Quadratrix

Quadratrix je rovinná transcendentální křivka definovaná kinematicky . To bylo navrženo ve starověku (5. století př.nl) pro řešení problémů kvadratura kruhu a trisekce úhlu . Kvadritrix se stala první transcendentální křivkou v matematice [1] .

Definice

Kinematická definice kvadratiky je následující: uvažujme čtverec (obr. 1), do kterého je vepsán sektor o čtvrtině kruhu. Nechte bod pohybovat se rovnoměrně po oblouku z bodu do bodu ; současně se segment pohybuje rovnoměrně z pozice do pozice . Nakonec požadujeme, aby oba pohyby začínaly a končily současně. Potom průsečík poloměru a segmentu bude popisovat kvadratiku (viz obrázky 1 a 2, zvýrazněné červeně). $abeceda$ $E$ $D$ $B$ $A'B'$ $DC$ $AB$ $AE$ $A'B'$

Starověcí matematici měli předsudky vůči kinematickým definicím křivek a považovali je za nehodné geometrické vědy. Proto navrhli dvě další definice, které nepoužívají pojem mechanického pohybu; tyto definice jsou uvedeny ve spisech Pappa z Alexandrie a představují kvadratrix jako projekci některých křivek spojených se šroubovicí nebo Archimedovou spirálou [2] . Tyto konstrukce jsou poměrně složité a v praxi se nepoužívají.

V moderní době byly objeveny další konstrukce, kde se objevuje kvadratický; uvažujme například průsečík cívky šroubovice s rovinou obsahující osu tohoto povrchu. Pak průmět průsečíku na rovinu kolmou k ose je větví kvadratiky [3] .

Historie

První zmínku o kvadratrix učinili Pappus z Alexandrie [4] a Iamblichus na konci 3. století. Papp také podrobně popsal způsoby jeho konstrukce. Křivka byla objevena, podle Proclus Diadochus , sofistou Hippias v 5. století BC. E. a byl jím použit k řešení problému trisekce úhlu . Další starověký geometr, Dinostratus , prováděl ve 4. století před naším letopočtem. E. studie této křivky a ukázala, že také poskytuje řešení problému kvadratury kruhu . Ve zdrojích se tato křivka nazývá „Dinostratus quadritrix“ nebo „Hippias quadritrix“ [5] .

Papp píše, že matematik z nicejského sporu ze 3. století vznesl dvě vážné námitky proti použití čtverce ke čtverci kruhu, s čímž Papp plně souhlasí [6] :

Není možné přesně koordinovat pohyb segmentů BC a AB, pokud předem neznáte poměr délky oblouku čtvrtkruhu k poloměru, vznikne začarovaný kruh .
Bod K nelze sestrojit, protože v odpovídajícím časovém okamžiku se segment a poloměr shodují. V moderní terminologii, bod K je limit bodů kvadritrix - pojetí cizí starověké matematice.

V moderní době křivku zkoumali Roberval (1636), Fermat , Barrow (1670) a další známí matematici. Descartes věnoval mnoho stránek studiu kvadratiky ve své „ Geometrii “ (1637) [7] . Newton v roce 1676 určil délku oblouku quadritrix, jeho zakřivení a plochu jeho segmentu ve formě řady a také naznačil způsob kreslení tečen [8] .

Křivkové rovnice

V polárních souřadnicích :

\rho ={\frac {2R}{\pi }}{\frac {\varphi }{\sin \varphi }}).

Závěr
Nechť je poloměr kruhu, aktuální úhel a polární poloměr. Pro usnadnění zavedeme čas , který se během periody pohybu mění z 0 na 1. Pak lze rovnoměrný pohyb bodu po oblouku délky vyjádřit rovnicí: $R$ $\varphi$ $TEPLOUŠ$ $\rho =AF$ $t$ $E$ $\textstyle {\frac {\pi }{2}}$ $\varphi ={\frac {\pi }{2}}\cdot (1-t).$ Rovnoměrný pohyb segmentu je vyjádřen rovnicí: $A'B'$ $A'A=\rho \sin \varphi =(1-t)R$ Dosazením hodnoty z první rovnice do druhé nakonec dostaneme: $1-t$ $\rho ={\frac {2R\varphi }{\pi \sin \varphi }}.$

Závěr

Nechť je poloměr kruhu, aktuální úhel a polární poloměr. Pro usnadnění zavedeme čas , který se během periody pohybu mění z 0 na 1. Pak lze rovnoměrný pohyb bodu po oblouku délky vyjádřit rovnicí:

R

\varphi

TEPLOUŠ

\rho =AF

t

E

\textstyle {\frac {\pi }{2}}

\varphi ={\frac {\pi }{2}}\cdot (1-t).

Rovnoměrný pohyb segmentu je vyjádřen rovnicí: $A'B'$

A'A=\rho \sin \varphi =(1-t)R

Dosazením hodnoty z první rovnice do druhé nakonec dostaneme: $1-t$

\rho ={\frac {2R\varphi }{\pi \sin \varphi }}.

V pravoúhlých souřadnicích :

x=y\,\jméno operátora {ctg}{\frac {\pi y}{2R))

Závěr
Rovnici v polárních souřadnicích převedeme do tvaru: $\rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi$ Vzhledem k tomu , dostáváme $\rho \sin \varphi =y$ $y={\frac {2R}{\pi }}\varphi$ Z geometrických důvodů: . Potom bude rovnice vypadat takto: $\textstyle \varphi =\operatorname {arctg}{\frac {y}{x}}$ ${\frac {\pi y}{2R}}=\jméno operátora {arctg}{\frac {y}{x}}$ Vezmeme tečnu z obou částí: $\operatorname {tg}{\frac {\pi y}{2R}}={\frac {y}{x}}$ to znamená $x=y\,\jméno operátora {ctg}{\frac {\pi y}{2R))$

Závěr

Rovnici v polárních souřadnicích převedeme do tvaru:

\rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi

Vzhledem k tomu , dostáváme $\rho \sin \varphi =y$

y={\frac {2R}{\pi }}\varphi

Z geometrických důvodů: . Potom bude rovnice vypadat takto: $\textstyle \varphi =\operatorname {arctg}{\frac {y}{x}}$

{\frac {\pi y}{2R}}=\jméno operátora {arctg}{\frac {y}{x}}

Vezmeme tečnu z obou částí:

\operatorname {tg}{\frac {\pi y}{2R}}={\frac {y}{x}}

to znamená

x=y\,\jméno operátora {ctg}{\frac {\pi y}{2R))

Hlavní vlastnost

Kvadratickou rovnici v polárních souřadnicích lze zapsat jako:

\rho \sin \varphi ={\frac {2R}{\pi }}\varphi ,

nebo: kde

y=k\varphi,

k={\frac {2R}{\pi }}.

Z toho vyplývá hlavní vlastnost této křivky [9] :

Pořadnice libovolných dvou bodů kvadritriky souvisí jako polární úhly těchto bodů: ${\frac {y_{1}}{y_{2}}}={\frac {\varphi _{1}}{\varphi _{2}}}.$

Kvadratrix je jediná (nedegenerovaná) křivka v prvním souřadnicovém kvadrantu, která má tuto vlastnost (to lze snadno dokázat opakováním výše uvedené úvahy v opačném pořadí).

Další vlastnosti

Plocha čtvercového segmentu je určena vzorcem [3] : $ADFG$

S={\frac {2R^{2}\ln 2}{\pi }}

Aplikace

Úhlová trisekce

Úhlová trisekce , to znamená rozdělení libovolného úhlu na tři stejné části pomocí kvadratiky, se provádí elementárně. Nechť (obr. 1) je určitý úhel, jehož třetina musí být sestrojena. Algoritmus dělení je následující: $EAB$

Najdeme bod na čtverci a jeho pořadnici . $F$ $A'$
Odložte jeho třetí část na segment; získat nějaký bod . $AA'$ $H$
Najdeme bod s pořadnicí na čtverci . $K$ $H$
Předáme paprsek . Úhel je požadovaný. $AK$ $KAB$

Důkaz tohoto algoritmu okamžitě vyplývá z hlavní vlastnosti quadritrix. Je také zřejmé, že podobným způsobem je možné rozdělit úhel nejen na tři, ale i na libovolný jiný počet částí [10] .

Kvadratura kruhu

Problém kvadratury kruhu je položen následovně: sestrojte čtverec se stejnou plochou jako daná kružnice o poloměru . Algebraicky to znamená řešení rovnice: . $R$ $x^{2}=\pi R^{2}$

Sestrojme kvadratiku pro počáteční kružnici, jako na obr. 1. Pomocí první pozoruhodné limity dostaneme, že úsečka jejího spodního bodu (na obr. 3 je to úsečka ) je rovna . Vyjádříme to jako podíl: , kde je obvod kruhu. Výše uvedený vztah umožňuje sestrojit segment délky . Obdélník se stranami bude mít požadovanou plochu a sestavení čtverce o stejné ploše je jednoduchá záležitost, viz článek Kvadratura (matematika) nebo obr. 3. $AG$ $AJ$ ${\frac {2R}{\pi ))$ $C:2R=2R:AG$ $C=2\pi R$ $C$ $R$ $C/2$

Variace

Kromě výše diskutované Dinostratovy kvadratury existuje řada dalších křivek, které lze použít ke kvadraturaci kruhu, a proto se také nazývají kvadrice [3] .

Kvadratrix Chirnhaus (nebo Chirnhausen), afinní k obvyklé sinusoidě [11] :

y=a\sin {\frac {\pi x}{2a))

Ozanamova kvadritxa :

x=2a\sin ^{2}{\frac {y}{2a}}

Kochleoid [11] s polární rovnicí . $\rho =a{\frac {\sin \varphi }{\varphi ))$

Navíc řada autorů dává přednost záměně x a y v Dinostratově kvadratické rovnici [12] :

y=x\,\jméno operátora {ctg}{\frac {\pi x}{2R))

Tato možnost ( plná kvadratická ) má tu výhodu, že funkce je definována na celé reálné ose, kromě singulárních bodů (V bodě je funkce dále definována přechodem na limitu; viz její graf na obr. 4.) V polárních souřadnicích je centrální větev této verze křivky popsána vzorcem [12] : $y(x)$ $\pm 2R,\pm 4R,\pm 6R\tečky$ $x=0$ $y(x)$ $R=1$

\rho ={\frac {R}{\pi }}\cdot {\frac {\pi -2\varphi }{\cos \varphi }}

Tato křivka má nekonečný počet větví, pro které jsou svislé čáry v singulárních bodech asymptoty . Body křivky s pořadnicí (kromě bodu na ose y) jsou inflexní body [12] . $y={\frac {2R}{\pi }}$

Poznámky

↑ Historie matematiky. Od starověku do počátku New Age // Historie matematiky / Editoval A.P. Juškevič , ve třech svazcích. - M .: Nauka, 1970. - T. I. - S. 84-85.
↑ Prasolov V.V., 1992 , s. 58-61.
↑ 1 2 3 Savelov A. A., 1960 , s. 230.
↑ Pappus Alexandrijský . Matematická sbírka, kniha IV, 30-34.
↑ Savelov A. A., 1960 , s. 227.
↑ Prasolov, 2018 , str. 71.
↑ Prasolov V.V., 1992 , s. 61-62.
↑ Isaac Newton. Matematické práce / Překlad a komentáře D. D. Mordukhai-Boltovského . - M. - L. : ONTI, 1937. - S. 31 , 87-89, 99, 166, 227, 287. - 452 s. - (Klasika přírodních věd).
↑ Tři slavné problémy starověku, 1963 , s. 34-35.
↑ Tři slavné problémy starověku, 1963 , s. 35-37.
↑ 1 2 Vileitner G. Dějiny matematiky od Descarta do poloviny 19. století. - M. : GIFML, 1960. - S. 284. - 468 s.
↑ 1 2 3 Savelov A. A., 1960 , s. 228.

Literatura

Žukov A. V. "O čísle π" Archivní kopie z 29. února 2008 na Wayback Machine . M.: MTSNMO, 2002, 32 s ISBN 5-94057-030-5
Prasolov VV Dějiny matematiky, ve dvou svazcích. - M. : MTSNMO , 2018. - T. 1. - 296 s. - ISBN 978-5-4439-1275-2 , 978-5-4439-1276-9.
Prasolov VV Tři klasické konstrukční problémy. Zdvojení krychle, trisekce úhlu, kvadratura kruhu . — M .: Nauka, 1992. — 80 s. - ( Populární přednášky o matematice , číslo 62).
Proshletsova I. L. O Dinostratově kvadritice // Historické a matematické výzkumy . Petrohrad: Nakladatelství Mezinárodní nadace pro dějiny vědy. Problém. 35 (1994). s. 220-229.
Savelov A. A. Plane Curves: Systematika, vlastnosti, aplikace (referenční příručka). - M .: Fizmatlit, 1960. - S. 227-230. — 293 s. Znovu vydáno v roce 2002, ISBN 5-93972-125-7 .
Chistyakov V.D. Tři slavné problémy starověku. - M .: Stát. uch.-ped. nakladatelství Ministerstva školství RSFSR, 1963. - S. 33-37. — 96 str.
Shchetnikov A. I. Jak byla nalezena některá řešení tří klasických problémů starověku? // Matematické vzdělání. - 2008. - č. 4 (48) . - str. 3-15 .
Shchetnikov A.I. Hippiasova quadrix a její spojení s problémy trisekce úhlu a kvadratury kruhu // Sborník VIII. mezinárodních čtení Kolmogorova. - Yaroslavl: Publishing House of YaGPU, 2010. - S. 392 -396 . - ISBN 978-5-87555-630-2 .

Odkazy

Quadratrix of Hippias Archivováno 4. února 2012 na Wayback Machine v archivu MacTutor. (Angličtina)
Kvadratrix Hippias v Konvergenci . (Angličtina)

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius