Pí (číslo)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 19. srpna 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Iracionální čísla ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π a π
Notový zápis	Číslo skóre $\pi$
Desetinný	3,1415926535897932384626433832795…
Binární	11.00100100001111110110…
Hexadecimální	3.243F6A8885A308D31319…
Sexuální	3; 08 29 44 00 47 25 53 07 …
Racionální aproximace	22 ⁄ 7 , 179 ⁄ 57 , 223 ⁄ 71 , 333 ⁄ 106 , 355 ⁄ 113 , 103 993 ⁄ 33 102 (uvedeno v pořadí podle rostoucí přesnosti)
Pokračující zlomek	[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, …] (Tento pokračovací zlomek není periodický . Zapsán lineárním zápisem)
Trigonometrie	$\pi$ radián = 180°

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4 999999 837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 598253 4904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195409 2916
…

Číslo s prvním tisícem vyšších číslic desetinné čárky [1]

\pi

${\bold symbol {\pi ))$ (vyslov „ pi “) je matematická konstanta rovna poměru obvodu kruhu k jeho průměru [K 1] . Označuje se písmenem řecké abecedy „ π “. K červnu 2022 je známo prvních 100 bilionů desetinných míst pí [2] .

Vlastnosti

Transcendence a iracionalita

Číslo je iracionální , to znamená, že jeho hodnotu nelze přesně vyjádřit jako zlomek , kde je celé číslo a je přirozené číslo. Proto jeho desítkové zobrazení nikdy nekončí a není periodické . Iracionalitu čísla poprvé dokázal Johann Lambert v roce 1761 [3] rozšířením tečny na pokračující zlomek . V roce 1794 podal Legendre přísnější důkaz o iracionalitě čísel a . Několik důkazů je podrobně popsáno v článku Důkazy, že π je iracionální . $\pi$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$ $\pi$ $\pi$ $\pi ^{2}$

$\pi$ - transcendentální číslo , to znamená, že nemůže být kořenem žádného polynomu s celočíselnými koeficienty. Transcendenci čísla dokázal v roce 1882 Lindemann , profesor na Königsbergu a později na mnichovské univerzitě . Důkaz zjednodušil Felix Klein v roce 1894 [4] . Protože v euklidovské geometrii jsou plocha kruhu a obvod funkcemi čísla , důkaz transcendence ukončil pokusy o kvadraturu kruhu , které trvaly více než 2,5 tisíce let. $\pi$ $\pi$ $\pi$

V roce 1934 Gelfond dokázal [5] , že číslo je transcendentní . V roce 1996 Jurij Nesterenko dokázal, že pro jakékoli přirozené číslo a jsou algebraicky nezávislé , z čehož zejména vyplývá [6] [7] , že čísla a jsou transcendentní . $e^{\pi }$ $n$ $\pi$ $e^{\pi {\sqrt {n))}$ $\pi +e^{\pi },\pi e^{\pi }$ $e^{\pi {\sqrt {n))}$

$\pi$ je prvek periodického prstenu (a tedy vypočitatelné a aritmetické číslo ). Ale není známo, zda patří do kruhu období. $1/\pi$

Poměry

Existuje mnoho vzorců pro výpočet čísla : $\pi$

Vietův vzorec pro aproximaci čísla π :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}} \cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))){2}}\cdot \ldots

Toto je první známá explicitní reprezentace s nekonečným počtem operací. Lze to dokázat následovně. Získáme rekurzivní aplikaci identity a přechod na limit

\pi

\sin 2\varphi =2\sin \varphi \cos \varphi

\varphi \cos {\dfrac {\varphi }{2}}\cos {\frac {\varphi }{4}}\cdots =\sin \varphi .

Zbývá nahradit a použít vzorec dvojitého úhlu kosinus :

\varphi ={\frac {\pi }{2))

\cos 2\varphi =\cos ^{2}\varphi -\sin ^{2}\varphi .

Wallisův vzorec :

{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\ frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi {2}}

Leibnizova série :

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1} {9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}

Řada používající dvojitý faktoriál:

2+{1 \over 3}\left(2+{2 \over 5}\left(2+{3 \over 7}\left(2+{4 \over 9}(\dots )\right) )\right)\right)=2\součet _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!))=\pi

1+{2 \over 2}\left(1+{1 \over 3}\left(1+{4 \over 4}\left(1+{2 \over 5}\left(1+{) 6 \přes 6}(\tečky)\vpravo)\vpravo)\vpravo)\vpravo)=\pi

Vzorec nalezený Srinivasou Ramanujanem :

$1-5\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}+9\left({\frac {1\times 3}{2\times 4}}\right) ^{3}-13\left({\frac {1\krát 3\krát 5}{2\krát 4\krát 6}}\vpravo)^{3}+\ldots ={\frac {2}{\ pi}}$

Další řádky:

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\tečky ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

( inverzní čtvercová řada )

{\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-\tečky ={\pi ^{2} \over 12}

{\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\ frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\tečky ={\frac {\pi ^{4}}{90}}

{\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\ frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\tečky ={\frac {\pi ^{6}}{945}}

\pi =2{\sqrt {3}}\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{\,3^{k}\,( 2k+1)}}

\pi =\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k)){4^{k))}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\right)

Následující řádky vám umožňují vypočítat znaménka v hexadecimálním zápisu pí bez výpočtu předchozích znamének:

{\begin{aligned}\pi &={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}} \left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k +7}}\right)=\\&={\frac {1}{4}}\součet _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\ vlevo({\frac {8}{8k+1}}+{\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}-{\frac {2}{8k+ 5 }}-{\frac {2}{8k+6}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)\end{aligned}}

Více řádků:

\pi =8\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{(4m-2)^{2k} }}=4\součet \limits _{k=1}^{\infty }\součet \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {m^{2}-k^{2}} {(m^{2}+k^{2})^{2))}={\sqrt[{4\,\,}]{360\sum \limits _{k=1}^{\infty } \sum \limits _{m=1}^{k}{\frac {1}{m(k+1)^{3))))}

Limity :

\pi =\lim \limits _{m\rightarrow \infty }{\frac {(m!)^{4}\,{2}^{4m)){\left[(2m)!\right]^{ 2}\,m}}

\pi ={\sqrt {\frac {6}{\lim \limits _{n\to \infty }\prod \limits _{k=1 \atop p_{k}\in \mathbf {P} }^{n}\,\left(1-{\frac {1}{p_{k}^{2}}}\right)}}}\quad \to

tady jsou prvočísla

{\displaystyle p_{k))

\pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\tečky +{\ sqrt {2}}}}}}}}}},

kde se rovná počtu kořenů ve výrazu [8] .

n

Eulerova identita :

e^{i\pi }+1=0\;

Další vazby mezi konstantami :

{\frac {\pi }{e}}=2\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+1}{2k-1}}\right)^{ 2k-1}\left({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}

\pi \cdot e=6\prod \limits _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k+3}{2k+1}}\right)^{2k+1}\left ({\frac {k}{k+1}}\right)^{2k}

Vzorec nalezený Srinivasou Ramanujanem :

{\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5 \cdot 7))+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9))+\ldots +{\frac {1}{1+\displaystyle {\frac {1}{ 1+\displaystyle {\frac {2}{1+\displaystyle {\frac {3}{1+\displaystyle {\frac {4}{1+\displaystyle {\frac {5}{1+\ldots }} )))))))))))={\sqrt {\frac {e\cdot \pi }{2))))

T. n. Poissonův integrál nebo Gaussův integrál :

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}

\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {Br(x)}{\displaystyle e^{Br^{4}(x)))}dx={\sqrt {\pi }},

kde je kořen Bring .

B(x)

Integrální sinus :

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{{\frac {\sin x}{x}}dx}=\pi

Vyjádření pomocí dilogaritmu [9] :

\pi ={\sqrt {6\ln ^{2}2+12\ \operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{2}}\right)))

Přes nesprávný integrál :

\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x))))=\pi

;

\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {dx}{(x^{2}+1)))=\pi

Příběh

Poprvé použil britský matematik William Jones v roce 1706 [10] označení tohoto čísla řeckým písmenem a stalo se obecně uznávaným po práci Leonarda Eulera v roce 1737. Toto označení pochází z počátečního písmene řeckých slov περιφέρεια - kruh, obvod a περίμετρος - obvod [11] . $\pi$

Studium čísla a zpřesňování jeho významu probíhalo souběžně s vývojem celé matematiky a trvalo několik tisíciletí. Nejprve studoval z hlediska geometrie , pak rozvoj matematické analýzy v 17. století ukázal univerzálnost tohoto čísla. $\pi$ $\pi$

geometrické období

Skutečnost, že poměr obvodu k průměru je stejný pro jakýkoli kruh a že tento poměr je o něco více než 3, byla známa staroegyptským , babylonským , starověkým indickým a starověkým řeckým geometrům, nejstarší aproximace se datují zpět. do třetího tisíciletí před naším letopočtem. E.

Ve starověkém Babylonu se to rovnalo třem, což odpovídalo nahrazení obvodu obvodem šestiúhelníku , který je v něm vepsán . Plocha kruhu byla definována [12] jako čtverec obvodu dělený 12, což je také v souladu s předpokladem Nejstarší známé přesnější aproximace pocházejí z doby kolem roku 1900 před naším letopočtem. e.: to je 25/8 = 3,125 (hliněná tabulka ze Sús z období starobabylonského království ) [13] a 256/81 ≈ 3,16 (egyptský papyrus Ahmes z období Říše středu ); obě hodnoty se neliší od skutečné hodnoty o více než 1 %. Védský text " Shatapatha Brahmana " uvádí jako přiblížení zlomek 339/108 ≈ 3,139 . $\pi$ $\pi =3.$ $\pi$

Čínský filozof a vědec Zhang Heng ve 2. století navrhl pro číslo dva ekvivalenty: 92/29 ≈ 3,1724 a ≈ 3,1622. V posvátných knihách džinismu , napsaných v 5.-6. století před naším letopočtem. e. bylo zjištěno, že pak v Indii byla brána jako stejná [14] $\pi$ ${\sqrt {10}}$ $\pi$ ${\sqrt {10}}$

Archimedes mohl být první, kdo navrhl matematický způsob počítání . Za tímto účelem vepsal do kruhu a popsal kolem něj pravidelné mnohoúhelníky . Vezme průměr kruhu jako jednotu, Archimedes považoval obvod vepsaného mnohoúhelníku za spodní hranici pro obvod kruhu a obvod opsaného mnohoúhelníku za horní hranici. S ohledem na pravidelný 96-úhelník Archimedes obdržel odhad a navrhl pro přibližný výpočet horní z nalezených hranic: - 22/7 ≈ 3,142857142857143. $\pi$ $3{\frac {10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}$ $\pi$

Další přiblížení v evropské kultuře je spojeno s astronomem Claudiem Ptolemaiem (asi 100 - asi 170), který vytvořil tabulku akordů v krocích po půl stupni, což mu umožnilo získat aproximaci 377 / 120 , což je přibližně rovna polovině obvodu 720-úhelníku vepsaného do jednotkové kružnice [15] . Leonardo z Pisy ( Fibonacci ) v knize „ Practica Geometriae “ (cca 1220), zjevně brát Ptolemaiovu aproximaci jako spodní mez pro , dává svou aproximaci [16 ] - 864/275 . Ukázalo se však, že je horší než u Ptolemaia, protože ten udělal chybu při určení délky tětivy o půl stupně nahoru, v důsledku čehož se aproximace 377/120 ukázala jako horní hranice pro . $\pi$ $\pi$ $\pi$

V Indii, Aryabhata a Bhaskara jsem použil aproximaci 3,1416. Varahamihira v 6. století používá přiblížení v Pancha Siddhantika . ${\sqrt {10}}$

Kolem roku 265 n.l. E. Weiův matematik Liu Hui poskytl jednoduchý a přesný iterační algoritmus pro výpočty s jakýmkoli stupněm přesnosti. Nezávisle provedl výpočet pro 3072-gon a získal přibližnou hodnotu pro podle následujícího principu: $\pi$ $\pi$

\pi \approx A_{3072}={3\cdot 2^{8}\cdot {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+ {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+1))))))))))))))))))))))}\cca 3,14159.

Později Liu Hui přišel s metodou rychlého výpočtu a dospěl k přibližné hodnotě 3,1416 s pouhými 96 úhelníky, přičemž využil skutečnosti, že rozdíl v ploše po sobě jdoucích polygonů tvoří geometrický postup se jmenovatelem 4. $\pi$

V 480. letech čínský matematik Zu Chongzhi prokázal, že ≈ 355/113 a ukázal, že 3,1415926 < < 3,1415927 pomocí algoritmu Liu Hui aplikovaného na 12288-úhelník. Tato hodnota zůstala nejpřesnější aproximací čísla na dalších 900 let. $\pi$ $\pi$ $\pi$

klasické období

Až do 2. tisíciletí nebylo známo více než 10 číslic . Další velké úspěchy ve studiu jsou spojeny s rozvojem matematické analýzy , zejména s objevem řad , které umožňují počítat s libovolnou přesností a sčítat vhodný počet členů v řadě. $\pi$ $\pi$ $\pi$

Řada Madhava – Leibniz

V roce 1400 našel Madhava ze Sangamagramu první z těchto řad:

{\pi }={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+\ cdots

Tento výsledek je známý jako série Madhava-Leibniz nebo série Gregory-Leibniz (poté, co ji v 17. století znovu objevili James Gregory a Gottfried Leibniz ). Tato řada však konverguje k velmi pomalu, což v praxi vede k obtížnosti výpočtu mnoha cifer čísla – pro zlepšení Archimedova odhadu je nutné přidat asi 4000 členů řady. Nicméně převedením této řady na $\pi$

\pi ={\sqrt {12}}\,\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 3^{2}}}-{ \frac {1}{7\cdot 3^{3}}}+\cdots \right)

Madhava byl schopen vypočítat jako 3,14159265359 správnou identifikací 11 číslic v zadání čísla. Tento rekord byl překonán v roce 1424 perským matematikem Jamshid al-Kashi , který ve svém díle nazvaném „Pojednání o kruhu“ uvedl 17 číslic čísla , z nichž 16 je správných. $\pi$ $\pi$

Ludolfovo číslo

První velký evropský příspěvek od Archiméda byl příspěvek nizozemského matematika Ludolfa van Zeulena , který strávil deset let počítáním čísla s 20 desetinnými číslicemi (tento výsledek byl publikován v roce 1596). Aplikoval Archimedovu metodu a přivedl zdvojení na n - úhelník, kde n = 60 2 29 . Když Ludolf nastínil své výsledky v eseji „On the Circumference“ („Van den Circkel“), zakončil to slovy: „Kdo má touhu, ať jde dál.“ Po jeho smrti bylo v jeho rukopisech nalezeno 15 přesnějších číslic čísla . Ludolph odkázal, že znaky, které našel, byly vytesány na jeho náhrobku. Na jeho počest se toto číslo někdy nazývalo „Ludolfovo číslo“ nebo „Ludolfova konstanta“. $\pi$ $\pi$ $\pi$

Ludolfovo číslo je přibližná hodnota pro číslo s 35 platnými desetinnými místy [17] . $\pi$

Vietův vzorec pro aproximaci π

Přibližně v této době se v Evropě začaly vyvíjet metody pro analýzu a definování nekonečných řad. První takovou reprezentací byl Vietův vzorec pro aproximaci čísla π :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}} \cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2)))))){2}}\cdot \cdots

objevil François Viet v roce 1593.

Wallisova formule

Dalším slavným výsledkem byl Wallisův vzorec :

{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\ frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac { 8}{9}}\ctečky

vyšlechtil John Wallis v roce 1655.

Podobné práce:

$\pi =3\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2 }-\left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}}$

$\pi ={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}}{k^{2}-\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}}$

$\pi =4\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2 }-\left({\frac {1}{4}}\right)^{2}}}$

$\pi ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}}{k^{2}-\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}$

$\pi =6\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{k^{2}-\left ({\frac {1}{6}}\right)^{2}}}$

$\pi ={\frac {6}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}} {k^{2}-\left({\frac {5}{6}}\right)^{2}}}$

$\pi =4\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+k}{k^{2}+k+{\frac {1}{4} }}}$

$\pi ={\frac {9}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}+k}{k^{2}+k+{\frac {2}{9))))$

$\pi ={\frac {16}{3}}\cdot {\frac {\sqrt {2}}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^ {2}+k}{k^{2}+k+{\frac {3}{16))))$

$\pi ={\frac {36}{5}}\cdot {\frac {1}{2}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}+ k}{k^{2}+k+{\frac {5}{36))))$

Produkt, který dokazuje vztah s číslem e

$\pi =2{\sqrt {3}}\prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1 }{2}}}\left(2k-1\right)^{{\frac {1}{2}}-k}}{2k+1}}\left({\frac {k}{k+1 }}\vpravo)^{2k}$

Metody založené na identitách

V moderní době se pro výpočty používají analytické metody založené na identitách . Vzorce uvedené výše jsou pro výpočetní účely málo použitelné, protože buď používají pomalu konvergující řady, nebo vyžadují složitou operaci extrahování druhé odmocniny. $\pi$

Strojové vzorce

První efektivní a moderní způsob, jak najít číslo (stejně jako přirozené logaritmy a další funkce), založený na jím vyvinuté teorii řad a matematické analýze, poskytl v roce 1676 Isaac Newton ve svém druhém dopise Oldenburgovi [18]. , rozšiřující se v sérii . Na základě této metody nalezl nejúčinnější vzorec v roce 1706 John Machin $\pi$ $\mathrm {arctg} {\frac {1}{2))$

{\frac {\pi }{4}}=4\,\mathrm {arctg} {\frac {1}{5}}-\mathrm {arctg} {\frac {1}{239}}

Rozšíření arkus tangens do Taylorovy řady

\mathrm {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{7}} {7}}+\ctečky

můžete získat rychle konvergentní řadu, vhodnou pro výpočet čísla s velkou přesností. $\pi$

Vzorce tohoto typu, nyní známé jako Machinovy vzorce , byly použity k nastavení několika po sobě jdoucích záznamů a zůstaly nejznámějšími metodami pro rychlé výpočty na počítačích. Vynikající rekord zaznamenal fenomenální čítač Johann Daze , který v roce 1844 na příkaz Gausse použil Machinův vzorec pro výpočet 200 číslic . Nejlepšího výsledku do konce 19. století dosáhl Angličan William Shanks , kterému trvalo 15 let, než vypočítal 707 číslic. Udělal však chybu v 528. číslici, v důsledku čehož se všechny následující číslice ukázaly jako nesprávné [19] . Aby se předešlo takovým chybám, moderní výpočty tohoto druhu se provádějí dvakrát. Pokud se výsledky shodují, pak jsou pravděpodobně správné. Shanksova chyba byla objevena jedním z prvních počítačů v roce 1948; za pár hodin napočítal také 808 znaků . $\pi$ $\pi$ $\pi$

Pi je transcendentální číslo

Teoretické pokroky v 18. století vedly k nahlédnutím do povahy čísla , kterého nebylo možné dosáhnout pouze numerickým výpočtem. Johann Lambert prokázal iracionalitu v roce 1761 a Adrien Legendre prokázal iracionalitu v roce 1774 . V roce 1735 bylo navázáno spojení mezi prvočísly a když Leonhard Euler vyřešil slavný basilejský problém – problém najít přesnou hodnotu $\pi$ $\pi$ $\pi ^{2}$ $\pi$

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1 }{4^{2}}}+\ctečky

který se ukázal být rovný . Legendre i Euler navrhli, že by to mohlo být transcendentální , což nakonec v roce 1882 dokázal Ferdinand von Lindemann . ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$ $\pi$

V roce 1945 Cartwright zjednodušil základní důkaz Charlese Hermita , že číslo je iracionální . $\pi$

symbol " "

\pi

Má se za to, že jako první zavedl použití řeckého písmena pro tuto konstantu William Jones 's Synopsis Palmoriorum Mathesios , 1706, ale tento zápis se stal obecně uznávaným poté, co jej Leonhard Euler přijal (nebo k němu dospěl nezávisle) v roce 1737 [11 ] . Euler napsal: „ Existuje mnoho dalších způsobů, jak najít délky nebo oblasti odpovídající křivky nebo rovinného útvaru, což může značně usnadnit praxi; například v kruhu je průměr vztažen k obvodu jako 1 až ". $\pi$ $\left({\frac {16}{5}}-{\frac {4}{239}}\right)-{\frac {1}{3}}\cdot \left({\frac {16}{ 5^{3}}}-{\frac {4}{239^{3}}}\right)+\cdots =3{,}14159\cdots =\pi$

Éra výpočetní techniky

Éra digitální technologie ve 20. století vedla ke zvýšení rychlosti vzhledu počítačových záznamů. John von Neumann a další použili ENIAC v roce 1949 k výpočtu 2037 číslic , což trvalo 70 hodin. V roce 1961 vypočítal Daniel Shanks 100 000 znaků na IBM 7090 a milionová hranice byla překonána v roce 1973 [K 2] . Tento pokrok nebyl způsoben pouze rychlejším hardwarem, ale také novými algoritmy. $\pi$

Nizozemský matematik Leutzen Brouwer v první polovině 20. století uvedl jako příklad nesmyslného úkolu hledání v desetinném rozšíření posloupnosti - k tomu potřebné přesnosti podle něj nikdy nebude dosaženo. Na konci 20. století byla tato sekvence objevena, začíná na 17 387 594 880 desetinných místech [20] . $\pi$ $0123456789$

Na začátku 20. století objevil indický matematik Srinivasa Ramanujan mnoho nových vzorců pro , z nichž některé se proslavily svou elegancí a matematickou hloubkou. Jedním z těchto vzorců je řada: $\pi$

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)! (1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}

Bratři Chudnovští v roce 1987 našli podobné:

{\frac {1}{\pi }}={\frac {1}{426880{\sqrt {10005}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)! (13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}

což dává přibližně 14 číslic pro každého člena řady. Chudnovští použili tento vzorec ke stanovení několika počítačových rekordů na konci 80. let, včetně jednoho, který v roce 1989 vyústil v 1 011 196 691 desetinných míst. $\pi$

Tento vzorec se používá v programech, které počítají na osobních počítačích, na rozdíl od superpočítačů , které zaznamenávají moderní rekordy. $\pi$

Zatímco posloupnost obvykle zlepšuje přesnost o pevnou hodnotu s každým po sobě jdoucím výrazem, existují iterační algoritmy, které „násobí“ počet správných číslic v každém kroku, ale vyžadují vysoké výpočetní náklady v každém z těchto kroků.

Průlom v tomto ohledu nastal v roce 1975, kdy Richard Brent a Eugene Salamis nezávisle objevili Brent-Salaminův algoritmus , který pouze za použití aritmetiky zdvojnásobuje počet známých znaků v každém kroku [21] . Algoritmus spočívá v nastavení počátečních hodnot

a_{0}=1\quad \quad \quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2))}\quad \quad \quad t_{0}={\frac {1}{4 }}\quad \quad \quad p_{0}=1

a iterace:

a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}\quad \quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n} }}

t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2}\quad \quad \quad p_{n+1}=2p_{n}

dokud a n a b n nejsou dostatečně blízko. Potom je odhad dán vzorcem $\pi$

\pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.

Při použití tohoto schématu stačí 25 iterací k získání 45 milionů desetinných míst. Podobný algoritmus, který zčtyřnásobuje přesnost v každém kroku, našel Jonathan Borwain Peter Borwain [22] . S těmito metodami Yasumasa Canada a jeho skupina, počínaje rokem 1980, nastavili v roce 1999 nejvíce výpočetních rekordů až na 206 158 430 000 znaků. V roce 2002 Kanada a jeho skupina vytvořili nový rekord 1 241 100 000 000 desetinných míst. Zatímco většina předchozích kanadských rekordů byla nastavena pomocí algoritmu Brent-Salamin, výpočet v roce 2002 používal dva vzorce typu Machin, které byly pomalejší, ale drasticky snížily využití paměti. Výpočet byl proveden na 64uzlovém superpočítači Hitachi s 1 terabajtem RAM schopném provádět 2 biliony operací za sekundu. $\pi$

Důležitým nedávným vývojem je vzorec Bailey-Borwain-Pluff , objevený v roce 1997 Simonem Pluffem a pojmenovaný po autorech článku, ve kterém byl poprvé publikován [23] . Tento vzorec

\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k))}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac { 2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right),

pozoruhodný tím, že umožňuje extrahovat jakoukoli konkrétní hexadecimální nebo binární číslici čísla bez počítání předchozích [23] . Od roku 1998 do roku 2000 používal projekt distribuovaných počítačů PiHex upravený Bellardův vzorec k výpočtu kvadriliontiny bitu čísla , který se ukázal jako nula [24] . $\pi$ $\pi$

V roce 2006 našel Simon Pluff pomocí algoritmu PSLQ řadu krásných vzorců [25] . Nechť q = e π _

{\frac {\pi }{24}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {3}{q^{n} -1}}-{\frac {4}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)

{\frac {\pi ^{3}}{180}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\left({\frac { 4}{q^{n}-1}}-{\frac {5}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1}}\right)

a další typy

\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k))}\left({\frac {a}{q^{n}- 1))+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right)

kde q \ u003d eπ , k je liché číslo a a , b , c jsou racionální čísla . Pokud je k ve tvaru 4 m + 3, pak má tento vzorec obzvláště jednoduchý tvar:

p\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {2^{k-1}} {q^{n}-1}}-{\frac {2^{k-1}+1}{q^{2n}-1}}+{\frac {1}{q^{4n}-1 }}\že jo)

pro racionální p , jehož jmenovatelem je dobře faktorizovatelné číslo, ačkoli rigorózní důkaz dosud nebyl poskytnut.

V srpnu 2009 vypočítali vědci z japonské univerzity Tsukuba sekvenci 2 576 980 377 524 desetinných míst [26] .

19. října 2011 Alexander Yi a Shigeru Kondo vypočítali sekvenci s přesností na 10 bilionů desetinných míst [27] [28] . 28. prosince 2013 také vypočítali sekvenci s přesností 12,1 bilionu číslic za desetinnou čárkou [29] .

14. března 2019, kdy se slavil neoficiální svátek čísla pí, představil Google toto číslo s 31,4 biliony desetinných míst. Emma Haruka-Iwao, zaměstnankyně Googlu v Japonsku, to dokázala spočítat s takovou přesností [30] .

V srpnu 2021 byli švýcarští vědci z Graubündenské univerzity aplikovaných věd schopni vypočítat číslo s přesností na 62,8 bilionu desetinných míst, čímž aktualizovali minulé záznamy. Výpočty probíhaly na superpočítači po dobu 108 dnů a devět hodin. Rychlost výpočtu byla dvojnásobkem rekordu stanoveného společností Google v roce 2019 a 3,5násobku rekordu stanoveného v roce 2020, kdy bylo počítáno více než 50 bilionů desetinných míst v počtu [31] [32] . $\pi$ $\pi$

9. června 2022 tým Google vedený Emmou Haruka-Iwao spočítal prvních 100 bilionů desetinných míst pí za téměř 158 dní [2] [33] .

K testování výkonu počítačů lze použít program " Super Pi ", který určuje dobu potřebnou k výpočtu daného počtu číslic (až 32 milionů) čísla Pi .

Racionální aproximace

${\frac {22}{7))$ - Archimedes (III. století př. nl) - starověký řecký matematik, fyzik a inženýr;
${\frac {377}{120}}$ - Claudius Ptolemaios (2. století n. l.) - starověký řecký astronom a geograf a Ariabhata (5. století n. l.) - indický astronom a matematik;
${\frac {355}{113}}$ - Zu Chongzhi (5. století n. l.) - čínský astronom a matematik.

Porovnání přesnosti aproximace

Číslo	Zaokrouhlená hodnota	Přesnost (shoda číslic )
$\pi$	3,14159265…
${\frac {22}{7))$	3.14 285714…	2 desetinná místa
${\frac {377}{120}}$	3,141 66667…	3 desetinná místa
${\frac {355}{113}}$	3,141592 92…	6 desetinných míst

Otevřené problémy

Přesná míra iracionality pro čísla a je neznámá (ale je známo, že u ní nepřesahuje 7,103205334137) [34] [35] . $\pi$ $\pi ^{2}$ $\pi$
U žádného z následujících čísel není známa míra iracionality: U žádného z nich není dokonce známo, zda jde o racionální číslo, algebraické iracionální číslo nebo transcendentální číslo. Proto není známo, zda jsou čísla a algebraicky nezávislá [6] [36] [37] [38] [39] . $\pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e)),\pi ^{e},\pi ^{\sqrt {2)),\ln \pi ,\pi ^{\pi },e^{\pi ^{2)).$ $\pi$ $E$
Není známo, zda se jedná o celé číslo na nějaké kladné celé číslo (viz tetrace ). ${^{n}\pi }$ $n$
Dosud není nic známo o normalitě čísla ; není ani známo, která z číslic 0-9 se v desítkové reprezentaci čísla vyskytuje nekonečněkrát. Počítačová kontrola na 200 miliard desetinných míst ukázala, že všech 10 číslic se v tomto záznamu vyskytuje téměř stejně často [40] : $\pi$ $\pi$ $\pi$

Číslo	Kolikrát se objeví
0	20 000 030 841
jeden	19 999 914 711
2	20 000 013 697
3	20 000 069 393
čtyři	19 999 921 691
5	19 999 917 053
6	19 999 881 515
7	19 999 967 594
osm	20 000 291 044
9	19 999 869 180

Neexistuje však žádný přísný důkaz.

Není známo , zda patří k dobovému prstenu . ${\frac {1}{\pi ))$

Metoda Buffonovy jehly

Na rovině lemované ekvidistantními čarami je náhodně vržena jehla, jejíž délka je rovna vzdálenosti mezi sousedními čarami, takže při každém hodu jehla buď čáry neprotne, nebo protne právě jednu. Dá se dokázat, že poměr počtu průsečíků jehly s nějakou úsečkou k celkovému počtu hodů má tendenci s rostoucím počtem hodů do nekonečna [41] . Tato jehlová metoda je založena na teorii pravděpodobnosti a je základem metody Monte Carlo [42] . ${\frac {2}{\pi }}$

Mnemotechnická pravidla a záznamy o zapamatování

Básně pro zapamatování 8-11 číslic čísla π:

Abychom se nemýlili,
musíme správně číst:
Tři, čtrnáct, patnáct,
Devadesát dva a šest.

Musíte to prostě zkusit
a zapamatovat si všechno tak, jak to je:
Tři, čtrnáct, patnáct,
Devadesát dva a šest.

Tři, čtrnáct, patnáct,
devět, dva, šest, pět, tři, pět.
Chcete-li se zapojit do vědy,
každý by to měl vědět.

Můžete jen zkoušet
a opakovat častěji:
"Tři, čtrnáct, patnáct,
Devět, dvacet šest a pět."

Memorování může pomoci pozorováním poetické velikosti:

Tři, čtrnáct, patnáct, devět dva, šest pět, tři pět
osm devět, sedm a devět, tři dva, tři osm, čtyřicet šest
dva šest čtyři, tři tři osm, tři dva sedm devět, pět nula dva
osm osm a čtyři, devatenáct sedm jedna

Existují verše, ve kterých jsou první číslice čísla π zašifrovány jako počet písmen ve slovech:

Toto znám a pamatuji si dokonale: A
mnohá znamení jsou pro mě zbytečná, marná.
Věřme v rozsáhlé znalosti
Ti, kteří počítali, počty armády.

Učte se a poznejte ve známém čísle
Za číslem je číslo, jak si všimnout štěstí.

Od Kolja a Ariny
jsme roztrhali péřové postele.
Bílé chmýří létalo, kroužilo,
Odvážně, ztuhlo,
Spokojené,
Ale dal nám
Bolest hlavy starých žen.
Páni, nebezpečný chmýří duch!

— Georgij Alexandrov

Podobné verše existovaly také v předreformním pravopisu . Například následující báseň, kterou složil učitel gymnázia v Nižním Novgorodu Shenrok [43] :

Kdo si ze srandy a brzy přeje
poznat Pí, už zná číslo.

Světový rekord v zapamatování desetinných míst patří 21letému indickému studentovi Rajveer Meena, který v březnu 2015 reprodukoval 70 000 desetinných míst za 9 hodin a 27 minut [44] . Předtím téměř 10 let držel rekord Číňan Liu Chao, který v roce 2006 bezchybně reprodukoval 67 890 desetinných míst během 24 hodin a 4 minut [45] [46] . Ve stejném roce 2006 Japonec Akira Haraguchi uvedl, že si číslo pamatuje až na 100 000 desetinných míst [47] , ale nebylo oficiálně ověřeno [48] . $\pi$ $\pi$

V Rusku vytvořil rekord v zapamatování v roce 2019 Denis Babushkin (13 202 znaků) [49] .

V kultuře

Ve státě Indiana (USA) byl v roce 1897 schválen Pi Bill , který legislativně stanovil jeho hodnotu rovnou 3,2 [50] . Tento návrh zákona se nestal zákonem kvůli včasnému zásahu profesora na Purdue University , který byl přítomen ve státní legislativě při projednávání tohoto zákona;
Existuje celovečerní film pojmenovaný po Pi;
Neoficiální svátek „ Pí den “ se každoročně slaví 14. března , což je v americkém formátu data (měsíc/den) psáno jako 3.14, což odpovídá přibližné hodnotě čísla . Předpokládá se [51] , že svátek vynalezl v roce 1987 sanfranciský fyzik Larry Shaw , který upozornil na skutečnost, že 14. března přesně v 01:59 se datum a čas shodují s prvními číslicemi Pi = 3,14159; $\pi$
- Dalším datem spojeným s číslem je
22. červenec , který se nazývá „ Pí aproximační den “, protože v evropském formátu data je tento den zapsán jako 22/7 a hodnota tohoto zlomku je racionální přibližná hodnota čísla . $\pi$ $\pi$

Americká progresivní metalová kapela After The Burial nahrála píseň Pi - The Mercury God of Infinity, ve které jsou party rytmické kytary a basového bubnu založeny na nejvyšších číslicích desetinného zlomku čísla .

\pi

François Arago napsal v „Commonly intelligible Astronomy“ [52] :

Podívejme se, s jakou přesností je možné pomocí čísel Pi (čísla Pi) vypočítat obvod, jehož poloměr se rovná průměrné vzdálenosti Země od Slunce (150 000 000 km). Pokud vezmeme 18 číslic pro Pi, pak chyba jedné jednotky v poslední číslici bude mít za následek chybu 0,0003 milimetru v délce vypočítaného kruhu; je mnohem menší než tloušťka vlasů.

Vzali jsme 18 číslic pí. Je snadné si představit, jaká nepředstavitelně malá chyba by se udělala, vzhledem k velikosti vypočítaného kruhu, kdyby byla všechna známá čísla použita pro Pi. Z toho, co bylo řečeno, je jasné, jak se mýlí ti, kdo si myslí, že vědy by změnily svou formu a jejich aplikacím by velmi prospělo nalezení přesného Pí, pokud by existovalo.

