Pythagorejská trojka

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. dubna 2022; kontroly vyžadují 10 úprav .

Pythagorova trojice je uspořádaná množina tří přirozených čísel , která splňují homogenní kvadratickou rovnici , která popisuje Pythagorovu větu . Říká se jim pythagorejská čísla . $x,\;y,\;z$ $x^{2}+y^{2}=z^{2}$

Trojúhelník s délkami stran tvořícími pythagorejskou trojici je pravoúhlý trojúhelník a nazývá se také pythagorejský .

Primitivní trojky

Vzhledem k tomu, že výše uvedená rovnice je homogenní , vynásobíme -li ji a stejným přirozeným číslem, získáme další pythagorejskou trojici. Pythagorejská trojka se nazývá primitivní , pokud ji nelze tímto způsobem získat z nějaké jiné pythagorejské trojky, tedy pokud se jedná o relativně prvočísla . Jinými slovy, největší společný dělitel primitivní pythagorejské trojky je 1. $X$ $y$ $z$ $(x,y,z)$ $x,\;y,\;z$ $(x,y,z)$

V primitivním triple , čísla a mají různé parity , a sudý je dělitelný 4 a je vždy lichý. $(x,y,z)$ $X$ $y$ $z$

Jakákoli primitivní pythagorejská trojice , kde je lichá a sudá, je jedinečně reprezentována ve formě pro některá přirozená koprimá čísla různé parity. $(x,y,z)$ $X$ $y$ $(m^{2}-n^{2},\;2mn,\;m^{2}+n^{2})$ $m>n$

Tato čísla lze vypočítat pomocí vzorců

{\begin{cases}m={\sqrt {\dfrac {z+x}{2))}={\dfrac ({\sqrt {z+y))+{\sqrt {zy))} {2)),\\n={\sqrt {\dfrac {zx}{2}}}={\dfrac {{\sqrt {z+y}}-{\sqrt {zy}}}{2}} .\end{cases}}

Naopak každá taková dvojice čísel definuje primitivní pythagorejskou trojici [1] . $(m,\;n)$ $(m^{2}-n^{2},\;2mn,\;m^{2}+n^{2})$

Příklady

Existuje 16 primitivních pythagorejských trojic s : $z\leqslant 100$

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

Ne všechny trojice s jsou primitivní, například (6, 8, 10) získáme vynásobením trojic (3, 4, 5) dvěma. Každá z trojic s malou přeponou tvoří dobře definovanou radiální přímku z více trojic v rozptylovém grafu. $z\leqslant 100$

Primitivní trojice s : $100<z\leqslant 300$

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)

Možné hodnoty v Pythagorejských trojicích tvoří sekvenci (sekvence A009003 v OEIS ) $z$

5, 10, 13, 15, 17, 20, 25, 26, 29, 30, 34, 35, 37, 39, 40, 41, 45, 50, …

Na základě vlastností Fibonacciho čísel je možné z těchto čísel sestavit například takové pythagorejské trojky:

x=F_{n}F_{n+3};\quad y=2F_{n+1}F_{n+2};\quad z=F_{n+1}^{2}+F_{ n+2}^{2}.

Historie

Nejznámější ve vyspělých starověkých kulturách byly tři (3, 4, 5), které umožňovaly starověku stavět pravé úhly. Vitruvius považoval tuto trojici za nejvyšší úspěch matematiky a Platóna - symbol manželství, což naznačuje velký význam, který starověci přikládali trojici (3, 4, 5).

V architektuře starověkých mezopotámských náhrobků se nachází rovnoramenný trojúhelník, složený ze dvou obdélníkových o stranách 9, 12 a 15 loket. Pyramidy faraona Snefrua (XXVII století před naším letopočtem) byly postaveny pomocí trojúhelníků o stranách 20, 21 a 29, stejně jako 18, 24 a 30 desítek egyptských loket.

Babylonští matematici věděli, jak vypočítat pythagorejské trojice. Babylonská hliněná tabulka , nazvaná Plimpton 322 , obsahuje patnáct pythagorejských trojic (přesněji patnáct dvojic čísel jako ). Předpokládá se, že tato deska byla vytvořena kolem roku 1800 před naším letopočtem. E. [2] $a,c$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Trojitá generace

Euklidův vzorec [3] je hlavním nástrojem pro konstrukci pythagorejských trojic. Podle něj pro libovolnou dvojici přirozených čísel a ( ) celých čísel $m$ $n$ $m>n$

{\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ b=2mn,\ c=m^{2}+n^{2))

tvoří pythagorejskou trojici. Trojice tvořené Euklidovým vzorcem jsou primitivní tehdy a jen tehdy, když jsou oba koprimé a liché. Jestliže a , a jsou liché, pak , a budou sudé a trojka není primitivní. Nicméně, dělení , a 2 dává primitivní trojnásobek if a are coprime [4] . $m$ $n$ $mn$ $m$ $n$ $A$ $b$ $C$ $A$ $b$ $C$ $m$ $n$

Jakákoli primitivní trojice se získá z jediného páru prvočísel a , z nichž jedno je sudé. Z toho vyplývá, že existuje nekonečně mnoho primitivních pythagorejských trojic. $m$ $n$

I když Euklidův vzorec generuje všechny primitivní trojice, negeneruje všechny trojice. Při přidání dalšího parametru se získá vzorec, který jedinečným způsobem generuje všechny pythagorejské trojúhelníky: $k$

a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ b=k\cdot (2mn),\ c=k\cdot (m^{2}+n^{2} ),

kde , a jsou přirozená čísla, , lichá a koprimá. $m$ $n$ $k$ $m>n$ $mn$ $m$ $n$

Že tyto vzorce tvoří pythagorejské trojice, lze ověřit dosazením do a kontrolou, že výsledek je stejný jako . Vzhledem k tomu, že libovolnou pythagorejskou trojici lze vydělit nějakými a získat tak primitivní trojici, lze libovolnou trojici jednoznačně vytvořit pomocí a k vytvoření primitivní trojice a poté ji vynásobit . $a^{2}+b^{2}$ $c^{2}$ $k$ $m$ $n$ $k$

Od dob Euklida bylo nalezeno mnoho vzorců pro generování tripletů.

Důkaz Euklidových formulí

Skutečnost, že čísla , , , splňující Euklidovu formuli, tvoří vždy pythagorejský trojúhelník, je zřejmá pro kladná celá čísla a , , protože po dosazení do vzorců , a budou kladná čísla, a také z toho, že $A$ $b$ $C$ $m$ $n$ $m>n$ $A$ $b$ $C$

a^{2}+b^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}+(2mn)^{2}=(m^{2}+n^ {2})^{2}=c^{2}.

Opačné tvrzení, že , , jsou vyjádřeny Euklidovým vzorcem pro libovolnou pythagorejskou trojici, vyplývá z následujícího [5] . Všechny takové trojice lze zapsat jako ( , , ), kde , a , , jsou coprime, a a mají opačnou paritu (jedna z nich je sudá, druhá lichá). (Pokud má stejnou paritu s oběma nohama, pak pokud jsou sudé, nebudou coprime, a pokud jsou liché , dá sudé číslo a nemůže se rovnat lichému .) Od dostaneme , a proto, . Pak . Protože je racionální, představujeme jej jako neredukovatelný zlomek . Odtud dostaneme, že zlomek je roven . Řešení rovnic $A$ $b$ $C$ $A$ $b$ $C$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $A$ $b$ $C$ $b$ $C$ $C$ $a^{2}+b^{2}$ $c^{2}$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $c^{2}-a^{2}=b^{2}$ $(ca)(c+a)=b^{2}$ $(c+a)/b=b/(ca)$ $(c+a)/b$ $m/n$ $(ca)/b$ $n/m$

{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{b}}={\frac {m}{n}},\ {\frac {c}{b}}-{\ frac {a}{b}}={\frac {n}{m}}

vzhledem k a , dostaneme $c/b$ $a/b$

{\frac {c}{b}}={\frac {m^{2}+n^{2}}{2mn)),\ {\frac {a}{b}}={\frac {m^{2}-n^{2}}{2mn}}.

Protože a jsou neredukovatelné předpokladem, budou si čitatelé a jmenovatelé rovni právě tehdy, když jsou pravé strany každé rovnosti neredukovatelné. Jak jsme se shodli, zlomek je také neredukovatelný, což znamená, že a jsou coprime. Pravé strany budou neredukovatelné právě tehdy a pouze tehdy , když budou mít opačnou paritu, takže čitatel není dělitelný 2. (A a musí mít opačnou paritu – obě nemohou být sudé kvůli neredukovatelnosti, a pokud jsou obě čísla lichá, dělení 2 dostane zlomek , v jehož čitateli a jmenovateli budou lichá čísla, ale tento zlomek je roven , ve kterém budou mít čitatel a jmenovatel různou paritu, což je v rozporu s předpokladem.) Nyní položíme rovnítko mezi čitatele a jmenovatelů, získáme euklidovský vzorec , , s a coprime as různou paritou . $c/b$ $a/b$ $m/n$ $m$ $n$ $m$ $n$ $m$ $n$ $(m^{2}+n^{2})/(2mn)$ $c/b$ $a=m^{2}-n^{2}$ $b=2mn$ $c=m^{2}+n^{2}$ $m$ $n$

Delší, ale obecněji přijímaný důkaz je uveden v knihách Maora (Maor, 2007) [6] a Sierpinského [7] .

Interpretace parametrů v Euklidově vzorci

Nechť strany Pythagorova trojúhelníku jsou , a . Označme úhel mezi nohou a přeponou jako . Pak [8] $m^{2}-n^{2}$ $2 min$ $m^{2}+n^{2}$ $m^{2}-n^{2}$ $m^{2}+n^{2}$ $\theta$

\operatorname {tg} \theta ={\frac {2mn}{m^{2}-n^{2}}},

\operatorname {tg} {\frac {\theta }{2}}={\frac {mn}{m+n}}.

Elementární vlastnosti primitivních pythagorejských trojic

Vlastnosti primitivní pythagorejské trojice ( a , b , c ) , kde a < b < c (bez určení , zda je a nebo b sudé ):

$(ca)(cb)/2$ je vždy dokonalý čtverec [9] . To je užitečné zejména pro kontrolu, zda je daná trojice čísel pythagorejská, i když to není dostatečná podmínka. Trojice (6, 12, 18) projde tímto testem, protože ( c − a )( c − b )/2 je dokonalý čtverec, ale tato trojice není pythagorejská. Pokud trojice čísel a , b a c tvoří pythagorejskou trojici, pak číslo ( c mínus sudá větev) a polovina čísla ( c mínus lichá větev) jsou dokonalé čtverce, ale to není dostatečná podmínka, a trojice (1, 8, 9) je protipříkladem, protože 1 2 + 8 2 ≠ 9 2 .
Maximálně jedno z čísel a , b a c je čtverec [10] .
Obsah pythagorejského trojúhelníku nemůže být čtverec [11] ani dvojnásobek čtverce [12] přirozeného čísla.
Právě jedno z čísel a a b je liché , c je vždy liché [13] .
Právě jedno z čísel a a b je dělitelné 3. [14]
Právě jedno z čísel a a b je dělitelné 4. [7]
Právě jedno z čísel a , b a c je dělitelné 5. [7]
Maximální číslo, které vždy dělí součin abc , je 60. [15]
Všechny prvočinitele c jsou prvočísla tvaru 4 n + 1 [16] . Takže c má tvar 4 n + 1 .
Číslo ( b − a ) je součin prvočísel ve tvaru 8 n ± 1 , to znamená, že nemá činitele jako 2, 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 43, 53 , 59, 61, 67, 83, 101, ...
Plocha ( K = ab /2 ) je sudé kongruentní číslo [17] .
V jakékoli pythagorejské trojici jsou poloměr vepsané kružnice a poloměry tří kružnic přirozená čísla. Konkrétně pro primitivní trojici je poloměr kružnice vepsané r = n ( m − n ) a poloměry kružnic tečné k ramenům m 2 − n 2 , 2 mn a přeponě m 2 + n 2 jsou v tomto pořadí m ( m - n ) , n ( m + n ) a m ( m + n ) [18] .
Stejně jako u každého pravoúhlého trojúhelníku platí, že převrácená hodnota Thalesovy věty říká, že průměr kružnice opsané je roven přeponě. Protože u primitivních trojic je průměr √ m 2 + n 2 , je poloměr kružnice opsané polovinou tohoto čísla a toto číslo je racionální, ale ne celé číslo (protože m a n mají různé parity).
Pokud se plocha pythagorejského trojúhelníku vynásobí zakřivením vepsané kružnice a tří kružnic, výsledkem jsou čtyři kladná celá čísla w > x > y > z . Tato čísla w , x , y , z splňují rovnici kartézských kružnic [19] . Poloměr vnější Soddyho kružnice libovolného pravoúhlého trojúhelníku je ekvivalentně roven jeho semiperimetru. Soddyho vnější střed se nachází v bodě D , kde ACBD je obdélník, ACB je pravoúhlý trojúhelník a AB je jeho přepona. [dvacet]
Neexistují žádné pythagorejské trojice, pro které jsou přepona a jedna z nohou nohy jiné pythagorejské trojice. Toto je jedna z formulací Fermatovy věty o pravoúhlém trojúhelníku [21] .
Každý primitivní Pythagorejský trojúhelník má jedinečný poměr plochy ke čtverci semi-obvodu (to znamená, že poměry pro různé primitivní trojúhelníky jsou různé) a tento poměr je [22] ${\frac {K}{s^{2}}}={\frac {n(mn)}{m(m+n)))=1-{\frac {c}{s}}.$
V žádném primitivním pythagorejském trojúhelníku není výška na základě přepony vyjádřena jako celé číslo, a proto ji nelze rozdělit na dva pythagorejské trojúhelníky. [23]

Kromě toho mohou existovat speciální pythagorejské trojice s některými dalšími vlastnostmi:

Jakékoli celé číslo větší než 2, které není shodné s 2 modulo 4 (jinými slovy, pokud je větší než 2 a nemá tvar 4 n + 2), je součástí primitivní pythagorejské trojky.
Jakékoli celé číslo větší než 2 je v primitivní nebo neprimitivní pythagorejské trojici. Například čísla 6, 10, 14 a 18 nejsou obsažena v žádné primitivní trojici, ale jsou zahrnuta v trojicích 6, 8, 10; 14, 48, 50 a 18, 80, 82.
Existuje nekonečně mnoho pythagorejských trojic, ve kterých se přepona a největší z nohou liší přesně o jednu (takové trojice jsou zjevně primitivní). Jedním ze způsobů, jak získat takové trojice, je rovnost (2 n + 1) 2 + [2 n ( n + 1)] 2 = [2 n ( n + 1) + 1] 2 , výsledkem čehož jsou trojnásobky (3, 4 , 5) , (5, 12, 13) , (7, 24, 25) , atd . Obecnější tvrzení: pro jakékoli liché celé číslo j existuje nekonečně mnoho primitivních pythagorejských trojic, ve kterých se přepona a sudá větev liší o j 2 .
Existuje nekonečně mnoho primitivních pythagorejských trojic, ve kterých se přepona a delší noha liší přesně o dvě. Zobecnění: Pro jakékoli celé číslo k > 0 existuje nekonečně mnoho primitivních pythagorejských trojic, ve kterých se přepona a lichá větev liší o 2 k 2 .
Existuje nekonečně mnoho pythagorejských trojic, ve kterých se dvě nohy liší přesně o jednu. Například 20 2 + 21 2 = 29 2 .
Pro libovolné přirozené číslo n existuje n pythagorejských trojic s různými přeponami a stejnou plochou.
Pro jakékoli přirozené číslo n existuje alespoň n různých pythagorejských trojic se stejnou nohou a , kde a je nějaké přirozené číslo
Pro jakékoli přirozené číslo n existuje alespoň n zřetelných pythagorejských trojic se stejnou přeponou. [24]
Existuje nekonečně mnoho pythagorejských trojic, jejichž druhé mocniny jsou přepona c a součet noh a + b . V nejmenší takové trojici [25] a = 4 565 486 027 761 ; b = 1061652293520 ; c = 4687298610289 . Zde a + b = 2 372 159 2 a c = 2 165 017 2 . V Euklidově vzorci tyto hodnoty odpovídají m = 2 150 905 an = 246 792 .
Existují pythagorejské trojúhelníky s celočíselnou výškou založenou na přeponě . Takové trojúhelníky jsou známé jako rozložitelné, protože je lze touto výškou rozložit na dva menší pythagorejské trojúhelníky. Žádný z lomených trojúhelníků není tvořen primitivní trojicí [26] .
Množina všech primitivních pythagorejských trojúhelníků tvoří přirozenou cestou kořenový ternární strom , viz Strom primitivních pythagorejských trojic .

Není známo, zda existují dvě různé pythagorejské trojice se stejným součinem jejich čísel [27] .

Geometrie Euklidova vzorce

Euklidův vzorec pro pythagorejskou trojici

{\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ b=2mn,\ c=m^{2}+n^{2))

lze chápat z hlediska geometrie racionálních bodů na jednotkové kružnici [28] . Nechť existuje trojúhelník s rameny a a b a přeponou c , kde a , b a c jsou kladná celá čísla. Podle Pythagorovy věty a 2 + b 2 = c 2 a po dělení obou stran c 2

\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=1.

Geometricky bod v kartézské rovině se souřadnicemi

x={\frac {a}{c)],\ y={\frac {b}{c))

leží na jednotkové kružnici x 2 + y 2 = 1 . V této rovnici jsou souřadnice x a y dány racionálními čísly. Naopak jakýkoli bod na kružnici s racionálními souřadnicemi x a y dává primitivní pythagorejský trojnásobek. Opravdu, zapišme x a y jako neredukovatelné zlomky :

x={\frac {a}{c)),\ y={\frac {b}{c)),

kde největší společný dělitel čísel a , b a c je 1. Protože bod se souřadnicemi x a y leží na jednotkové kružnici, pak

\left({\frac {a}{c}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{c}}\right)^{2}=1\implies a^ {2}+b^{2}=c^{2},

Q.E.D.

Existuje tedy korespondence mezi body s racionálními souřadnicemi na jednotkové kružnici a primitivními pythagorejskými trojúhelníky. Z toho lze získat Euklidovy vzorce trigonometrickými metodami nebo použitím stereografické projekce .

Chcete-li použít stereografický přístup, předpokládejme, že P′ je bod na ose x s racionálními souřadnicemi

P'=\left({\frac {m}{n)),0\right).

Potom pomocí algebraických výpočtů lze ukázat, že bod P má souřadnice

P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2 }+1)),{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right) ^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2 }}{m^{2}+n^{2}}}\vpravo).

Dostaneme tedy, že každý racionální bod osy x odpovídá racionálnímu bodu jednotkové kružnice. Nechť P ( x , y ) je naopak bod na jednotkové kružnici s racionálními souřadnicemi x a y . Pak má stereografická projekce P′ na osu x racionální souřadnice

\left({\frac {x}{1-y)),0\right).

Z hlediska algebraické geometrie je algebraická rozmanitost racionálních bodů na jednotkové kružnici biracionální k afinní přímce nad racionálními čísly. Jednotková kružnice se pak nazývá racionální křivka . Korespondence mezi racionálními body přímky a kružnice umožňuje dát explicitní parametrizaci (racionálních) bodů na kružnici pomocí racionálních funkcí.

Skupina pythagorejských trojic

Jakýkoli racionální bod na jednotkové kružnici odpovídá pythagorejské trojici ( a , b , c ) , přesněji zobecněné pythagorejské trojici, protože a a b mohou být nula a záporná.

Nechť jsou dány dva pythagorejské trojúhelníky ( a 1 , b 1 , c 1 ) a ( a 2 , b 2 , c 2 ) s úhly α a β . Pomocí vzorců pro sčítání úhlů můžete sestavit trojúhelníky s úhly α ± β :

{\frac {a}{c}}=\sin(\alpha \pm \beta )=\sin(\alpha )\cdot \cos(\beta )\pm \cos(\alpha )\cdot \ sin(\beta )={\frac {a_{1}b_{2}\pm b_{1}a_{2}}{c_{1}c_{2}}},

{\frac {b}{c}}=\cos(\alpha \pm \beta )=\cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )\mp \sin(\alpha )\cdot \ sin(\beta )={\frac {b_{1}b_{2}\mp a_{1}a_{2}}{c_{1}c_{2}}}.

Tyto pravoúhlé trojúhelníky budou také celočíselné, tedy pythagorejské. Pomocí výše uvedených vzorců můžete zadat operaci na trojicích. Tato operace bude komutativní a asociativní, tedy zobecněné pythagorejské trojice tvoří abelovskou grupu [29] .

Pythagorejské trojice na dvourozměrné mřížce

Dvourozměrná mřížka je množina izolovaných bodů, ve kterých, pokud je jeden bod vybrán jako počátek (0, 0), všechny ostatní body mají souřadnice ( x , y ) , kde x a y procházejí všemi kladnými a zápornými celými čísly. . Libovolnou pythagorejskou trojici ( a , b , c ) lze nakreslit na dvourozměrnou mřížku jako body se souřadnicemi ( a , 0) a (0, b ) . Podle Pickovy věty je počet bodů mřížky ležících striktně uvnitř trojúhelníku dán vzorcem [30] . U primitivních pythagorejských trojic je počet bodů mřížky , a to je srovnatelné s plochou trojúhelníku $[(a-1)(b-1)-\gcd(a,b)+1]/2$ $(a-1) (b-1)/2$ $ab/2.$

Je zajímavé, že první případ shody oblastí primitivních pythagorejských trojic se objevuje na trojicích (20, 21, 29), (12, 35, 37) o ploše 210 [31] . První výskyt primitivních pythagorejských trojic se stejným počtem bodů mřížky se objevuje pouze na ( 18 108 , 252 685 , 253 333 ), ( 28 077 , 162 964 , 165 365 ) s počtem bodů 7 67 28 28 . Byly nalezeny tři primitivní pythagorejské trojice se stejnými plochami (4485, 5852, 7373), (3059, 8580, 9109), (1380, 19 019 , 19 069 ) a oblastí 13 123 110 . Přesto nebyla dosud nalezena ani jedna trojice primitivních pythagorejských trojic se stejným počtem bodů mřížky.

Spinors a modulární skupina

Pythagorejské trojice mohou být reprezentovány jako matice formuláře

X={\begin{bmatrix}c+b&a\\a&c-b\end{bmatrix}}.

Tento typ matice je symetrický . Navíc její determinant

{\displaystyle \det X=c^{2}-a^{2}-b^{2))

je nula přesně tehdy, když ( a , b , c ) je pythagorejská trojka. Pokud X odpovídá pythagorejské trojici, pak musí mít hodnost 1.

Protože X je symetrické, z lineární algebry je známo , že existuje vektor ξ = [ m n ] T takový, že vnější součin vyhovuje

X=2{\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}m&n\end{bmatrix}}=2\xi \xi ^{T},

(jeden)

kde T znamená transponovat . Vektor ξ se nazývá spinor (pro Lorentzovu grupu SO(1, 2). Abstraktně Euklidova formule znamená, že každou primitivní pythagorejskou trojici lze zapsat jako vnější součin spinora s celočíselnými prvky, jako ve vzorci (1 ).

Modulární skupina Γ je množina matic 2 × 2 s celočíselnými položkami

A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}

a determinant rovný jedné: αδ − βγ = 1 . Tato množina tvoří grupu , protože inverzní matice z Γ je opět matice z Γ , stejně jako součin dvou matic z Γ . Modulární skupina působí na množinu všech celočíselných spinorů. Navíc je grupa tranzitivní na množině celočíselných spinorů s koprimovými prvky. Pokud [ m n ] T obsahuje prvky coprime, pak

{\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\\n\end {bmatrix}},

kde u a v jsou vybrány (pomocí Euklidova algoritmu ) tak, že mu + nv = 1 .

Působením na spinor ξ v (1) přechází akce v Γ na akci na pythagorejské trojice, zatímco umožňuje trojice se zápornými hodnotami. Jestliže A je matice v Γ , pak

{\displaystyle 2(A\xi )(A\xi )^{T}=AXA^{T))

(2)

dává vzniknout operacím s maticí X v (1). To nedává dobře definovanou akci na primitivních trojicích, protože může trvat primitivní trojici na neprimitivní. V tomto bodě je zvykem (po Trautmanovi [28] ) volat trojitý ( a , b , c ) standard , pokud c > 0 a buď ( a , b , c ) jsou coprime nebo ( a /2, b /2, c / 2) jsou koprimové a a /2 je liché. Pokud má spinor [ m n ] T koprimové prvky, pak přidružená trojice ( a , b , c ) daná vzorcem (1) je standardní trojka. To znamená, že působení modulární skupiny je tranzitivní na množině standardních trojic.

Alternativně se omezíme na ty hodnoty m a n , pro které je m liché a n je sudé. Nechť podgrupa Γ (2) grupy Γ je jádrem homomorfismu

\Gamma =\mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} _{2}),

kde SL(2, Z 2 ) je speciální lineární grupa nad konečným tělesem Z 2 celých čísel modulo 2 . Pak Γ (2) je skupina unimodulárních transformací, která zachovává paritu každého prvku. Je-li tedy prvek vektoru ξ lichý a druhý prvek sudý, pak totéž platí pro Aξ pro všechna A ∈ Γ(2) . Ve skutečnosti při působení (2) skupina Γ (2) působí tranzitivně na množinu primitivních pythagorejských trojic [33] .

Grupa Γ (2) je volná grupa , jejímž generátorem jsou matice

U={\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix)),\qquad L={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix)).

Proto lze libovolnou primitivní pythagorejskou trojici jednoznačně získat jako součin kopií matic U a L .

Vztahy mezi rodiči a dětmi

Jak ukázal Berggren [34] , všechny primitivní pythagorejské trojice lze získat z trojúhelníku (3, 4, 5) pomocí tří lineárních transformací T1, T2, T3, kde a , b , c jsou strany trojice:

	nová strana a	nová strana b	nová strana c
T1:	a − 2 b + 2 c	2 a − b + 2 c	2a − 2b + 3c _
T2:	a + 2 b + 2 c	2a + b + 2c _	2a + 2b + 3c _
T3:	− a + 2 b + 2 c	−2 a + b + 2 c	−2 a + 2 b + 3 c

Pokud začnete s 3, 4, 5, pak budou nakonec získány všechny ostatní primitivní trojice. Jinými slovy, jakákoli primitivní trojice bude „rodičem“ 3 dalších primitivních trojic. Pokud začneme s a = 3, b = 4 a c = 5, pak další generace trojic bude

nová strana a	nová strana b	nová strana c
3 − (2×4) + (2×5) = 5	(2×3) − 4 + (2×5) = 12	(2×3) − (2×4) + (3×5) = 13
3 + (2x4) + (2x5) = 21	(2x3) + 4 + (2x5) = 20	(2x3) + (2x4) + (3x5) = 29
−3 + (2×4) + (2×5) = 15	−(2×3) + 4 + (2×5) = 8	−(2×3) + (2×4) + (3×5) = 17

Lineární transformace T1, T2 a T3 mají geometrickou interpretaci v jazyce kvadratických forem. Jsou blízce příbuzné (ale ne ekvivalentní) s odrazy generovanými ortogonální grupou x 2 + y 2 − z 2 přes celá čísla. O další sadě tří lineárních transformací pojednává článek Generování pythagorejských trojic pomocí matic a lineárních transformací [35] .

Vztah s Gaussovými celými čísly

Euklidovy vzorce lze analyzovat a dokázat pomocí Gaussových celých čísel [36] . Gaussova celá čísla jsou komplexní čísla tvaru α = u + vi , kde u a v jsou regulární celá čísla a i je odmocnina z mínus jedna . Jednotky Gaussových celých čísel jsou ±1 a ±i. Obyčejná celá čísla se nazývají celá čísla a značí se Z . Gaussova celá čísla se označují Z [ i ]. Pravou stranu Pythagorovy věty lze rozložit na Gaussova celá čísla:

c^{2}=a^{2}+b^{2}=(a+bi)\overline {(a+bi)}=(a+bi)(a-bi).

Primitivní pythagorejská trojice je trojice, ve které a a b jsou koprimá , to znamená, že nemají žádné společné prvočíslo. U takových trojic je buď a nebo b sudé a druhé liché. Z toho vyplývá, že c je také liché.

Každý ze dvou faktorů z = a + bi a z* = a - bi primitivní pythagorejské trojky je roven druhé mocnině Gaussova celého čísla. To lze dokázat pomocí vlastnosti, že libovolné gaussovské celé číslo lze jednoznačně rozložit na gaussovská prvočísla až do jedné [37] . (Jedinečnost expanze, zhruba řečeno, vyplývá ze skutečnosti, že pro ně lze definovat verzi Euklidova algoritmu .) Důkaz má tři kroky. Za prvé, je dokázáno, že jestliže a a b nemají žádná prvočísla v celých číslech, pak nemají žádné prvočíselné společné faktory v Gaussových celých číslech. To znamená, že z a z* nemají společné prvočinitele v gaussovských celých číslech. A konečně, protože c 2 je čtverec, každé Gaussovo prvočíslo v expanzi se opakuje dvakrát. Protože z a z* nemají společný prvočíslo, platí toto zdvojení i pro ně. Proto z a z* jsou čtverce.

První faktor lze tedy zapsat jako

a+bi=\varepsilon \left(m+ni\right)^{2},\quad \varepsilon \in \{\pm 1,\pm i\}.

Reálné a imaginární části této rovnice dávají dva vzorce:

{\begin{cases}\varepsilon =+1,&\quad a=+\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=+2mn;\\\varepsilon =-1 ,&\quad a=-\left(m^{2}-n^{2}\right),\quad b=-2mn;\\\varepsilon =+i,&\quad a=-2mn,\quad b=+\left(m^{2}-n^{2}\right);\\\varepsilon =-i,&\quad a=+2mn,\quad b=-\left(m^{2} -n^{2}\right).\end{cases}}

Pro jakoukoli primitivní pythagorejskou trojici musí existovat celá čísla m a n taková, že tyto dvě rovnosti platí. Výběrem těchto celých čísel lze tedy získat libovolnou pythagorejskou trojici.

Jako plný čtverec Gaussových celých čísel

Vezmeme-li druhou mocninu Gaussova celého čísla, dostaneme následující výklad Euklidových vzorců jako reprezentaci celé druhé mocniny Gaussových celých čísel.

(m+ni)^{2}=(m^{2}-n^{2})+2mni.

S využitím skutečnosti, že Gaussova celá čísla jsou euklidovským oborem a že pro Gaussova celá čísla p je druhá mocnina modulu vždy dokonalým čtvercem, lze ukázat, že Pythagorovy trojice odpovídají čtvercům prvočíselných Gaussových celých čísel, pokud je přepona prvočíslo. číslo. $|p|^{2}$

Rozdělení tripletů

Existuje mnoho výsledků o rozdělení pythagorejských trojic. V bodovém grafu jsou některé zřejmé vzory. Pokud se v diagramu objeví větve ( a , b ) primitivní trojice, pak musí být v diagramu také všechny součiny podle celého čísla těchto větví a tato vlastnost vysvětluje vzhled radiálních čar od počátku v diagramu.

Diagram ukazuje mnoho parabol s vysokou hustotou bodů, které mají ohniska v počátku. Paraboly se od os odrážejí pod úhlem 45 stupňů a ve stejném bodě se k ose kolmo přibližuje třetí parabola.

Tyto vzorce lze vysvětlit následovně. Je-li přirozené číslo, pak ( a , , ) je pythagorejská trojka. (Ve skutečnosti lze takto zapsat jakoukoli pythagorejskou trojici ( a , b , c ) s celým číslem n , možná po záměně a a b , protože obě a a b nemohou být současně liché.) Pythagorejské trojice pak leží na křivky dané rovnicemi . Paraboly se tedy odrážejí od osy a a odpovídající křivky s a a b jsou zaměněny. Pokud se a mění pro dané n (tj. na zvolené parabole), celočíselné hodnoty b se objevují relativně často, pokud n je čtverec nebo součin čtverce a malého čísla. Pokud některé takové hodnoty leží blízko sebe, odpovídající paraboly se téměř shodují a trojice tvoří úzké parabolické pásmo. Například 38 2 = 1444, 2 × 27 2 = 1458, 3 × 22 2 = 1452, 5 × 17 2 = 1445 a 10 × 12 2 = 1440. Odpovídající parabolická stuha kolem n ≈ 1450 je jasně viditelná bodový diagram. $a^{2}/4n$ $|na^{2}/4n|$ $n+a^{2}/4n$ $n=(b+c)/2$ $b=|na^{2}/4n|$

Výše popsané úhlové vlastnosti bezprostředně vyplývají z funkční formy parabol. Paraboly se odrážejí od osy a v bodě a = 2 n a derivace b vzhledem k a v tomto bodě je rovna −1. Úhel sklonu je tedy 45°. Protože se shluky, stejně jako trojúhelníky, při vynásobení celočíselnou konstantou opakují, patří do shluku také hodnota 2 n . Odpovídající parabola protíná osu b v pravém úhlu v bodě b = 2 n , a je tedy symetrickým odrazem paraboly, který se získá výměnou proměnných a a b a který protíná osu a v pravém úhlu . v bodě a = 2 n .

Albert Fässler et al., ukázali význam těchto parabol v kontextu konformního zobrazení [38] [39] .

Zvláštní příležitosti

Platónova sekvence

Případ n = 1 obecné konstrukce pythagorejských trojic je již dlouho znám. Proclus ve svém komentáři k 47. výroku v první knize Euklidova Principia to popisuje takto:

Některé metody pro získání takových trojúhelníků tohoto druhu lze snadno získat, jedna z nich patří Platónovi , druhá Pythagorovi . (Poslední) začínalo lichými čísly. K tomu zvolil liché číslo jako nejmenší z nohou. Pak to odmocnil, odečetl jedničku a polovinu tohoto rozdílu použil jako druhou větev. Nakonec přidal jednu k této noze a dostal přeponu.

…Platónova metoda pracuje se sudými čísly. Jako jednu z nohou používá dané sudé číslo. Polovina tohoto čísla se umocní na druhou a jedna se přidá, aby se získala přepona, a odečtením jedné se získá druhá větev. ... A to dává stejný trojúhelník jako druhá metoda.

Ve formě rovnic:

a je liché (Pythagoras, 540 př.nl): $a:b={\frac {a^{2}-1}{2}}:c={\frac {a^{2}+1}{2}}.$
a je sudé (Platón, 380 př.nl): $a:b=\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}-1:c=\left({\frac {a}{2}}\right)^{ 2}+1.$

Lze ukázat, že všechny pythagorejské trojice jsou získány z platónské posloupnosti ( x , y , z ) = p , ( p 2 − 1)/2 a ( p 2 + 1)/2, pokud p může mít necelé číslo. (racionální) hodnoty. Pokud je v této posloupnosti p nahrazeno racionálním zlomkem m / n , dostaneme „standardní“ generátor trojic 2 mn , m 2 − n 2 a m 2 + n 2 . Z toho vyplývá, že každé trojici odpovídá racionální hodnota p , kterou lze použít k získání podobného trojúhelníku s racionálními stranami úměrnými stranám původního trojúhelníku. Například platónský ekvivalent trojice (6, 8, 10) by byl (3/2; 2, 5/2).

Jacobi-Maddenova rovnice

Rovnice

a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}

je ekvivalentní speciální diofantické trojici

(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+(c^{2}+cd+d^{2})^{2}=((a+b)^ {2}+(a+b)(c+d)+(c+d)^{2})^{2}.

Existuje nekonečné množství řešení této rovnice, která lze získat pomocí eliptické křivky . Dvě z těchto řešení:

a,b,c,d=-2634,955,1770,5400,

a,b,c,d=-31764,7590,27385,48150.

Stejné součty dvou čtverců

Jedním ze způsobů, jak generovat řešení pro , je parametrizovat a , b , c , d pomocí přirozených čísel m , n , p , q takto: [40] ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2))$

(m^{2}+n^{2})(p^{2}+q^{2})=(mp-nq)^{2}+(np+mq)^{2}= (mp+nq)^{2}+(np-mq)^{2}.

Stejné součty dvou čtvrtých mocnin

Jsou dány dvě sady pythagorejských trojic:

(a^{2}-b^{2})^{2}+(2ab)^{2}=(a^{2}+b^{2})^{2},

(c^{2}-d^{2})^{2}+(2cd)^{2}=(c^{2}+d^{2})^{2},

pak problém nalezení stejných produktů nohy a přepony

(a^{2}-b^{2})(a^{2}+b^{2})=(c^{2}-d^{2})(c^{2}+ d^{2}),

jak je snadno vidět, je ekvivalentní rovnici

a^{4}-b^{4}=c^{4}-d^{4},

pro který Euler získal řešení . Protože ukázal, že tento bod je racionálním bodem na eliptické křivce , existuje nekonečné množství řešení. Ve skutečnosti také našel polynomickou parametrizaci 7. stupně. $a,b,c,d=133,59,158,134$

Descartova věta o kružnici

V případě Descartovy věty , kdy jsou všechny proměnné čtverce,

2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d ^{2})^{2}.

Euler ukázal, že to je ekvivalent tří pythagorejských trojic:

(2ab)^{2}+(2cd)^{2}=(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2},

(2ac)^{2}+(2bd)^{2}=(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2},

(2ad)^{2}+(2bc)^{2}=(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})^{2}.

I zde existuje nekonečné množství řešení a pro speciální případ se rovnice zjednoduší na $a+b=c$

4(a^{2}+ab+b^{2})=d^{2},

který má řešení s malými čísly a lze jej vyřešit jako binární kvadratický tvar . $a,b,c,d=3,5,8,14$

Téměř rovnoramenné pythagorejské trojice

Existují pravoúhlé trojúhelníky s celočíselnými stranami, ve kterých se délky nohou liší o jednu, například:

3^{2}+4^{2}=5^{2},

20^{2}+21^{2}=29^{2}

a nekonečné množství dalších. Pro ně můžeme odvodit obecný vzorec

\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{2}=y ^{2},

kde ( x , y ) jsou řešení Pellovy rovnice . $x^{2}-2y^{2}=-1$

V případě, kdy se noha a přepona liší o jednu, jako v případech

5^{2}+12^{2}=13^{2},

7^{2}+24^{2}=25^{2},

obecné řešení by bylo

(2m+1)^{2}+(2m^{2}+2m)^{2}=(2m^{2}+2m+1)^{2},

odkud je vidět, že všechna lichá čísla (větší než 1) se objevují v primitivních pythagorejských trojicích.

Zobecnění

Existuje několik možností, jak zobecnit koncept pythagorejských trojic.

Pythagorejské čtyřky

Množina čtyř přirozených čísel a , b , c a d takových , že a 2 + b 2 + c 2 = d 2 se nazývá pythagorejská čtveřice . Nejjednodušší příklad je (1, 2, 2, 3), protože 1 2 + 2 2 + 2 2 = 3 2 . Další (primitivní) nejjednodušší příklad je (2, 3, 6, 7), protože 2 2 + 3 2 + 6 2 = 7 2 .

Všechny čtyři jsou dány vzorcem

(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}+(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{2}= (m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}.

Pythagorejské n -množiny

Použití jednoduché algebraické identity

(x_{1}^{2}-x_{0})^{2}+(2x_{1})^{2}x_{0}=(x_{1}^{2}+x_{ 0})^{2}

pro libovolné x 0 , x 1 lze snadno dokázat, že druhá mocnina součtu n čtverců je sama součtem n čtverců, pro které položíme x 0 = x 2 2 + x 3 2 + … + x n 2 a roztáhněte závorky [41] . Lze snadno vidět, že pythagorejské trojky a čtveřice jsou pouze speciální případy x 0 = x 2 2 a x 0 = x 2 2 + x 3 2 , v nichž lze pokračovat pro další n pomocí vzorce s pěti čtverci

(a^{2}-b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}+(2ab)^{2}+(2ac)^{2}+( 2ad)^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}.

Protože součet F ( k , m ) k po sobě jdoucích čtverců počínaje m 2 je dán vzorcem [42]

F(k,m)=km(k-1+m)+{\frac {k(k-1)(2k-1)}{6)),

lze najít hodnoty ( k , m ) takové, že F ( k , m ) je čtverec. Hirshhorn tak našel vzorec pro posloupnosti, ve kterých je počet členů sám o sobě čtverec [43] ,

m={\frac {v^{4}-24v^{2}-25}{48)),k=v^{2},\ F(m,k)={\frac {v^ {5}+47v}{48}}

a v ⩾ 5 je libovolné přirozené číslo nedělitelné 2 nebo 3. Nejmenší hodnota je v = 5, odkud k = 25, což dává dobře známou hodnotu z Lucasova problému se skladováním dělové koule:

0^{2}+1^{2}+2^{2}+\dots +24^{2}=70^{2},

skutečnost, která souvisí s mřížkou Leach .

Navíc, pokud v pythagorejské n -tice ( n ⩾ 4) jsou všechny členy po sobě jdoucí přirozená čísla, kromě posledního, lze použít rovnost [44]

F(k,m)+p^{2}=(p+1)^{2}.

Protože se druhá mocnina p ruší, zůstává lineární rovnice, kterou lze snadno vyřešit , ačkoli k a m musí být zvoleny tak, že p je celé číslo a příklad získáme s k = 5 a m = 1: $p=(F(k,m)-1)/2$

1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+27^{2}=28^{2}.

Získáme tedy metodu pro generování pythagorejských n -tic výběrem x [45] :

x^{2}+(x+1)^{2}+\dots +(x+q)^{2}+p^{2}=(p+1)^{2},

kde q = n − 2 a

p={\frac {1}{2}}\left((q+1)x^{2}+q(q+1)x+{\frac {q(q+1)(2q+1 )}{6}}-1\vpravo).

Fermatova poslední věta

Zobecněním konceptu pythagorejských trojic je hledání trojic přirozených čísel a , b a c takových, že a n + b n = c n pro nějaké n větší než 2. Pierre de Fermat v roce 1637 prohlásil, že žádné takové trojice neexistují a toto tvrzení se stalo známým jako Fermatův poslední teorém , protože jeho potvrzení nebo vyvrácení trvalo mnohem déle, než kterékoli z jiných Fermatových hypotéz. První důkaz podal Wiles v roce 1994.

n - 1 nebo n -tá mocnina jako n- tá mocnina

Dalším zobecněním je najít posloupnosti n + 1 přirozených čísel, pro které je n-tá mocnina posledního členu posloupnosti rovna součtu n-tých mocnin předchozích členů. Nejmenší posloupnosti pro známé hodnoty n jsou:

n = 3: {3, 4, 5; 6}.
n = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
n = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
n = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
n = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

V trochu jiném zobecnění se součet ( k + 1) n-tých mocnin rovná součtu ( n − k ) n-tých mocnin. Například:

( n = 3): 13 + 123 = 93 + 103 . Příklad se proslavil po Hardyho vzpomínce na rozhovor s Ramanujanem o čísle 1729, což je nejmenší číslo, které lze vyjádřit jako součet dvou kostek dvěma různými způsoby.

Může také existovat n − 1 n- tá mocnina přirozených čísel sčítaná s n-tou mocninou přirozeného čísla (ačkoli podle Fermatovy poslední věty ne pro n = 3). Tyto sekvence jsou protipříklady k Eulerově domněnce . Nejméně známé protipříklady [46] [47]

n = 4: (95800, 217519, 414560; 422481)
n = 5: (27, 84, 110, 133; 144)

Trojice Heronova trojúhelníku

Heronův trojúhelník je obvykle definován jako trojúhelník s celočíselnými stranami, jejichž obsah je také celé číslo, a budeme předpokládat, že strany trojúhelníku jsou odlišné . Délky stran takového trojúhelníku tvoří Heronovu trojici ( a, b, c ), kde a < b < c . Je jasné, že pythagorejské trojice jsou heronské trojice, protože v pythagorejské trojici je alespoň jedna z větví a a b sudé číslo, takže plocha trojúhelníku ab /2 bude celé číslo. Ne každá trojice Volavky je pythagorejská, protože například trojka (4, 13, 15) s oblastí 24 není pythagorejská.

Jestliže ( a , b , c ) je Heronův trojnásobek, pak bude i ( ma , mb , mc ) pro jakékoli přirozené m větší než jedna. Heronská trojice ( a , b , c ) je primitivní , jestliže a , b a c jsou párové souřadnicové (jako je tomu u pythagorejských trojic). Níže je několik heronských trojic, které nejsou pythagorejské:

(4, 13, 15) o rozloze 24, (3, 25, 26) s oblastí 36, (7, 15, 20) s oblastí 42, (6, 25, 29) s oblastí 60, (11, 13, 20) s oblastí 66, (13, 14, 15) s oblastí 84, (13, 20, 21) o rozloze 126.

Podle Heronova vzorce , aby trojice přirozených čísel ( a , b , c ) s a < b < c byla Heronova trojice, je nutné, aby

( a 2 + b 2 + c 2 ) 2 − 2 ( a 4 + b 4 + c 4 )

nebo, což je totéž,

2 ( a 2 b 2 + a 2 c 2 + b 2 c 2 ) − ( a 4 + b 4 + c 4 )

byl nenulový dokonalý čtverec dělitelný 16.

Použití

Primitivní pythagorejské trojice se používají v kryptografii jako náhodné sekvence a pro generování klíčů [48] .

Viz také

Poznámky

↑ V. Serpinsky . Pythagorejské trojúhelníky. - M .: Uchpedgiz, 1959. - 111 s.
↑ Robson, Eleanor (únor 2002), Slova a obrázky: nové světlo na Plimpton 322 , American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) . — V. 109(2): 105–120, doi : 10.2307/2695324 , < http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Robson105-120.pdf > Archivováno kopie ze dne 10. srpna 2017 na Wayback Machine
↑ D.E. Joyce. Euklidovy prvky. - Clark University, červen 1997. - C. Kniha X, Proposition XXIX .
↑ Douglas W. Mitchell. Alternativní charakterizace všech primitivních pythagorejských trojic // The Mathematical Gazette. - Červenec 2001. - T. 85 , no. 503 . — S. 273–5 . — .
↑ Raymond A. Beauregard, E. R. Suryanarayan. Důkazy beze slov: Více cvičení vizuálního myšlení / Roger B. Nelsen. - Mathematical Association of America , 2000. - Svazek II . - S. 120 . - ISBN 978-0-88385-721-2 .
↑ Eli Major. Pythagorova věta . - Princeton University Press, 2007. - C. Příloha B.
↑ 1 2 3 Sierpinski, 2003 .
↑ Houston, 1993 , s. 141.
↑ Posamentier, 2010 , s. 156.
↑ Neexistence řešení, ve kterém a i b jsou čtverce, původně dokázané Pierrem de Fermatem . Další případy, kdy c je jedním ze čtverců, viz Stillwellova kniha.
↑ Carmichael, 1959 , str. 17.
↑ Carmichael, 1959 , str. 21.
↑ Sierpinski, 2003 , str. 4-6.
↑ Sierpinski, 2003 , str. 23-25.
↑ MacHale, Bosch, 2012 , str. 91-96.
↑ Sally, 2007 , str. 74-75.
↑ Vyplývá to z toho, že jedno z čísel a nebo b je dělitelné čtyřmi, a z definice kongruentních čísel jako obsahů pravoúhlých trojúhelníků s racionálními stranami
↑ Baragar, 2001 , str. 301, cvičení 15.3.
↑ Bernhart, Cena, 2005 .
↑ Bernhart, Cena, 2005 , s. 6.
↑ Carmichael, 1959 , str. čtrnáct.
↑ Rosenberg, Spillane, Wulf, květen 2008 , str. 656-663.
↑ Paul Yiu, 2008 .
↑ Sierpinski, 2003 , str. 31.
↑ Pickover, 2009 , str. 40.
↑ Paul Yiu, 2008 , str. 17.
↑ Weisstein, Eric W. Pythagorejská trojka na webu Wolfram MathWorld .
↑ 12 Trautman , 1998 .
↑ Eckert, 1984 .
↑ Paul Yiu, 2003 .
↑ Sekvence A093536 v OEIS .
↑ Sekvence A225760 v OEIS .
↑ Alperin, 2005 .
↑ Berggren, 1934 .
↑ Další diskuse o vztahu rodič-dítě – Pythagorejský trojitý (Wolfram) Archivováno 17. března 2015 na Wayback Machine , Alperin, 2005 .
↑ Stillwell, 2002 , str. 110–2 Kapitola 6.6 Pythagorejské trojky.
↑ Gauss, 1832 Viz také Werke , 2 :67-148.
↑ Předtisk z roku 1988 Archivováno 9. srpna 2011 na Wayback Machine Viz obrázek 2 na str. 3. Toto bylo později publikováno v ( Fässler 1991 )
↑ Benito, Varona, 2002 , str. 117–126.
↑ Nahin, Paul. Imaginární příběh: Příběh p. 25-26. ${\sqrt {-1}),$
↑ Sbírka algebraických identit: Součty n čtverců . Získáno 15. března 2015. Archivováno z originálu 6. března 2012. (neurčitý)
↑ Součet po sobě jdoucích kostek se rovná kostce (sestupná linka) . Archivováno z originálu 15. května 2008. (neurčitý)
↑ Michael Hirschhorn. Kdy je součet po sobě jdoucích čtverců čtverec? // The Mathematical Gazette. - listopad 2011. - T. 95 . — S. 511–2 . — ISSN 0025-5572 .
↑ John F. Jr. Goehl. Úvahy čtenářů // Učitel matematiky. - květen 2005. - T. 98 , no. 9 . - S. 580 .
↑ John F. Goehl, Jr. Trojky, kvartety, pentády // Učitel matematiky. - Květen 2005. - T. 98 . - S. 580 .
↑ Scott Kim. Bogglers // Objevte . - Květen 2002. - S. 82 .
Rovnice je složitější, teprve v roce 1988, po 200 letech neúspěšných pokusů matematiků dokázat nemožnost řešení rovnice, našel Noam Elkis z Harvardu protipříklad - 2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4 : $w^{4}+x^{4}+y^{4}=z^{4}$
Noam Elkies. Na A 4 + B 4 + C 4 = D 4 // Matematika počítání. - 1988. - T. 51 . — S. 825–835 .
↑ MacHale, Bosch, 2012 , str. 91-96.
↑ S. Kak, M. Prabhu. Kryptografické aplikace primitivních pythagorejských trojic // Cryptologia. - 2014. - T. 38 , č. 3 . - S. 215-222 .

