Oválná Cassini

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. března 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Cassiniho ovál je křivka , která je těžištěm bodů , součin vzdáleností, od kterých ke dvěma daným bodům (ohniskám) je konstantní a rovný druhé mocnině určitého čísla . Jde o speciální případ torického úseku a Perseovy křivky . $A$

Zvláštním případem Cassiniho oválu s ohniskovou vzdáleností rovnou , je Bernoulliho lemniskát . $2a$

V moderní době křivku představil (znovuobjevil) astronom Giovanni Cassini . Mylně se domníval, že přesněji určuje oběžnou dráhu Země než elipsa [1] . Přestože se tato řada nazývá Cassini oval , není vždy oválná (viz níže - Tvarové rysy ).

Variace (jiné případy)

Křivka konstantního součtu vzdáleností ke dvěma daným bodům - elipsa , konstantní poměr - Apolloniova kružnice , konstantní rozdíl - hyperbola .

Rovnice

Vzdálenost mezi ohnisky . $2c$

V pravoúhlých souřadnicích :

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Závěr
Zaměřuje se - a . Vezměte libovolný bod , najděte vzdálenost od ohniska k němu a přirovnejte jej k : $F_{1}(-c;0)$ $F_{2}(c;0)$ $M(x;y)$ $a^2$ $\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}=a^{2}$ Odmocnime obě strany rovnice: $\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(xc)^{2}+y^{2}{\Velký )}=a^{4}$ Rozbalte závorky na levé straně: $\textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}$ Otevřeme závorky, sbalíme nový čtverec součtu a vyjmeme společný faktor: $\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$

Závěr

Zaměřuje se - a . Vezměte libovolný bod , najděte vzdálenost od ohniska k němu a přirovnejte jej k :

F_{1}(-c;0)

F_{2}(c;0)

M(x;y)

a^2

\textstyle {\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}\cdot {\sqrt {(xc)^{2}+y^{2}}}=a^{2}

Odmocnime obě strany rovnice:

\textstyle {\Big (}(x+c)^{2}+y^{2}{\Big )}\cdot {\Big (}(xc)^{2}+y^{2}{\Velký )}=a^{4}

Rozbalte závorky na levé straně:

\textstyle (x^{2}-c^{2})^{2}+y^{4}+2y^{2}(x^{2}+c^{2})=a^{4}

Otevřeme závorky, sbalíme nový čtverec součtu a vyjmeme společný faktor:

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Explicitní rovnice v pravoúhlých souřadnicích:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4c^{2}x^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

Závěr
$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$ Hranajeme a otevíráme závorky: $\textstyle x^{4}+2x^{{2}}y^{2}+y^{4}-2c^{{2}}x^{2}+2c^{{2}}y^{ 2}=a^{4}-c^{4}$ Připomínáme $\textstyle y^{4}+2y^{{2}}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{{2}}x^{2}-a^ {4}+c^{4}=0$ Toto je kvadratická rovnice pro . Když to vyřešíme, dostaneme $y^{2}$ $\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {a^{4}+4x^{{2}}c^{2}}}$ Vezmeme-li kořen a zahodíme možnost se záporným druhým členem, dostaneme: $\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}$ kde kladná varianta definuje horní polovinu křivky, záporná varianta definuje spodní.

Závěr

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Hranajeme a otevíráme závorky:

\textstyle x^{4}+2x^{{2}}y^{2}+y^{4}-2c^{{2}}x^{2}+2c^{{2}}y^{ 2}=a^{4}-c^{4}

Připomínáme

\textstyle y^{4}+2y^{{2}}(x^{2}+c^{2})+x^{4}-2c^{{2}}x^{2}-a^ {4}+c^{4}=0

Toto je kvadratická rovnice pro . Když to vyřešíme, dostaneme $y^{2}$

\textstyle y^{2}=-(x^{2}+c^{2})\pm {\sqrt {a^{4}+4x^{{2}}c^{2}}}

Vezmeme-li kořen a zahodíme možnost se záporným druhým členem, dostaneme:

\textstyle y=\pm {\sqrt {{\sqrt {a^{4}+4x^{2}c^{2}}}-x^{2}-c^{2}}}

kde kladná varianta definuje horní polovinu křivky, záporná varianta definuje spodní.

V polárním souřadnicovém systému:

\rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos {2\varphi }=a^{4}-c^{4}

Závěr
$\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}$ Pomocí vzorců pro přechod do polárního souřadnicového systému získáme: $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$ ${\Big (}\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{{2}}\varphi {\Big )}^{2}-2c^ {2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}=a^{4}-c ^{4}$ Vyjímáme společné faktory a používáme trigonometrickou identitu : $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$ $\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}$ Použijme jinou identitu : $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$ $\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}$

Závěr

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Pomocí vzorců pro přechod do polárního souřadnicového systému získáme: $x=\rho \cos \varphi ,\,y=\rho \sin \varphi ,$

{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{{2}}\varphi {\Big )}^{2}-2c^ {2}{\Big (}\rho ^{2}\cos ^{2}\varphi -\rho ^{2}\sin ^{2}\varphi {\Big )}=a^{4}-c ^{4}

Vyjímáme společné faktory a používáme trigonometrickou identitu : $\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1$

\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}(cos^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi )=a^{4}-c^{4}

Použijme jinou identitu : $\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =cos2\alpha$

\textstyle \rho ^{4}-2c^{2}\rho ^{2}\cos 2\varphi =a^{4}-c^{4}

Vlastnosti formuláře

Rovnice křivky obsahuje dva nezávislé parametry: - polovinu vzdálenosti mezi ohnisky a - druhou odmocninu součinu vzdáleností od ohnisek k libovolnému bodu na křivce. Z hlediska formy je nejvýznamnější poměr parametrů, nikoli jejich hodnot, které při konstantním poměru určují pouze velikost obrazce. V závislosti na velikosti poměru lze rozlišit šest typů forem : $C$ $A$ $\textstyle {\frac {c}{a}}$

$\textstyle {\frac {c}{a}}=\infty$ , tedy v . $\textstyle a=0$ $\textstyle c\neq 0$

Křivka degeneruje do dvou bodů, které se shodují s ohnisky. Když tvar křivky směřuje ke dvěma bodům.

c\to\infty

$\textstyle 1<{\frac {c}{a}}<\infty$ , to je $\textstyle 0<a<c$

Křivka se dělí na dva samostatné ovály , z nichž každý je prodloužený směrem k druhému a má tvar vejce .

$\textstyle {\frac {c}{a}}=1$ , to je $\textstyle a=c$

Pravá strana rovnice v pravoúhlých souřadnicích (viz výše) zmizí a křivka se změní na Bernoulliho lemniscate .

$\textstyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}}}<{\frac {c}{a}}<1$ , to je $\textstyle c<a<c{\sqrt {2}}$

Křivka má čtyři symetrické inflexní body (jeden v každém souřadnicovém kvadrantu). Zakřivení v průsečíkech s osou inklinuje k nule, když směřuje k, a k nekonečnu, když směřuje k .

OY

A

C

A

c{\sqrt {2}}

$\textstyle 0<{\frac {c}{a}}\leqslant {\frac {1}({\sqrt {2}}}}$ , to je $\textstyle a\geqslant c{\sqrt {2}}$

Křivka se stává oválem , tedy konvexní uzavřenou křivkou .

$\textstyle {\frac {c}{a}}=0$ , tedy kdy $\textstyle c=0$ $\textstyle a\neq 0$

Jak se poměr zvyšuje (tj. má tendenci k nule), křivka směřuje ke kruhu o poloměru . Jestliže , pak poměr dosáhne nuly, v takovém případě křivka degeneruje do kruhu.

A

\textstyle {\frac {c}{a}}

A

c=0

\textstyle {\frac {c}{a}}

Vlastnosti

Cassiniho ovál je algebraická křivka čtvrtého řádu.
Je symetrický kolem středu segmentu mezi ohnisky.
At má dvě absolutní maxima a dvě minima: $0<a<c{\sqrt {2}}$

{\begin{cases}x=\pm {\frac {{\sqrt {4c^{4}-a^{4)))){2c}}\\y=\pm {\frac {a^{2 }}{2c}}\end{cases}}

Místem bodů absolutních maxim a minim je kruh o poloměru se středem uprostřed segmentu mezi ohnisky.

C

At má křivka čtyři inflexní body . Jejich polární souřadnice jsou: $c<a\leqslant c{\sqrt {2}}$

{\begin{cases}\rho ={\sqrt[ {4}]{{\frac {a^{4}-c^{4}}{3))))\\\cos 2\varphi =-{ \sqrt {{\frac {1}{3}}\left({\frac {a^{4}}{c^{4}}}-1\right)))\end{cases}}

Místo inflexních bodů je lemniskát s vrcholy .

\left(0;\pm c\right)

Poloměr křivosti pro znázornění v polárních souřadnicích :

R={\frac {a^{2}\rho }{\rho ^{2}+c^{2}\cos {2\varphi ))}={\frac {2a^{2}\rho ^{ 3}}{c^{4}-a^{4}+3\rho ^{4}}}

Aplikace

U dvoupolohového radaru je oblast detekce cíle obrazec ohraničený oválem Cassini, vezmeme-li jako jedno z jeho ohnisek polohu zdroje záření a jako druhé polohu přijímače. Podobně v astronomii při pozorování např. planetek svítících odraženým světlem Slunce jsou podmínky pro jejich detekci při dané citlivosti dalekohledu popsány vzorcem Cassini oval. V tomto případě bude hranicí detekovatelnosti povrch vytvořený rotací oválu kolem osy spojující Slunce a pozorovatele.

Cassini ovály na torusu (toroid)

Cassini ovály se jeví jako ploché části torusu , ale pouze tehdy, když je rovina řezu rovnoběžná s osou torusu a její vzdálenost od osy je rovna poloměru tvořící čáry kruhu (viz obrázek).

Zobecnění

Cassiniho ovál je zvláštním případem lemniskátu .

Cassiniho ovál je zvláštním případem Perseovy křivky .

Zejména rovnice Perseovy křivky v kartézském souřadnicovém systému

(x^2 + y^2)^2 = ax^2 + by^2 + c

když jde do rovnice Cassiniho oválu ${\displaystyle a=-b=2c^{2},c=a^{4}-c^{4))$

\textstyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})=a^{4}-c^{4}

Viz také

Literatura

Matematická encyklopedie (v 5 svazcích), Moskva, "Sovětská encyklopedie", 1982, v. 2 D - Koo, str. 759.
Markushevich A. I. Pozoruhodné křivky , Populární přednášky z matematiky Archivováno 26. srpna 2017 na Wayback Machine , číslo 4, Gostekhizdat 1952 , 32 s.

Poznámky

↑ E. Sklyarevskij . Vesmírné ovály Cassini Archivováno 5. prosince 2008 na Wayback Machine .

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius