Řešení trojúhelníků

Historický termín „řešení trojúhelníků“ ( lat. solutio triangulorum ) označuje řešení následujícího trigonometrického problému: najděte zbývající strany a/nebo úhly trojúhelníku z již známých [1] . Existují také zobecnění tohoto problému na případ, kdy jsou dány další prvky trojúhelníku (například mediány , osy , výšky , plocha atd.), jakož i na případ, kdy se trojúhelník nenachází v euklidovské rovině , ale na kouli ( sférický trojúhelník ) , na hyperbolické rovině ( hyperbolický trojúhelník ) atd. Tento problém se často vyskytuje v trigonometrických aplikacích - například v geodézii , astronomii , stavebnictví , navigaci .

Řešení rovinných trojúhelníků

Obecný trojúhelník má 6 základních prvků: 3 lineární (délky stran ) a 3 úhlové ( ). Strana protilehlá k rohu nahoře je tradičně označena stejným písmenem jako tento vrchol, ale ne velkým, ale malým písmenem (viz obrázek). V klasické úloze rovinné trigonometrie jsou dány 3 z těchto 6 charakteristik a další 3 je třeba určit. Je zřejmé, že pokud jsou známy pouze 2 nebo 3 úhly, jedinečné řešení nebude fungovat, protože jakýkoli trojúhelník podobný tomuto bude také řešením, takže se dále předpokládá, že alespoň jedna ze známých veličin je lineární [2] . $a,b,c$ $\alpha ,\beta ,\gama$

Algoritmus pro řešení problému závisí na tom, které charakteristiky trojúhelníku jsou považovány za známé. Protože možnost „jsou dány tři úhly“ je vyloučena z úvahy, zůstává 5 různých možností [3] :

tři strany;
dvě strany a úhel mezi nimi;
dvě strany a úhel proti jedné z nich;
stranu a dva sousední úhly;
boční, protilehlý roh a jeden ze sousedních.

Základní věty

Standardní metodou řešení problému je použití několika základních vztahů, které platí pro všechny ploché trojúhelníky [4] :

Kosinová věta

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma

Sinusová věta

{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}

Součet úhlů trojúhelníku

\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }

Jiné univerzální vztahy někdy užitečné v praxi zahrnují teorém tečny , kotangens teorém, projekční teorém a Molweide rovnice .

Poznámky

Pro nalezení neznámého úhlu je spolehlivější použít větu o kosinu, nikoli sinusu, protože hodnota sinu úhlu ve vrcholu trojúhelníku neurčuje jednoznačně samotný úhel, protože sousední úhly mají stejný sinus. [5] . Například, jestliže pak úhel může být jak , tak , protože sinus těchto úhlů je stejný. Výjimkou je případ, kdy je předem známo, že v daném trojúhelníku nemohou být tupé úhly – například, je-li trojúhelník pravoúhlý . S kosinusem takové problémy nevznikají: v rozsahu od do hodnota kosinu jednoznačně určuje úhel. $\sin \beta =0{,}5,$ $\beta$ $30^{\circ }$ $150^{\circ }$ $0^{\circ }$ $180^{\circ }$
Při konstrukci trojúhelníků je důležité pamatovat na to, že zrcadlový odraz sestrojeného trojúhelníku bude také řešením problému. Například tři strany jednoznačně definují trojúhelník až do odrazu.
Předpokládá se, že všechny trojúhelníky nejsou degenerované , to znamená, že délka strany nemůže být nula a hodnota úhlu je kladné číslo menší než . $180^{\circ }$

Tři strany

Nechť jsou uvedeny délky všech tří stran . Podmínkou řešitelnosti úlohy je splnění trojúhelníkové nerovnosti , to znamená, že každá délka musí být menší než součet zbývajících dvou délek: $a,b,c$

a<b+c,\quad b<a+c,\quad c<a+b.

Chcete-li najít úhly , musíte použít kosinovou větu [6] : $\alpha ,\beta$

\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc)),\quad \beta =\arccos {\frac {a^{2 }+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.

Třetí úhel se okamžitě zjistí z pravidla, že součet všech tří úhlů se musí rovnat $180^{\circ }\colon$

\gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta ).

Nedoporučuje se najít druhý úhel pomocí sinusové věty , protože, jak je uvedeno v poznámce 1 , existuje nebezpečí záměny tupého úhlu za ostrý. Toto nebezpečí nenastane, pokud nejprve určíme pomocí kosinové věty největší úhel (leží naproti největší ze stran) - další dva úhly jsou přesně ostré a aplikace sinusové věty na ně je bezpečná.

Další metoda pro výpočet úhlů od známých stran má používat kotangens teorém .

Dvě strany a úhel mezi nimi

Pro jistotu nechť jsou známé délky stran a úhel mezi nimi. Tato verze problému má vždy jedinečné řešení. K určení délky strany se používá kosinová věta [7] : $a,b$ $\gamma$ $C$

c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma )).

Ve skutečnosti je problém redukován na předchozí případ . Dále se znovu použije kosinová věta k nalezení druhého úhlu:

\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}=\arccos {\frac {ba\cos \gamma }{\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}.

Třetí úhel najdeme z věty o součtu úhlů trojúhelníku: . $\beta =180^{\circ }-\alpha -\gamma$

Dvě strany a úhel proti jedné z nich

V tomto případě mohou existovat dvě řešení, jedno nebo žádné. Nechť jsou známé dvě strany a úhel . Pak rovnici pro úhel najdeme ze sinusové věty [8] : $před naším letopočtem$ $\beta$ $\gamma$

\sin \gamma ={\frac {c}{b))\sin \beta .

Pro stručnost označujeme (pravou stranu rovnice). Toto číslo je vždy kladné. Při řešení rovnice jsou možné 4 případy, do značné míry závislé na D [9] [10] . $D={\frac {c}{b}}\sin \beta$

Problém nemá řešení (strana "nedosahuje" čáry ) ve dvou případech: pokud nebo pokud úhel a zároveň $b$ $před naším letopočtem$ $D>1$ $\beta \geqslant 90^{\circ }$ $b\leqslant c.$
Pokud existuje jedinečné řešení a trojúhelník je pravoúhlý: $D=1,$ $\gamma =\arcsin D=90^{\circ }.$

Pokud ano, jsou 2 možnosti. $D<1,$
1. Jestliže , pak úhel má dvě možné hodnoty: ostrý úhel a tupý úhel . Na obrázku vpravo první hodnota odpovídá bodu , straně a úhlu a druhá hodnota odpovídá bodu , straně a úhlu . $b<c$ $\gamma$ $\gamma =\arcsin D$ $\gamma '=180^{\circ }-\gamma$ $C$ $b$ $\gamma$ $C'$ $b'=b$ $\gamma'$
2. If , then (větší strana trojúhelníku odpovídá většímu opačnému úhlu). Protože trojúhelník nemůže mít dva tupé úhly, tupý úhel pro je vyloučen a řešení je jedinečné. $b\geqslant c$ $\beta \geqslant \gamma$ $\gamma$ $\gamma =\arcsin D$

Třetí úhel je určen vzorcem . Třetí stranu lze nalézt pomocí sinusové věty: $\alpha =180^{\circ }-\beta -\gamma$

a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta ))

Strana a dva rohy

Nechť je dána strana a dva úhly. Tento problém má jedinečné řešení, pokud je součet dvou úhlů menší než . Jinak problém nemá řešení. $C$ $180^{\circ }$

Nejprve se určí třetí úhel. Například, pokud dané úhly , pak . Dále jsou obě neznámé strany nalezeny pomocí sinusové věty [11] : $\alpha ,\beta$ $\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta$

a=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma )),\quad b=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma )).

Řešení pravoúhlých trojúhelníků

V tomto případě je jeden z úhlů znám - rovná se 90 °. Je potřeba znát ještě dva prvky, z nichž alespoň jeden je boční. Jsou možné následující případy:

dvě nohy;
noha a hypotenze;
noha a přilehlý ostrý úhel;
noha a opačný ostrý úhel;
přepona a ostrý úhel.

Vrchol pravého úhlu se tradičně označuje písmenem , přepona . Nohy jsou označeny a a hodnoty opačných úhlů - resp . $C$ $C$ $A$ $b$ $\alpha$ $\beta$

Výpočtové vzorce jsou značně zjednodušené, protože místo sinusových a kosinových vět můžete použít jednodušší vztahy - Pythagorovu větu :

c^{2}=a^{2}+b^{2}

a definice základních goniometrických funkcí :

\sin \alpha =\cos \beta ={\frac {a}{c)),\quad \cos \alpha =\sin \beta ={\frac {b}{c)),

\operatorname {tg} \alpha =\operatorname {ctg} \beta ={\frac {a}{b)),\quad \operatorname {ctg} \alpha =\operatorname {tg} \beta ={\ frac {b}{a}}.

Je také jasné, že úhly a jsou ostré , protože jejich součet je roven . Proto je kterýkoli z neznámých úhlů jednoznačně určen některou z jeho goniometrických funkcí (sinus, kosinus, tangens atd.) výpočtem odpovídající inverzní goniometrické funkce . $\alpha$ $\beta$ $90^{\circ }$

Při správné formulaci úlohy (pokud je dána přepona a noha, pak musí být noha menší než přepona; pokud je dán jeden ze dvou nepravých úhlů, pak musí být akutní), řešení vždy existuje a je jedinečný.

Dvě nohy

Přeponu najdeme pomocí Pythagorovy věty:

c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.

Úhly lze najít pomocí funkce arkus tangens :

\alpha =\operatorname {arctg} {\frac {a}{b)),\quad \beta =\operatorname {arctg} {\frac {b}{a))

nebo na právě nalezené přeponě:

\alpha =\arcsin {\frac {a}{c}}=\arccos {\frac {b}{c)),\quad \beta =\arcsin {\frac {b}{c}}=\arccos { \frac {a}{c}}.

Noha a přepona

Nechť je známa noha a přepona - pak se noha najde z Pythagorovy věty: $b$ $C$ $A$

a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}.

Poté se úhly určí podobně jako v předchozím případě.

Noha a přilehlý ostrý úhel

Nechť je známa noha a úhel k ní přiléhající . $b$ $\alpha$

Přepona se zjistí ze vztahu $C$

c={\frac {b}{\cos \alpha }}.

Nohu lze nalézt buď podle Pythagorovy věty, podobně jako v předchozím případě, nebo ze vztahu $A$

a=b\ \mathrm {tg} \,\alpha .

Ostrý úhel lze nalézt jako $\beta$

\beta =90^{\circ }-\alpha .

Noha a opačný ostrý úhel

Nechť je známa noha a její opačný úhel . $b$ $\beta$

Přepona se zjistí ze vztahu $C$

c={\frac {b}{\sin \beta }}).

Nohu a druhý ostrý úhel lze nalézt podobně jako v předchozím případě. $A$ $\alpha$

Hypotenze a ostrý úhel

Nechť je známa přepona a ostrý úhel . $C$ $\beta$

Ostrý úhel lze nalézt jako $\alpha$

\alpha =90^{\circ }-\beta .

Nohy se určují ze vztahů

a=c\sin \alpha =c\cos \beta ,

b=c\sin \beta =c\cos \alpha .

Řešení sférických trojúhelníků

Obecný sférický trojúhelník je zcela definován třemi z jeho šesti charakteristik (3 strany a 3 úhly). Je obvyklé měřit strany sférického trojúhelníku nikoli v lineárních jednotkách, ale podle hodnoty středových úhlů na nich založených . $a,b,c$

Řešení trojúhelníků ve sférické geometrii má řadu odlišností od rovinného případu . Například součet tří úhlů závisí na trojúhelníku; navíc na kouli nejsou žádné nestejné podobné trojúhelníky , a proto má problém sestrojení trojúhelníku ze tří úhlů jedinečné řešení. Ale hlavní vztahy: dvě sférické kosinové věty a sférická sinusová věta , používané k řešení problému, jsou podobné jako v případě roviny. $\alpha +\beta +\gamma$

Z dalších vztahů mohou být užitečné Napierovy analogické vzorce [12] a vzorec poloviční strany [13] .

Tři strany

Jsou-li strany zadány (v úhlových jednotkách) , pak jsou úhly trojúhelníku určeny z kosinové věty [14] : $a,b,c$

\alpha =\arccos \left({\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c))\vpravo)

\beta =\arccos \left({\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}}\right)

\gamma =\arccos \left({\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b))\vpravo)

Dvě strany a úhel mezi nimi

Nechť jsou dány strany a úhel mezi nimi. Strana je nalezena pomocí kosinové věty [14] : $a,b$ $\gamma$ $C$

c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right)

Úhly lze nalézt stejným způsobem jako v předchozím případě , lze také použít Napierovy analogické vzorce : $\alpha ,\beta$

\alpha =\operatorname {arctg} \ {\frac {2\sin a}{\operatorname {tg} ({\frac {\gamma }{2)))\sin(b+a)+\operatorname {ctg} ({\frac {\gamma }{2)))\sin(ba))),

\beta =\operatorname {arctg} \ {\frac {2\sin b}{\operatorname {tg} ({\frac {\gamma }{2)))\sin(a+b)+\operatorname {ctg} ({\frac {\gamma }{2)))\sin(ab))).

Dvě strany a žádný úhel mezi nimi

Nechť jsou uvedeny strany a úhel . Aby řešení existovalo, musí být splněna následující podmínka: $před naším letopočtem$ $\beta$

b>\arcsin(\sin c\,\sin \beta ).

Úhel se získá ze sinusové věty : $\gamma$

\gamma =\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b))\right).

Zde, podobně jako v rovinném případě, v , jsou získána dvě řešení: a . $b<c$ $\gamma$ $180^{\circ }-\gamma$

Zbývající množství lze nalézt z Napierových analogických vzorců [15] :

a=2\operatorname {arctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(bc)\right){\frac {\sin \left({\frac {1 }{2}}(\beta +\gamma )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right)))\right\}

\alpha =2\operatorname {arcctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right){\frac {\sin \left( {\frac {1}{2}}(b+c)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(bc)\right)))\right\}

Boční a sousední úhly

V této možnosti jsou uvedeny strany a úhly . Úhel je určen kosinovou větou [16] : $C$ $\alpha ,\beta$ $\gamma$

\gamma =\arccos(\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta ).

Dvě neznámé strany jsou získány z Napierových analogických vzorců:

a=\operatorname {arctg} \left\{{\frac {2\sin \alpha }{\operatorname {ctg} (c/2)\sin(\beta +\alpha )+\operatorname {tg} (c/ 2)\sin(\beta -\alpha )}}\vpravo\}

b=\jméno operátora {arctg} \left\{{\frac {2\sin \beta }{\jméno operátora {ctg} (c/2)\sin(\alpha +\beta )+\jméno operátora {tg} (c/ 2)\sin(\alpha -\beta )}}\vpravo\}

nebo, pokud použijete vypočítaný úhel , podle zákona kosinů: $\gamma$

a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right),

b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right).

Dva rohy a žádná strana mezi nimi

Na rozdíl od plochého analogu může mít tento problém několik řešení.

Nechť jsou uvedeny strany a úhly . Strana je určena sinusovou větou [17] : $A$ $\alpha ,\beta$ $b$

b=\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).

Pokud je úhel pro stranu ostrý a , existuje druhé řešení: $A$ $\alpha >\beta$

b=\pi -\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).

Zbývající množství jsou určena z Napierových analogických vzorců:

c=2\operatorname {arctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2))(ab)\right){\frac {\sin \left({\ frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)))\right\ }.

\gamma =2\operatorname {arcctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2))(\alpha -\beta )\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(a+b)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(ab)\right)))\right\} .

Tři rohy

Vzhledem ke třem úhlům jsou strany nalezeny pomocí zákona kosinus:

a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right)

b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right)

c=\arccos \left({\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\right)

Další možností je použít vzorec polovičního úhlu [18] .

Řešení pravoúhlých sférických trojúhelníků

Prezentované algoritmy jsou značně zjednodušené, pokud je známo, že jeden z úhlů trojúhelníku (například úhel ) je pravý. Pravoúhlý sférický trojúhelník je zcela určen dvěma prvky, další tři lze nalézt pomocí mnemotechnického pravidla Napier nebo z následujících vztahů [19] : $C$

\sin a=\sin c\cdot \sin \alpha =\operatorname {tg} b\cdot \operatorname {ctg} \beta ,

\sin b=\sin c\cdot \sin \beta =\operatorname {tg} a\cdot \operatorname {ctg} \alpha ,

\cos c=\cos a\cdot \cos b=\operatorname {ctg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \beta ,

\operatorname {tg} a=\sin b\cdot \operatorname {tg} \alpha ,

\operatorname {tg} b=\operatorname {tg} c\cdot \cos \alpha ,

\cos \alpha =\cos a\cdot \sin \beta =\operatorname {tg} b\cdot \operatorname {ctg} c,

\cos \beta =\cos b\cdot \sin \alpha =\operatorname {tg} a\cdot \operatorname {ctg} c.

Variace a zobecnění

V mnoha prakticky důležitých úlohách se místo stran trojúhelníku nastavují jeho další charakteristiky - např. délka střednice , výška , os , poloměr kružnice vepsané nebo opsané atd. Podobně místo úhlů u vrcholy trojúhelníku, mohou se v úloze objevit další úhly. Algoritmy pro řešení takových problémů jsou nejčastěji kombinovány z trigonometrických teorémů diskutovaných výše.

Příklady:

Úkolem Regiomontana je sestrojit trojúhelník, pokud je známa jedna z jeho stran, délka k ní snížené výšky a opačný úhel [20] .
Problém Snell-Potenot .
Problém Thomase Finkeho [21] : najděte úhly trojúhelníku, je-li znám součet dvou úhlů a poměr protilehlých stran . $\alpha +\beta$ $a:b$
Newtonův problém : Vyřešte trojúhelník, pokud je známa jedna strana, opačný úhel a součet ostatních dvou stran.

Příklady aplikací

Triangulace

K určení vzdálenosti od pobřeží k nepřístupnému bodu - například ke vzdálené lodi - je třeba označit dva body na pobřeží, jejichž vzdálenost je známá, a změřit úhly mezi spojnicí těchto bodů a směrem k loď. Ze vzorců možnosti „strana a dva úhly“ můžete zjistit délku výšky trojúhelníku [22] : $d$ $l$ $\alpha$ $\beta$

d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )))\,l={\frac {\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {tg } \beta }{\jméno operátora {tg} \alpha +\jméno operátora {tg} \beta }}\,l

Tato metoda se používá v pobřežní lodní dopravě. V tomto případě se úhly odhadují na základě pozorování známých orientačních bodů na zemi z lodi. Podobné schéma se používá v astronomii pro určení vzdálenosti k blízké hvězdě: pozorovací úhly této hvězdy se měří z opačných bodů zemské oběžné dráhy (tedy s intervalem šesti měsíců) a potřebná vzdálenost se vypočítá z jejich rozdíl ( paralaxa ) [22] . $\alpha ,\beta$

Další příklad: chcete změřit výšku hory nebo vysoké budovy. Pozorovací úhly vrcholu ze dvou bodů umístěných ve vzdálenosti jsou známé . Ze vzorců stejné verze jako výše se ukazuje [23] : $h$ $\alpha ,\beta$ $l$

h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )))\,l={\frac {\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {tg } \beta }{\jméno operátora {tg} \beta -\jméno operátora {tg} \alpha }}\,l

Vzdálenost mezi dvěma body na povrchu zeměkoule

Je nutné vypočítat vzdálenost mezi dvěma body na zeměkouli [24] :

Bod : zeměpisná šířka a délka

A

\lambda _{\mathrm {A} },

L_{\mathrm {A} },

Bod : zeměpisná šířka a délka

B

\lambda _{\mathrm {B} },

L_{\mathrm {B} },

Pro sférický trojúhelník , kde je severní pól, jsou známy následující veličiny: $ABC$ $C$

a=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {B} }

b=90^{\mathrm {o} }-\lambda _{\mathrm {A} }

\gamma =L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }

To je případ „dvou stran a úhlu mezi nimi“. Z výše uvedených vzorců získáte:

\mathrm {AB} =R\arccos \left\{\sin \lambda _{\mathrm {A} }\,\sin \lambda _{\mathrm {B} }+\cos \lambda _{\mathrm {A } }\,\cos \lambda _{\mathrm {B} }\,\cos \left(L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\right)\right\}

kde je poloměr Země . $R$

Historie

Počátky trigonometrických znalostí lze nalézt v matematických rukopisech starověkého Egypta , Babylonu a staré Číny . Hlavním úspěchem tohoto období byl poměr, který později dostal název Pythagorova věta ; Van der Waerden se domnívá, že jej objevili Babyloňané v letech 2000 až 1786 před naším letopočtem. E. [25]

Obecná formulace problému řešení trojúhelníků (plochých i sférických) se objevila ve starořecké geometrii [26] . V druhé knize Euklidova Principia je Věta 12 slovní obdobou kosinové věty pro tupé trojúhelníky [27] :

V tupých trojúhelníkech je čtverec na straně, která svírá tupý úhel, větší než [součet] čtverců na stranách obsahujících tupý úhel dvojitým obdélníkem uzavřeným mezi jednou ze stran v tupém úhlu, na kterém kolmice padá a segment odříznutý touto kolmicí z vnější strany v tupém rohu.

Následující věta 13 je variantou kosinové věty pro ostroúhlé trojúhelníky . Řekové neměli obdobu sinusové věty , tento nejdůležitější objev byl učiněn mnohem později [28] : nejstarší důkaz sinusové věty v rovině, která k nám sestoupila, je popsán v knize Nasira ad-Dina At-Tusi „Pojednání o úplném čtyřúhelníku“, sepsané ve 13. století [29] .

