Koberec Sierpinski

Sierpinského koberec ( Sierpinski square ) je fraktál , jeden z dvourozměrných analogů Cantorovy množiny , který navrhl polský matematik Václav Sierpinski v roce 1916 [1]

Konstrukce

Iterační metoda

Čtverec je rozdělen přímkami rovnoběžnými s jeho stranami na 9 stejných čtverců. Interiér centrálního náměstí je z náměstí odstraněn. Ukazuje se sada skládající se z 8 zbývajících polí "první řady". Když uděláme totéž s každým ze čtverců první řady, dostaneme sadu skládající se z 64 čtverců druhé řady. Pokračujeme-li v tomto procesu donekonečna, dostaneme nekonečnou sekvenci $Q_0$ $Q_0$ $Q_1$

Q_{0}\supset Q_{1}\supset \dots \supset Q_{n}\supset \dots ,

průsečíkem jejích členů je Sierpinski koberec.

Metoda chaosu

1. Jsou nastaveny souřadnice 8 bodů-přitahovačů . Jsou to vrcholy a středy stran původního čtverce .

Q_0

2. Pravděpodobnostní prostor je rozdělen na 8 stejných částí, z nichž každá odpovídá jednomu atraktoru.

(0;1)

3. Je nastaven nějaký počáteční bod , který leží uvnitř čtverce .

P_0

Q_0

4. Začátek cyklu konstruování bodů patřících do kobercové sady Sierpinski. 1. Vygeneruje se náhodné číslo .

n\in(0;1)

2. Aktivním atraktorem je vrchol, na jehož pravděpodobnostní podprostor vygenerované číslo padlo. 3. Bod je vytvořen s novými souřadnicemi: ,

P_{i}

x_{i}={\frac {x_{i-1}+2x_{A}}{3));y_{i}={\frac {y_{i-1}+2y_{A}} {3}}

kde: - souřadnice předchozího bodu ; jsou souřadnice aktivního bodového přitahovače.

x_{{i-1}},y_{{i-1}}

P_{{i-1}}

x_{A},y_{A}

5. Vraťte se na začátek cyklu.

Vlastnosti

Koberec Sierpinski je speciálním případem polygonální sady Sierpinski. Skládá se z 8 stejných částí, koeficient podobnosti je 1/3.
Koberec Sierpinski je uzavřen .
Koberec Sierpinski má topologický rozměr 1.
Koberec Sierpinski má střední (tj. neceločíselný ) Hausdorffův rozměr . Zejména, $\ln 8/\ln 3\cca 1{,}89$
- má Lebesgue míru nula .
Jestliže hyperbolická grupa má jednorozměrnou hranici a není polopřímým součinem , pak je její hranice homeomorfní vůči Sierpinského koberci.

Viz také

Poznámky

↑ W. Sierpinski. Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoquet et continue detoute courbe donnée. //Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. - Paříž. - Tome 162, Janvier - Juin 1916. - Pp. 629 – 632. – [https://web.archive.org/web/20210824050957/https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k3115n.f631 Archivováno 24. srpna 2021 na Wayback Machine ]

Odkazy

Související média Sierpinski Carpet na Wikimedia Commons
Variace na téma Tremas II
Sierpinski cookies
Koberec Sierpinski na FractalWorld

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius

fraktály
Charakteristika	fraktální dimenze Hausdorffův rozměr Lebesgueova dimenze rekurze sebepodobnost
Nejjednodušší fraktály	Fern Barnsley Sada Cantor dračí křivka Kochova křivka Houba Menger Koberec Sierpinski Sierpinského trojúhelník Křivka vyplňující prostor
podivný atraktor	Multifraktální
L-systém	Křivka vyplňující prostor
Bifurkační fraktály	Julia sada Ljapunovský fraktál Sada Mandelbrot Newtonovy bazény
Náhodné fraktály	Brownův pohyb brownian strom fraktální povrch Perkolační teorie
Lidé	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexandr Ljapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Václav Sierpinski
související témata	Jak dlouhé je pobřeží Velké Británie? » Paradox pobřeží