Superelipsa ( Kulhavá křivka ) je geometrická křivka definovaná v kartézských souřadnicích rovnicí
kde n , a a b jsou kladná čísla.
Vzorec definuje uzavřenou křivku ohraničenou obdélníkem − a ≤ x ≤ + a a − b ≤ y ≤ + b . Parametry a a b se nazývají poloosy nebo poloprůměry křivky.
Když je n mezi 0 a 1, superelipsa vypadá jako čtyřcípá hvězda s konkávními stranami. Zejména pro n = 1/2 jsou strany hvězdy paraboly .
Když n = 1, křivka je kosočtverec s vrcholy (± a , 0) a (0, ± b ). Pro n mezi 1 a 2 vypadá křivka jako kosočtverec s konvexními stranami.
Pro n = 2 se křivka změní na elipsu (zejména pro a = b na kružnici). Pro n > 2 vypadá křivka jako obdélník se zaoblenými rohy. V bodech (± a , 0) a (0, ± b ) je zakřivení křivky nulové.
Pro n < 2 se křivce někdy říká „hypoelipsa“ a pro n > 2 „hyperelipsa“.
Krajní body superelipsy se rovnají (± a , 0) a (0, ± b ) a souřadnice „rohů“ (tj. průsečíků s úhlopříčkami opsaného obdélníku) jsou (± sa, ±sb ), kde [1] ).
Když n je nenulové racionální číslo p / q , superelipsa je algebraická křivka . Pro kladné n je řád pq , pro záporné n je 2 pq . Konkrétně, když a = b = 1 a n je sudé celé číslo, superelipsa je Fermatova křivka stupně n . V tomto případě není singulární, i když obecně je singulární ..
Pokud například x 4/3 + y 4/3 = 1, pak křivka je algebraická křivka stupně 12 třetího druhu daná implicitní rovnicí
nebo parametrická rovnice
nebo
Plocha superelipsy je vyjádřena vzorcem
Superelipsu lze zobecnit jako:
nebo
(zde je parametr, který by neměl být interpretován jako úhel).
Superelipsu ve formě rovnice v kartézských souřadnicích jako zobecnění obvyklé elipsy poprvé navrhl Gabriel Lame (1795-1870).
"Vynález" superelipsy je někdy mylně připisován dánskému básníkovi a vědci Pietu Heinovi (1905-1996). V roce 1959 vyhlásila stockholmská architektonická kancelář soutěž na návrh kruhového objezdu kolem náměstí Sergelstorg . Piet Hein vyhrál soutěž, když navrhl superelipsový transportní prstenec s n = 2,5 a a / b = 6/5 [2] . Rekonstrukce náměstí byla dokončena v roce 1967. Hein použil superelipsu v dalších provedeních - postele, talíře, stolky [3] . Otáčením superelipsy kolem její dlouhé osy vytvořil „ supervejce “, které se stalo oblíbenou hračkou, protože na rozdíl od běžného vejce mohlo stát na rovném povrchu.
V roce 1968, kdy se delegace na jednání o válce ve Vietnamu v Paříži nemohly shodnout na tvaru tabulky, byla navržena superelipsa [2] . Azteca Stadium v Mexico City , hlavní stadion olympijských her v roce 1968, má supereliptický tvar .
Waldo Tobler v roce 1973 vyvinul mapovou projekci známou jako Toblerova hyperelliptická projekce , ve které jsou meridiány superelipsy [4] .
Písmo Melior , vytvořené Hermannem Zapfem v roce 1952, má supereliptická „o“. Má se za to, že Zapf zvolil formu písmene intuitivně, neměl tušení o matematickém obsahu této formy, a teprve později Piet Hein zaznamenal podobnost prvků některých písmen písma se superelipsami. O 30 let později zabudoval Donald Knuth do své rodiny písem Computer Modern možnost volit mezi skutečnými elipsami a superelipsami (oba tvary aproximované kubickými křivkami ) .
Logo fotbalového týmu Pittsburgh Steelers obsahuje tři čtyřúhelníkové hvězdy, které jsou superelipsami s n = 0,5.
V mobilním operačním systému iOS se od verze 7 používají superelipsy k vytvoření vnějšího obrysu ikon (místo čtverců se zaoblenými rohy) a seskupení ikon (místo obdélníkových obdélníků). [5] iOS používá parametry a = b = 60 an = 5.
Křivky | |||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Definice | |||||||||||||||||||
Transformováno | |||||||||||||||||||
Nerovinné | |||||||||||||||||||
Plochá algebraika |
| ||||||||||||||||||
Ploché transcendentální |
| ||||||||||||||||||
fraktál |
|