První trigonometrické tabulky sestavil pravděpodobně Hipparchos v polovině 2. století před naším letopočtem. E. pro astronomické výpočty. Později astronom 2. století Claudius Ptolemaios v Almagest doplnil výsledky Hipparcha. První kniha Almagestu je nejvýznamnější trigonometrické dílo celého starověku. Zejména Almagest obsahuje rozsáhlé trigonometrické tabulky tětiv pro ostré a tupé úhly, v krocích po 30 minutách oblouku . V tabulkách Ptolemaios udává hodnotu délek tětiv s přesností na tři šestinedělí [ 30] . Taková přesnost zhruba odpovídá pětimístné desítkové tabulce sinů v krocích po 15 úhlových minutách [1] .

Ptolemaios výslovně neuvádí sinusovou a kosinovou větu pro trojúhelníky. S problémem řešení trojúhelníků se však vždy vypořádá rozdělením trojúhelníku na dva pravoúhlé [31] .

Souběžně s rozvojem rovinné trigonometrie Řekové pod vlivem astronomie daleko pokročili sférickou trigonometrii [32] . Rozhodující etapou ve vývoji teorie byla monografie „ Sphere “ ve třech knihách, kterou napsal Menelaos Alexandrijský (asi 100 n. l.). V první knize nastínil věty o sférických trojúhelnících , podobné Euklidovým větám o rovinných trojúhelnících (viz Kniha I Začátků). Podle Pappa byl Menelaos první, kdo představil koncept sférického trojúhelníku jako obrazce tvořené segmenty velkých kruhů [33] . O několik desetiletí později Claudius Ptolemaios ve své Geografie, Analema a Planisferium podává podrobný výklad trigonometrických aplikací v kartografii, astronomii a mechanice.

Ve čtvrtém století, po úpadku starověké vědy, se centrum rozvoje matematiky přesunulo do Indie. Spisy indických matematiků ( siddhantas ) ukazují, že jejich autoři dobře znali díla řeckých astronomů a geometrů [34] . Indiáni se o čistou geometrii nezajímali, ale jejich přínos k aplikované astronomii a výpočetním aspektům trigonometrie je velmi významný. Zejména Indové jako první zavedli použití kosinu [35] . Indové navíc znali vzorce pro více úhlů , pro . V Surya-siddhanta a v dílech Brahmagupty se při řešení problémů skutečně používá sférická verze sinusového teorému , ale obecná formulace tohoto teorému se v Indii neobjevila [36] . $\sin n\varphi$ $\cos n\varphi$ $n=2,3,4,5$

V 8. století se vědci ze zemí Blízkého a Středního východu seznamovali s díly starověkých řeckých a indických matematiků a astronomů. Jejich astronomická pojednání, podobná indickým Siddhantas, byla nazývána „ zijis “; typickým zij byla sbírka astronomických a trigonometrických tabulek, opatřená návodem na jejich použití a (ne vždy) shrnutím obecné teorie [37] . Srovnání zijs z období 8.-13. století ukazuje rychlý vývoj trigonometrických znalostí. Nejstarší dochovaná díla patří al-Khwarizmimu a al-Marvazimu (IX. století), kteří uvažovali spolu se sinusem a kosinusem známým Indům o nových goniometrických funkcích : tangens , kotangens , sekanta a kosekans [35] .

Thabit ibn Qurra (9. století) a al-Battani (10. století) jako první objevili základní sinusovou větu pro speciální případ pravoúhlého sférického trojúhelníku . Pro libovolný sférický trojúhelník byl důkaz nalezen (různými způsoby a pravděpodobně nezávisle na sobě) Abu-l-Vafa , al-Khujandi a ibn Iraq na konci 10. století [28] . V dalším pojednání ibn Iraq formuloval a dokázal větu sinus pro plochý trojúhelník [38] . Sférický kosinusový teorém nebyl v zemích islámu obecně formulován, nicméně v dílech Sabita ibn Kurry, al-Battaniho a dalších astronomů existují jeho ekvivalenty [39] .

Zásadní prezentaci trigonometrie jako nezávislé vědy (ploché i sférické) podal perský matematik a astronom Nasir ad-Din at-Tusi v roce 1260 [40] . Jeho „Pojednání o úplném čtyřúhelníku“ obsahuje praktické metody řešení typických problémů, včetně těch nejobtížnějších, které řešil sám at-Tusi – například sestavení stran kulového trojúhelníku pod danými třemi úhly [41] . Koncem 13. století tak byly objeveny základní teorémy potřebné k efektivnímu řešení trojúhelníků.