Literatura

RD Carmichael. Teorie čísel a diofantická analýza . - Dover Publ, 1959. - C. Diofantinová analýza.
Waclaw Sierpinski. Pythagorejské trojúhelníky. - Dover, 2003. - ISBN 978-0-486-43278-6 .
John Stillwell. čísla a geometrie. - Springer, 1998. - S. 133. - (Pregraduální texty v matematice). — ISBN 9780387982892 .
Thomas Koshy. Základní teorie čísel s aplikacemi. - Academic Press, 2002. - S. 545. - ISBN 9780124211711 .
David Houston. Důkazy beze slov: Cvičení vizuálního myšlení / Roger B. Nelsen. - Mathematical Association of America, 1993. - S. 141. - ISBN 978-0-88385-700-7 .
Alfred S. Posamentier. Pythagorova věta: Příběh její síly a krásy . - Knihy Prometheus, 2010. - ISBN 9781616141813 .
Des MacHale, Christian van den Bosch. Zobecnění výsledku o pythagorejských trojicích // Mathematical Gazette . - 2012. - T. 96 .
Judith D. Sally. Kořeny výzkumu: Vertikální vývoj matematických problémů. - American Mathematical Society, 2007. - ISBN 9780821872673 . .
Neal Koblitz. Úvod do eliptických křivek a modulárních forem. - Springer, 1993. - V. 97. - (Absolventské texty z matematiky). — ISBN 9780387979663 .
Arthur Baragar. Přehled klasických a moderních geometrií: S počítačovými aktivitami . - Prentice Hall, 2001. - ISBN 9780130143181 .
Paul Yiu. Heronovy trojúhelníky, které nelze rozložit na dva celočíselné pravoúhlé trojúhelníky. - 41. zasedání floridské sekce Mathematical Association of America, 2008.
Clifford A. Pickover. Kniha o matematice. - Sterling, 2009. - P. Kapitola "Pythagorova věta a trojúhelníky". — ISBN 1402757964 .
John Stillwell. Prvky teorie čísel. - Springer, 2002. - ISBN 978-0-387-95587-2 .
Pythagorean Triples and the Unit Circle Archivováno 15. prosince 2011 na Wayback Machine , kap. 2-3, v „ Přívětivý úvod do teorie čísel archivovaný 6. března 2015 na Wayback Machine “ od Josepha H. Silvermana, 3. vydání, 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137 -9
Dmitrij Viktorovič Anosov . Pohled na matematiku a něco z ní . - 2. vyd. - M .: MTSNMO , 2003. - T. 3. - 32 s. - (Knihovna "Matematická výchova"). — 3000+1500 výtisků. — ISBN 5-94057-111-5 . Archivováno12. ledna 2014 naWayback Machine

Odkazy

Paul Yiu. Rekreační matematika // Poznámky ke kurzu, Odd. z matematických věd, Florida Atlantic University. — 2003.
Frank R. Bernhart, H. Lee Price. Heronův vzorec, Descartovy kruhy a Pythagorejské trojúhelníky. — 2005. arXiv
Steven Rosenberg, Michael Spillane, Daniel B. Wulf. Heron trojúhelníky a moduli prostory // Učitel matematiky. - Květen 2008. - T. 101 .
Gauss C. F. Theoria residuorum biquadraticorum // Comm. soc. Reg. sci. Gott. Rec .. - 1832. - T. 4 .
Albert Fassler. Vícenásobné Pythagorejské číslo se ztrojnásobí // Americký matematický měsíčník. - 1991. - T. 98 , no. 6 . — .
Manuel Benito, Juan L. Varona. Pythagorejské trojúhelníky s nohami menšími než n . - 2002. - T. 143 . - doi : 10.1016/S0377-0427(01)00496-4 .
Roger C Alperin. Modulární strom Pythagoras // American Mathematical Monthly. - Mathematical Association of America, 2005. - V. 112 , no. 9 . — S. 807–816 . — .
B. Berggren. Pytagoreiska trianglar (švédsky) // Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi. - 1934. - T. 17 . — S. 129–139 .
Ernest Eckert. Primitivní pythagorejské ztrojnásobení // The College Mathematics Journal. - Mathematical Association of America, 1992. - V. 23 , no. 5 . — S. 413–417 . — .
Ernest J. Eckert, Preben Dahl Vesrergaard. Skupiny integrálních trojúhelníků // The Fibonacci Quarterly. - 1989. - T. 27 , no. 5 . - S. 458-464 .
Ernest J. Eckert. Skupina primitivních pythagorejských trojúhelníků // Magazín o matematice. - 1984. - T. 57 .
Noam Elkies. Pythagorovy trojice a Hilbertova věta 90.
Artema Martin. Racionální pravoúhlé trojúhelníky jsou téměř rovnoramenné // The Analyst . - Annals of Mathematics, 1875. - Vol.3 , no. 2 . — S. 47–50 . - doi : 10.2307/2635906 . — .
Andrzej Trautman. Geometrický vesmír / S. A. Hugget, L. J. Mason, K. P. Tod, S. T. Tsou, N. M. J. Woodhouse. — 1998.
Weisstein, Eric W. Pythagorean Triple (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Příklad programu Python pro konstrukci pythagorejských trojic