SL(2;R)

SL(2,R) nebo SL 2 (R) je skupina reálných matic 2 × 2 s determinantem identity :

{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )=\left\{\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right):a,b ,c,d\in \mathbf {R} {\mbox{ a }}ad-bc=1\right\}.

Skupina je jednoduchá skutečná Lieova grupa s aplikacemi v geometrii , topologii , teorii reprezentace a fyzice .

SL(2, R ) působí na komplexní horní polorovinu lineárně zlomkovými transformacemi. Skupinová akce faktorizuje na faktorovou grupu PSL(2,R) ( projektivní speciální lineární grupa nad R ). Přesněji, $2\times 2$

{\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} )=\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )/\{{\pm }E\))

kde E označuje matici identity . SL(2, R ) obsahuje modulární skupinu PSL(2, Z ). $2\times 2$

Také skupina SL(2, R ) úzce souvisí s 2-násobnou krycí skupinou Mp(2, R ), metaplektickou skupinou (pokud SL(2, R ) považujeme za symplektickou skupinu ).

Další příbuznou skupinou je skupina reálných matic s determinantem . Tato skupina se však nejčastěji používá v kontextu modulární skupiny . $\mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )$ $2\times 2$ $\pm 1$

Popis

SL(2, R ) je skupina všech lineárních transformací prostoru R 2 , které zachovávají orientovanou oblast . Grupa je izomorfní se symplektickou grupou Sp(2, R ) a se zobecněnou speciální unitární grupou SU(1,1). Skupina je také izomorfní ke skupině kokvaternionů jednotkové délky. Skupina si zachovává neorientovanou oblast – může si zachovat orientaci. $\mathrm {SL} ^{\pm }(2,\mathbf {R} )$

Faktor PSL(2, R ) má několik zajímavých popisů:

Jedná se o skupinu projektivních transformací, které zachovávají orientaci skutečné projektivní přímky . ${\displaystyle \mathbf {R} \cup \{\infty \))$
Je to skupina konformních automorfismů jednotkového kruhu .
Jedná se o skupinu pohybů hyperbolické roviny zachovávajících orientaci .
Toto je omezená Lorentzova skupina trojrozměrného Minkowského prostoru . Ekvivalentně je izomorfní s neurčitou ortogonální grupou SO + (1,2). To znamená, že SL(2, R ) je izomorfní ke spinorové skupině Spin(2,1) + .

Prvky modulární grupy PSL(2, Z ) mají další interpretace jako prvky grupy SL(2, Z ) (jako lineární transformace torusu) a tyto reprezentace lze také uvažovat ve světle obecné teorie skupina SL(2, R ).

Zlomková lineární transformace

Prvky grupy PSL(2, R ) působí na reálné projektivní přímce jako lineárně zlomkové transformace : ${\displaystyle \mathbf {R} \cup \{\infty \))$

x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d)).

Tato akce je podobná akci PSL(2, C ) na Riemannovu sféru pomocí Möbiových transformací . Akce je omezení působení grupy PSL(2, R ) na hyperbolickou rovinu na hranici nekonečna.

Möbiova transformace

Prvky grupy PSL(2, R ) působí v komplexní rovině Möbiovou transformací:

z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}\;\;\;\;(a,b,c,d\in \mathbf {R} )

Toto je přesně množina Möbiových transformací zachovávajících horní polovinu roviny . To znamená, že PSL(2, R ) je skupina konformních automorfismů horní poloviny roviny. Podle Riemannovy věty o mapování je tato grupa skupinou konformních automorfismů jednotkového kruhu.

Tyto Möbiovy transformace fungují jako izometrie modelu horní poloviny roviny hyperbolického prostoru a odpovídající Möbiovy transformace disku jsou hyperbolické izometrie Poincarého modelu disku .

Vzorec nahoře může být také použit k určení Möbiovy transformace duálů a dvojic . Odpovídající geometrie jsou v netriviálním spojení [1] s Lobachevského geometrií .

Přiložený pohled

Grupa SL(2, R ) působí na své Lieovy algebry sl(2, R ) konjugací (nezapomeňte, že prvky Lieovy algebry jsou také matice 2 x 2), což poskytuje přísnou 3-rozměrnou lineární reprezentaci grupy PSL. (2, R ). To lze alternativně popsat jako působení skupiny PSL(2, R ) na povrchy kvadratických forem na R2 . Výsledkem je následující pohled:

{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\mapto {\begin{bmatrix}a^{2}&2ab&b^{2}\\ac&ad+bc&bd\\c^{2}&2cd&d ^{2}\end{bmatrix}}.

Killingova forma na sl(2, R ) má signaturu (2,1) a generuje izomorfismus mezi PSL(2, R ) a Lorentzovou grupou SO + (2,1). Toto působení grupy PSL(2, R ) v Minkowského prostoru je omezeno na izometrické působení grupy PSL(2, R ) na hyperboloidním modelu hyperbolické roviny.

Klasifikace prvků

Vlastní čísla prvku splňují rovnici pro charakteristický polynom $A\in \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )$

\lambda ^{2}\,-\,\mathrm {tr} (A)\,\lambda \,+\,1\,=\,0

A proto

\lambda ={\frac {\mathrm {tr} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} (A)^{2}-4))}{2)).

To vede k následující klasifikaci prvků s odpovídajícím působením na euklidovské rovině:

Pokud |tr( A )|< 2, pak se prvek (matice) A nazývá eliptický a jedná se o rotaci .
Pokud |tr( A )|= 2, pak se prvek A nazývá parabolický a je rozšířením prostoru.
Pokud |tr( A )|> 2, pak se prvek A nazývá hyperbolický a je to mapa kontrakce .

Názvy odpovídají klasifikaci kuželoseček podle excentricity - pokud excentricitu definujete jako polovinu hodnoty stopy ( . Dělení 2 koriguje vliv rozměrnosti, zatímco absolutní hodnota odpovídá ignorování znaménka (násobitele ) při práci s PSL (2, R )), což znamená : pro eliptický prvek, pro parabolický prvek, pro hyperbolický prvek. $\epsilon ={\tfrac {1}{2}}tr$ $\pm 1$ $\epsilon <1$ $\epsilon=1$ $\epsilon >1$

Prvek identity 1 a záporný prvek −1 (jsou stejné v PSL(2, R )), mají stopu , a proto jsou podle této klasifikace parabolické prvky, i když se s nimi často zachází odděleně. $\pm2$

Stejná klasifikace se používá pro SL(2, C ) a PSL(2, C ) ( Möbiovy transformace ) a PSL(2, R ) (skutečné Möbiovy transformace), s přidáním „loxodromických“ transformací odpovídajících komplexním stopám. Podobné klasifikace se používají na mnoha dalších místech.

Podskupina obsahující eliptické (v tomto pořadí parabolické a hyperbolické) prvky plus prvek identity a pro něj záporný prvek se nazývá eliptická podskupina (respektive parabolická podskupina , hyperbolická podskupina ).

Tato klasifikace je podle podmnožin , nikoli podle podskupin - tyto množiny nejsou uzavřeny násobením (například součin dvou parabolických prvků nemusí být nutně parabolický). Všechny prvky jsou však sloučeny do 3 standardních jednoparametrových podskupin , jak je popsáno níže.

Topologicky, protože stopa je spojitá mapa, jsou eliptické prvky (bez ) otevřené , stejně jako hyperbolické prvky (bez ), zatímco parabolické prvky (včetně ) jsou uzavřené . $\pm 1$ $\pm 1$ $\pm 1$

Eliptické prvky

Vlastní hodnoty pro eliptický prvek jsou komplexní a jsou sdruženými hodnotami na jednotkovém kruhu . Takový prvek je konjugován s rotací euklidovské roviny - lze je interpretovat jako rotace v (možná) neortogonální bázi a odpovídající prvek grupy PSL(2, R ) působí jako (konjugovaná) rotace hyperbolická rovina a Minkowského prostor .

Eliptické prvky modulární skupiny musí mít vlastní čísla , kde je primitivní 3., 4. nebo 6. odmocnina jednoty . Všechny jsou prvky modulární skupiny s konečným řádem a působí na torus jako periodické difeomorfismy. ${\displaystyle \{\omega ,\omega ^{-1}\))$ $\omega$

Prvky se stopou 0 lze nazvat "kruhové prvky" (podobně jako excentricita), ale to se používá zřídka. Tyto stopy odpovídají prvkům s vlastními čísly a odpovídají rotacím na , a čtverec odpovídá - E - jsou to neidentické involuce v PSL(2). $\pm i$ $90^{\circ }$

Eliptické prvky jsou konjugované v rámci podskupiny rotací euklidovské roviny ortogonální ke skupině SO(2). Úhel rotace je arccos - polovina stopy se znaménkem rotace (rotace a její inverzní jsou konjugované v GL(2), ale ne v SL(2).)

Parabolické prvky

Parabolický prvek má pouze jednu vlastní hodnotu, která je buď 1 nebo -1. Takový prvek funguje jako prostorová extenze v euklidovské rovině a odpovídající prvek PSL(2, R ) působí jako rotační omezení na hyperbolické rovině a jako nulová rotace Minkowského prostoru .

Parabolické prvky modulární skupiny fungují jako Denatovy torusové zákruty.

Parabolické prvky jsou konjugovány ve 2-složkové skupině standardních posunů : . Ve skutečnosti jsou všechny konjugované (v SL(2)) k jedné ze čtyř matic , (v GL(2) nebo , mohou být vynechány, ale ne v SL(2). $\times {\pm }E$ $\left({\begin{smallmatrix}1&\lambda \\&1\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm E\}$ $\left({\begin{smallmatrix}1&\pm 1\\&1\end{smallmatrix}}\right)$ $\left({\begin{smallmatrix}-1&\pm 1\\&-1\end{smallmatrix}}\right)$ $\mathrm {SL} ^{\pm }(2)$ $\odpoledne$

Hyperbolické prvky

Vlastní hodnoty pro hyperbolický prvek jsou skutečné a opačné. Takový prvek funguje jako mapa kontrakce euklidovské roviny a odpovídající prvek PSL(2, R ) funguje jako paralelní translace hyperbolické roviny a jako Lorentzova podpora v Minkowského prostoru .

Hyperbolické prvky modulární skupiny působí jako difeomorfismy Anosova torusu.

Hyperbolické prvky spadají do 2složkové skupiny standardních kontrakcí : ; hyperbolický úhel hyperbolické rotace je dán jako oblouk poloviny stopy, ale znaménko může být na rozdíl od eliptického případu buď kladné nebo záporné. Komprese a její inverzní transformace jsou konjugovány v SL₂ (rotací v osách, u standardních os se rotace provádí na ). $\times {\pm }E$ $\left({\begin{smallmatrix}\lambda \\&\lambda ^{-1}\end{smallmatrix}}\right)\times \{\pm E\}$ $90^{\circ }$

Třídy konjugace

Podle Jordanovy normální formy jsou matice klasifikovány až do konjugace (v GL( n , C )) podle vlastních čísel a nilpotence (konkrétně nilpotence znamená, kde jsou jedničky v Jordanových buňkách). Takové prvky SL(2) jsou klasifikovány až do konjugace v GL(2) ( ) stopou (protože determinant je pevný a stopa a determinant jsou určeny vlastními hodnotami), kromě případů, kdy jsou vlastní hodnoty stejné, takže prvky jsou stejné a parabolické prvky stopy +2 a stopy −2 nejsou konjugované (první nemá žádné mimodiagonální prvky v Jordanově formě, zatímco druhé ano). $\mathrm {SL} ^{\pm }(2)$ $\pm E$

Až do konjugace v SL(2) (místo GL(2)) existují další informace odpovídající orientaci – rotace ve směru a proti směru hodinových ručiček (eliptické) nejsou konjugované, nejsou pozitivní ani negativní smyk, jak je popsáno výše. Pak pro absolutní hodnotu stopy menší než 2 existují dvě třídy konjugátu pro každou stopu (rotace ve směru nebo proti směru hodinových ručiček). Pro absolutní hodnotu stopy 2 existují tři třídy konjugátu pro každou stopu (pozitivní posun, posun nuly, negativní posun). Pro absolutní hodnotu stopy větší než 2 existuje jedna třída konjugace pro danou stopu.

Topologické a univerzální pokrytí

Jako topologický prostor lze PSL(2, R ) popsat jako jednotkový tečný svazek hyperbolické roviny. Je to svazek na kruzích a má přirozenou kontaktní strukturu generovanou symplektickou strukturou na hyperbolické rovině. Skupina SL(2, R ) je 2-násobným krytem skupiny PSL(2, R ) a lze ji považovat za svazek spinorů na hyperbolické rovině.

Základní grupou grupy SL(2, R ) je konečná cyklická grupa Z . Univerzální krycí grupa , označovaná jako , je příkladem konečnědimenzionální Lieovy grupy, která není maticovou grupou . To znamená, že neumožňuje přesnou konečnou dimenzionální reprezentaci . ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$

Topologickým prostorem je svazek čar nad hyperbolickou rovinou. Pokud je prostor vybaven levou invariantní metrikou , 3-manifold se stane jednou z osmi Thurstonových geometrií . Jedná se například o univerzální pokrytí jednotkového tečného svazku pro jakýkoli hyperbolický povrch . Libovolné manifoldy, na kterých je modelováno, je orientovatelné a je to kruhový svazek přes nějaký dvourozměrný hyperbolický orbifold ( Seifertův svazek ). ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$ ${\overline {{\mbox{SL}}(2,\mathbf {R} )}}$

S takovým krytím je inverzní obraz modulární skupiny PSL(2, Z ) opletená skupina na 3 generátorech, B 3 , což je univerzální centrální rozšíření modulární skupiny. Jsou to svazy uvnitř odpovídajících algebraických grup a to odpovídá algebraicky univerzální krycí grupě v topologii.

Dvojnásobná krycí skupina může být nazývána Mp(2, R ), metaplektická skupina , pokud SL(2, R ) je chápána jako symplektická skupina Sp(2, R ).

Výše uvedené skupiny tvoří sekvenci:

{\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )}}\to \cdots \to \mathrm {Mp} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {R} )\to \mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ).

Existují však další skupiny pokrývající skupinu PSL(2, R ) odpovídající všem n takové, že , takže tvoří mřížku krycích skupin dělitelností. Jsou krytím SL(2, R ) právě tehdy, když n je sudé. $n\mathbf {Z} <\mathbf {Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {PSL} (2,\mathbf {R} ))$

Algebraická struktura

Střed skupiny SL(2, R ) je dvouprvková grupa a faktor PSL(2, R ) je jednoduchá grupa. $\{\pm 1\}$

Diskrétní podgrupy grupy PSL(2, R ) se nazývají fuchsovské grupy . Jsou hyperbolickým protějškem euklidovských tapetových skupin a hraničních skupin . Nejznámější z nich je modulární skupina PSL(2, Z ), která působí na obklady hyperbolické roviny ideálními trojúhelníky .

Grupa U(1) , kterou si můžeme představit jako SO(2) , je maximální kompaktní podgrupou SL(2, R ) a kruh je maximální kompaktní podgrupou PSL(2, R ). ${\displaystyle \mathrm {SO} (2)/\{\pm 1\))$

Schurův multiplikátor diskrétní skupiny PSL(2, R ) je mnohem větší než skupina Z a univerzální centrální rozšíření je mnohem větší než univerzální krycí skupina. Tato velká centrální rozšíření však neberou v úvahu topologii a jsou poněkud patologická.

Teorie reprezentace

SL(2, R ) je skutečná nekompaktní jednoduchá Lieova grupa a je rozdělenou reálnou formou komplexní Lieovy grupy SL(2, C ). Lieova algebra grupy SL(2, R ), označovaná jako sl(2, R ), je algebrou všech reálných, bezstopých [2] matic. Jedná se o Bianchiho algebru typu VIII. $2\times 2$

Teorie konečného zobrazení grupy SL(2, R ) je ekvivalentní teorii zobrazení SU(2) , což je kompaktní reálná forma grupy SL(2, C ). Konkrétně SL(2, R ) nemá žádné netriviální konečně-dimenzionální unitární reprezentace. Toto je vlastnost jakékoli spojené jednoduché nekompaktní Lieovy grupy. Nástin důkazu viz článek „Nejednotnost reprezentace“ .

Velmi zajímavá je teorie nekonečněrozměrné reprezentace grupy SL(2, R ). Skupina má několik rodin unitárních reprezentací, které podrobně rozvinuli Gelfand a Naimark (1946), V. Bargman (1947) a Harish-Chandra (1952).

Viz také

Poznámky

↑ Kisil, 2012 , str. xiv+192.
↑ Bezstopová matice je matice, jejíž stopa je 0.

Literatura

Valentýna Bargmanna. Neredukovatelné unitární reprezentace Lorentzovy skupiny // Annals of Mathematics . - 1947. - T. 48 , čís. 3 . — S. 568–640 . - doi : 10.2307/1969129 . — .
Gelfand I.M., Naimark M.A. Unitární reprezentace Lorentzovy skupiny // Izv. Akademie věd SSSR. Ser. Matem .. - 1947. - T. 11 , čís. 5 . — S. 411–504 .
Harish Chandra. Plancherelův vzorec pro skutečnou unimodulární skupinu // Proc. Natl. Akad. sci. USA. - 1952. - T. 38 . — S. 337–342 . - doi : 10.1073/pnas.38.4.337 . — PMID 16589101 . $2\times 2$
Serge Lang. . - New York: Springer-Verlag, 1985. - V. 105. - ISBN 0-387-96198-4 . - doi : 10.1007/978-1-4612-5142-2 . $\mathrm {SL} _{2}(\mathbf {R} )$
- Leng S. / Z angličtiny přeložil V.I. Vasyunin a M.A. Semjonov-Tjan-Shanskij; Editoval A.A. Kirillov. - Moskva: Mir, 1977. $SL_{2}(R)$
William Thurston. Trojrozměrná geometrie a topologie. sv. 1. - Princeton, NJ: Princeton University Press, 1997. - V. 35. - ISBN 0-691-08304-5 .
Vladimír V. Kisil. Geometrie Möbiových transformací. Eliptické, parabolické a hyperbolické akce SL(2,R). - London: Imperial College Press, 2012. - ISBN 978-1-84816-858-9 . - doi : 10.1142/p835 .

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Kleinová čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko skupiny J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace