Eliptický integrál

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. února 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Eliptický integrál - nějaká funkce nad polem reálných nebo komplexních čísel , která může být formálně reprezentována v následujícím tvaru: $F$

f(x)=\int \limits _{c}^{x}\!R(t,\;P(t))\,dt

kde je racionální funkce dvou argumentů, je druhá odmocnina polynomu 3. nebo 4. stupně , který nemá více kořenů , je nějaká konstanta z pole, kde je funkce definována. $R$ $P$ $C$

Obecně platí, že eliptický integrál nemůže být formálně vyjádřen v elementárních funkcích . Výjimkou jsou případy, kdy má více kořenů nebo kdy polynomy v neobsahují liché stupně . $P$ $R(x,\;y)$ $y$

Pro každý eliptický integrál však existují vzorce pro jeho redukci na součet elementárních funkcí a od jednoho do tří normálních eliptických integrálů , nazývaných eliptické integrály 1., 2. a 3. druhu).

Historie

V integrálním počtu se eliptický integrál objevil v souvislosti s problémem výpočtu délky oblouku elipsy a poprvé jej prozkoumal Giulio Fagnano a později Leonhard Euler .

Notace

Eliptické integrály jsou často reprezentovány jako funkce řady různých argumentů. Tyto různé argumenty jsou zcela ekvivalentní (poskytují stejné integrály), ale kvůli jejich různému původu může dojít k záměně. Ve většině děl se autoři drží kanonického jména. Před definováním samotných integrálů je nutné zavést názvy pro argumenty:

$\alpha$ - modulární úhel (někdy je modulární úhel označen ligaturou ); $o\!\varepsilon$
$k=\sin\alfa$ je modul eliptického integrálu ;
$m=k^2=\sin^2 \alpha$ - parametr .

Je třeba poznamenat, že normální eliptické Legendreovy integrály, úplné i neúplné, jsou dokonce funkcemi modulu (a modulárního úhlu ). Jejich doména definice $k$ $\alpha$ $-1\leq k\leq +1.$

Někdy, hlavně v sovětské vědecké literatuře, parametr eliptického integrálu znamená charakteristiku normálního eliptického Legendreho integrálu 3. druhu (např. Korn G., Korn T. "Příručka matematiky pro vědce a inženýry").

Všimněte si, že výše uvedená množství jsou definována jedna ve smyslu druhé; definice jednoho z nich určuje další dva.

Eliptický integrál závisí také na dalším parametru, který lze stejně jako předchozí zavést několika způsoby:

$x=\sin \varphi =\operatorname {sn} u,$ kde je Jacobiho eliptická funkce ; $\operatorname {sn}$
$\varphi =\arcsin x=\operatorname {am} u$ je amplituda ;

Definování jednoho z těchto parametrů určuje zbytek. Lze je tedy používat zaměnitelně. Všimněte si, že to také závisí na . Několik dalších rovnic se vztahuje k dalším parametrům: $u$ $m$ $u$

\cos \varphi =\operatorname {cn} u

{\sqrt {1-m\sin ^{2}\varphi }}=\operatorname {dn} u.

Ten se někdy nazývá delta amplituda a zapisuje se jako

\Delta (\varphi )=\název operátora {dn} u.

Někdy se v literatuře odkazuje na další parametr , dodatečný modul nebo další modulární úhel . Zadávají se následujícím způsobem:

$m_1\,=\,1 - m$ — doplňkový parametr ;
$k'=\sqrt{1-k^2}$ - přídavný modul ;
${k'}^{2}=m_{1}$ je přídavný modulární úhelník .