Takže ani pro astronomii - vědu, která se uchyluje k nejpřesnějším výpočtům - není vyžadováno zcela přesné řešení ...

viz také

Poznámky

Komentáře

↑ Tato definice je platná pouze pro euklidovskou geometrii . V jiných geometriích může být poměr obvodu kruhu k délce jeho průměru libovolný. Například v Lobačevského geometrii je tento poměr menší než . $\pi$
↑ V dnešní době se s pomocí počítače počítá číslo s přesností na biliony číslic, což je více technický než vědecký zájem, protože taková přesnost nemá praktické využití. Přesnost výpočtu je obvykle omezena dostupnými prostředky počítače, nejčastěji časem, o něco méně často velikostí paměti. $\pi$

Prameny

↑ P.I. _ Získáno 13. září 2010. Archivováno z originálu 3. září 2010. (neurčitý)
↑ 1 2 Pavel Kotov. Zaměstnanec Google Cloud spočítal počet pí na 100 bilionů desetinných míst – to je nový rekord . 3DNews Daily Digital Digest (06/09/2022). Získáno 10. června 2022. Archivováno z originálu dne 10. června 2022. (neurčitý)
↑ Lambert, Johann Heinrich . Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logaritmiques, s. 265-322.
↑ Kleinův důkaz je připojen k dílu „Otázky elementární a vyšší matematiky“, část 1, vydané v Göttingenu v roce 1908.
↑ Weisstein, konstanta Erica W. Gelfonda na webu Wolfram MathWorld .
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Irrational Number (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
↑ Modulární funkce a otázky transcendence
↑ Romer P. Nový výraz pro π // V.O.F.E.M. . - 1890. - Č. 97 . - S. 2-4 . (Ruština)
↑ Weisstein, Eric W. Pi Squared na webu Wolfram MathWorld .
↑ Gnezdovský Yu. Yu . Úvod // Příručka trigonometrie. - Ekoperspektiva, 2006. - S. 3. - ISBN 985-469-141-1 .
↑ 1 2 Všudypřítomné číslo „pí“, 2007 , str. 10-11.
↑ Kympan, 1971 .
↑ E. M. Bruins . Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse Archivováno 3. března 2016 na Wayback Machine , 1950.
↑ Stroyk D. Ya. Stručná esej o historii matematiky = Abriss der Geschichte der Mathematik / Per. s tím.; Ch. vyd. Fyzikální matematika literatura. - 4. vydání, Rev. - M .: Science , 1984. - S. 47-48. — 285 str. — ISBN 5-02-014329-4 . (Ruština)
↑ Všudypřítomné číslo „pí“, 2007 , str. 29.
↑ Kympan, 1971 , s. 81.
↑ Pi: Zdrojová kniha . Získáno 19. listopadu 2021. Archivováno z originálu dne 19. listopadu 2021. (neurčitý)
↑ Isaac Newton. Matematické práce (přeložil a revidoval Morduchai-Boltovsky) / Morduchai-Boltovsky (také překlad a komentář). - Moskva, Leningrad: Hlavní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1937.
↑ Arndt, Jiří; Haenel, Christoph. Pi Unleashed . — Springer-Verlag , 2006. — S. 194–196. — 270p. - ISBN 978-3-540-66572-4 .
↑ Joaquin Navarro, 2014 , str. jedenáct..
↑ Brent, Richard (1975), Traub, JF, ed., Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation , Analytic Computational Complexity (New York: Academic Press): 151–176 , < http:// wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html > Archivováno 23. července 2008 na Wayback Machine
↑ Jonathan M Borwein. Pi: Zdrojová kniha. - Springer, 2004. - ISBN 0387205713 . (Angličtina)
↑ 1 2 David H. Bailey, Peter B. Borwein, Simon Plouffe. O rychlém počítání různých polylogaritmických konstant // Matematika počítání. - 1997. - T. 66 , no. 218 . - S. 903-913 . (Angličtina)
↑ Fabrice Bellard . Nový vzorec pro výpočet n - té binární číslice pí . Získáno 11. ledna 2010. Archivováno z originálu 21. srpna 2011.
↑ Simon Plouffe. Indentity inspirované Ramanujanovými zápisníky (část 2) (angl.) (nedostupný odkaz) . Získáno 11. ledna 2010. Archivováno z originálu 21. srpna 2011.
↑ Je nastaven nový záznam pro přesnost výpočtu čísla π (nepřístupný odkaz) . Získáno 20. srpna 2009. Archivováno z originálu 22. srpna 2009. (neurčitý)
↑ 10 bilionů desetinných číslic určených pro π (sestupná linka) . Získáno 4. října 2019. Archivováno z originálu dne 25. července 2018. (neurčitý)
↑ Kolo 2…10 bilionů číslic pí . Datum přístupu: 22. října 2011. Archivováno z originálu 1. října 2018. (neurčitý)
↑ Pi - 12,1 bilionů číslic . www.numberworld.org. Získáno 29. října 2019. Archivováno z originálu 1. října 2018. (neurčitý)
↑ Hodnota čísla „pi“ byla vypočtena na 31,4 bilionu desetinných míst . www.mk.ru Získáno 14. března 2019. Archivováno z originálu 14. března 2019. (Ruština)
↑ Švýcarští vědci oznámili nový rekord pro přesné číslo pí . phys.org (17. srpna 2021). Získáno 17. srpna 2021. Archivováno z originálu dne 17. srpna 2021.
↑ Pokus o světový rekord UAS Grisons . fhgr.ch (17. srpna 2021). Získáno 17. srpna 2021. Archivováno z originálu dne 17. srpna 2021.
↑ Roman Kildyushkin. Google nastavil světový rekord ve výpočtu pí Google vypočítal pí na 100 bilionů desetinných míst . Gazeta.ru (9.06.2022). Získáno 10. června 2022. Archivováno z originálu dne 10. června 2022. (neurčitý)
↑ Weisstein, Eric W. Measure of iracionality at Wolfram MathWorld .
↑ Doron Zeilberger, Wadim Zudilin. Míra iracionality pí je nejvýše 7,103205334137 . archive.org (2019). Archivováno 17. října 2020. (neurčitý)
↑ Weisstein, Eric W. Pi na webu Wolfram MathWorld .
↑ Některé nevyřešené problémy v teorii čísel . Získáno 27. září 2010. Archivováno z originálu 19. července 2010. (neurčitý)
↑ Weisstein, Eric W. Transcendentální číslo (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
↑ Úvod do metod iracionality a transcendence . Datum přístupu: 27. září 2010. Archivováno z originálu 17. května 2013. (neurčitý)
↑ Všudypřítomné číslo „pí“, 2007 , str. 67-69.
↑ Klam nebo klam? Archivováno 30. ledna 2012 na Wayback Machine // Kvant. - 1983. - č. 5.
↑ Galperin G.A. Billiard dynamický systém pro pi Archivní kopie z 13. června 2014 na Wayback Machine .
↑ "Elementární geometrie" Kiseljov str. 225
↑ 21-rok-starý si zapamatuje 70 000 pí číslic, stanoví Guinnessův rekord . Získáno 3. dubna 2016. Archivováno z originálu 18. dubna 2016. (neurčitý)
↑ Čínský student překonal Guinessův rekord recitací 67 890 číslic pí . Získáno 26. září 2010. Archivováno z originálu 7. května 2011. (neurčitý)
↑ Rozhovor s Mr. Chao Lu . Získáno 26. září 2010. Archivováno z originálu 24. září 2010. (neurčitý)
↑ Jak si někdo může zapamatovat 100 000 čísel? — The Japan Times, 17.12.2006.
↑ Seznam světového žebříčku Pi . Získáno 26. září 2010. Archivováno z originálu 30. září 2010. (neurčitý)
↑ Julia Stalinová. „Myšlenky na Johnnyho Deppa pomohly“: školák z Jekatěrinburgu si zapamatoval 13 202 číslic Pi . KP.RU (28.10.2019). Získáno 10. června 2022. Archivováno z originálu 15. května 2022. (neurčitý)
↑ The Indiana Pi Bill, 1897 Archivováno 17. června 2016 na Wayback Machine
↑ Článek Los Angeles Times „Chtěl byste kus “? (název hraje na podobnost v pravopisu čísla a slova pie (eng. pie)) $\pi$ $\pi$ Archivní kopie ze dne 19. února 2009 na Wayback Machine (nepřístupný odkaz od 22-05-2013 [3451 dní] - historie , kopie ) (angl.) .
↑ Citováno ze stran 16-17 knihy: Perelman Ya. I. Squaring the circle. - L . : Dům zábavné vědy, 1941.

Literatura

Žukov A. V. Na čísle π . - M. : MTsMNO, 2002. - 32 s. - ISBN 5-94057-030-5 .
Žukov A. V. Všudypřítomné číslo „pí“. - 2. vyd. - M . : Nakladatelství LKI, 2007. - 216 s. - ISBN 978-5-382-00174-6 .
Quimpan, Florida. Historie pí. — M .: Nauka , 1971. — 217 s.
Navarro, Joaquin. Tajemství čísla Proč je problém kvadratury kruhu neřešitelný. — M .: De Agostini, 2014. — 143 s. — (Svět matematiky: ve 45 svazcích, svazek 7). - ISBN 978-5-9774-0629-1 . $\pi.$
Perelman Ya. I. Vyrovnání kruhu. - L . : Dům zábavné vědy, 1941.Reedice: YOYO Media,ISBN 978-5-458-62773-3.
Shumikhin S., Shumikhina A. Pi číslo. Historie 4000 let. - M. : Eksmo, 2011. - 192 s. - (Tajemství vesmíru). - ISBN 978-5-699-51331-4 . — ISBN 5-4574041-9-6 . - ISBN 978-5-4574041-9-9 .
David H. Bailey, Jonathan M. Borwein. Pi: The Next Generation Zdrojová kniha o nedávné historii Pi a jejím výpočtu. - Springer, 2016. - 507 s. — ISBN 978-3-319-32375-6 .
Arndt, George; Haenel, Christoph. Pi Unleashed . — Springer-Verlag , 2006. — S. 194–196. — 270p. - ISBN 978-3-540-66572-4 .

Odkazy

pi.delivery Archivováno 10. listopadu 2020 na Wayback Machine 50 bilionů číslic pí (světový rekord).
Weisstein, Eric W. Pi Formulas (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .
Různé Representations of Pi Archived 12. srpna 2011 na Wayback Machine na WolframAlpha
https://functions.wolfram.com/Constants/Pi/ Archivováno 12. ledna 2021 na Wayback Machine
sekvence A000796 v OEIS
22,4 bilionu číslic pi Archivováno 10. listopadu 2020 na Wayback Machine

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX536170 GND : 4174646-6 J9U : 987007546007205171 LCCN : sh85101712 NDL : 00562015 NKC : ph117728

Čísla s vlastními jmény

Matematické konstanty

Algebraický

Transcendentální ,
pravděpodobně transcendentální

Stupně tisíce

Stará ruská čísla

Další mocniny deseti

Mocniny dvanácti

Jiný celek

Jiná čísla

pomyslná jednotka

Iracionální čísla
Apéryho konstanta ( ζ(3) ) Erdős-Borweinova konstanta ( E ) Feigenbaumovy konstanty Sofomorský sen Konstanta prvočísla (ρ) Plastové číslo (ρ) Logaritmus dvou (ln 2) 12. odmocnina z 2 ( 12 √ 2 ) Druhá odmocnina ze 2 ( √ 2 ) Druhá odmocnina ze 3 ( √ 3 ) Druhá odmocnina z 5 ( √5 ) Zlatý řez (φ) Super zlatý řez (ψ) Stříbrná sekce ( δS ) E π Gelfondova konstanta ( e π ) Gelfond-Schneiderova konstanta ( 2 √ 2 ) Inverzní Fibonacciho konstanta (ψ)
transcendentální Trigonometrický