Houba Menger
Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od
verze recenzované 5. prosince 2020; kontroly vyžadují
5 úprav .
Mengerova houba je geometrický fraktál , jeden z trojrozměrných analogů koberce Sierpinski .
Konstrukce
Iterační metoda
Krychle s hranou 1 je rozdělena rovinami rovnoběžnými s jejími stěnami na 27 stejných krychlí. Centrální krychle a všechny krychle tohoto dělení, které k ní přiléhají podél dvourozměrných ploch, jsou z krychle odstraněny. Ukazuje se sada skládající se z 20 zbývajících uzavřených kostek "první řady". Když uděláme totéž s každou z kostek první řady, dostaneme sadu skládající se ze 400 kostek druhé řady. Pokračujeme-li v tomto procesu donekonečna, dostaneme nekonečnou sekvenci





,
průsečíkem jehož členů je Mengerova houba.
Chaos game
Menger Sponge lze také získat procesem zvaným chaos game [1] [2] , který je následující:
- Je specifikováno 20 bodů atraktoru: 8 vrcholů a 12 středů hran původní krychle.
- Je nastaven nějaký výchozí bod , který leží uvnitř krychle.

- Posloupnost bodů se vytvoří v následujícím cyklu:
- Atraktor je náhodně vybrán z 20 možných se stejnou pravděpodobností.

- Bod se vytvoří s novými souřadnicemi: , kde: — souřadnice předchozího bodu ; jsou souřadnice vybraného atraktoru.





Pokud cyklus provedete mnohokrát (alespoň 100 tisíc) a poté zahodíte prvních několik desítek bodů, pak zbývající body vytvoří obrazec blízko Mengerovy houby.
Vlastnosti
- Mengerova houba se skládá z 20 stejných dílů, jejichž koeficient podobnosti je 1/3.
- Ortogonální projekce Mengerovy houby představují Sierpinského koberec.
- Mengerova houba má střední (tj. ne celé číslo ) Hausdorffův rozměr , který je stejný , protože se skládá z 20 stejných částí, z nichž každá je podobná celé houbě s faktorem podobnosti 1/3.

- Mengerova houba má navíc topologický rozměr 1
- Mengerova houba je topologicky charakterizována jako jednorozměrná propojená lokálně připojená metrizovatelná kompaktní sada, která nemá lokálně lomové body (tj. pro jakékoli připojené okolí libovolného bodu je sada spojena) a nemá neprázdné otevřené podmnožiny. zabudovatelné do letadla.



- Mengerova houba je univerzální Urysonova křivka , to znamená, ať je Urysohnova křivka jakákoliv , v Mengerově houbě je podmnožina , která je homeomorfní .



- Mengerova houba má nulový objem, ale nekonečnou plochu obličeje.
- Objem je určen vzorcem 20/27 pro každou iteraci:

- Část Mengerovy houby ohraničená krychlí se stranou 1 a středem v počátku rovinou obsahuje hexagramy .

- Houba Menger dobře rozptyluje rázové vlny. [3]
Viz také
Poznámky
- ↑ Michael Barnsley , Louise Barnsley. Fraktální transformace // Fraktály jako umění. Sborník článků / Per. v angličtině, francouzštině E. V. Nikolaeva. - Petrohrad. : Sparta, 2015. - S. 35. - 224 s. — ISBN 9785040137008 .
- ↑ Dariusz Buraczewski, Ewa Damek, Thomas Mikosch. Stochastické modely s mocninnými ocasy: Rovnice X = AX + B . — Springer, 04.07.2016. — 325 str. - S. 7. - ISBN 9783319296791 .
- ↑ Dana M. Dattelbaum, Axinte Ionita, Brian M. Patterson, Brittany A. Branch, Lindsey Kuettner. Rozptyl rázové vlny porézními strukturami s převahou rozhraní // AIP Advances. — 2020-07-01. - T. 10 , ne. 7 . - S. 075016 . - doi : 10.1063/5.0015179 . Archivováno z originálu 12. března 2022.
Odkazy