Normální eliptický integrál 1. druhu (neúplný)

Normální eliptický Legendreův integrál prvního druhu je definován jako $F$

F(\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^ {2}\theta }}}

nebo ve formě Jacobi,

F(x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {dz}{\sqrt {(1-z^{2})(1-k^ {2}z^{2})}}}

Označení eliptických integrálů není všeobecně přijímáno. Je nutné rozlišovat mezi těmito oddělovači mezi proměnnou a parametrem, jako je "\", "|" a ",". Pokud je jako oddělovač použit svislý pruh , následuje za ním integrální parametr, zatímco za zpětným lomítkem následuje modulární úhel. Zejména vztah

F(\varphi ,\;\sin \alpha )=F(\varphi \mid \sin ^{2}\alpha )=F(\varphi \setminus \alpha )

Speciální případy

F(\varphi \setminus 0) = \varphi

;

F(i\varphi \setminus 0) = i\varphi

;

F(\varphi \setminus 90^{\circ })=\ln \left(\operatorname {sec} \varphi +\operatorname {tg} \varphi \right)=\ln \operatorname {tg} \left ({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)

;

F(i\varphi \setminus 90^{\circ })=i\,\operatorname {arctg} \left(\operatorname {sh} \varphi \right)

;

Normální eliptický integrál 2. druhu (neúplný)

Normální eliptický Legendreův integrál 2. druhu E je definován jako

E(\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ ,d\theta

nebo pomocí substituce $x=\sin \varphi ,$

E(x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {\sqrt {1-k^{2}z^{2))}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz.

Speciální případy

E(\varphi ,0)=\varphi

;

E(i\varphi ,0)=i\varphi

;

E(\varphi ,1)=\sin \varphi

;

E(i\varphi ,1)=i\,\operatorname {sh} \varphi

Normální eliptický integrál 3. druhu (neúplný)

Normální eliptický Legendreův integrál 3. druhu je definován jako $\Pí$

\Pi (c;\;\varphi ,\;k)=\int \limits _{0}^{\varphi }\!{\frac {d\theta }{(1+c\sin ^{ 2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta ))))

nebo

\Pi (c;\;x,\;k)=\int \limits _{0}^{x}\!{\frac {dx}{(1+cx^{2}){\sqrt {(1-k^{2}x^{2})(1-x^{2})}}}}

Číslo se nazývá charakteristika a může mít jakoukoli hodnotu bez ohledu na ostatní argumenty. Vlastnosti eliptického integrálu 3. druhu v podstatě závisí na velikosti charakteristiky. Všimněte si, že hodnota integrálu má tendenci k nekonečnu pro jakýkoli . $C$ $\Pi (-1;\;\pi /2\mid m)$ $m$

Hyperbolické pouzdro

(0 < c < m )

Zaveďme další zápis:

\varepsilon =\operatorname {arcsin} \,{\sqrt {\frac {n}{\sin ^{2}\alpha }}},\qquad 0\leqslant \varepsilon \leqslant {\frac {\pi {2}}

;

\beta = \frac{\pi\,F(\varepsilon \setminus \alpha)}{2\,K(\alpha)}

;

q=q(\alpha )

;

\nu = \frac{\pi\,F(\varphi \setminus \alpha)}{2\,K(\alpha)}

;

{\displaystyle \delta _{1}={\sqrt {\frac {c}{(1-c)(\sin ^{2}\alpha -c)))))

;

K(\alpha)

je úplný normální eliptický Legendreův integrál prvního druhu .

Pak můžeme integrál napsat z hlediska funkcí Jacobi theta :

\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=\delta _{1}\left(-{\frac {1}{2}}\,\ln {\frac {\vartheta _{ 4}(\nu +\beta )}{\vartheta _{4}(\nu -\beta )}}+\nu \,{\frac {\vartheta _{1}'(\beta )}{\vartheta _{1}(\beta )}}\right),

kde

\frac{1}{2}\,\ln\frac{\vartheta_4(\nu+\beta)}{\vartheta_4(\nu-\beta)} = 2 \sum_{s=1}^{\infty} \ frac{q^s}{s(1-q^{2s})}\sin{2s\nu}\,\sin\,{2s\beta}

{\frac {\vartheta _{1}'(\beta )}{\vartheta _{1}(\beta )))=\název operátora {ctg} \,\beta +4\sum _{s= 1}^{\infty }{\frac {q^{2s}}{1-2q^{2s}\cos {2\beta }+q^{4s}}}\sin {2\beta }.

( c > 1)

Substitucí se tento případ redukuje na předchozí, od $C = \frac{\sin^2\alpha}{c}$ $0<C<\sin ^{2}\alpha .$

Zavádíme dodatečné množství

p_{1}={\sqrt {(c-1)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{c}}\right))).

Pak:

\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=-\Pi (C;\;\varphi \setminus \alpha )+F(\varphi \setminus \alpha )+{\frac {1} {2p_{1))}\ln \left({\frac {\Delta (\varphi )+p_{1}\jméno operátora {tg} \,\varphi }{\Delta (\varphi )-p_{1}\ jméno operátora {tg} \,\varphi }}\right).

Kruhové pouzdro

( m < c < 1)

Zaveďme další zápis:

\varepsilon =\operatorname {arcsin} \,{\sqrt {\frac {1-n}{\cos ^{2}\alpha }}},\qquad 0\leqslant \varepsilon \leqslant {\frac { \pi }{2}};

\beta ={\frac {\pi \,F(\varepsilon \setminus 90^{\circ }-\alpha )}{2\,K(\alpha )));

q=q(\alpha );

\nu ={\frac {\pi \,F(\varphi \setminus \alpha )}{2\,K(\alpha )));

\delta _{2}={\sqrt {\frac {c}{(1-c)(c-\sin ^{2}\alpha )))}.

Potom je eliptický integrál roven:

\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )=\delta _{2}(\lambda -4\mu \nu ),

kde

\lambda = \operatorname{arctg}\,(\operatorname{th}\,\beta\,\operatorname{tg}\,\nu) + 2 \sum_{s=1}^{\infty} \frac{( -1)^{s-1}}{s}\frac{q^{2s}}{1-q^{2s}}\sin{2s\nu}\,\jméno operátora{sh}\,{2s\ beta}

\mu ={\dfrac {\sum \limits _{s=1}^{\infty }sq^{s^{2}}\,\název operátora {sh} \,{2s\beta }}{ 1+\součet \limits _{s=1}^{\infty }q^{s^{2}}\,\jméno operátora {ch} \,{2s\beta }}}

( c < 0)

Substitucí se tento případ redukuje na předchozí, od $C = \frac{\sin^2\alpha - c}{1-c}$ $\sin ^{2}\alpha \ <C<1.$

Dovolte nám představit další množství

p_{2}={\sqrt {\frac {-c\,(\sin ^{2}\alpha -c)}{1-c))}.

Pak:

{\sqrt {(1-c)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{c))\right)))\,\Pi (c;\;\varphi \setminus \alpha )={\sqrt {(1-C)\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{C}}\right)))\,\Pi (C;\ ;\varphi \setminus \alpha )\,+\,{\frac {\sin ^{2}\alpha \,F(\varphi \setminus \alpha )}{p_{2))}\,+\,\ jméno operátora {arctg} \,\left({\frac {p_{2}}{2}}{\frac {\sin {2\varphi }}{\Delta (\varphi )))\right)

Úplný normální eliptický Legendreův integrál prvního druhu

Pokud je amplituda normálního eliptického Legendrova integrálu 1. druhu rovna , nazývá se úplný normální eliptický Legendreův integrál 1. druhu: $\varphi$ $\pi/2$

K(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2} \varphi }}}=F(\pi /2,\;k)

nebo

K(k) = \int \limits_{0}^{1}\!\frac{dx}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2 x^2))).

Úplný eliptický integrál 1. druhu lze znázornit jako mocninnou řadu :

K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n} n!^{2}}}\right)^{2}k^{2n},

což je ekvivalentní výrazu

K(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}k^{2}+ \left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}k^{4}+\ldots +\left({\frac {(2n-1)!!} {(2n)!!}}\right)^{2}k^{2n}+\ldots \right),

kde označuje dvojitý faktoriál . $n!!$

Úplný eliptický integrál 1. druhu lze pomocí hypergeometrické funkce zapsat takto:

K(k)={\frac {\pi }{2))\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2)),\;{\frac {1 }{2}};\;1;\;k^{2}\right).

Speciální případy

K(0)={\frac {\pi }{2)).

K(1)=\infty .

K\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2 }}{4{\sqrt {\pi }}}}.

K\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {2^{-{\frac {7}{ 3))}3^{\frac {1}{4}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}{\pi }}.

K\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)={\frac {2^{-{\frac {7}{ 3))}3^{\frac {3}{4}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{3}}{\pi }}.

\operatorname {sn} \,K=\sin {\frac {\pi }{2))=1.

\operatorname {cn} \,K=\cos {\frac {\pi }{2}}=0.

\operatorname {dn} \,K={\sqrt {1-k^{2))}=k'.

Derivace úplného eliptického integrálu prvního druhu

{\frac {\mathrm {d} K(k)}{\mathrm {d} k))={\frac {E(k)}{k(1-k^{2))))) - {\frac {K(k)}{k)),

kde je úplný normální eliptický Legendreův integrál druhého druhu, definovaný v další části. $E(k)$

Diferenciální rovnice

Úplný eliptický integrál 1. druhu je řešením diferenciální rovnice

{\frac {d}{dk}}\left(k\left(1-k^{2}\right){\frac {dK(k)}{dk}}\right)=kK(k ).

Druhé řešení této rovnice je $K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right).$

Úplný normální eliptický Legendreův integrál 2. druhu

Pokud je amplituda normálního eliptického Legendrova integrálu 2. druhu rovna , nazývá se úplný normální eliptický Legendreův integrál 2. druhu: $\varphi$ $\pi/2$

E(k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d\ varphi =E(\pi /2,\;k)

nebo

E(k) = \int \limits_{0}^{1}\,\frac{\sqrt{1-k^2 x^2}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Úplný eliptický integrál 2. druhu lze znázornit jako mocninnou řadu :

E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n} n!^{2}}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}),

což je ekvivalentní výrazu

E(k)={\frac {\pi }{2}}\left(1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^ {2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}- \ldots -\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\right)^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}- \ldots\right).

Úplný eliptický integrál 2. druhu lze pomocí hypergeometrické funkce zapsat takto:

E(k)={\frac {\pi }{2))\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2)),\;-{\frac { 1}{2}};\;1;\;k^{2}\vpravo).

Speciální případy

E\left(0\right)={\frac {\pi }{2)).

E\left(1\right)=1.

E\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)=\pi ^{\frac {3}{2}}\Gamma \left({\frac {1}{ 4}}\right)^{-2}+{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}{8{\sqrt {\pi }}} }.

E\left({\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\right)=2^{\frac {1}{3}}3^{ -{\frac {3}{4}}}\pi ^{2}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{-3}+2^{-{\frac { 10}{3}}}3^{-{\frac {1}{4}}}{\frac {{\sqrt {3}}+1}{\pi }}\Gamma \left({\frac { 1}{3}}\vpravo)^{3}.

E\left({\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}\right)=2^{\frac {1}{3}}3^{ -{\frac {1}{4}}}\pi ^{2}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{-3}+2^{-{\frac { 10}{3}}}3^{\frac {1}{4}}{\frac {{\sqrt {3}}-1}{\pi }}\Gamma \left({\frac {1}{ 3}}\vpravo)^{3}.

Derivace úplného eliptického integrálu 2. druhu

{\frac {\mathrm {d} E(k)}{\mathrm {d} k))={\frac {E(k)-K(k)}{k)).

Diferenciální rovnice

Úplný eliptický integrál 2. druhu je řešením diferenciální rovnice

\left(k^{2}-1\right){\frac {d}{dk}}\left(k\;{\frac {dE(k)}{dk}}\right)=kE (k).

Druhým řešením této rovnice je funkce $E\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)-K\left({\sqrt {1-k^{2}}}\right).$

Úplný normální eliptický Legendreův integrál 3. druhu

Podobně jako u úplných eliptických integrálů 1. a 2. druhu můžeme zavést úplný eliptický integrál 3. druhu:

\Pi (c,\;k)=\Pi (c;\;\pi /2,\;k)=\int \limits _{0}^{\pi /2}\!{\frac {d\varphi }{(1+c\sin ^{2}\varphi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi ))))

nebo

\Pi (c,\;k)=\Pi (c;\;1,\;k)=\int \limits _{0}^{1}\!{\frac {dx}{(1) +cx^{2}){\sqrt {(1-k^{2}x^{2})(1-x^{2}))))).

Hyperbolické pouzdro

(0 < c < m)

\Pi(c \setminus \alpha) = K(\alpha) + \delta_1K(\alpha)\Zeta (\varepsilon \setminus \alpha)

kde je funkce Jacobiho zeta . $\Zeta(\varepsilon \setminus \alpha)$

(c > 1)

\Pi (c\setminus \alpha )=K(\alpha )-\Pi (C\setminus \alpha ).

Kruhové pouzdro

(m < c < 1)

\Pi (c\setminus \alpha )=K(\alpha )+{\frac {1}{2}}\pi \delta _{2}\left(1-\Lambda _{0}(\ varepsilon \setminus \alpha )\right),

kde je funkce Heyman lambda . $\Lambda_0(\varepsilon \setminus \alpha)$

(c < 0)

\Pi (c\setminus \alpha )=-{\frac {c\cos ^{2}\alpha \,\Pi (C\setminus \alpha )}{(1-c)(\sin ^{ 2}\alpha -n)))+{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\sin ^{2}\alpha -c}}K(\alpha ).

Parciální derivace

{\begin{aligned}{\frac {\partial \Pi (c,k)}{\partial c))&={\frac {1}{2\left(k^{2}-c\ right)(c-1)}}\left(E(k)+{\frac {1}{c}}\left(k^{2}-c\right)K(k)+{\frac {1 }{c}}\left(c^{2}-k^{2}\vpravo)\Pi (c,k)\vpravo).\\[10px]{\frac {\částečné \Pi (c,k )}{\částečné k}}&={\frac {k}{ck^{2}}}\left({\frac {E(k)}{k^{2}-1}}+\Pi ( c,k)\vpravo).\end{aligned}}

Další eliptické integrály (neúplné)

Funkce Jacobi zeta

Z(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi \setminus \alpha )-{\frac {E(\alpha )F(\varphi \setminus \alpha )}{K(\alpha ))) ;

Heymanova lambda funkce

\Lambda _{0}(\varphi \setminus \alpha )={\frac {F(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )}{K'(\alpha ))))+{ \frac {2}{\pi }}K(\alpha )\,Z(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )

nebo

\Lambda _{0}(\varphi \setminus \alpha )={\frac {2}{\pi }}\left(K(\alpha )\,E(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )-\left(K(\alpha )-E(\alpha )\vpravo)\,F(\varphi \setminus 90^{\circ }-\alpha )\vpravo).

Viz také

Literatura

Bobylev D.K. Eliptické integrály a funkce // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.

Odkazy

Milne-Thomson L. Eliptické integrály // Příručka speciálních funkcí se vzorci, grafy a tabulkami / Ed. M. Abramowitz a I. Steegan; za. z angličtiny. vyd. V. A. Ditkin a L. N. Karamzina. - M .: Nauka, 1979. - S. 401-441. — 832 s. — 50 000 výtisků.
Korn G., Korn T. Příručka matematiky pro vědce a inženýry. — M.: Nauka, 1977.
Bateman G. Erdeyi A. Vyšší transcendentální funkce . - svazek 3 (kap. 13).
Akhiezer NI Základy teorie eliptických funkcí. (Kap. 3, 7).
Eliptické funkce (downlink) , procedury pro Matlab .

Slovníky a encyklopedie	Skvělý norský Velký Rus Brockhaus a Efron Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4152029-4

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius