Dělící dlaždice ( angl. rep-tile ) [1] - koncept mozaikové geometrie , obrazce, kterou lze rozřezat na menší kopie samotné postavy. V roce 2012 navrhl anglický matematik Lee Salous v Mathematics Magazine [2] zobecnění dělitelných obkladů nazvané samoobkladová sada dlaždic .
Dělící dlaždice jsou označeny rep- n [3] , pokud řezání používá n kopií. Takové obrazce nutně tvoří prototyp obkladu letadla, v mnoha případech tvoří neperiodický obklad . Řezání štěpné dlaždice pomocí různých velikostí se nazývá nepravidelná štěpná dlaždice. Pokud takový střih používá n kopií, nazývá se obrázek nerep- n . Pokud mají všechny subtilky různé velikosti, je prý střih dokonalý. Čísla rep- n nebo irp- n jsou zjevně irp-( kn − k + n ) pro libovolné k > 1 (nejmenší prvek řezu jednoduše nahradíme n ještě menšími prvky). Pořadí dlaždice, ať už jde o dlaždici plazů nebo dlaždice nerep, je nejmenší možný počet kusů, na které lze dlaždici řezat (zachování tvaru kusů).
Každý čtverec , obdélník , rovnoběžník , kosočtverec nebo trojúhelník je rep-4. Hexiamond "Sphinx" (horní obrázek) je rep-4 a rep-9 a je jedním z několika známých samoreprodukujících se pětiúhelníků. Gosperova křivka je rep-7. Kochova sněhová vločka je irep-7 - šest menších sněhových vloček stejné velikosti spolu s třikrát větší sněhovou vločkou lze zkombinovat do jedné větší sněhové vločky.
Pravoúhlý trojúhelník s délkami stran v poměru 1:2 je rep-5 a řezání jeho rep-5 tvoří základ neperiodického obkládání větrníků . Podle Pythagorovy věty má přepona trojúhelníku rep-5 délku √5.
Mezinárodní norma ISO 216 definuje rozměry listů papíru pomocí √2 - dlouhá strana obdélníkového listu papíru k druhé odmocnině dvojnásobku délky krátké strany. Obdélníky s tímto tvarem jsou rep-2. Obdélník (nebo rovnoběžník) je rep- n , pokud jeho poměr stran je √n:1 (ale nejen, například √3: √2 je rep-6, stejně jako obdélník √6:1). Rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník je rep-2.
Některé dělitelné dlaždice, jako je čtverec a pravidelný trojúhelník , jsou symetrické a při zrcadlení zůstávají stejné . Jiné, jako je sfinga , jsou asymetrické a existují ve dvou odlišných formách spojených zrcadlovým odrazem. Řezání sfingy a některých dalších asymetrických dělicích dlaždic vyžaduje použití obou typů – původní figury i jejího zrcadlového obrazu.
Některé dělicí dlaždice jsou založeny na polyformách , jako jsou polyamandy a polyominoes , nebo na tvarech vytvořených spojením pravidelných trojúhelníků a čtverců od okraje k okraji.
Pokud je polyomino čtvercový nebo může tvořit čtverec , bude to dělitelná dlaždice, protože obdélník může dát čtverec (což je samo o sobě speciální případ obdélníku). To lze snadno vidět na oktaminových prvcích , skládajících se z osmi čtverců. Dvě kopie některých oktaminových prvků vyplňují čtverec, takže tyto prvky jsou také dělicími dlaždicemi rep-16.
Čtyři kopie stejných nonominoes a nonakingů til čtverce, takže tyto polyformy jsou také dělitelné dlaždice rep-36.
Stejným způsobem, pokud je polyamantová dlaždice pravidelným trojúhelníkem, bude to také dělicí dlaždice.
Polyformy založené na rovnoramenných pravoúhlých trojúhelníkech (s úhly 45°-90°-45°) jsou známé jako polyabolo . Nekonečné množství z nich jsou štěpné dlaždice. Nejjednodušší ze všech dělitelných dlaždic je navíc (jediný) rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník. Je to rep-2, když se vydělí výškou přepony . Rep-2 dělící dlaždice jsou rep- 2n dlaždice a rep-4,8,16+ trojúhelníky generují další dělící dlaždice. Dlaždice níže se nalézají odhozením poloviny destiček a přeskupením zbytku, dokud nebudou komplementární se zrcadlovou symetrií uvnitř pravoúhlého trojúhelníku. Jedna destička připomíná rybu tvořenou třemi pravidelnými trojúhelníky .
Trojúhelníkové a čtvercové (čtyřstranné) dělicí dlaždice jsou běžné, zatímco pětiúhelníkové dělicí dlaždice jsou vzácné. Sfinga byla dlouho považována za jediný příklad, ale německý / novozélandský matematik Karl Scherer a americký matematik George Zicherman [4] našli další příklady, včetně dvojité pyramidy a podlouhlé verze sfingy. Tyto pětiúhelníkové dělicí destičky jsou ilustrovány na stránkách Math Magic , které spravuje americký matematik Erich Friedman [5] [6] . Sfinga však zůstává jedinou známou pětiúhelníkovou štěpnou destičkou, jejíž dílčí kopie mají stejnou velikost.
Dělící dlaždice lze použít k vytvoření fraktálů nebo tvarů, které jsou sobě podobné v menších a menších velikostech. Fraktál (rozdělovací destičky) se vytvoří rozdělením dělící destičky (případně) smazáním více kopií rozděleného obrazce, přičemž proces pokračuje rekurzivně . Například koberec Sierpinski vzniká tímto způsobem z dělící dlaždice (čtverec) rozdělením na 27 menších čtverců a trojúhelník Sierpinski je tvořen z dělicí dlaždice (pravidelný trojúhelník) rozdělením na čtyři menší trojúhelníky. Pokud je jedna z kopií odstraněna, rep-4 L- tromino lze použít k vytvoření čtyř fraktálů, z nichž dva jsou identické, pokud se nebere v úvahu orientace .
Protože jsou fraktály sobě podobné, mnohé z nich jsou také samoobkládací, a tedy dělitelné dlaždice. Například Sierpinski Triangle je vykachličkovaný třemi svými kopiemi a koberec Sierpinski je vydlážděn osmi kopiemi sebe sama.
Mnohé ze známých dělitelných dlaždic jsou rep - n 2 pro všechny kladné hodnoty n . To platí zejména pro tři lichoběžníky , včetně jednoho tvořeného ze tří pravidelných trojúhelníků, pro tři pentomina (L-tromino, L-tetramino, P-pentamino) a heximond Sphinx. [7]
Mezi pravidelnými mnohoúhelníky lze pouze trojúhelník a obdélník rozřezat na menší stejné kopie. Pravidelný šestiúhelník však lze rozřezat na šest rovnostranných trojúhelníků, z nichž každý lze rozřezat na pravidelný šestiúhelník a tři pravidelné trojúhelníky. To je základ pro nekonečné obkládání šestiúhelníku šestiúhelníky. Šestiúhelník je tedy irep-∞ nebo irep-nekonečná dělící destička.
| geometrické mozaiky | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Pravidelné |
| ||||||||
| aperiodický |
| ||||||||
| jiný |
| ||||||||
| Podle konfigurace vrcholu |
| ||||||||
| Polyformy | |
|---|---|
| Typy polyformů | |
| Polyomino podle počtu buněk | |
| Puzzle s polycubes | |
| Úkol skládání |
|
| Osobnosti |
|
| související témata | |
| Další hádanky a hry | |