Theodorova spirála

Theodoriova spirála (také nazývaná druhá odmocnina úhlové spirály , Einsteinova spirála nebo Pythagorova spirála ) [1]  je aproximací Archimedovy spirály , sestávající z přilehlých pravoúhlých trojúhelníků, které spolu sousedí. Je pojmenován po Theodorovi z Kyrény , starověkém řeckém vědci, známém jako učitel Platóna , který žil v 5. století před naším letopočtem v Libyi.

Konstrukce

Spirála začíná rovnoramenným pravoúhlým trojúhelníkem , jehož každá větev má jednotkovou délku. Potom se přidá další pravoúhlý trojúhelník, jehož větev je přepona předchozího trojúhelníku (o délce √2 ) a druhá větev má délku 1; délka přepony druhého trojúhelníku je √ 3 . Proces se poté opakuje; N-tý trojúhelník v posloupnosti je pravoúhlý trojúhelník s rameny √ n a 1 as přeponou √ n + 1 . Například 16. trojúhelník má strany velikosti 4 (= √ 16 ), 1 a přeponu √ 17 .

Historie a použití

Ačkoli všechna Theodorova díla jsou ztracena, Platón se o Theodorovi zmínil ve svém dialogu Theaetetus , který líčí jeho dílo. Konkrétně se v něm říká, že Theodore dokázal, že všechny druhé odmocniny celých čísel od 3 do 17 jsou iracionální čísla (Platón nepřipisuje Theodorovi důkaz, že druhá odmocnina z 2 je iracionální , protože to bylo dobře známo již před ním) . Následně Theaetetus z Athén klasifikoval segmenty, které produkují racionální čtverce, do dvou kategorií: úměrné jednotě a iracionální [2] [3] .

Existují různé hypotézy o tom, jak to Theodore dokázal a proč se usadil na √17 . Jednou z hypotéz, kterou vlastní německý matematik Anderhub, je, že to dokázal pomocí Theodorovy spirály [4] . V této spirále patří přepona √ 17 k poslednímu trojúhelníku, který nepřekrývá postavu tvořenou spirálou, což vysvětluje, proč Theodore dosáhl √ 17 [5] . To však není jediné možné vysvětlení této skutečnosti [3] .

Pokračování spirály

V roce 1958 Erich Teuffel dokázal, že žádné dvě přepony trojúhelníků, které tvoří šroubovici, neleží na stejném paprsku. Také pokud jsou strany jednotkové délky prodlouženy do přímky, nikdy neprojdou žádným z ostatních vrcholů spirály [6] [7] .

Rychlost růstu

Úhel

Pokud je úhel n-tého trojúhelníku (nebo spirálového segmentu), pak:

Přírůstek úhlu následujícího po n-tém trojúhelníku je tedy: [1]

Součet úhlů prvních "k" trojúhelníků je označen společným úhlem pro k -tý trojúhelník, který roste úměrně druhé odmocnině z k , jde o omezenou funkci s korekčním členem c 2 : [1]

kde

Poloměr

Růst poloměru spirály pro nějaký trojúhelník s číslem n je roven

Archimedova spirála

Theodorian spirála se blíží Archimedean spirále . [1] . Protože vzdálenost mezi dvěma závity Archimedovy spirály je rovna konstantě pi = 3,14 ..., pak když počet závitů Theodorovy spirály má tendenci k nekonečnu, vzdálenost mezi dvěma po sobě jdoucími závity se rychle blíží π. [8] Níže je tabulka znázorňující aproximaci závitů spirály k pí:


Cívka č.: Odhadovaná průměrná vzdálenost mezi zatáčkami Průměrná přesnost vzdálenosti vinutí ve srovnání s π
2 3,1592037 99,44255 %
3 3,1443455 99,91245 %
čtyři 3,14428 99,91453 %
5 3,142395 99,97447 %
Limita funkce jako n → ∞ → str → 100 %

Jak je ukázáno, pouze po pátém otočení šroubovice je vzdálenost s přesností 99,97 % přesnou aproximací π.

V komplexní rovině

V komplexní rovině mohou být vrcholy šroubovice dány následujícím jednoduchým rekurentním vztahem :

, pro

kde  je imaginární jednotka [9] .

Spojitá křivka

Problém, jak interpolovat diskrétní body Theodorovy spirály hladké křivky, byl navržen a vyřešen v ( Davis 2001 , s. 37–38) analogicky s Eulerovým vzorcem pro funkci gama jako aproximací pro faktoriál , Philip Davis našel funkci

kterou později studoval jeho student Geoffrey Lieder [10] a Arie Iserles (příloha k ( Davis 2001 )). Axiomatická charakteristika této funkce je uvedena v ( Gronau 2004 ) jako jediná funkce , která splňuje funkcionální rovnici

s počáteční podmínkou a je monotónní jak v argumentu , tak v modulu . Zkoumají se tam i alternativní podmínky a relaxace. Alternativní důkaz je uveden v ( Heuvers, Moak & Boursaw 2000 ). Analytické pokračování spojité Davisovy funkce pro Theodorianskou spirálu, která se rozprostírá v opačném směru od počátku, je uvedeno v ( Waldvogel 2009 ).

Na obrázku jsou uzly původní (diskrétní) Theodorovy spirály označeny malými zelenými kroužky. Modré kroužky jsou ty, které byly přidány při pokračování do negativní (podle hodnoty parametru je to i polární poloměr) větve. Číslovány jsou pouze uzly s celočíselnou hodnotou polárního poloměru . Oranžová tečkovaná kružnice je kružnice zakřivení spirály v počátku .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ 1 2 3 4 Hahn, Harry K., Uspořádaná distribuce přirozených čísel na spirále druhé odmocniny, arΧiv : 0712.2184 .  
  2. ↑ Plato & Dyde, Samuel Walters (1899), Theaetetus of Plato , J. Maclehose, str. 86–87. , < https://books.google.com/books?id=wt29k-Jz8pIC&printsec=titlepage >  
  3. ↑ 1 2 Van der Waerden. Věda probuzení. Matematika starověkého Egypta, Babylonu a Řecka . - M. : Nauka, 1959. - S. 199. - 456 s. Archivováno 27. března 2009 na Wayback Machine
  4. ↑ Theodorova spirála a součty hodnot Zeta ​​na polovičních celých číslech  //  The American Mathematical Monthly. - 2012. - Sv. 119 , iss. 9 . — S. 779 . doi : 10.4169 / amer.math.monthly.119.09.779 . Archivováno z originálu 27. dubna 2019.
  5. ↑ Nahin, Paul J. (1998), Imaginární příběh: Příběh √ −1 , Princeton University Press, s. 33, ISBN 0-691-02795-1 , < https://books.google.com/books?id=WvcfqBgZDWQC&printsec=frontcover >  
  6. ↑ Long, Kate Lekce o kořenové spirále . Získáno 30. dubna 2008. Archivováno z originálu 4. dubna 2013.
  7. ↑ Erich Teuffel, Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke, Math.-Phys. semestru. 6 (1958), str. 148-152.
  8. ↑ Hahn, Harry K. (2008), Rozdělení přirozených čísel dělitelných 2, 3, 5, 7, 11, 13 a 17 na spirále druhé odmocniny, arΧiv : 0801.4422 .  
  9. ↑ Gronau, 2004 .
  10. ↑ Vedoucí, JJ The Generalized Theodorus Iteration (disertační práce), 1990, Brown University

Literatura