Zlatá spirála

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. dubna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Zlatá spirála nebo Fibonacciho spirála je logaritmická spirála , jejíž růstový faktor je φ 4 , kde φ  je zlatý řez . Růstový koeficient logaritmické spirály ukazuje, kolikrát se změnil polární poloměr spirály při otočení o úhel 360° [1] . Tato spirála získala svůj název díky svému spojení se sekvencí vnořených obdélníků s poměrem stran rovným φ , které se běžně nazývají zlaté . Zlatá spirála může být jak vepsána do systému takových obdélníků, tak kolem ní popsána. Zlatá spirála si získala oblibu díky tomu, že spirála, známá od počátku 16. století a používaná v umění [2] , postavená podle Dürerovy metody [3] [4] , se ukázala být dobrým přiblížením pro zlatá spirála (viz obrázek).

Vzorec

Rovnice pro zlatou spirálu v polárním souřadnicovém systému je stejná jako pro ostatní logaritmické spirály , ale se speciální hodnotou pro růstový faktor - φ 4 :

,

kde a  je libovolná kladná reálná konstanta a a  je zlatý řez .

Hlavní vlastnost logaritmické spirály: úhel mezi vektorem poloměru vycházejícím z pólu a tečnou ke spirále - μ - je konstantní a pro zlatou spirálu je určen vzorcem:

, kde .

kde .

Aproximace zlaté spirály

Existuje několik podobných spirál, které jsou blízko, ale nejsou úplně stejné jako zlatá spirála [5] , se kterou jsou často zaměňovány.

Jak již bylo zmíněno výše, když je zlatá spirála vepsána do sekvence vnořených zlatých obdélníků, je aproximována spirálou postavenou podle Dürerovy metody. Zlatý obdélník lze rozdělit na čtverec a podobný obdélník, které lze zase rozdělit stejným způsobem a tento proces může pokračovat libovolně kolikrát. Pokud se čtvrtiny vzájemně spojených kruhů zadají do těchto čtverců, získá se spirála, jak je znázorněno na prvním obrázku.

Dalším přiblížením je Fibonacciho spirála , která je postavena jako spirála výše, s tím rozdílem, že začnete s obdélníkem o dvou čtvercích a poté přidáte čtverec stejné délky na větší stranu obdélníku. Jak se poměr mezi sousedními Fibonacciho čísly blíží zlatému řezu, spirála se stále více přibližuje zlaté spirále, jak přibývají čtverce (viz druhý obrázek).

Spirály v přírodě

V přírodě existují aproximace k logaritmickým spirálám s růstovým faktorem rovným φ k . Schránky měkkýšů Nautilus pompilius a zkamenělí amoniti jsou tedy dobře popsáni při k = 2 a schránky některých plžů při k = 1. [ 6 ] spirální galaxie , navzdory existujícím tvrzením [8] , pokud jsou popsány logaritmicky, pak ne po zlaté spirále. V tomto případě je její popis projevem náhodné blízkosti. Nedávná analýza spirál nalezených v epitelu myší rohovky ukázala, že se tam vyskytují zlaté i jiné logaritmické spirály. [9]

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Vygodsky M. Ya. Příručka vyšší matematiky. M.: Nauka, 1977, str. 884.
  2. ↑ Prochorov A. Zlatá spirála, Kvant, 1984, č. 9.
  3. ↑ Arakelské. G. Matematika a dějiny zlatého řezu, Moskva: Logos, 2014, str. padesáti.
  4. ↑ Albrecht Durer (1525): Unterweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt, in Linien Ebnen und gantzen Corporen. Verlag Dr. Alfons Uhl (Reprint 2000), Nordlingen, ISBN 3 921503 65 5 (Angl. Překlad: The Painter's Manual, Abaris Books, New York 1977).
  5. ↑ Madden, 1999 , str. 14–16.
  6. ↑ A.N. Kovalev, Ještě jednou o zlatých spirálách // Academy of Trinitarianism, M., El No. 77-6567, publ . pdf Archivováno 13. října 2017 na Wayback Machine
  7. ↑ Petukhov S. V. Maticová genetika, algebry genetického kódu, odolnost proti šumu. - Moskva: Regulární a chaotická dynamika, 2008. - S. 107.
  8. ↑ Gazale, 1999 , s. 3.
  9. ↑ Rhee, 2015 , str. 22–38.

Literatura

 Zlatý řez
"zlaté" postavy
Další sekce
jiný