Vepsané a opsané číslice pro trojúhelník
Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od
verze recenzované 17. června 2022; kontroly vyžadují
10 úprav .
Důležitou součástí geometrie trojúhelníku je teorie obrazců a křivek vepsaných do trojúhelníku nebo kolem něj popsaných - kružnice , elipsy a další.
Vepsané a opsané kružnice trojúhelníku
Kružnice procházející vrcholy trojúhelníku
- Kružnice opsaná (viz obrázek vlevo) je kružnice procházející všemi třemi vrcholy trojúhelníku. Kruh opsaný je vždy jedinečný, pokud trojúhelník není degenerován zvláštním způsobem, to znamená, že dva z jeho tří vrcholů se neshodují.
- Johnsonova kružnice - kterákoli ze tří kružnic (viz obrázek vpravo) procházející dvěma vrcholy trojúhelníku a jeho ortocentrem . Poloměry všech tří Johnsonových kružnic jsou stejné. Johnsonovy kruhy jsou opsané kružnice hamiltonovských trojúhelníků , které mají dva vrcholy daného ostroúhlého trojúhelníku jako dva vrcholy a jeho orthocenter jako třetí vrchol .
Kruhy dotýkající se stran trojúhelníku nebo jejich prodloužení
- Tři kruhy Malfattiho trojúhelníku (viz obrázek vpravo). Každý z nich se dotýká dvou stran trojúhelníku a dvou dalších Malfattiho kruhů .
- Pokud nakreslíte tři rovné čáry spojující střed každého Malfattiho kruhu s bodem kontaktu mezi dalšími dvěma, pak se protnou v jednom bodě - v bodě Ajima-Malfatti (Ajima-Malfatti) [1] .
- Tři polovepsané kruhy nebo Verrierovy kruhy (viz obrázek vlevo). Každý z nich se vnitřně dotýká dvou stran trojúhelníku a kružnice opsané .
- Úsečky spojující vrcholy trojúhelníku a odpovídající body tečnosti
Verrierových kružnic s kružnicí opsané se protínají v jednom bodě, který se nazývá Verrierův bod . Slouží jako střed homotety G , která mapuje opsaný kruh na kružnici (viz šedý obrázek níže).
- Verrierovo lemma [2] . Tečné body Verrierových kružnic (půlkruhů) se stranami leží na přímce, která prochází středem vepsané kružnice ( incenter ) (viz šedý obrázek níže).
Poloměry kružnic vepsaných a opsaných
Následující vzorce zahrnují poloměry opsaných R a vepsaných r kružnic:

,
kde je půlobvod trojúhelníku, h a atd., výšky nakreslené k odpovídajícím stranám; [3] :str.70
[čtyři]
a

.
Součin dvou stran trojúhelníku se rovná součinu výšky krát třetí strana násobené průměrem kružnice opsané. [3] :str.64 :

.
- Pokud medián m , výška h a vnitřní os t vycházejí ze stejného vrcholu trojúhelníku, kolem kterého je opsána kružnice o poloměru R , pak [3] :str.122,#96
Kruhy, které se vzájemně dotýkají uvnitř trojúhelníku
- Tři Malfattiho kruhy se uvnitř trojúhelníku ve dvojicích dotýkají. (viz výše)
- Devítibodová kružnice nebo Eulerova kružnice je tečnou k kružnici uvnitř trojúhelníku v bodě Feuerbach .
Kruhy, které jsou vzájemně tečné mimo trojúhelník
- Tři Verrierovy kružnice jsou tečné k opsané kružnici vně trojúhelníku.
- Devítibodová kružnice neboli Eulerova kružnice je vnější cestoutečnou ke třem kružnicím mimo trojúhelník ( Feuerbachova věta , viz obrázek).
- Apolloniův kruh se vnitřně dotýká tří kružnic vně trojúhelníku (viz obrázek)
- Tři Johnsonovy kružnice (viz výše) jsou externě tečné k antikomplementární kružnici (červená na obrázku vpravo nahoře, poloměr 2r) trojúhelníku ΔABC. Středy Johnsonových kružnic leží na úsecích (oranžových) spojujících společný průsečík výšek H a body dotyku těchto tří kružnic s antikomplementární kružnicí. . Tyto dotykové body tvoří antikomplementární nebo (což je totéž) antikomplementární trojúhelník (zelený na obrázku výše).

Jiné kruhy
- Středy opsaných kružnic šesti trojúhelníků, na které je trojúhelník rozdělen střednicemi, leží na jedné kružnici, která se nazývá Lamunova kružnice .
- Pokud z každého vrcholu rozložíme trojúhelníky na přímky obsahující strany, úsečky stejně dlouhé jako protilehlé strany, pak výsledných šest bodů leží na jedné kružnici - Conwayově kružnici .
Kružnice protínající strany trojúhelníku
- Kružnice devíti bodů je kružnice procházející středy všech tří stran trojúhelníku a třemi základnami jeho výšek.
- Taylorův kruh je kruh, který prochází šesti body ve formě šesti průmětů tří základen výšek trojúhelníku, protínajících každou stranu, na dvě zbývající strany.
Definice perspektivy kuželosečky
- Do trojúhelníku lze vepsat nekonečně mnoho kuželoseček ( elipsy , paraboly nebo hyperboly ).
- Jestliže je libovolná kuželosečka vepsána do trojúhelníku a body kontaktu jsou spojeny s opačnými vrcholy, pak se výsledné čáry protnou v jednom bodě, který se nazývá perspektiva kuželosečky .
- Pro každý bod roviny, který neleží na straně nebo na jejím prodloužení, existuje v tomto bodě vepsaná kuželosečka s perspektivou [5] .
Elipsy trojúhelníku
Definice vepsané Steinerovy elipsy
- Do trojúhelníku lze vepsat nekonečné množství elips . Kromě toho jsou ohniska každé z vepsaných elips izogonálně konjugovaná.
- Jedna elipsa může být vepsána do trojúhelníku, který se dotýká stran v jejich středech. Taková elipsa se nazývá vepsaná Steinerova elipsa (její perspektivou bude těžiště trojúhelníku) [6] .
- "Určení perspektivy kuželosečky " (včetně kuželosečky-elipsy) viz výše.
Definice opsané Steinerovy elipsy
- Kolem trojúhelníku lze opsat nekonečné množství elips .
- V blízkosti trojúhelníku lze popsat jednu elipsu , která je tečnou k přímkám procházejícím vrcholy a rovnoběžná se stranami. Taková elipsa se nazývá opsaná Steinerova elipsa .
- Ohniska popisované Steinerovy elipsy se nazývají Skutinovy body .
- Ceviany tažené ohniskem opsané Steinerovy elipsy ( Skutinovy body ) jsou stejné ( Skutinův teorém )
Brocardova elipsa
- Elipsa s ohnisky v Brocardových bodech se nazývá Brocardova elipsa . Jeho perspektivou je bod Lemoine [8] .
Ellipse Mandart (Mandart inellipse)
- Elipsa Mandart (nebo Mandara) trojúhelníku ABC - elipsa vepsaná do trojúhelníku, dotýkající se jeho stran v bodech dotyku s(ve vrcholech Nagelova trojúhelníku ) (viz obrázek vpravo).
- Kruh popsaný kolem Nagelova trojúhelníku T A T B T C se nazývá Mandartova kružnice (zvláštní případ Mandartovy elipsy ).
Johnsonova elipsa
- Šest bodů - vrcholy referenčního trojúhelníku a vrcholy jeho Johnsonova trojúhelníku - leží na Johnsonově elipse (obr. vlevo), která má střed ve středu devíti bodů a bod X (216) referenčního trojúhelníku. trojúhelník je jeho perspektivní bod . Opsaná elipsa a kružnice opsané mají čtyři společné body - tři vrcholy referenčního trojúhelníku a bod X (110).
Vztah pro libovolnou elipsu vepsanou do trojúhelníku
Je-li libovolná elipsa vepsána do trojúhelníku ABC a má ohniska P a Q , pak pro ni platí vztah [9] :
Paraboly vepsané do trojúhelníku
- Do trojúhelníku lze vepsat nekonečné množství parabol .
Kiepertova parabola
Parabola vepsaná do trojúhelníku se směrnicí Eulerovy přímky se nazývá Kiepertova parabola . Jeho perspektiva je čtvrtým průsečíkem kružnice opsané a opsané Steinerovy elipsy , nazývané Steinerův bod .
Hyperboly opsané kolem trojúhelníku
- V blízkosti trojúhelníku lze popsat nekonečně mnoho hyperbol .
- Pokud hyperbola popsaná v blízkosti trojúhelníku prochází průsečíkem výšek, pak je rovnostranná (to znamená, že její asymptoty jsou kolmé) [12] . Průsečík asymptot rovnostranné hyperboly leží na kružnici devíti bodů [12] .
Cypertova hyperbola
- Kiepertova hyperbola je ohraničená hyperbola procházející těžištěm a ortocentrem . Pokud postavíte podobné rovnoramenné trojúhelníky na stranách trojúhelníku (směrem ven nebo dovnitř) a poté spojíte jejich vrcholy s opačnými vrcholy původního trojúhelníku, pak se tři takové čáry protnou v jednom bodě ležícím na Kiepertově hyperbole . Konkrétně na této hyperbole leží Torricelliho body a Napoleonovy body (Cevian průsečíky spojující vrcholy se středy pravidelných trojúhelníků postavených na opačných stranách) [13] .
Enzhabekova hyperbola
Feuerbachova hyperbola a Feuerbachův bod
Kuželosečka devíti bodů
Kuželosečka devíti bodů úplného čtyřúhelníku je kuželosečka procházející třemi diagonálními body a šesti středními body stran úplného čtyřúhelníku. Na Obr. Bocherova kuželosečka pro čtyři body úplného čtyřúhelníku je znázorněna jako tři vrcholy trojúhelníku a jeden nezávislý bod:
Nechť je dán trojúhelník ABC a bod P v rovině. Kuželosečku lze nakreslit pomocí následujících devíti bodů:
středy stran trojúhelníku ABC ,
středy segmentů spojujících P s vrcholy trojúhelníku,
body, kde tyto přímky procházející P a vrcholy trojúhelníku protínají strany trojúhelníku.
Kostky
- Katalog trojúhelníkových krychlí) je online zdroj obsahující podrobné informace o více než 1200 kubických křivkách v rovině referenčního trojúhelníku. Zdroj spravuje Bernard Gilbert. Každé kostce ve zdroji je přiřazeno jedinečné identifikační číslo ve tvaru "Knnn", kde "nnn" znamená tři číslice. Identifikační číslo prvního záznamu v adresáři je "K001", což je Neubergova krychle referenčního trojúhelníku ABC. Katalog obsahuje mimo jiné následující informace o každé z níže uvedených kostek:
- Rovnice barycentrické křivky
- Seznam středů trojúhelníků, které leží na křivce
- Singulární body na křivce, které nejsou středy trojúhelníků
- Geometrické vlastnosti křivky
- Vlastnosti místa křivky
- Další vlastnosti speciální křivky
- Další křivky související s kubickou křivkou
- Spousta úhledných a úhledných figurek znázorňujících různé vlastnosti
- Curve Literature References
- Krychle ( kubická křivka ) je křivka třetího řádu (daná rovnicí třetího stupně). Mnoho z nádherných krychlí spojených s trojúhelníkem je zkonstruováno následujícím způsobem: bod v rovině (možná v nekonečnu) je pevný. Pak množina bodů taková, že přímka prochází tímto bodem, je krychle opsaná kolem trojúhelníku (zde bod izogonálně konjugovaný s ). Takové krychle také procházejí středy vepsaných a kružnic, stejně jako samotným pevným bodem a jeho izogonální konjugací [15] .




- Darbouxova kostka se získá upevněním bodu symetrického k ortocentru vzhledem ke středu opsané kružnice. Prochází body: incenter , orthocenter , střed opsané kružnice, Longchampsův bod X(20), další body, a také vrcholy A, B, C, středy kružnic, přes antipody vrcholů A, B, C na kružnici opsané. Prochází ortocentrem a středem kružnice opsané. V seznamu je krychle v rovině Gibertova trojúhelníku (Bernard Gibert) Darbouxovy krychle uvedena jako K004 [16] .
- Lukova kostka . Prochází body: těžiště , ortocentrum , Gergonnův bod , Nagelův bod , Longchampův bod , vrcholy antikomplementárního trojúhelníku a ohnisky popisované Steinerovy elipsy a další. V seznamu je krychle na rovině trojúhelníku Lucasovy krychle uvedena jako K007 [17] .
- McKayova krychle získáme, vezmeme-li střed opsané kružnice jako pevný bod. Prochází také ortocentrem a středem kružnice opsané.
- Kostka Napoleona-Feuerbacha . Prochází body: střed , ortocentrum , střed opsané kružnice, Gergonnův bod , Nagelův bod , Longchampův bod , první a druhý Napoleonův bod , další body, jakož i vrcholy A, B, C, jakož i přes středy kružnic, průměty těžišť do výšek, středy šesti rovnostranných trojúhelníků postavených na stranách trojúhelníku ABC (vně nebo uvnitř). V seznamu je krychle na rovině trojúhelníku Napoleon-Feuerbachovy kostky uvedena jako K005 [18] .