V Evropě, vývoj trigonometrické teorie stal se extrémně důležitý v moderní době, primárně pro dělostřelectvo , optiku a navigaci na dálkových námořních cestách. V roce 1551 se objevily 15místné trigonometrické tabulky Koperníkova žáka Rhetica s krokem 10“ [ 42] . Potřeba složitých trigonometrických výpočtů způsobila na počátku 17. století objev logaritmů a první logaritmické tabulky Johna Napiera obsahovaly pouze logaritmy goniometrických funkcí.Mezi další objevy Napierův je účinný algoritmus pro řešení sférických trojúhelníků, nazývaný " Napierovy analogické vzorce " [43] .Algebraizaci trigonometrie, kterou započal François Vieta , dokončil Leonhard Euler v 18. století, po kterém algoritmy pro řešení trojúhelníků získaly moderní podobu.

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Vygodsky M. Ya., 1978 , s. 266-268.
↑ Elementární matematika, 1976 , s. 487.
↑ Řešení trojúhelníků . Matematika je zábava. Získáno 23. července 2022. Archivováno z originálu dne 30. června 2019. (neurčitý)
↑ Elementární matematika, 1976 , s. 488.
↑ Stepanov N. N., 1948 , s. 133.
↑ Řešení SSS trojúhelníků . Matematika je zábava. Získáno 23. července 2022. Archivováno z originálu dne 30. září 2012. (neurčitý)
↑ Řešení S.A.S. trojúhelníků . Matematika je zábava. Získáno 24. července 2022. Archivováno z originálu dne 30. září 2012. (neurčitý)
↑ Řešení S.S.A. trojúhelníků . Matematika je zábava. Získáno 24. července 2012). Archivováno z originálu 30. září 2012. (neurčitý)
↑ Vygodsky M. Ya., 1978 , s. 294.
↑ Elementární matematika, 1976 , s. 493-496.
↑ Řešení trojúhelníků A.S.A. Matematika je zábava. Získáno 24. července 2022. Archivováno z originálu dne 30. září 2012. (neurčitý)
↑ Stepanov N. N., 1948 , s. 87-90.
↑ Stepanov N. N., 1948 , s. 102-104.
↑ 1 2 Encyklopedie elementární matematiky, 1963 , str. 545.
↑ Stepanov N. N., 1948 , s. 121-128.
↑ Stepanov N. N., 1948 , s. 115-121.
↑ Stepanov N. N., 1948 , s. 128-133.
↑ Stepanov N. N., 1948 , s. 104-108.
↑ Základní vzorce fyziky, 1957 , str. 14-15.
↑ Zeiten G. G., 1932 , str. 223-224.
↑ Zeiten G. G., 1938 , s. 126-127.
↑ 1 2 Geometrie: ročníky 7-9, 2009 , str. 260-261.
↑ Geometrie: ročníky 7-9, 2009 , str. 260.
↑ Stepanov N. N., 1948 , s. 136-137.
↑ van der Waerden, Bartel Leendert. Geometrie a algebra ve starověkých civilizacích . - Springer, 1983. - ISBN 3-540-12159-5 .
↑ Glazer G.I., 1982 , s. 77.
↑ Glazer G.I., 1982 , s. 94-95.
↑ 1 2 Matvievskaya G.P., 2012 , str. 92-96.
↑ Berggren, J. Lennart. Matematika ve středověkém islámu // Matematika Egypta, Mezopotámie, Číny, Indie a islámu : Zdrojová kniha . - Princeton University Press , 2007. - S. 518 . — ISBN 9780691114859 .
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 143.
↑ Van der Waerden . Věda probuzení. Matematika starověkého Egypta, Babylonu a Řecka . - M. : Nauka, 1959. - S. 366. - 456 s.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 25-27.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 33-36.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 40-44.
↑ 1 2 Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P., 1978 , s. 79.
↑ Juškevič A.P. Historie matematiky ve středověku. - M. : GIFML, 1961. - S. 160. - 448 s.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 51-55.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 111.
↑ Matvievskaya G.P., 2012 , s. 96-98.
↑ Tusi Nasiruddin . Pojednání o úplném čtyřúhelníku. Baku, Ed. AN AzSSR, 1952.
↑ Rybnikov K. A., 1960 , s. 105.
↑ Dějiny matematiky, svazek I, 1970 , str. 320.
↑ Stepanov N. N. § 42. Napierovy analogické vzorce // Sférická trigonometrie. - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 87-90. — 154 str.

