Řetězová linka

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 17. června 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Řetězová čára - čára, jejíž podobu má pružná homogenní neroztažitelná těžká nit nebo řetěz (odtud název čáry) s pevnými konci v rovnoměrném gravitačním poli . Je plochá transcendentální křivka .

Rovnice přímky v kartézských souřadnicích :

y={\frac {a}{2}}(e^{x/a}+e^{-x/a})=a\jméno operátora {ch} {\frac {x}{a}}

(pro funkci viz hyperbolický kosinus ). $\operatorname {ch}$

Všechny trolejové čáry jsou si navzájem podobné, změna parametru je ekvivalentní rovnoměrnému rozšiřování nebo smršťování funkčního grafu podél osy . Grafická proměnná se měří od nejnižšího bodu na ose y trolejového vedení. $A$ $X$ $X$

Matematické vlastnosti trolejového vedení poprvé studoval Robert Hooke v 70. letech 17. století a jeho rovnici získali nezávisle Leibniz , Huygens a Johann Bernoulli v roce 1691.

Vlastnosti

Mýdlový film, natažený přes dva rovnoběžné prstence, které nemusí mít nutně stejný průměr, má podobu katenoidu - povrchu vzniklého rotací trolejového vedení.
Délka oblouku od vrcholu k libovolnému bodu : $(x,~y)$ $s=a\operatorname {sh} {\frac {x}{a}}={\sqrt {y^{2}-a^{2}}}.$
Poloměr zakřivení : $R=a\operatorname {ch} ^{2}{\frac {x}{a}}={\frac {y^{2}}{a}}.$
Oblast ohraničená řetězovkou, jejími dvěma pořadnicemi a osou úsečky : $S=a^{2}\left(\operatorname {sh} {\frac {x_{2}}{a}}-\operatorname {sh} {\frac {x_{1}}{a}} \right)=a\left({\sqrt {y_{2}^{2}-a^{2}}}-{\sqrt {y_{1}^{2}-a^{2}}}\ že jo).$
Trajektorie ohniska paraboly valící se po přímce je řetězovka [1] [2] .
Těžiště trolejového vedení je ze všech tvarů stejně dlouhých závitů spojujících dvě podpěry nejníže, to znamená, že má minimum potenciální energie [3] .

Aplikace

Oblouky

Ideální tvar pro oblouky z hlediska pevnosti je obrácený trolej. Materiál homogenního oblouku se stejnou lineární hustotou po délce ve formě obráceného trolejového vedení je vystaven pouze mechanickému namáhání tlakem a není vystaven namáhání v ohybu .

Mosty

Hrbatý most má tvar blízký troleji.

Za zmínku stojí, že tvar ohybu kabelů visutého mostu se blíží spíše parabole než troleji [4] . To je způsobeno tím, že hlavní hmotnost mostu je rozložena v mostovce, nikoli v nosných kabelech.

Čtvercová kola

Je-li profil dálnice obrácenými trolejovými oblouky, pak lze jet na čtvercových kolech , plynule a bez otřesů - pokud je strana čtverce kola rovna délce oblouku drsnosti silnice [5] [6] .

Historie

Rovnici trolejového vedení téměř současně získali Leibniz , Huygens a Johann Bernoulli [7] .

Další fakta

Na oblouku Gateway of the West v St. Louis je napsán matematický vzorec pro jeho řetězovku, vyjádřený ve stopách [8] :

y=-127{,}7'\cdot \operatorname {ch} (x/127{,}7')+757{,}7'.

Vyjádřeno v metrech bude tato rovnice $y=-38{,}92\cdot \operatorname {ch} (x/38{,}92)+230{,}95.$

Viz také

řetězová fontána

Poznámky

↑ Savelov A. A. Rovinné křivky. Systematika, vlastnosti, aplikace (Referenční příručka) / Ed. A. P. Norden. M.: Fizmatlit, 1960. S. 250.
↑ Anurag Agarwal a James Marengo The Locus of Focus of a Rolling Parabola
↑ Variační počet (2015). Staženo: 3. května 2019. (neurčitý)
↑ Pavel Kunkel. Hanging With Galileo (anglicky) (HTML). Whistler Alley Mathematics - whistleralley.com. Získáno 24. července 2012. Archivováno z originálu 6. srpna 2012.
↑ Řetězová linka . Matematické studie . Datum přístupu: 7. dubna 2020. (neurčitý)
↑ Řetězová cesta a čtvercová kola . New Trier High School, Winnetka, Illinois. Staženo 7. dubna 2020. Archivováno z originálu 30. září 2006. (neurčitý)
↑ Merkin, 1980 , s. 47.
↑ Barrow, John D. Kosmické snímky: klíčové obrazy v dějinách vědy . - 1952. - ISBN 9781448113675 . — ISBN 1448113679 .

Literatura

Lyusternik L.A. Nejkratší linky. Variační úlohy. - M. - L .: Gostekhizdat , 1955. - ( Populární přednášky o matematice ).
Merkin D. R. Úvod do mechaniky pružného závitu. — M .: Nauka , 1980. — 240 s.

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius