Komplexní analýza

Komplexní analýza [1] , teorie funkcí komplexní proměnné (nebo komplexní proměnné ; zkráceně TFCF ) je částí matematické analýzy , ve které jsou zvažovány a studovány funkce komplexního argumentu .

Obecné pojmy

Každou komplexní funkci lze považovat za dvojici reálných funkcí dvou proměnných: definujících její reálnou a imaginární část. Funkce se nazývají komponenty komplexní funkce . $w=f(z)=f(x+iy)$ $f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$ $u,v$ $f(z)$

Dále, kdekoli hovoříme o ohraničenosti komplexní funkce, máme na mysli ohraničenost jejího modulu (což implikuje ohraničenost v obvyklém smyslu obou složek).

Pojem limita pro posloupnost a funkci je zaveden stejně jako v reálném případě, přičemž absolutní hodnota je nahrazena komplexním modulem. Jestliže , then a Platí to i obráceně: existence limity samotné funkce vyplývá z existence limit složek a limity složek budou složkami limity. Také spojitost komplexní funkce je definována stejně jako v reálném případě a je ekvivalentní spojitosti obou jejích složek [2] . $\lim _{{z\to a+bi}}f(z)=A+Bi$ $\lim _{\underset {y\to b}{x\to a}}u(x,y)=A$ $\lim _{\underset {y\to b}{x\to a}}v(x,y)=B.$

Všechny hlavní věty o limitě a spojitosti reálných funkcí se odehrávají i v komplexním případě, pokud toto rozšíření nesouvisí s porovnáváním komplexních veličin o více či méně . Například neexistuje žádná přímá analogie věty o středních hodnotách spojité funkce.

$\varepsilon$ – sousedství čísla je definováno jako množina bodů menší než : $z_{0}$ $z$ $z_{0}$ $\varepsilon$

|z-z_{0}|<\varepsilon

Na komplexní rovině je -okolí vnitřkem kruhu [2] o poloměru se středem v . $\varepsilon$ $\varepsilon$ $z_{0}$

Point at Infinity

V komplexní analýze je často užitečné uvažovat o úplné komplexní rovině [3] , doplněnou ve srovnání s obvyklým bodem v nekonečnu : S tímto přístupem je nekonečně rostoucí (v absolutní hodnotě) posloupnost považována za konvergující k bodu v nekonečnu. . Algebraické operace s nekonečnem se neprovádějí, ačkoli několik algebraických vztahů platí: $z=\infty .$

${\frac {z}{\infty }}=0;z+\infty =\infty (z\neq \infty )$
$z\cdot \infty =\infty ;{\frac {z}{0}}=\infty (z\neq 0)$

$\varepsilon$ Za -okolí bodu v nekonečnu se považuje množina bodů, jejichž modul je větší než , tj. vnější část -okolí počátku. $z$ ${\dfrac {1}{\varepsilon ))$ ${\dfrac {1}{\varepsilon ))$

Diferenciace

Definice

Derivace pro komplexní funkci jednoho argumentu je definována stejně jako pro reálnou [4] : $w=f(z)$

f'(z)={\frac {df}{dz}}=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z +h)-f(z)}{h}}.

Pokud tato limita existuje, říká se, že funkce je diferencovatelná nebo holomorfní . V čem

f(z+h)-f(z)={\frac {df}{dz}}\cdot h+o(h),

kde — „ o “ je malé .

Ó

Je třeba vzít v úvahu jednu důležitou vlastnost: protože komplexní funkce je dána v rovině, existence redukované limity znamená, že je stejná, když směřujeme z jakéhokoli směru. Tato skutečnost ukládá významná omezení na formu komponentních funkcí a určuje jejich rigidní vztah ( Cauchy-Riemannovy podmínky, jsou to také Euler-D'Alembertovy podmínky) [4] : $z$ $u,\;v$

{\frac {\partial u}{\partial x))={\frac {\partial v}{\partial y));\qquad {\frac {\partial u}{\partial y))= -{\frac {\částečné v}{\částečné x)),

nebo ve zkratce,

{\frac {\partial f}{\partial x))={\frac {\partial f}{i\partial y)).

Z toho vyplývá, že diferencovatelnost komponent a není dostatečná pro diferencovatelnost samotné funkce. $u$ $proti$

Kromě toho existují následující vlastnosti, které odlišují komplexní analýzu od skutečné analýzy [4] :

Každá komplexní funkce diferencovatelná v nějakém okolí bodu je derivovatelná neomezeně mnohokrát a je analytická , to znamená, že její Taylorova řada konverguje k dané funkci ve všech bodech tohoto okolí (v literatuře spolu s termínem analytická funkce , používají se i jeho synonyma „ holomorfní funkce “, „ regulární funkce “) ). $z$
( Liouvilleova věta ): Pokud je funkce diferencovatelná v celé komplexní rovině a není konstanta, pak její modul nemůže být omezen.
Obě složky diferencovatelné komplexní funkce jsou harmonické funkce , to znamená, že splňují Laplaceovu rovnici :

{\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné x^{2))}+{\frac {\částečné ^{2}u}{\částečné y^{2))}=0;\qquad {\frac {\částečné ^{2}v}{\částečné x^{2}}}+{\frac {\částečné ^{2}v}{\částečné y^{2}}}=0.

Jakákoli harmonická funkce může být reálnou i imaginární složkou diferencovatelné funkce. V tomto případě je druhá složka určena jednoznačně (z Cauchy-Riemannových podmínek), až do konstantního členu.

Každá diferencovatelná komplexní funkce je tedy funkcí tvaru , kde jsou vzájemně propojené harmonické funkce dvou argumentů. $u+iv$ $u,\;v$

Další vlastnosti

Nechť jsou funkce a diferencovatelné v oboru Then a jsou také diferencovatelné v tomto oboru. Pokud nezmizí v oblasti , pak bude diferencovatelná v Složení funkcí je diferencovatelné všude tam, kde je definováno. Pokud derivace funkce v oblasti nezanikne, pak existuje funkce k ní inverzní a bude derivovatelná. $f(z)$ $g(z)$ $G\subseteq \mathbb {C} .$ $f(z)\pm g(z)$ $f(z)\cdot g(z)$ $g(z)$ $G$ ${\frac {f(z)}{g(z)))$ $G.$ $f(g(z))$ $w=f(z)$ $G$ $z=\varphi (š)$

Derivace pro součet, rozdíl, součin, kvocient, složení funkcí a inverzní funkce se vypočítá pomocí stejných vzorců jako v reálné analýze.

Geometrický význam derivace

Každá komplexní funkce definuje nějaké zobrazení komplexní roviny se souřadnicemi na jinou komplexní rovinu se souřadnicemi . Zároveň výraz $w=f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)$ $(x,\;y)$ $(u,\;v)$

\left|{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\right|=k(h)

když je malý , může být geometricky interpretován jako faktor měřítka , který toto mapování provádí při pohybu z bodu do bodu . Existence limity , tedy modulu derivace , znamená, že faktor měřítka je v libovolném směru od bodu stejný , to znamená, že nezávisí na směru. Obecně řečeno, faktor měřítka se bod od bodu liší [5] . $h$ $z$ $z+h$ $\lim _{h\to 0}k(h)$ $|f^{\prvočíslo }(z)|=k$ $z$

Jestliže měřítko , pak v blízkosti bodu se vzdálenosti mezi body zvětšují a měřítko se nazývá faktor roztažení . Jestliže měřítko , pak v blízkosti bodu se vzdálenosti mezi body zmenšují a měřítko se nazývá kompresní faktor . Příklad pro funkci : v bodě je derivace 4, takže všechny délky se zčtyřnásobí. $k>1$ $z$ $k<1$ $z$ $f(z)=z^{2}+2z-1$ $z=1$

Pokud jde o argument derivace, určuje úhel natočení hladké křivky procházející daným bodem . Všechny hladké křivky jsou v tomto zobrazení natočeny o stejný úhel. Mapy, které zachovávají úhly, se nazývají konformní ; tedy jakákoli diferencovatelná komplexní funkce definuje konformní zobrazení (v oblasti, kde její derivace nezaniká) [6] . Tato skutečnost je spojena s rozšířeným používáním komplexních funkcí v kartografii a hydrodynamice [7] . $z$

Integrace

Integrace komplexních funkcí

Pojem primitivní komplexní funkce (neurčitý integrál) je zaveden stejným způsobem jako v reálném případě. Neexistuje však žádná analogie určitého integrálu v intervalu od do v komplexní rovině, protože cesta od počátečního bodu ke konečnému je nejednoznačná. Proto je hlavní formou komplexního integrálu křivočarý integrál , který závisí na konkrétní cestě. Níže uvedeme podmínky, za kterých integrál nezávisí na dráze, a pak lze integrál „z bodu do bodu“ správně definovat. $A$ $b$

Nechť rovnice , kde parametr t směřuje od nějaké počáteční hodnoty a ke konečné hodnotě b , definuje nějakou po částech hladkou křivku v komplexní rovině, vybavenou směrem, a funkce je definována v bodech této křivky. Směr, kterým se parametr pohybuje, určuje konkrétní průběh křivky: nezáleží na tom, která je větší - b nebo a . [8] Rozdělte parametrizační segment na stejné části $z=z(t),$ $\gamma$ $f(z)$ $n$ $t_{0},t_{1}\cdots t_{n-1},t_{n}\colon$

$a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b,$ jestliže a < b ;
nebo pokud a > b , $a=t_{0}>\ldots >t_{n}=b,$

a zvažte integrální součet:

\sum _{k=1}^{n}f{\big (}z(t_{k}){\big )}\cdot {\big (}z(t_{k})-z( t_{k-1}){\big )}.

Limita tohoto součtu, jak roste bez vazby, se nazývá (komplexní) integrál přes (orientovanou) křivku dané funkce ; označuje se to: $n$ $\gamma$ $f(z)$

\int _{\gamma }f(z)dz.

Pro libovolnou funkci kontinuální podél existuje tento integrál a lze jej vypočítat prostřednictvím obvyklého reálného integrálu přes parametr: $f(z)$ $\gamma$

\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{a}^{b}f(z(t))z'(t)dt=\int _{\gamma }(u~ dx-v~dy)+i\int _{\gamma }(v~dx+u~dy).

Zde jsou komponenty . Z tohoto znázornění je vidět, že vlastnosti komplexního integrálu jsou podobné vlastnostem skutečného křivočarého integrálu druhého druhu. $u,\;v$ $f(z)$

Obrysový integrál

Obzvláště praktické jsou integrály podél (uzavřené) kontury , to znamená podél hladké křivky po částech bez vlastních průsečíků , ve které se počáteční bod shoduje s koncovým bodem. Konturu lze obejít ve dvou směrech; kladný je směr, ve kterém se oblast ohraničená vrstevnicí nachází vlevo ve směru jízdy.

Pokud křivka tvoří uzavřený obrys, použije se pro integrál speciální označení: $\gamma$

\oint _{\gamma }f(z)dz.

Někdy šipka na kruhu ukazuje směr: ve směru nebo proti směru hodinových ručiček.

Existuje důležitá Cauchyho integrální věta : pro jakoukoli funkci , která je analytická v jednoduše spojené doméně, a pro jakoukoli uzavřenou smyčku je integrál nad ní roven nule: $f(z)$ $A\subseteq \mathbb {C} ,$ $\gamma \subseteq A$

{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)dz=0{.))

Důsledek: nechť je funkce analytická v jednoduše spojené oblasti a body z oblasti jsou spojeny nějakou křivkou . Pak integrál závisí pouze na bodech , ale ne na volbě křivky, která je spojuje , takže jej lze označit $f(z)$ $A\subseteq \mathbb {C} ,$ $z_{1},z_{2}$ $A$ $\gamma$ $\textstyle \int _{\gamma }f(z)dz$ $z_{1},z_{2}$ $\gamma$ $\textstyle \int \limits _{z_{1}}^{z_{2}}f(z)dz.$

Pokud jsou splněny podmínky Cauchyho věty, pak můžeme zavést pojem neurčitého integrálu pro . Za tímto účelem zafixujeme určitý bod uvnitř oblasti a vezmeme v úvahu integrál: $f(z)$ $z_{0}$

F(z)=\int _{z_{0}}^{z}{f(w)dw}.

Derivace je tedy , primitivní pro Rodina primitivních derivátů, které se liší konstantou (v závislosti na volbě ) tvoří neurčitý integrál. Newtonova-Leibnizova věta [9] platí : $F'(z)$ $f(z)$ $F(z)$ $f(z).$ $z_{0}$

\int _{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)\,dz}=F(z_{2})-F(z_{1}).

Existuje zobecnění Cauchyho integrální věty pro vícenásobně souvislou oblast: je-li funkce analytická v uzavřené vícenásobně spojené oblasti , pak její integrál přes vnější obrys oblasti je roven součtu integrálů přes všechny vnitřní obrysy (v stejný směr jako podél vnějšího) [10] . Toto zobecnění je vhodné použít, pokud definiční obor obsahuje singulární bod funkce (definice singulárního bodu níže ), kde funkce není analytická nebo není definována.

Další výkonné nástroje pro zkoumání komplexních a reálných integrálů:

Cauchyho integrální vzorec a jeho důsledky: princip maximálního modulu , věty o střední hodnotě ;
základní věta o zbytku .

Věty o jedinečnosti a analytické pokračování

Nula funkce je bod, ve kterém funkce zmizí: . $f(z)$ $z_{0}$ $f(z_{0})=0$

Věta o nulách analytické funkce . Jestliže nuly funkce , která je v definičním oboru analytická , mají limitní bod uvnitř , pak funkce zmizí všude v . $f(z)$ $D$ $D$ $f(z)$ $D$

Důsledek: je-li funkce analytická v definičním oboru a není v něm shodně nulová, pak v libovolné uzavřené uzavřené subdoméně může mít pouze konečný počet nul. $f(z)$ $D$ $C\subseteq D$

Věta o jednoznačnosti pro analytickou funkci. Nechť je nekonečná konvergentní posloupnost různých bodů definičního oboru . Pokud se dvě analytické funkce shodují ve všech bodech této posloupnosti, pak jsou shodně stejné v $\{z_n\}$ $D.$ $f(z),g(z)$ $D.$

Konkrétně, pokud se dvě analytické funkce shodují na nějaké po částech hladké křivce v , pak se shodují všude v . To znamená, že hodnoty analytické funkce i v malé oblasti domény zcela určují chování funkce v celé doméně její definice. Po zadání analytické funkce na křivce (například na reálné ose) jednoznačně určíme její rozšíření (pokud je to možné) do širší oblasti, která se nazývá analytické pokračování původní funkce. $D$ $D$

Všechny standardní analytické funkce - polynomiální , lineární zlomková funkce , mocninná funkce , exponenciální , goniometrické funkce , inverzní goniometrické funkce , logaritmus - umožňují analytické pokračování do komplexní roviny. Přitom pro jejich analytická pokračování budou platit stejné algebraické, diferenciální a jiné identity jako pro skutečný originál, například:

\sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}.

Rozšíření řady

Mocninná řada

Definice součtu číselných řad a znaků konvergence v komplexní analýze jsou prakticky stejné jako v reálné analýze, přičemž absolutní hodnota je nahrazena komplexním modulem; výjimkou jsou znaky konvergence, ve kterých dochází ke srovnání pro více či méně než prvky řad samotných, a nikoli jejich moduly.

Jakákoli funkce diferencovatelná v bodě expanduje v okolí tohoto bodu v Taylorově mocninné řadě : $z_{0}$

f(z)=\součet _{{n=0}}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}

Koeficienty řady se vypočítají pomocí obvyklých vzorců. Tato řada konverguje k funkci v nějaké kružnici o poloměru se středem v bodě , která slouží jako obdoba intervalu konvergence reálné řady. Řada v tomto kruhu absolutně konverguje a mimo něj se rozchází. V tomto případě jsou možné 3 případy. $f(z)$ $R$ $z_{0}$

Řada konverguje v kružnici o konečném a nenulovém poloměru.
Řada konverguje v celé komplexní rovině, tedy . Takové funkce se nazývají celá čísla . $R=\infty$
Řada konverguje pouze v bodě . Příklad: . Takové body se pro funkci nazývají singulární Nejednotné body se nazývají regulární . Vnitřek kružnice konvergence se skládá z pravidelných bodů. $z_{0}$ $\sum _{{n=0}}^{\infty }n!(z-z_{0})^{n}$ $z_{0}$ $f(z).$

Hranice kružnice konvergence obsahuje alespoň jeden singulární bod. Z toho vyplývá, že poloměr kružnice konvergence v bodě je roven vzdálenosti od singulárního bodu, který je k němu nejblíže. $z_{0}$ $z_{0}$

Abelův teorém : jestliže je poloměr kružnice konvergence mocninné řady, pak v libovolné kružnici se stejným středem, ale o menším poloměru řada konverguje rovnoměrně . $R$

Laurentova série

Je velmi praktický zájem studovat chování funkce v blízkosti izolovaného singulárního bodu , tj. bodu, v jehož blízkosti je funkce analytická, ale v bodě samotném buď není analytický, nebo není definován. Mocninná řada je zde k ničemu, a tak je představena obecnější Laurentova řada :

\sum _{{n=-\infty }}^{{\infty }}c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum _{{n=0}}^{{\ infty }}c_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {c_{{-n}}}{ (z-z_{0})^{n}}}

Pokud oblast konvergence Laurentovy řady není prázdná, pak jde o kruhový prstenec : . $r<|z-z_{0}|<R$

Hlavní věta : je-li funkce analytická v kruhovém kruhu, pak může být v tomto kruhu reprezentována konvergentní Laurentovou řadou, a to jednoznačně. $f(z)$

Pokud jde o mocninnou řadu, hranice kruhu konvergence jsou určeny rozložením singulárních bodů funkce. Na základě tvaru Laurentovy řady můžeme vyvodit některé závěry o chování funkce blízko bodu . $z_{0}$

Odnímatelný singulární bod : pokud Laurentova řada neobsahuje žádné prvky se zápornými mocnostmi . Pak je to jen mocninná řada definující funkci v nějakém kruhu obklopujícím . Součet řady v tomto kruhu je konečný a může se lišit pouze od bodu , takže stačí předefinovat , aby se funkce stala analytickou v celém kruhu. Platí následující kritérium: je-li funkce blízko analytická a ohraničená, pak jde o odstranitelný singulární bod. ${\displaystyle z-z_{0))$ $z_{0}$ $f(z)$ $z_{0}$ $f(z_{0})$ $z_{0}$ $z_{0}$
Pól : pokud Laurentova řada obsahuje konečný počet prvků se zápornými mocninami . V tomto případě je funkce v bodě nekonečná (modulo). ${\displaystyle z-z_{0))$ $z_{0}$
Esenciální singulární bod : jestliže Laurentova řada obsahuje nekonečný počet prvků se zápornými mocninami . V tomto případě nelze funkci v bodě správně definovat jako spojitou. ${\displaystyle z-z_{0))$ $z_{0}$

Aplikace v reálné analýze

S pomocí teorie reziduí , která je součástí TFKP, se počítá mnoho komplexních integrálů přes uzavřené obrysy.

Prostředky komplexní analýzy vysvětlují některé body, které nelze snadno interpretovat z hlediska materiálové analýzy. Vezměme si klasický příklad: funkci

f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}

je spojitá a nekonečně diferencovatelná na celé reálné čáře. Zvažte jeho sérii Taylor

{\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots

Tato řada konverguje pouze v intervalu , i když body nejsou speciální pro . $(-1;\;1)$ $\pm 1$ $f(x)$

Situace se vyjasní při přechodu na funkci komplexní proměnné , která má dva singulární body: . V souladu s tím lze tuto funkci rozšířit do Taylorovy řady pouze v kruhu . $f(z)={\frac {1}{1+z^{2}}}$ $\pm i$ $\Delta =\{z\dvojtečka |z|<1\}$

Historie

Základní práce v komplexní analýze je spojena se jmény Eulera , Riemanna , Cauchyho , Weierstrasse a mnoha dalších slavných matematiků. Teorie konformních zobrazení se začala rychle rozvíjet díky existujícím aplikacím v inženýrství, metody a výsledky komplexní analýzy se používají v analytické teorii čísel . Nový nárůst zájmu o komplexní analýzu je spojen s komplexní dynamikou a teorií fraktálů .

Viz také

Analytická funkce
Srážka (komplexní analýza)
Holomorfní funkce
Kvaternionová analýza
Komplexní čísla
Vícerozměrná komplexní analýza
monogenní funkce
Projektivně prodloužená skutečná čára je jednorozměrná analogie komplexní roviny, doplněná o bod bez znaménka v nekonečnu .

Poznámky

↑
Dvojité napětí je dáno podle následujících zdrojů:
- Velká sovětská encyklopedie , 3. vyd. (1973), svazek 12, str. 588, článek Komplexní čísla .
- Sovětský encyklopedický slovník (1982), s. 613, článek Komplexní číslo .
- Poslední vydání „Slovníku obtíží ruského jazyka“ (Rosenthal D. E., Telenkova M. A., Iris-press, 2005, s. 273) uvádí obě možnosti: „komplexní (komplexní) čísla“.
- Ve Velké ruské encyklopedii (svazek 14, 2010) jsou přízvuky nabízeny současně: Komplexní číslo (str. 691), ale Komplexní analýza (str. 695).
- Pravopisný slovník ruského jazyka (6. vydání, 2010), Gramatický slovník ruského jazyka, Ruský pravopisný slovník Ruské akademie věd , ed. V. V. Lopatina a řada dalších slovníků uvádí možnosti: „ komplexní “ a „ komplexní (matemat.)“.
↑ 1 2 Smirnov V.I., 2010 , s. 7-15..
↑ Sveshnikov A. G., Tichonov A. N. Teorie funkcí komplexní proměnné. Dekret. op., str. 20-21.
↑ 1 2 3 Smirnov V.I., 2010 , s. 15-22..
↑ Smirnov V.I., 2010 , s. 22-23.
↑ Smirnov V.I., 2010 , s. 24-25.
↑ Lavrentiev M. A., Shabat B. V. Problémy hydrodynamiky a jejich matematické modely . - M. : Nauka, 1973. (nepřístupný odkaz)
↑ Fikhtengolts, Grigorij Michajlovič . Kurz diferenciálního a integrálního počtu, kapitola 9, odstavec 2. . Získáno 8. června 2021. Archivováno z originálu dne 19. července 2020. (neurčitý)
↑ Matematika, její obsah, metody a význam (ve třech dílech). - Akademie věd SSSR, 1956. - T. 2. - S. 204-205. — 397 s.
↑ Smirnov V.I., 2010 , s. 33.

Literatura

Evgrafov M. A. Analytické funkce. - 2. vyd., přepracováno. a doplňkové — M .: Nauka , 1968. — 472 s.
Matematika 18. století // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Funkce komplexní proměnné. operační kalkul. Teorie stability. — M .: Nauka , 1981. — 304 s.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Metody teorie funkcí komplexní proměnné. - 4. vyd. — M .: Nauka , 1972 .
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Teorie funkcí komplexní proměnné. — M .: Nauka, 1967. — 304 s.
Smirnov V. I. Kurz vyšší matematiky ve třech svazcích. - Ed. 10. - Petrohrad. : BHV-Petersburg, 2010. - V. 3, část 2. — 816 s. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
Titchmarsh E. Teorie funkcí: Per. z angličtiny. - 2. vyd., přepracováno. — M .: Nauka , 1980. — 464 s.
Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu, ve třech svazcích. - M. : Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Shabat BV Úvod do komplexní analýzy. — M .: Nauka , 1969. — 577 s.

Odvětví matematiky

Portál "Věda"

Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky

Teorie čísel ( aritmetika )

Algebra
Elementární algebra	Řešení rovnice
Lineární algebra	Vektorový počet matrice Tenzorový počet Multilineární algebra
Obecná algebra	Komutativní algebra Teorie reprezentace Diferenciální algebra Homologická algebra Univerzální algebra Teorie kategorií

Analýza
Klasická analýza	Diferenciální počet Integrální počet
Teorie funkcí	Harmonická analýza Kvaternionová analýza Komplexní analýza teorie míry Teorie funkcí reálné proměnné funkční analýza Variační počet
Diferenciální a integrální rovnice	Dynamické systémy a ergodická teorie Diferenciální rovnice obyčejný v parciálních derivacích Integrální rovnice
Vektorová analýza Globální analýza Teorie katastrofy Vlastní analýza Hladká infinitezimální analýza

Geometrie a topologie
Geometrie	Algebraická geometrie Analytická geometrie Euklidovská geometrie Neeuklidovská geometrie Planimetrie Stereometrie
Topologie	Obecná topologie Algebraická topologie Diferenciální geometrie a topologie

Diskrétní matematika
Kombinatorika teorie grafů

Aplikovaná matematika
Matematická fyzika Matematická chemie matematická biologie Matematické statistiky Matematické modelování Teorie algoritmů Numerické metody matematická ekonomie finanční matematika Teorie pravděpodobnosti Operační výzkum Herní teorie

Portál "Matematika"
Kategorie "Matematika"

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velký Rus okolo světa Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4018935-1 J9U : 987007553156205171 LCCN : sh85052356 NKC : ph135388