Literatura

Teorie a algoritmy

Atanasyan L.S. , Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G. , Yudina I.I. Geometrie: ročníky 7-9. Učebnice pro vzdělávací instituce. - 19. vyd. - M. : Vzdělávání , 2009. - 384 s. - ISBN 978-5-09-021136-9 .
Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky. — M .: Nauka, 1978.
Gelfand I. M. , Lvovsky S. M., Toom A. L. Trigonometrie, učebnice pro 10. ročník. - M. : MTsNMO, 2002. - ISBN 5-94057-050-X .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - Třetí vydání, stereotypní. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
Menzel D. (ed.). Základní vzorce fyziky. Kapitola 1. Základní matematické vzorce. - M .: Ed. zahraniční literatura, 1957. - 658 s.
Základní pojmy sférické geometrie a trigonometrie // Encyklopedie elementární matematiky (v 5 svazcích) . - M .: Fizmatgiz, 1963. - T. 4. - S. 518-557. — 568 s.
Stepanov N. N. Sférická trigonometrie. - M. - L .: OGIZ, 1948.

Příběh

Glazer G.I. Historie matematiky ve škole. třídy VII-VIII. Průvodce pro učitele. - M . : Vzdělávání, 1982. - S. 76-95. — 240 s.
Glazer G.I. Historie matematiky ve škole. třídy IX-X. Průvodce pro učitele. - M . : Vzdělávání, 1983. - 352 s.
Dějiny matematiky, editoval A. P. Juškevič ve třech svazcích, M .: Nauka.
- Historie matematiky. Od starověku do počátku New Age // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M .: Nauka, 1970. - T.I.
- Matematika 17. století // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M. : Nauka, 1970. - T. II.
- Matematika 18. století // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M .: Nauka, 1972. - T. III.
Matvievskaya G.P. Eseje o historii trigonometrie: Starověké Řecko. Středověký východ. Pozdní středověk. - Ed. 2. - M. : Librokom, 2012. - 160 s. - (Fyzikálně-matematické dědictví: matematika (dějiny matematiky)). — ISBN 978-5-397-02777-9 .
Rybnikov K. A. Historie matematiky ve dvou svazcích. - M .: Ed. Moskevská státní univerzita, 1960. - T. I.
Sirazhdinov S. Kh., Matvievskaya G. P. Abu Raykhan Beruni a jeho matematické práce. Studentská pomůcka. - M . : Vzdělávání, 1978. - 95 s. — (Lidé vědy).
Zeiten GG Dějiny matematiky ve starověku a ve středověku. - M. - L. : GTTI, 1932. - 230 s.
Zeiten G. G. Dějiny matematiky v 16. a 17. století. - M. - L. : ONTI, 1938. - 456 s.

Trojúhelník
Typy trojúhelníků	Obdélníkový Rovnoramenné Rovnostranný Rovnoramenné obdélníkové
Nádherné linie v trojúhelníku	Medián Výška Bisector Středověký střední čára Opsané a vepsané kružnice Simsonova přímka Eulerova linie Simediana Cheviana
Pozoruhodné body trojúhelníku	Ortocentrum Centroid Střed Brocard bod Vecten bod Bod Gergonne Lemoine bod Miquel bod Nagelův bod Napoleon body Body Torricelliho Devítibodový střed kruhu Spiekerovo centrum Encyklopedie trojúhelníkových center
Základní věty	trojúhelníková nerovnost Znaky podobnosti trojúhelníků Řešení trojúhelníků Věta o vnějším úhlu trojúhelníku Věta o součtu úhlů o trojúhelníku Pythagorova věta Kosinová věta Sinusová věta Projekční teorém Heronův vzorec
Dodatečné věty	Van Obelova věta Meneláův teorém Reuschleova (Terkemova) věta Stewartova věta Věta tečny Kotangensová věta Cevova věta Mollweideovy vzorce
Zobecnění	sférický trojúhelník hyperbolický trojúhelník Simplexní

Sférická trigonometrie
Základní pojmy	sférický trojúhelník polární trojúhelník Přebytek Bigon
Vzorce a poměry	Kosinové věty Sinusová věta Pětiprvkový vzorec Vzorec poloviční strany Napierovo mnemotechnické pravidlo Sférická Pythagorova věta Delambre vzorce Napierovy analogické vzorce Legendreova věta Řešení trojúhelníků
související témata	Sférický souřadnicový systém sférická geometrie trojboký úhel

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština