Hasseova věta

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 1. června 2019; kontroly vyžadují 14 úprav .

Hasseova věta o eliptické křivce , nazývaná také Hasseova hranice , poskytuje odhad počtu bodů na eliptické křivce nad konečným polem a omezuje hodnoty nad i pod. Hasseova věta je ekvivalentní určení absolutní hodnoty kořenů lokální zeta funkce . V této podobě ji lze považovat za obdobu Riemannovy hypotézy pro pole funkcí spojených s eliptickou křivkou.

Historie

Důležitou otázkou v teorii eliptických křivek nad konečnými poli je získání účinného algoritmu pro počítání počtu bodů ležících na dané křivce. V roce 1924 předložil Emil Artin domněnku omezující počet bodů eliptické křivky nad konečným polem shora a zdola [1] . Tuto domněnku dokázal Helmut Hasse v roce 1933 a publikoval ji v řadě článků v roce 1936 [2] . Následně výsledky Hasseovy práce zobecnil André Weil na křivky libovolného rodu a použil je ke studiu lokálních funkcí zeta.

Prohlášení věty

Hasseova věta o eliptické křivce říká, že počet bodů na eliptické křivce nad konečným polem splňuje nerovnost . [3] [4] $N$ $\mathbb {F} _{q}$ $|N-(q+1)|\leqslant 2{\sqrt {q))$

Nerovnice vyplývá ze skutečnosti, že se liší od , počtu bodů na projektivní přímce nad stejným polem, součtem dvou komplexně sdružených čísel s modulem . $N$ $q+1$ ${\sqrt {q))$

Důkaz

V průběhu důkazu bude nejdůležitější roli hrát upravená rovnice

Y^{2}={\frac {X^{3}+aX+b}{x^{3}+ax+b}}

jehož řešení hledáme v oblasti racionálních funkcí proměnné . Dvě řešení této rovnice jsou jednoduchá a rovná se ; . $X$ $X=x, Y=1$ $X=x^{p},Y=(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}}$

Sčítání řešení této rovnice probíhá podle stejných vzorců jako sčítání bodů na eliptické křivce, to znamená, že třetí bod je vybrán na průsečíku křivky a přímky a výsledkem bude bod s souřadnice

X_{3}=-X_{1}-X_{2}+{\frac {Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}}(x^{3}+ax +b)

Y_{3}={\frac {Y_{2}-Y_{1}}{X_{2}-X_{1}}}(X_{3}-X_{1})+Y_{1}

Dále sestrojíme nekonečnou posloupnost řešení, což je aritmetický postup s rozdílem a počátečním členem $(x,1)$

(X_{0},Y_{0})=(x^{p},(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}})

Každý prvek sekvence může být reprezentován jako neredukovatelný vztah . Dále zavedeme funkci rovnou stupni polynomu . $X_{n}={\frac {P_{n}}{Q_{n}}}$ $d_{n}$ $P_{n}$

Pro důkaz potřebujeme 4 lemmata:

Lemma 1 : $d_{{-1}}-d_{0}-1=N_{p}-p$

Důkaz lemmatu 1:

Podle sčítacích vzorců máme , pak si všimneme, že stupeň v čitateli je větší než stupeň ve jmenovateli o 1, protože , kde R(x) je polynom stupně nepřesahující 2p. Vypočítejte jmenovatel zlomku provedením nezbytných redukcí. Na jedné straně , na druhé, jak víte, $X_{{-1}}=-xx^{p}+{\frac {(1+(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}})^{2} (x^{3}+ax+b)}{(xx^{p})^{2}}}$ $X_{{-1}}={\frac {x^{{2p+1}}+R(x)}{(xx^{p})^{2}}}$ $(xx^{p})^{2}=(x(x-1)...(x-p+1))^{2}$

(x^{3}+ax+b)^{{(p-1)/2}}=\left({\frac {x^{3}+ax+b}{p}}\right)

při redukci tedy ze jmenovatele vypadnou pouze faktory tvaru c a faktory tvaru c . Nechť je počet faktorů prvního druhu a nechť je počet faktorů druhého druhu . Potom , a vezmeme-li v úvahu to , získáme . Počet je roven , protože každá třída zbytků odpovídá dvěma řešením a třídě zbytků - jedna. To dokazuje, co je požadováno. $(xk)^{2}$ ${\frac {k^{3}+ak+b}{p}}=-1$ $(xl)$ $l^{3}+al+b=0$ $m$ $n$ $d_{{-1}}=2p-2m-n+1$ $d_{0}=p$ $d_{{-1}}-d_{0}-1=p-2m-n$ $N$ $2(pm)-n$ $k$ $l$

Lemma 2 : $d_{n}=n^{2}-(d_{{-1}}-d_{0}-1)n+d_{0}$

Důkaz lemmatu 2:

Podle hlavního lemmatu . Je zřejmé, že pro a platí lemma: nechť platí pro indexy a , . Pak $d_{{n+2}}=2d_{{n+1}}-d_{n}+2$ $n=-1$ $n=0$ $n$ $n+1$ $n\geqslant 0$

d_{{n+2}}=2d_{{n+1}}-d_{n}+2=2((n+1)^{2}-(d_{{-1}}-d_{0} -1)(n+1)+d_{0})-n^{2}+(d_{{-1}}-d_{0}-1)n-d_{0}+2=(n+2 )^{2}-(d_{{-1}}-d_{0}-1)(n+2)+d_{0})

Lema je dokázáno.

Lemma 3 : Pro všechna n, pro která je funkce X n definována, platí nerovnost Čl. R n > art. Q n .

Důkaz lemmatu 3:

Tuto nerovnost prokážeme formálním zjištěním hodnoty funkce v . Nechť je za další mezerou nula nebo první číslo $X_n$ $x=\infty$ $m$ [ specifikovat ] , . Podle konstrukce a ≠0. Předpokládejme opak. Vzhledem k tomu, že zlomek musí být čtverec, musí být rozdíl mezi stupni čitatele a jmenovatele funkce liché číslo, pak spolu s dává . Pro aritmetický postup, $m\geqslant 0$ $X|_{{\infty }}=\infty$ $Y|_{{\infty }}$ ${\frac {X_{{n+1}}^{3}+aX_{{n+1}}+b}{x^{3}+ax+b}}$ $X_{{n+1}}$ $Y_{{n+1}}|_{\infty }=0$ $X_{{n+1}}|_{\infty }=0$

Y_{{n+1}}={\frac {1-Y_{n}}{X-X_{n}}}(x-X_{{n+1}})-1

Odtud najdeme

{\frac {1-Y_{n}}{x-X_{n}}}(x-X_{n})|_{\infty }=1

nebo

{\frac {1-Y_{n}}{1-{\frac {X_{n}}{x}}}}|_{\infty }=1

to znamená

{\frac {Y_{n}x}{X_{n}}}|_{\infty }=1

{\frac {Y_{n}^{2}x^{2}}{X_{n}^{2}}}|_{\infty }={\frac {(X_{n}^{3}+ aX_{n}+b)x^{2}}{(x^{3}+ax+b)X_{n}^{2}}}|_{\infty }=1

Z toho vyplývá, že . Na druhou stranu $X_{n}|_{\infty }=x|_{\infty }=\infty$ ${\frac {X_{n}}{x}}|_{\infty }=1$

X_{{n+1}}=-x-X_{n}+{\frac {(1-Y_{n}^{2})^{2}}{(x-X_{n})^{2 }}}(x^{3}+ax+b)

Odtud najdeme

{\frac {X_{n}}{x}}=-1-{\frac {X_{n}}{x}}+{\frac {(1-Y_{n}^{2})^{2 }}{(1-{\frac {X_{n}}{x}})^{2}}}(1+{\frac {a}{x^{2}}}+{\frac {b} {x^{3}}})

tak

{\frac {X_{{n+1}}}{x}}|_{\infty }=-1

Ale z této rovnosti plyne to , co je v rozporu s učiněným předpokladem . Lema je dokázáno. $Y_{{n+1}}^{2}|_{\infty }$ $Y_{{n+1}}^{2}|_{\infty }=0$

Hlavní lemma : . $d_{{n-1}}+d_{{n+1}}=2d_{n}+2$

Důkaz hlavního lemmatu:

Hlavní potíže při dokazování věty se soustředí na hlavní lemma. Pojďme k jeho důkazu. pro libovolný polynom P symbol st. R bude označovat stupeň tohoto polynomu.

Zjistíme, že redukujeme na společného jmenovatele a sbíráme podobné pojmy ve vzorci pro sčítání řešení

X_{{n-1}}={\frac {-(xQ_{n}+P_{n})(xQ_{n}-P_{n})^{2}+(1+Y_{n})^ {2}(x^{3}+ax+b)Q_{n}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}={\frac {(xQ_{n}+P_{ n})(xP_{n}+aQ_{n})+2bQ_{n}^{2}+2Y_{n}(x^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}}{( xQ_{n}-P_{n})^{2}}}={\frac {S}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}

Vynásobením dvou výše uvedených vzorců člen po členu a provedením redukcí získáme

X_{{n-1}}X_{{n+1}}={\frac {P_{{n-1)P_{{n+1}}}}}{Q_{{n-1}}Q_{ {n+1))))={\frac {(xP_{n}-aQ_{n})^{2}-2b(xQ_{n}+P_{n})}{(xQ_{n}-P_ {n})^{2}}}

Účelem následující úvahy je ukázat, že . Z této rovnosti získáme přímo hlavní lemma, ve skutečnosti z toho plyne $Q_{{n-1}}*Q_{{n+1}}=(xP_{n}-aQ_{n})^{2}$

P_{{n-1}}*P_{{n+1}}=(xP_{n}-aQ_{n})^{2}-4bQ_{n}(xQ_{n}+P_{n})

znamená Čl. = Umění. , protože na základě lemmatu 3 se vedoucí člen polynomu shoduje s vedoucím členem polynomu . Nyní dokažme požadovanou rovnost. $d_{{n-1}}+d_{{n+1}}=$ $(P_{{n-1}}P_{{n+1}})$ $(x^{2}P_{n}^{2})=2d_{n}+2$ $P_{{n-1}}P_{{n+1}}$ $x^{2}P_{n}^{2}$

Připomeňme, že v oblasti polynomů existuje unikátní faktorizace na neredukovatelné faktory. Nechť je ireducibilní polynom a nechť je libovolné kladné celé číslo. Řekneme, že polynom striktně dělí nějakou ireducibilní racionální funkci, pokud je jeho čitatel dělitelný , ale není dělitelný . K prokázání požadované rovnosti je nutné stanovit, že pokud polynom striktně dělí , pak přísně dělí také . Ve skutečnosti je kvocient polynom, který je relativně prvočíslý k polynomu (xQ_n-P_n)^2. Ale protože z výše uvedené rovnice vyplývá, že funkce je polynom, pak z předchozích rovností pro <X_{n-1}> a <X_{n+1}> snadno vyjde, že jmenovatelé dělí polynom . Kvocient tedy může být pouze konstanta a tato konstanta je rovna jedné kvůli přijaté normalizaci vedoucích členů čitatelů . $E$ $E$ $E^{e}$ $E^{e}$ $E^{{e+1}}$ $E^{e}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}$ ${\frac {Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}$ $Y_{n}(x^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}$ $Q_{{n-1}}$ $Q_{{n+1}}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{4}$ ${\frac {Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}}{(xQ_{n}-P_{n})^{2}}}$ $P_{n}$

Všechny ireducibilní dělitele polynomu rozdělíme do tří skupin. První skupina zahrnuje ty polynomy, které dělí R, ale nedělí S. Z toho okamžitě vyplývá, že pokud polynom striktně dělí , pak striktně dělí jmenovatele a je se jmenovatelem coprime . Do druhé skupiny patří ty polynomy , které dělí S, ale nedělí R. Stejně tak se ukazuje, že pokud polynom striktně dělí , pak striktně dělí jmenovatele a je společný se jmenovatelem . Konečně třetí skupina zahrnuje ty polynomy , které rozdělují R i S. Od $E$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{e}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{{n+1}}$ $Q_{{n-1}}$ $>E$ $E^{e}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{{n-1}}$ $Q_{{n+1}}$ $E$

P_{n}=xQ_{n}(režim)

to následuje

R=2Q_{n}(1-Y_{n})(x^{3}+ax+b)(režimE)

S=2Q_{n}(1+Y_{n})(x^{3}+ax+b)(režimE)

Polynom , rozdělující polynom , se nemůže dělit, protože a jsou coprime. Odtud az posledních vzorců vyplývá, že , takže pokud dělí a , pak striktně dělí polynom (předpokladem, že tento polynom nemá více kořenů). $E$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $Q_{n}$ $P_{n}$ $Q_{n}$ $S+R=4Q_{n}^{2}(x^{3}+ax+b)modE$ $E$ $R$ $S$ $E$ $x^{3}+ax+b$

Buďme tedy neredukovatelný dělitel polynomu . Předpokládejme nejprve, že ≠±1 (z definice tento zápis znamená, že čitatel ireducibilní reprezentace funkce ±1 není dělitelný ). Z toho plyne, že striktně dělí , protože polynom je dělitelný nejméně . Podobně to dopadá, že rozděluje , ale pak z toho plyne, že přísně rozděluje . $E$ $x^{3}+ax+b$ $Y_{n}$ $(režim)$ $Y_{n}$ $E$ $E$ $R$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{2}$ $E$ $S$ $E^{2}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$

Zbývá tedy zkontrolovat případ =±1 . Nechte například (druhý je analyzován podobně). Pak přísně rozděluje . Nechť přísně rozděluje a přísně rozděluje . Samozřejmě striktně rozděluje i funkci . Ale $Y_{n}+$ $(režim)$ $Y_{n}=-1 (režim)$ $E$ $S$ $E^{2}$ $(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{{2f+1}}$ $(1+Y_{n})(X^{3}+ax+b)Q_{n}^{2}$ $E^{{2f}}$ $(1+Y_{n})^{2}(1-Y_{n})^{2}=(1-Y_{n}^{2})^{2}$

(1-Y_{n}^{2})^{2}={\frac {(x^{3}+ax-X_{n}^{2}-aX_{n}^{2})^{ 2}}{(x^{3}+ax+b)^{2}}}={\frac {(x-X_{n})^{2}(x^{2}+xX_{n}+ X_{n}^{2}+a)^{2}}{(x^{3}+ax+b)^{2}}}

Kromě toho, , ≠0 , takže a tedy číslo je menší než mocnina, na kterou se přísně dělí . Proto striktně rozděluje . Z toho plyne, že striktně rozděluje . Q.E.D. $x=X_{n}(režim)$ $x^{2}+xX_{n}+X_{n}^{2}=3x^{2}+a$ $(režim)$ $2f=2e-2$ $2f+1=2e-1$ $E$ $(xQ_{n}+P_{n})(xQ_{n}-P_{n})^{2}$ $E^{{2e}}$ $RS$ $E^{{2e}}$ $Q_{{n-1}}Q_{{n+1}}$

Podle lemmat 1 a 2 má tato čtvercová trojčlenka nezáporné hodnoty pro všechny a podle definice nemůže mít dvě po sobě jdoucí nuly. Odtud máme, že diskriminant nemůže být kladný, jinak tam byly 2 kořeny , mezi a , a čísla a nemohou být zároveň celá čísla. Tudíž, $d_{n}=n^{2}-(Np)n+p$ $n$ $a,b$ $n$ $n+1$ $ab$ $a+b$

(Np)^{2}-4p\leqslant 0

tak

|Np|\leqslant 2{\sqrt {p}}

. Věta byla prokázána.

Důkaz pomocí Frobeniova endomorfismu

Existuje alternativní důkaz Hasseova teorému, založený na použití Frobeniova endomorfismu .

Pro konečné těleso s algebraickým uzávěrem je zavedeno zobrazení: $\mathbb {F} _{q}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} _{q))))$

${\begin{array}{lcl}\phi _{q}:{\overline {\mathbb {F} _{q))}\rightarrow {\overline {\mathbb {F} _{q)) }\\\qquad x\mapsto x^{q}\end{array}}$

Působí na body eliptické křivky takto: , . $E(\mathbb {F} _{q})$ $\phi _{q}(x,y)=(x^{q},y^{q})$ $\phi _{q}(\infty )=\infty$

Pro důkaz jsou použita následující 4 lemmata.

Lemmy

Lemma 1. Pro eliptickou křivku nad polem a body máme: $E(\mathbb {F} _{q})$ $\mathbb {F} _{q}$ $(x,y)\in E({\overline {\mathbb {F} _{q))})$

1) , $\phi _{q}(x,y)\in E({\overline {\mathbb {F} _{q))})$

2) tehdy a jen tehdy, když . $(x,y)\in E(\mathbb {{F}_{q}} )$ $\phi _{q}(x,y)=(x,y)$

Lemma 2. Pro eliptickou křivku je zobrazení křivkovým endomorfismem stupně , a není oddělitelné. $E(\mathbb {F} _{q})$ ${\displaystyle \phi _{q))$ $E$ $q$ ${\displaystyle \phi _{q))$

Lemma 3. Nechť eliptickou křivku a je definováno . Pak $E(\mathbb {F} _{q})$ $n\geqslant 1$

1) , $\ker(\phi _{q}-1)=E(\mathbb {F} _{q^{n)))$

2) je oddělitelný endomorfismus, a proto . $\phi _{q}^{n}-1$ $|E(\mathbb {F} _{q^{n)))|=\deg(\phi _{q}^{n}-1)$

Lemma 4. Označte . Nechť jsou celá čísla a . Pak . $a=q+1-|E(\mathbb {F} _{q})|=q+1-\deg(\phi _{q}-1)$ $r,s$ $\gcd(s,q)=1$ $\deg(r\phi _{q}-s)=r^{2}q+s^{2}-rsa$

Na základě Lemma 4 a od , se ukazuje, že $\deg(r\phi _{q}-s)\geqslant 0$

q{\biggl (}{r \over s}{\biggl )}^{2}-a{\biggl (}{r \over s}{\biggl )}+1\geqslant 0

kdekoli . _ $r,s$ $\gcd(s,q)=1$

Množina racionálních čísel , kde , je hustá v . Označením , tedy získáme nerovnost pravdivou pro všechny skutečné . $r/s$ $\gcd(s,q)=1$ $\mathbb {R}$ $r/s=x$ $qx^{2}-ax+1\geqslant 0$ $X$

Protože diskriminant polynomu je menší nebo roven nule, to znamená , že máme . $a^{2}-4q\leqslant 0$ $|a|\leqslant 2{\sqrt {q))$

Důkaz Hasseova teorému založeného na Frobeniově endomorfismu je také základem Schufova algoritmu . Tento algoritmus umožňuje spočítat počet bodů pro danou eliptickou křivku v polynomiálním čase.

Hranice Hasse-Weil

Zobecněním Hasseovy hranice pro algebraické křivky vyšších rodů je Hasse-Weilova hranice. Nechť existuje absolutně neredukovatelná nesingulární křivka rodu nad konečným polem . Potom počet bodů na této křivce vyhoví nerovnosti $C$ $G$ $\mathbb {F} _{q}$ $\#C({\mathbb {F}}_{q})$

|\#C(\mathbb {F} _{q})-(q+1)|\leqslant 2g{\sqrt {q)).

Stejně jako v případě obvyklé Hasseovy vazby je tento výsledek ekvivalentní určení absolutní hodnoty kořenů lokální zeta funkce křivky a je analogický s Riemannovou hypotézou pro pole funkcí spojených s křivkou. V případě eliptických křivek se Hasse-Weilova hranice shoduje s obvyklou Hasseovou hranicí, protože eliptické křivky mají rod . $C$ $g=1$

Hasse-Weilova hranice je důsledkem obecnějších Weylových dohadů pro projektivní variety nad konečným polem, které zformuloval André Weyl v roce 1949 [5] a dokázal je pro případ křivek.

Aplikace

Kryptografie

Kryptografie využívá šifrovací algoritmy založené na eliptických křivkách. Stabilita těchto algoritmů je založena na složitosti výpočtu diskrétního logaritmu ve skupině bodů na eliptické křivce. Protože stále neexistují žádné rychlé algoritmy pro výpočet diskrétního logaritmu na eliptické křivce, použití eliptických křivek může značně urychlit šifrovací algoritmy zmenšením velikosti použitého modulu . Hasseova věta naproti tomu umožňuje velmi přesně určit velikost prvočísla potřebnou pro dostatečnou složitost algoritmu. $p$ $q$

Spojení s místní funkcí Riemann zeta

Zeta funkci eliptické křivky nad polem lze zapsat jako $E$ $\mathbb {F} _{q}$

{\displaystyle Z_{E}(t)={1-a_{q}(E)t+qt^{2} \over (1-t)(1-qt)))

kde , a je počet afinních bodů projektivní křivky . Riemannův dohad pro křivky nad konečnými poli říká, že všechny nuly funkce leží na přímce nebo ekvivalentně splňují rovnost . ${\displaystyle a_{q}=q-N_{q))$ $N_q$ $E$ $\zeta _{E}(s)=Z_{E}(q^{-s})$ $\operatorname {Re} (s)=1/2$ $|q^{s}|={\sqrt {q}}$

Je snadné ukázat, že pro eliptické křivky je tato domněnka ekvivalentní Hasseově větě. Opravdu, jestliže , pak je kořen čtvercového polynomu , jehož diskriminant je podle Hasseovy věty. To znamená, že kořeny polynomu jsou komplexně sdružené a , což dokazuje Riemannovu hypotézu. Naopak splnění Riemannovy hypotézy implikuje rovnost , což znamená, že kořeny jsou komplexně konjugované, což znamená, že diskriminant je nekladný, což dokazuje Hasseho teorém. $Z_{E}(q^{-s})=0$ ${\displaystyle q^{s))$ $f(u)=u^{2}-a_{q}u+q$ $a_{q}^{2}-4q\leqslant 0$ ${\displaystyle u_{1},u_{2))$ $f(u)$ $|q^{s}|=|u_{1}|=|u_{2}|={\sqrt {q))$ $|u_{1}|=|u_{2}|={\sqrt {q))$ ${\displaystyle u_{1},u_{2))$ $f(u)$

Poznámky

↑ Artin, Emil . Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil // Mathematische Zeitschrift : journal. - Lucembursko: Springer-Verlag , 1924. - Sv. 19, č. 1. - S. 207-246. — ISSN 0025-5874 . - doi : 10.1007/BF01181075 . — . — MR 1544652 Archivováno 11. září 2018 na Wayback Machine .
↑ Hasse, Helmut . Zur Theorie der abstrakten eliptischen Funktionenkörper. I, II & III // Crelle's Journal : journal. - Berlín: Walter de Gruyter , 1936. - Sv. 1936, č.p. 175. - ISSN 0075-4102 . - doi : 10.1515/crll.1936.175.193 . — .
↑ Hasseova mez pro eliptické křivky nad konečnými poli . PlanetMath . Získáno 18. prosince 2017. Archivováno z originálu 27. ledna 2021. (neurčitý)
↑ Bolotov A. A., Gashkov S. B., Frolov A. B., Chasovskikh A. A. Základní úvod do eliptické kryptografie: Algebraické a algoritmické základy. - M. : KomKniga, 2006. - T. 1. - 328 s. — ISBN 5-484-00443-8 .
↑ Weil, Andre . Počty řešení rovnic v konečných polích // Bulletin of the American Mathematical Society : journal. - N. Y. : American Mathematical Society , 1949. - Sv. 55, č.p. 5. - S. 497-508. — ISSN 0002-9904 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 . — MR 0029393 Archivováno 1. května 2018 na Wayback Machine

Literatura

Hurt, Norman E. (2003), Mnoho racionálních bodů. Teorie kódování a algebraická geometrie , sv. 564, Matematika a její aplikace , Dordrecht: Kluwer / Springer-Verlag , MR : 2042828 , ISBN 1-4020-1766-9
Niederreiter, Harald & Xing, Chaoping (2009), Algebraická geometrie v teorii kódování a kryptografii , Princeton: Princeton University Press , MR : 2573098 , ISBN 978-0-6911-0288-7
Kapitola V Silverman, Joseph H. (1994), Aritmetika eliptických křivek , sv. 106, Graduate Texts in Mathematics , New York: Springer-Verlag , MR : 1329092 , ISBN 978-0-387-96203-0
Washington, Lawrence C. (2008), Eliptické křivky. Teorie čísel a kryptografie, 2. vydání , Diskrétní matematika a její aplikace , Boca Raton: Chapman & Hall / CRC Press , MR : 2404461 , ISBN 978-1-4200-7146-7
Kapitola 10 Gelfand, A.O. & Linnik, Yu.V. (1962), Elementární metody v analytické teorii čísel , Moskva: Fizmatgiz
Chahal, JS & Osserman, B. (2008), Riemannova hypotéza pro eliptické křivky , Mathematical Association of America

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius