Houba Menger

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 5. prosince 2020; kontroly vyžadují 5 úprav .

Mengerova houba je geometrický fraktál , jeden z trojrozměrných analogů koberce Sierpinski .

Konstrukce

Iterační metoda

Krychle s hranou 1 je rozdělena rovinami rovnoběžnými s jejími stěnami na 27 stejných krychlí. Centrální krychle a všechny krychle tohoto dělení, které k ní přiléhají podél dvourozměrných ploch, jsou z krychle odstraněny. Ukazuje se sada skládající se z 20 zbývajících uzavřených kostek "první řady". Když uděláme totéž s každou z kostek první řady, dostaneme sadu skládající se ze 400 kostek druhé řady. Pokračujeme-li v tomto procesu donekonečna, dostaneme nekonečnou sekvenci $C_{0}$ $C_{0}$ $C_{1}$ $C_{2}$

C_{0}\supset C_{1}\supset \dots \supset C_{n}\supset \dots

průsečíkem jehož členů je Mengerova houba.

Chaos game

Menger Sponge lze také získat procesem zvaným chaos game [1] [2] , který je následující:

Je specifikováno 20 bodů atraktoru: 8 vrcholů a 12 středů hran původní krychle.
Je nastaven nějaký výchozí bod , který leží uvnitř krychle. $P_0$
Posloupnost bodů se vytvoří v následujícím cyklu:
1. Atraktor je náhodně vybrán z 20 možných se stejnou pravděpodobností. $A$
2. Bod se vytvoří s novými souřadnicemi: , kde: — souřadnice předchozího bodu ; jsou souřadnice vybraného atraktoru. $P_{i}$ $x_{i}={\frac {x_{i-1}+2x_{A}}{3));y_{i}={\frac {y_{i-1}+2y_{A}} {3));z_{i}={\frac {z_{i-1}+2z_{A}}{3}}$ $x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1}$ $P_{{i-1}}$ $x_{A},y_{A},z_{A}$

Pokud cyklus provedete mnohokrát (alespoň 100 tisíc) a poté zahodíte prvních několik desítek bodů, pak zbývající body vytvoří obrazec blízko Mengerovy houby.

Vlastnosti

Mengerova houba se skládá z 20 stejných dílů, jejichž koeficient podobnosti je 1/3.
Ortogonální projekce Mengerovy houby představují Sierpinského koberec.
Mengerova houba má střední (tj. ne celé číslo ) Hausdorffův rozměr , který je stejný , protože se skládá z 20 stejných částí, z nichž každá je podobná celé houbě s faktorem podobnosti 1/3. $\ln 20/\ln 3\cca 2{,}73$
Mengerova houba má navíc topologický rozměr 1
- Mengerova houba je topologicky charakterizována jako jednorozměrná propojená lokálně připojená metrizovatelná kompaktní sada, která nemá lokálně lomové body (tj. pro jakékoli připojené okolí libovolného bodu je sada spojena) a nemá neprázdné otevřené podmnožiny. zabudovatelné do letadla. $U$ $x \v M$ $U\setminus x$
Mengerova houba je univerzální Urysonova křivka , to znamená, ať je Urysohnova křivka jakákoliv , v Mengerově houbě je podmnožina , která je homeomorfní . $C$ $C'$ $C$
Mengerova houba má nulový objem, ale nekonečnou plochu obličeje.
- Objem je určen vzorcem 20/27 pro každou iteraci: $\left({\frac {20}{27}}\right)^{n}$

Část Mengerovy houby ohraničená krychlí se stranou 1 a středem v počátku rovinou obsahuje hexagramy . $x+y+z=0$
Houba Menger dobře rozptyluje rázové vlny. [3]

Viz také

Teorie chaosu
Systém iterovatelných funkcí

Poznámky

↑ Michael Barnsley , Louise Barnsley. Fraktální transformace // Fraktály jako umění. Sborník článků / Per. v angličtině, francouzštině E. V. Nikolaeva. - Petrohrad. : Sparta, 2015. - S. 35. - 224 s. — ISBN 9785040137008 .
↑ Dariusz Buraczewski, Ewa Damek, Thomas Mikosch. Stochastické modely s mocninnými ocasy: Rovnice X = AX + B . — Springer, 04.07.2016. — 325 str. - S. 7. - ISBN 9783319296791 .
↑ Dana M. Dattelbaum, Axinte Ionita, Brian M. Patterson, Brittany A. Branch, Lindsey Kuettner. Rozptyl rázové vlny porézními strukturami s převahou rozhraní // AIP Advances. — 2020-07-01. - T. 10 , ne. 7 . - S. 075016 . - doi : 10.1063/5.0015179 . Archivováno z originálu 12. března 2022.

Odkazy

fraktály
Charakteristika	fraktální dimenze Hausdorffův rozměr Lebesgueova dimenze rekurze sebepodobnost
Nejjednodušší fraktály	Fern Barnsley Sada Cantor dračí křivka Kochova křivka Houba Menger Koberec Sierpinski Sierpinského trojúhelník Křivka vyplňující prostor
podivný atraktor	Multifraktální
L-systém	Křivka vyplňující prostor
Bifurkační fraktály	Julia sada Ljapunovský fraktál Sada Mandelbrot Newtonovy bazény
Náhodné fraktály	Brownův pohyb brownian strom fraktální povrch Perkolační teorie
Lidé	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
související témata	Jak dlouhé je pobřeží Velké Británie? » Paradox pobřeží

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius