Čísla kamarádů

Přátelská čísla  jsou dvě nebo více přirozených čísel se stejným indexem redundance , poměrem součtu dělitelů čísel a samotného čísla. Dvě čísla se stejnou redundancí tvoří spřátelenou dvojici , n čísel se stejnou redundancí tvoří spřátelenou n -tici .

Být přáteli je vztah ekvivalence , a proto generuje rozdělení kladných přirozených čísel do klubů ( tříd ekvivalence ) párových přátelských čísel.

Číslo, které není součástí žádné přátelské dvojice, se nazývá poustevník .

Index redundance čísla n  je racionální číslo , ve kterém znamená součet dělitelů . Číslo n je přátelské, pokud existuje takové, že . Všimněte si, že redundance není totéž jako přebytek , který je definován jako .

Redundanci lze také vyjádřit jako , kde je funkce dělitele c rovna součtu k -tých mocnin dělitelů n .

Čísla od 1 do 5 jsou poustevníci. Nejmenší přátelské číslo je 6, které se spáruje s 28 s indexem redundance . Celková hodnota 2 je v tomto případě celé číslo, což v mnoha jiných případech neplatí. Čísla s indexem redundance 2 jsou také známá jako dokonalá čísla . Existuje řada nevyřešených problémů souvisejících s přátelskými čísly.

Navzdory podobnosti jmen neexistuje žádný přímý vztah mezi spřátelenými čísly a spřátelenými čísly nebo doprovodnými čísly , ačkoli definice těchto čísel také používají funkci dělitele.

Příklady

V tabulce jsou modrá čísla prokázána jako přátelská (sekvence A074902 v OEIS ), červená čísla jsou prokazatelně poustevníci (sekvence A095739 v OEIS ), čísla n , která jsou relativně prvočísla k c (sekvence A014567 v OEIS ) zde nejsou vybarvena , ačkoli jsou zjevně poustevníci. Zbývající čísla mají neznámý stav a jsou zvýrazněna žlutě .

n n n n
jeden jeden jeden 37 38 38/37 73 74 74/73 109 110 110/109
2 3 3/2 38 60 30/19 74 114 57/37 110 216 108/55
3 čtyři 4/3 39 56 56/39 75 124 124/75 111 152 152/111
čtyři 7 7/4 40 90 9/4 76 140 35/19 112 248 31/14
5 6 6/5 41 42 42/41 77 96 96/77 113 114 114/113
6 12 2 42 96 16/7 78 168 28/13 114 240 40/19
7 osm 8/7 43 44 44/43 79 80 80/79 115 144 144/115
osm patnáct 15/8 44 84 21/11 80 186 93/40 116 210 105/58
9 13 13/9 45 78 26/15 81 121 121/81 117 182 14/9
deset osmnáct 9/5 46 72 36/23 82 126 63/41 118 180 90/59
jedenáct 12 12/11 47 48 48/47 83 84 84/83 119 144 144/119
12 28 7/3 48 124 31/12 84 224 8/3 120 360 3
13 čtrnáct 14/13 49 57 57/49 85 108 108/85 121 133 133/121
čtrnáct 24 12/7 padesáti 93 93/50 86 132 66/43 122 186 93/61
patnáct 24 8/5 51 72 24/17 87 120 40/29 123 168 56/41
16 31 31/16 52 98 49/26 88 180 45/22 124 224 56/31
17 osmnáct 18/17 53 54 54/53 89 90 90/89 125 156 156/125
osmnáct 39 13/6 54 120 20/9 90 234 13/5 126 312 52/21
19 dvacet 20/19 55 72 72/55 91 112 16/13 127 128 128/127
dvacet 42 21/10 56 120 15/7 92 168 42/23 128 255 255/128
21 32 32/21 57 80 80/57 93 128 128/93 129 176 176/129
22 36 18/11 58 90 45/29 94 144 72/47 130 252 126/65
23 24 24/23 59 60 60/59 95 120 24/19 131 132 132/131
24 60 5/2 60 168 14/5 96 252 21/8 132 336 28/11
25 31 31/25 61 62 62/61 97 98 98/97 133 160 160/133
26 42 21/13 62 96 48/31 98 171 171/98 134 204 102/67
27 40 40/27 63 104 104/63 99 156 52/33 135 240 16/9
28 56 2 64 127 127/64 100 217 217/100 136 270 135/68
29 třicet 30/29 65 84 84/65 101 102 102/101 137 138 138/137
třicet 72 12/5 66 144 24/11 102 216 36/17 138 288 48/23
31 32 32/31 67 68 68/67 103 104 104/103 139 140 140/139
32 63 63/32 68 126 63/34 104 210 105/52 140 336 12/5
33 48 16/11 69 96 32/23 105 192 64/35 141 192 64/47
34 54 27/17 70 144 72/35 106 162 81/53 142 216 108/71
35 48 48/35 71 72 72/71 107 108 108/107 143 168 168/143
36 91 91/36 72 195 65/24 108 280 70/27 144 403 403/144

Dalším příkladem je, že 30 a 140 tvoří přátelský pár, protože 30 a 140 mají stejný index redundance:

Čísla 2480, 6200 a 40640 jsou členy klubu, protože všechna tři čísla mají index redundance 12/5.

Jako příklad lichých přátelských čísel uvažujme 135 a 819 (index redundance 16/9). Existují také případy, kdy jsou sudá čísla přátelská k lichým, jako jsou 42 a 544635 (index 16/7).

Perfektní čtverec může být přátelské číslo, například 693479556 (druhá mocnina 26334) a 8640 mají index redundance 127/36 (tento příklad je od Deana Hickersona).

Poustevnická čísla

Čísla patřící do klubu jednoho živlu, protože s nimi nejsou žádná jiná čísla přátelská, jsou poustevníci. Všechna prvočísla jsou poustevníci. Obecněji, jestliže čísla n a jsou coprime , to znamená, že největší společný dělitel těchto čísel je 1, a proto je neredukovatelný zlomek, pak číslo n je poustevník (sekvence A014567 v OEIS ). Pro prvočíslo p máme , a toto číslo je relativně prvočíslo k p .

Není známa žádná obecná metoda, jak určit, zda je číslo číslo poustevníka nebo číslo přítele. Nejmenší číslo, jehož klasifikace není známa (od roku 2009), je číslo 10. Existuje náznak, že jde o poustevníka, pokud tomu tak není, jeho nejmenším přítelem je poměrně velké číslo, jako číslo 24 - ačkoli číslo 24 je přátelský, jeho nejmenší kamarád je číslo 91.963.648. Pro číslo 10 neexistuje žádné přátelské číslo menší než 2 000 000 000 [1] .

Velké kluby

Otevřeným problémem je, zda existují nekonečně velké kluby nebo vzájemně přátelská čísla. Dokonalá čísla tvoří klub a existuje předpoklad, že dokonalých čísel je nekonečně mnoho (alespoň tolik, kolik je Mersennových čísel ), ale neexistuje žádný důkaz. Do roku 2018 je známo 50 dokonalých čísel a největší známé číslo má více než 46 milionů číslic v desítkovém zápisu. Existují kluby se známějšími členy, zejména kluby tvořené multiperfektními čísly , tedy čísly, jejichž index redundance je celé číslo. Na začátku roku 2013 měl klub spřátelených čísel s indexem 9 2094 členů [2] . Ačkoli je známo, že kluby multiperfektních čísel jsou poměrně velké (s výjimkou samotných dokonalých čísel), existuje domněnka, že tyto kluby jsou konečné.

Poznámky

  1. ↑ Cemra .
  2. ↑ Flammenkamp, ​​​​2008 .

Literatura