- Neubergova krychle je množina bodů taková, že je Eulerova přímka (její bod v nekonečnu je pevný). Na této krychli je více než 15 pozoruhodných bodů, zejména body Torricelliho, Apollonia, ortocentrum, střed opsané kružnice, vrcholy pravidelných trojúhelníků postavené na stranách (vně nebo uvnitř), body symetrické k vrcholy vzhledem ke stranám, dva Fermatovy body , dva izodynamické body , Eulerův bod nekonečna, stejně jako středy vepsaných a kružnic ležících na všech krychlích. V seznamu je krychle na rovině trojúhelníku Neubergovy krychle uvedena jako K001 [19] .

- Thomsonova kostka se získá výběrem těžiště jako pevného bodu. Thomsonova kostka prochází těžištěm, Lemoinovým bodem, ortocentrem, středem opsané kružnice, středy stran a středy výšek vrcholů A, B, C středy kružnic. V seznamu je krychle na rovině trojúhelníku Thomsonovy krychle uvedena jako K002 [20] .
- První Brocardova kostka . Prochází body: těžiště , Lemoinův bod , Steinerův bod X(99), dva izodynamické body , Parryho bod a další a také vrcholy 1. a 3. Brocardova trojúhelníku. V seznamu krychlí na rovině trojúhelníku je první Brocardova krychle uvedena jako K017 [21] .
- Druhá Brocardova kostka . Prochází body: těžiště , Lemoinův bod , dva Fermatovy body , dva izodynamické body , Parryho bod a další, stejně jako vrcholy 2. a 4. Brocardova trojúhelníku. V seznamu krychlí na rovině trojúhelníku je druhá Brocardova kostka uvedena jako K018 [22] .
- První krychle se stejnými plochami (1. krychle se stejnými plochami) . Prochází body: střed , Steinerův bod X(99), první a druhý Brocardův bod , středy kružnic trojúhelníku. V seznamu krychlí v rovině trojúhelníku je první krychle stejných ploch uvedena jako K021 [23] .
- Druhá krychle o stejných plochách (2. krychle o stejných plochách) . Prochází body: incenter , other points a také přes následující body v notaci Clark Kimberling Encyclopedia of Triangle Centers : X(31), X(105), X(238), X(292), X(365) X(672), X(1453), X(1931), X(2053) a další. V seznamu krychle v rovině trojúhelníku je druhá krychle o stejné ploše uvedena jako K155 [24] .
- V literatuře jsou popsány dvě zajímavé kubické křivky , procházející vrcholy podpůrného trojúhelníku a jeho Johnsonova trojúhelníku a také středem kružnice opsané , ortocentrem a středem devíti kružnic :
- První křivka je známá jako Musselmannova křivka - K026 . Tato křivka také prochází vrcholy středního trojúhelníku a středního trojúhelníku Johnsonova trojúhelníku .
- Druhá křivka je známá jako Eulerova středová křivka - K044 . Tato křivka také prochází šesti body - základnami výšek a základnami výšek Johnsonova trojúhelníku .
Mnohoúhelníky vepsané do daného trojúhelníku
Trojúhelníky vepsané do daného trojúhelníku
- Trojúhelník s vrcholy na základnách tří cevian protažených daným bodem se nazývá cevian trojúhelník tohoto bodu.
- Trojúhelník s vrcholy v průmětech daného bodu na strany se nazývá subdermální nebo pedálový trojúhelník tohoto bodu.
- Trojúhelník s vrcholy na druhém průsečíku čar procházejících vrcholy a daným bodem s kružnicí opsanou se nazývá obvodový-cevický trojúhelník . Věta : obvodový-cevický trojúhelník je podobný subdermálnímu [25] .
- Trojúhelník základen mediánů A′B′C′ daného trojúhelníku ABC , tedy trojúhelníku, jehož vrcholy jsou středy stran trojúhelníku ABC , se pro tento trojúhelník nazývá další , neboli střed .
- Ortotrojúhelník je trojúhelník, jehož vrcholy jsou na základnách výšek trojúhelníku. Strany ortotrojúhelníku jsou antiparalelní s odpovídajícími stranami daného trojúhelníku.
- Dotyčný trojúhelník v kružnici pro trojúhelník ABC (někdy nazývaný Nagelův trojúhelník ) je definován vrcholy T A , T B a T C , což jsou tečné body kružnic s odpovídajícími stranami trojúhelníku ABC . Například bod TA je opačný ke straně A atd .
- Gergonnův trojúhelník pro trojúhelník ABC je definován vrcholy T A , T B a T C , což jsou tečné body kružnice vepsané s odpovídajícími stranami trojúhelníku ABC . Gergonnův trojúhelník T A T B T C je také známý jako tečný trojúhelník trojúhelníku ABC .
- V libovolném trojúhelníku ABC lze vepsat 2 trojúhelníky se 3 stranami rovnoběžnými se 3 osami trojúhelníku ABC. Tyto trojúhelníky mají společnou kružnici typu Eulerova kružnice, to znamená, že 6 jejich vrcholů leží na 1 kružnici. [26]
Trojúhelníky opsané kolem daného referenčního trojúhelníku
- Trojúhelník A″B″C″ , jehož strany procházejí vrcholy trojúhelníku ABC a jsou rovnoběžné s jeho protilehlými stranami, se pro daný trojúhelník ABC nazývá antikomplementární .
- Popíšeme-li kružnici kolem daného ostroúhlého trojúhelníku ∆ ABC a nakreslíme přímky tečné ke kružnici ve třech vrcholech trojúhelníku, pak průsečík těchto přímek tvoří tzv. tangenciální trojúhelník Δ A′B′C′ vzhledem k danému trojúhelníku Δ ABC . Strany tečného trojúhelníku Δ A′B′C′ jsou antiparalelní s odpovídajícími protilehlými stranami daného trojúhelníku a rovnoběžné s odpovídajícími stranami ortotrojúhelníku .
- Jestliže vně daného trojúhelníku ∆ ABC jsou tři jeho vnější osy protaženy jeho vrcholy, pak se protnou ve třech středech exkruhů a vytvoří trojúhelník o třech vnějších osách .
Další trojúhelníky v daném referenčním trojúhelníku
Čtverce vepsané do daného referenčního trojúhelníku
Každý ostroúhlý trojúhelník má tři vepsané čtverce (čtverce jsou do něj vepsány tak, že všechny čtyři vrcholy čtverce leží na různých stranách trojúhelníku, takže dva z nich leží na stejné straně a tedy jeden strana čtverce se shoduje s částí jednoho trojúhelníku a zbývající dva vrcholy čtverce se dotýkají dvou zbývajících stran referenčního trojúhelníku). V pravoúhlém trojúhelníku se dva z těchto čtverců shodují a mají dvě strany vycházející z vrcholu s pravým úhlem trojúhelníku a čtvrtý vrchol dvou takových shodných čtverců leží ve středu přepony. Jiný typ čtverce vepsaného do pravoúhlého trojúhelníku má jednu stranu a dva jeho vrcholy ležící na přeponě a dva zbývající vrcholy čtverce leží na různých nohách pravoúhlého trojúhelníku. Pravoúhlý trojúhelník má tedy pouze dva různé typy vepsaných čtverců. Tupý trojúhelník má pouze jeden vepsaný čtverec, jehož strana se shoduje s částí nejdelší strany trojúhelníku. V rámci daného trojúhelníku obsahuje nejdelší strana trojúhelníku celou jednu ze stran vepsaného čtverce. Pokud má vepsaný čtverec délku strany rovnou q a a jedna z jeho stran leží celá na straně trojúhelníku délky a ; výška klesla na tuto stranu je h a a plocha trojúhelníku je S , pak podle [27] [28]
Šestiúhelníky vepsané do daného referenčního trojúhelníku
- První (druhý) Lemoine Hexagon je šestiúhelník, kolem kterého lze opsat kruh. Jeho vrcholy jsou šesti průsečíky stran trojúhelníku se třemi přímkami, které jsou rovnoběžné (respektive: antiparalelní) se stranami a které procházejí jeho Lemoinovým bodem. V každém trojúhelníku je první (druhý) Lemoinův šestiúhelník uvnitř trojúhelníku se třemi páry vrcholů ležících ve dvojicích na každé straně trojúhelníku.
- Eulerův šestiúhelník je šestiúhelník, kolem kterého lze opsat kružnici ( Eulerův kruh ). Jeho vrcholy jsou šest bodů: tři základny mediánů a tři základny výšek tohoto referenčního trojúhelníku.
Viz také
Poznámky
- ↑ Bod Ajima-Malfatti . Získáno 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 5. 8. 2015. (neurčitý)
- ↑ Efremov D. Nová geometrie trojúhelníku . - Oděsa, 1902. - S. 130. - 334 s.
- ↑ 1 2 3 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
- ↑ Longuet-Higgins, Michael S., „O poměru inradiusu k cirkumradiusu trojúhelníku“, Mathematical Gazette 87, březen 2003, 119-120.
- ↑ , . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, doplňkové. - 2011. - S. 108.
- ↑ , . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, Doplňkové. - 2011. - S. 54.
- ↑ , . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, Doplňkové. - 2011. - S. 55.
- ↑ , . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vyd., příloha .. - 2011. - S. 50.
- ↑ Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; a Yao, Haishen, "Proving a nineteenth century elipse identity", Mathematical Gazette 96, březen 2012, 161-165.
- ↑ , . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, doplňkové. - 2011. - S. 110.
- ↑ , . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, doplňkové - 2011. - S. 27-28.
- ↑ 1 2 , . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vyd., doplněno .. - M . : MTSNMO , 2011. - 148 s. - ISBN 978-5-94057-732-4 .
- ↑ , . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, Doplňkové - 2011. - S. 125-126.
- ↑ , . Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu. - 2. vydání, doplňkové. - 2011. - S. 105.
- ↑ Prasolov V.V. Úkoly z planimetrie. — M .: MTsNMO , 2004.
- ↑ K004 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // . Staženo 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 20. 9. 2008. (neurčitý)
- ↑ K007 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // . Staženo 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 18. 9. 2008. (neurčitý)
- ↑ K005 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // . Staženo 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 1. 6. 2010. (neurčitý)
- ↑ K001 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // (odkaz není k dispozici) . Získáno 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 20. 8. 2009. (neurčitý)
- ↑ K002 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // . Získáno 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 22. 10. 2009. (neurčitý)
- ↑ K017 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // . Staženo 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 20. 9. 2008. (neurčitý)
- ↑ K018 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // . Staženo 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 20. 9. 2008. (neurčitý)
- ↑ K021 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // . Staženo 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 20. 9. 2008. (neurčitý)
- ↑ K155 u Berharda Giberta Cubics in the Triangle Plane // . Staženo 22. 5. 2016. Archivováno z originálu 20. 9. 2008. (neurčitý)
- ↑ Systém úloh v geometrii od R. K. Gordina. Úkol 6480 . Získáno 23. 5. 2016. Archivováno z originálu 4. 3. 2016. (neurčitý)
- ↑ Dmitrij Efremov . Nová geometrie trojúhelníku archivována 25. února 2020 na Wayback Machine . - Oděsa, 1902. - S. 26. Kapitola I. Cvičení. str. 33
- ↑ Bailey, Herbert a DeTemple, Duane, „Čtverce vepsané do úhlů a trojúhelníků“, Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278–284.
- ↑ Victor Oxman a Moshe Stupel, „Proč jsou délky stran čtverců vepsány do trojúhelníku tak blízko u sebe?“, Forum Geometricorum 13 (2013) 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html Archivováno 9. prosince 2017 na Wayback Machine
Literatura
- Hadamard J. Elementární geometrie. Část 1: Planimetrie. Ed. 4., Moskva: Uchpedgiz, 1957. 608 s.
- Vygodsky M. Ya. Příručka elementární matematiky. — M .: Nauka, 1978.
- Reedice: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 s.
- Efremov D. Nová geometrie trojúhelníku . - Oděsa, 1902. - 334 s.
- Efremov D. D. Nová geometrie trojúhelníku. Ed. 2. Edice: Fyzikální a matematické dědictví (reprint reprodukce edice). . - Moskva: Lenand, 2015. - 352 s. - ISBN 978-5-9710-2186-5 .
- Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementary Mathematics. Opakujte kurz. - Třetí vydání, stereotypní. — M .: Nauka, 1976. — 591 s.
- Coxeter G. S. M. , Greitzer S. P. Nová setkání s geometrií. -M .:Nauka, 1978. - T. 14. - (Knihovna matematického kroužku).
- Korn G., Korn T. Příručka matematiky (pro výzkumníky a inženýry) . - M .: Nauka, 1973. - 720 s.
- Myakishev A.G. Prvky geometrie trojúhelníku . — M. : MTsNMO, 2002.
- Ponarin Ya. P. Elementární geometrie. Ve 2 svazcích - M . : MTSNMO , 2004. - S. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0 .
Trojúhelník |
---|
Typy trojúhelníků |
|
---|
Nádherné linie v trojúhelníku |
|
---|
Pozoruhodné body trojúhelníku |
|
---|
Základní věty |
|
---|
Dodatečné věty |
|
---|
Zobecnění |
|
---|