jsou v tomto případě sférické harmonické . Legendreovy polynomy jsou součástí sférických harmonických. Většina problémů s rotační symetrií bude mít "stejné" (známé) řešení s ohledem na tuto symetrii, takže původní problém je redukován na problém nižších rozměrů.
Odpovídající Laguerrovy polynomy se objevují v problému vodíkových vlnových funkcí po výběru sférických harmonických. Pokrývají Hilbertův prostor kvadrát integrovatelných funkcí na seminekonečném intervalu [0, ∞) .

Obecněji lze uvažovat o všech polynomiálních řešeních rovnic druhého řádu Sturm-Liouville v kontextu Hilbertova prostoru. Patří mezi ně Legendreovy a Laguerrovy polynomy, stejně jako Čebyševovy polynomy, Jacobiho polynomy a Hermitovy polynomy . Ve skutečnosti vznikají ve fyzikálních problémech, ty druhé v harmonickém oscilátoru , a to, co je jinak spletitým labyrintem vlastností speciálních funkcí , se zdá být organickým obrazem. Viz Byron & Fuller (1992 , kapitola 5).

Existují také Hilbertovy prostory s konečnou dimenzí. Prostor ℂ n je Hilbertův prostor dimenze n . Vnitřní produkt je standardní vnitřní produkt pro tyto prostory. Obsahuje „spinovou část“ vlnové funkce jedné částice.

S nerelativistickým popisem elektronu je n = 2 a celková vlnová funkce řešením Pauliho rovnice .
V odpovídající relativistické interpretaci je n = 4 a vlnová funkce je řešením Diracovy rovnice .

S velkým množstvím částic je situace složitější. Je nutné použít tenzorové součiny a teorii reprezentace příslušných grup symetrie ( rotační grupy , resp. Lorentzovy grupy) . Další potíže nastávají v relativistickém případě, pokud částice nejsou volné [31] . Viz rovnice Bethe–Salpeter . Relevantní poznámky se týkají konceptu isospin , pro který je skupina symetrie SU (2) . Modely jaderných sil ze šedesátých let (které se dodnes používají, viz jaderné síly ) používaly skupinu symetrie SU(3) . V tomto případě je také část vlnových funkcí odpovídající vnitřním symetriím v některých ℂ n nebo podprostorech tenzorových součinů takových prostorů.

V kvantové teorii pole je hlavním Hilbertovým prostorem Fockův prostor . Je sestaven z volných jednočásticových stavů, tedy vlnových funkcí, zvolené reprezentace a může pojmout jakýkoli konečný, ne nutně časově konstantní, počet částic. Zajímavá dynamika se skrývá nikoli ve vlnových funkcích, ale v polních operátorech působících na Fockův prostor. Heisenbergův obrázek se tedy ukazuje jako pohodlnější (konstantní stavy, časově proměnné operátory).

Vzhledem k nekonečně-rozměrné povaze systému jsou odpovídající matematické nástroje předmětem studia ve funkcionální analýze .

Ontologie

Zda skutečně existuje vlnová funkce a co představuje, jsou hlavní otázky ve výkladu kvantové mechaniky . Mnoho slavných fyziků předchozí generace si s tímto problémem lámalo hlavu, jako například Schrödinger , Einstein a Bohr . Někteří argumentují formulacemi nebo variantami kodaňské interpretace (například Bohr, Wigner a von Neumann ), zatímco jiní, jako Wheeler nebo Jaynes , zaujímají klasičtější přístup [32] a považují vlnovou funkci za reprezentaci informace v mysl pozorovatele, pak jsou měřítkem našeho poznání reality. Někteří, včetně Schrödingera, Bohma, Everetta a dalších, tvrdili, že vlnová funkce musí mít objektivní fyzickou existenci. Einstein věřil, že úplný popis fyzické reality by měl odkazovat přímo na fyzický prostor a čas, na rozdíl od vlnové funkce, která odkazuje na abstraktní matematický prostor [33] .

Viz také

Poznámky

Komentáře

↑ Aby toto tvrzení dávalo smysl, musí být pozorovatelné prvky množiny maximálního dojíždění. Například operátor hybnosti i-té částice v systému n částic „ne“ je ze své podstaty generátorem nějaké symetrie. Na druhou stranu „celková“ hybnost je v přírodě generátorem symetrie; translační symetrie.
↑ Výsledná báze může nebo nemusí být v matematickém smyslu základem Hilbertových prostorů. Například stavy s určitou polohou a určitou hybností nejsou kvadraticky integrovatelné. To lze překonat pomocí vlnových paketů nebo zaškatulkováním systému. Viz další poznámky níže.
↑ Technicky je to formulováno následovně. Vnitřní produkt určuje normu . Tato norma zase vyvolává metriku . Pokud je tato metrika úplná , budou výše uvedené limity uvedeny ve funkčním prostoru. Pak se předHilbertův prostor nazývá úplný. Úplným vnitřním produktem je Hilbertův prostor . Abstraktní stavový prostor je vždy považován za Hilbertův prostor. Požadavek konzistence na funkční prostory je přirozený. Vlastnost Hilbertova prostoru abstraktního stavového prostoru byla původně definována z pozorování, že funkční prostory, které tvoří normalizovaná řešení Schrödingerovy rovnice, jsou Hilbertovy prostory.
↑ Jak je vysvětleno v další poznámce pod čarou, integrál musí být považován za Lebesgueův integrál , protože Riemannův integrál je nedostatečný.
↑ Conway, 1990 . To znamená, že vnitřní součiny, a tedy i normy, jsou zachovány a že zobrazení je ohraničené, a tedy spojitá lineární bijekce. Vlastnost úplnosti je také zachována. To tedy odpovídá správnému pojetí izomorfismu v kategorii Hilbertových prostorů.

Prameny

↑ Narozen 1927 , pp. 354–357.
↑ Heisenberg, 1958 , str. 143.
↑ Heisenberg, W. (1927/1985/2009). Heisenberg přeložil Camilleri, 2009 , (z Bohr, 1985 ).
↑ Murdoch, 1987 , s. 43.
↑ de Broglie, 1960 , str. 48.
↑ Landau a Lifshitz 1977 , str. 6.
↑ Newton, 2002 , str. 19–21.
↑ 1 2 Narozen, 1926a , přeloženo v Wheeler & Zurek, 1983 na stranách 52-55.
↑ 1 2 Narozen, 1926b , přeloženo v Ludwig, 1968 . Také zde Archivováno 1. prosince 2020 na Wayback Machine .
↑ Narozen, M. (1954).
↑ Einstein, 1905 (v němčině), Arons & Peppard, 1965 (v angličtině)
↑ Einstein, 1916 , a téměř identická verze Einstein, 1917 přeložená do ter Haar, 1967 .
↑ de Broglie, 1923 , pp. 507–510 548 630.
↑ Hanle, 1977 , pp. 606–609.
↑ Schrödinger, 1926 , pp. 1049–1070.
↑ Tipler, Mosca, Freeman, 2008 .
↑ 1 2 3 Weinberg, 2013 .
↑ Young, Freedman, 2008 , str. 1333.
↑ 12 Atkins , 1974 .
↑ Martin, Shaw, 2008 .
↑ Pauli, 1927 , pp. 601-623..
↑ Weinberg (2002 ) zastává stanovisko, že kvantová teorie pole se jeví tak, jak vypadá, protože je to jediný způsob, jak uvést do souladu kvantovou mechaniku se speciální relativitou.
↑ Weinberg (2002 ) Viz zejména kapitola 5, kde jsou některé z těchto výsledků odvozeny.
↑ Weinberg, 2002 Kapitola 4.
↑ Zwiebach, 2009 .
↑ Landau L. D. , Livshits E. M. Kvantová mechanika. - M., Nauka, 1972. - str. 29
↑ Landau L. D. , Livshits E. M. Kvantová mechanika. - M., Nauka, 1972. - str. 49
↑ Weinberg, 2002 .
↑ Weinberg, 2002 , kapitola 3.
↑ Conway, 1990 .
↑ Greiner, Reinhardt, 2008 .
↑ Jaynes, 2003 .
↑ Einstein, 1998 , s. 682.

Literatura

Arons, AB; Peppard, M. B. (1965). „Einsteinův návrh koncepce fotonů: Překlad práce Annalen der Physik z roku 1905“ (PDF) . American Journal of Physics . 33 (5): 367. Bibcode : 1965AmJPh..33..367A . DOI : 10.1119/1.1971542 .
Atkins, P. W. Quanta: Příručka konceptů . - 1974. - ISBN 978-0-19-855494-3 .
Bohr, N. Niels Bohr - Sebraná díla: Základy kvantové fyziky I (1926 - 1932). - Amsterdam : North Holland, 1985. - Sv. Svazek 6. - ISBN 978-044453289-3 .
Narozen M. (1926). "Zur Quantenmechanik der Stoßvorgange". Z Phys . 37 (12): 863-867. Bibcode : 1926ZPhy...37..863B . doi : 10.1007/ bf01397477 .
Narozen M. (1926). "Quantenmechanik der Stoßvorgange". Z Phys . 38 (11-12): 803-827. Bibcode : 1926ZPhy...38..803B . doi : 10.1007/ bf01397184 .
Narozen M. (1927). „Fyzikální aspekty kvantové mechaniky“. příroda . 119 (2992): 354-357. Bibcode : 1927Natur.119..354B . DOI : 10.1038/119354a0 .
Narozen, M. (11. prosince 1954). „Výklad statistické kvantové mechaniky“ . Nobelova přednáška . Nobelova nadace . 122 (3172): 675-9. DOI : 10.1126/science.122.3172.675 . PMID 17798674 .
de Broglie, L. (1923). "Radiations-Ondes et quanta" [Radiation-Waves and quanta]. Comptes Rendus [ fr. ]. 177 : 507-510, 548, 630. Online kopie (francouzsky) Online kopie (anglicky)
de Broglie, L. Nelineární vlnová mechanika: kauzální interpretace . — Amsterdam: Elsevier, 1960.
Byron, FW Matematika klasické a kvantové fyziky / FW Byron, RW Fuller . — revidováno. - Dover Publications , 1992. - ISBN 978-0-486-67164-2 .
Camilleri, K. Heisenberg a výklad kvantové mechaniky: Fyzik jako filozof. - Cambridge UK: Cambridge University Press, 2009. - ISBN 978-0-521-88484-6 .
Conway, JB Kurz funkcionální analýzy. - Springer Verlag , 1990. - Sv. Svazek 96. - ISBN 978-0-387-97245-9 .
Dirac, PAM (1939). „Nový zápis pro kvantovou mechaniku“ . Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society . 35 (3): 416-418. Bibcode : 1939PCPS...35..416D . DOI : 10.1017/S0305004100021162 .
Dirac, PAM Principy kvantové mechaniky. — 4. - Oxford University Press, 1982. - ISBN 0-19-852011-5 .
Einstein, A. (1905). „Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt“. Annalen der Physik [ německy ] ]. 17 (6): 132-148. Bibcode : 1905AnP...322..132E . DOI : 10.1002/andp.19053220607 .
Einstein, A. (1916). Zur Quantentheorie der Strahlung. Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich . 18 :47-62.
Einstein, A. (1917). Zur Quantentheorie der Strahlung. Physikalische Zeitschrift [ německy ] ]. 18 :121-128. Bibcode : 1917PhyZ...18..121E .
Einstein, A. Albert Einstein: Filosof-vědec. — 3. - La Salle Publishing Company, Illinois: Open Court, 1998. - Vol. VII. — ISBN 978-0-87548-133-3 .
Eisberg, R. Kvantová fyzika atomů, molekul, pevných látek, jader a částic / R. Eisberg, R. Resnick. — 2. - John Wiley & Sons, 1985. - ISBN 978-0-471-87373-0 .
Greiner, W. Kvantová elektrodynamika / W. Greiner, J. Reinhardt. — 4. - springer, 2008. - ISBN 978-354087560-4 .
Griffiths, DJ Úvod do kvantové mechaniky. — 2. - Essex England: Pearson Education, 2004. - ISBN 978-013111892-8 .
Griffithsi, Davide. Úvod do elementárních částic . - Wiley-VCH, 2008. - S. 162ff. — ISBN 978-3-527-40601-2 .
ter Haar, D. Stará kvantová teorie . - Pergamon Press , 1967. - S. 167-183 .
Hanle, P. A. (1977), Erwin Schrodinger's Reaction to Louis de Broglie's Thesis on the Quantum Theory , Isis vol. 68 (4): 606–609 , DOI 10.1086/351880
Heisenberg, W. Fyzika a filozofie: revoluce v moderní vědě . — New York: Harper & Row, 1958.
Jaynes, E. T. Teorie pravděpodobnosti: Logika vědy. - Cambridge University Press , 2003. - ISBN 978-0-521 59271-0 .
Landau, L.D. Kvantová mechanika: Nerelativistická teorie / L.D. Landau, E.M. Lifshitz . — 3. - Pergamon Press , 1977. - Sv. sv. 3. - ISBN 978-0-08-020940-1 . online kopie
Lerner, RG Encyklopedie fyziky / RG Lerner, GL Trigg. — 2. - VHC Publishers, 1991. - ISBN 978-0-89573-752-6 .
Ludwig, G. Vlnová mechanika . - Oxford UK: Pergamon Press, 1968. - ISBN 978-0-08-203204-5 .
Martin, BR Fyzika částic / BR Martin, G. Shaw. — 3. - John Wiley & Sons, 2008. - ISBN 978-0-470-03294-7 .
Murdoch, D. Niels Bohr's Philosophy of Physics . - Cambridge UK: Cambridge University Press, 1987. - ISBN 978-0-521-33320-7 .
Newton, R. G. Kvantová fyzika: text pro postgraduálního studenta. - New York: Springer, 2002. - ISBN 978-0-387-95473-8 .
Pauli, Wolfgang (1927). Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons. Zeitschrift fur Physik [ německy ] ]. 43 (9-10): 601-623. Bibcode : 1927ZPhy...43..601P . doi : 10.1007/ bf01397326 .
Peleg, Y. Kvantová mechanika / Y. Peleg, R. Pnini, E. Zaarur … [ a další ] . — 2. - McGraw Hill, 2010. - ISBN 978-0-07-162358-2 .
Rae, A.I.M. Kvantová mechanika . — 5. — Taylor & Francis Group, 2008. — Vol. Svazek 2. - ISBN 978-1-5848-89700 .
Schrodinger, E. (1926). „Vonná teorie mechaniky atomů a molekul“ (PDF) . Fyzický přehled . 28 (6): 1049-1070. Bibcode : 1926PhRv...28.1049S . DOI : 10.1103/PhysRev.28.1049 . Archivováno z originálu (PDF) dne 17. prosince 2008.
Shankar, R. Principy kvantové mechaniky. — 2. - 1994. - ISBN 978-030644790-7 .
Tipler, PA Fyzika pro vědce a inženýry – s moderní fyzikou / PA Tipler, G. Mosca, Freeman. — 6. - 2008. - ISBN 978-0-7167-8964-2 .
Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields , sv. 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7 , < https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev >
Weinberg, S. (2013), Lectures in Quantum Mechanics , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-02872-2
Wheeler, JA Quantum Theory and Measurement / JA Wheeler, W. H. Zurek . — Princeton NJ: Princeton University Press, 1983.
Young, HD Searsova a Zemanského univerzitní fyzika / HD Young, RA Freedman. — 12. - Addison-Wesley, 2008. - ISBN 978-0-321-50130-1 .
Zettili, N. Kvantová mechanika: koncepty a aplikace. — 2. - 2009. - ISBN 978-0-470-02679-3 .
Zwiebach, Bartoň. První kurz teorie strun. - Cambridge University Press, 2009. - ISBN 978-0-521-88032-9 .
Fyzikální encyklopedický slovník / Ch. vyd. A. M. Prochorov. Ed. počet D. M. Alekseev, A. M. Bonch-Bruevich, A. S. Borovik-Romanov a další - M .: Sov. Encyklopedie, 1984. - 944 s.
Yong-Ki Kim. Praktická atomová fyzika (neopr.) // National Institute of Standards and Technology. - 2000. - 2. září. - S. 1 (55 stran) . Archivováno z originálu 22. července 2011.
Polkinghorne, John . Kvantovávelmi krátký úvod . - Oxford University Press , 2002. - ISBN 978-0-19-280252-1 .

Odkazy

Kvantová mechanika - článek z Velké sovětské encyklopedie .
Fyzikální encyklopedický slovník: kvantová mechanika"

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Skvělý norský Britannica (online) Britannica (online)

Úseky mechaniky
klasická mechanika Speciální teorie relativity Teoretická mechanika Obecná teorie relativity Relativistická mechanika Kvantová mechanika
Mechanika kontinua	Hydrostatika Hydrodynamika Aeromechanika Aerostatika dynamika plynu Teorie pružnosti Teorie plasticity Lomová mechanika pevných látek Reologie
teorie	Oscilační teorie Teorie udržitelnosti
aplikovaná mechanika	Síla materiálu Teorie mechanismů a strojů Části strojů Stavební mechanika Hydraulika Mechatronika Nebeská mechanika Optomechatronika