Hypocykloidní

Hypocykloida ( řecky ὑπό (pod, dole) + řecky κύκλος (kruh, kruh)) je plochá křivka tvořená kruhovým bodem valícím se po vnitřku jiné kružnice, aniž by sklouzla.

Rovnice

Parametrické rovnice :

{\begin{cases}x=r(k-1)\left(\cos t+{\frac {\cos((k-1)t)}{k-1))\right)\\y=r( k-1)\left(\sin t-{\frac {\sin((k-1)t)}{k-1}}\right)\end{cases}}

kde , kde je poloměr pevné kružnice, je poloměr valivé kružnice. $\textstyle k={\frac {R}{r}}$ $R$ $r$

Odvozování rovnic

Nechť se kružnice v počátečním okamžiku dotýkají v bodě ležícím na ose , kde bod je středem velké kružnice. V tomto případě jsou souřadnice bodu , kde . Uvažujme, jak se změní souřadnice bodu připojeného k valící se kružnici ( přejde k ). Nechte kroužit malý kruh tak, aby se jeho střed pohyboval z bodu do bodu a otáčel se vzhledem k bodu o úhel . Za prvé, lze ukázat, že rotace malého kruhu kolem jeho středu je v tomto případě (tj. úhel mezi a ) rovna . Za druhé, souřadnice bodu budou: . Potom, když víme, kam půjde střed rotujícího kruhu a pod jakým úhlem se vůči tomuto středu otočil, můžeme zapsat souřadnice bodu : $A$ $VŮL$ $Ó$ $A$ $(kr,0)$ $k={\frac {R}{r))$ $A$ $A$ $A'$ $C'$ $C'$ $Ó$ $t$ $CA$ $C'A'$ $t-kt=-(k-1)t$ $C'$ $(cos(t)(k-1)r,sin(t)(k-1)r)$ $A'$

{\begin{cases}x=cos(t)(k-1)r+cos((k-1)t)r\\y=sin(t)(k-1)r-sin(( k-1)t)r\end{cases}}

Modul velikosti určuje tvar hypocykloidy. Když je hypocykloida popsána dvojicí Tusi - to je průměr pevného kruhu, kdy je astroid . Pokud je modul neredukovatelným zlomkem tvaru ( ), pak je počet vrcholů dané hypocykloidy a je to počet úplných otočení valící se kružnice. Pokud je modul iracionální číslo , pak křivka není uzavřená a má nekonečný počet neshodných vrcholů. $k$ $k=2$ $k=4$ $k$ ${\frac {m}{n}}$ $m,n\in \mathbb {N}$ $m$ $(mn)$ $k$

Příklady hypocykloidů

$k=3$ – deltový sval
$k=1.5={\frac {3}{2))$
$k=4$ — Astroid
$k={\frac {4}{3}}$
$k=5$
$k=6$
$k=5.5={\frac {11}{2))$
$k={\frac {5}{3}}$
$k=3.6={\frac {18}{5}}$

Viz také

Poznámky

Literatura

Hypocykloida // Kazachstán. Národní encyklopedie . - Almaty: Kazašské encyklopedie , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Ruština) (CC BY SA 3.0)

Při psaní tohoto článku byl použit materiál z publikace „ Kazachstán. National Encyclopedia “ (1998-2007), poskytovaná redakcí „Kazakh Encyclopedia“ pod licencí Creative Commons BY-SA 3.0 Unported .

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius