Praktické číslo

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 10. listopadu 2021; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Praktické číslo nebo panaritmické číslo [1] je kladné celé číslo n takové, že všechna menší kladná celá čísla lze reprezentovat jako součet různých dělitelů n . Například 12 je praktické číslo, protože všechna čísla od 1 do 11 lze reprezentovat jako součet dělitelů 1, 2, 3, 4 a 6 tohoto čísla - kromě samotných dělitelů máme 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 a 11 = 6 + 3 + 2.

Posloupnost praktických čísel (sekvence A005153 v OEIS ) začíná

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150....

Praktická čísla použil Fibonacci ve své knize Liber Abaci (1202) v souvislosti s problémem reprezentace racionálních čísel jako egyptských zlomků . Fibonacci formálně nedefinoval praktická čísla, ale dal tabulku reprezentace egyptských zlomků pro zlomky s praktickými jmenovateli [2] .

Název „praktické číslo“ dal Srinivasan [3] . Poznamenal, že „rozdělení peněz, váhy a dalších mír pomocí čísel jako 4, 12, 16, 20 a 28, která jsou obvykle tak nepohodlná, že si zaslouží být nahrazena mocninami 10“. Znovu objevil řadu teoretických vlastností takových čísel a jako první se pokusil tato čísla klasifikovat, zatímco Stuart [4] a Sierpinski [5] klasifikaci dokončili. Definování praktických čísel umožňuje určit, zda je číslo praktické tím, že se podíváme na rozklad čísla na rozklad. Jakékoli sudé dokonalé číslo a jakákoli mocnina dvojky je praktické číslo.

Lze ukázat, že praktická čísla jsou v mnoha ohledech podobná prvočíslům [6] .

Popis praktických čísel

Srinivasanův původní popis [3] uvádí, že praktické číslo nemůže být nedostatečné číslo , je to číslo, jehož součet všech dělitelů (včetně 1 a samotného čísla) je menší než dvojnásobek čísla, s výjimkou nedostatku rovného jedné. Pokud pro praktické číslo vypíšeme uspořádanou množinu dělitelů , kde a , pak lze Srinivasanův výrok vyjádřit nerovností $n$ ${d_{1},d_{2},...,d_{j))$ $d_{1}=1$ $d_{j}=n$

{\displaystyle 2n\leqslant 1+\sum _{i=1}^{j}d_{i))

Jinými slovy, uspořádaná posloupnost všech dělitelů praktického čísla musí být úplná podposloupnost . ${d_{1}<d_{2}<...<d_{j))$

Tuto definici rozšířili a doplnili Stuart [4] a Sierpinski [5] , kteří ukázali, že určení, zda je číslo praktické, je určeno jeho rozkladem na prvočinitele . Kladné celé číslo větší než jedna s faktorizací (se seřazenými vzestupně prvočíselnými děliteli ) je praktické tehdy a pouze tehdy, když je každý z jeho prvočíselných dělitelů dostatečně malý, aby mohl mít reprezentaci jako součet menších dělitelů. Aby to byla pravda, první prvočíslo se musí rovnat 2 a pro každé i od 2 do k pro každé následující prvočíslo musí platit nerovnost $n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\tečky <p_{k))$ $p_{i}$ $p_{i}-1$ $p_{1}$ $p_{i}$

p_{i}\leqslant 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\tečky p_{i-1}^{ \alpha _{i-1)))=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{ p_{j}-1}},

kde znamená součet dělitelů čísla x . Je to například praktické, protože pro každého prvočíselného platí nerovnost: a . $\sigma (x)$ $2\times 3^{2}\times 29\times 823=429606$ $3\leqslant \sigma (2)+1=4,29\leqslant \sigma (2\times 3^{2})+1=40$ $823\leqslant \sigma (2\times 3^{2}\times 29)+1=1171$

Výše uvedená podmínka je nutná a postačující. V jednom směru je tato podmínka nezbytná k tomu, abychom mohli reprezentovat n jako součet dělitelů , protože pokud by byla nerovnost porušena, sečtením všech menších dělitelů by byl součet příliš malý na to, abychom dostali . V opačném směru stačí podmínka, kterou lze získat indukcí. Přesněji řečeno, pokud rozklad čísla n splňuje výše uvedenou podmínku, pak lze libovolné číslo reprezentovat jako součet dělitelů čísla n po následujících krocích [4] [5] : $p_{i}-1$ $p_{i}-1$ $m\leqslant \sigma (n)$

Nechat a nechat . $q=\min\{\lfloor m/p_{k}^{\alpha _{k))\rfloor ,\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k))\}$ $r=m-qp_{k}^{\sigma _{k))$
Vzhledem k tomu, že to lze ukázat indukcí, což je praktické, můžeme najít reprezentaci q jako součet dělitelů . $q\leqslant \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k)))$ $n/p_{k}^{\alpha _{k))$ $n/p_{k}^{\alpha _{k))$
Vzhledem k tomu, že to lze ukázat indukcí, což je praktické, můžeme najít reprezentaci r jako součet dělitelů . $r\leqslant \sigma (n)-p_{k}^{\alpha _{k))\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k)))=\sigma (n/ p_{k})$ ${\displaystyle n/p_{k))$ ${\displaystyle n/p_{k))$
Reprezentace dělitele r spolu s koeficientem pro každého dělitele reprezentace dělitele q společně tvoří reprezentaci m jako součet dělitelů n . $p_{k}^{\alpha _{k))$

Vlastnosti

Jediné liché praktické číslo je 1, protože pokud je n > 2 liché číslo, pak 2 nelze vyjádřit jako součet různých dělitelů n . Srinivasan [3] poznamenal, že praktická čísla jiná než 1 a 2 jsou dělitelná 4 a/nebo 6.
Součin dvou praktických čísel je také praktickým číslem [7] . Silnější tvrzení, nejmenší společný násobek jakýchkoli dvou praktických čísel, je také praktické číslo. Ekvivalentně je množina všech praktických čísel uzavřena násobením.
Z popisu čísel Stewarta a Sierpinského je vidět, že v případě, kdy n je praktické číslo a d je jedním z jeho dělitelů, musí být také n*d praktické číslo.
V množině všech praktických čísel je množina prvotřídních praktických čísel. Prvočíslo praktické číslo je buď praktické a čtvercové číslo , nebo praktické číslo, a když se vydělí kterýmkoli z jeho prvočísel, jehož exponent v rozkladu je větší než 1, přestává být praktické. Posloupnost praktických prvočísel (sekvence A267124 v OEIS ) začíná na

1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 304, 306, 304, 306, 308, 308, 308 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460...

Vztah k jiným třídám čísel

Několik dalších pozoruhodných sad celých čísel se skládá pouze z praktických čísel:

Z vlastností výše, pro praktické číslo n a jednoho z jeho dělitelů d (tj. d | n ), n*d musí být také praktické číslo, takže jakákoli mocnina 3 krát 6 musí být také praktické číslo. protože 6 je jakákoli mocnina 2.
Jakákoli mocnina dvojky je praktické číslo [3] . Mocnina dvou triviálně vyhovuje popisu praktických čísel v podmínkách rozkladu celého čísla — všechna prvočísla v rozkladu čísel, p 1 , jsou rovna dvěma, což je to, co je požadováno.
Jakékoli sudé dokonalé číslo je také praktické číslo [3] . Z Eulerova výsledku vyplývá, že sudé dokonalé číslo musí mít tvar . Lichá část tohoto rozšíření se rovná součtu dělitelů sudé části, takže žádný lichý prvočísel takového čísla nesmí být větší než součet dělitelů sudé části čísla. Toto číslo tedy musí odpovídat popisu praktických čísel. $2^{n-1}(2^{n}-1)$
Jakékoli prvočíslo (součin prvního i prvočísel pro nějaké číslo i ) je praktické číslo [3] . U prvních dvou primorálů, dvojky a šestky, je to jasné. Každé po sobě jdoucí prvočíslo vzniká vynásobením prvočísla p i menším primoriem, které je dělitelné jak 2, tak i předchozím prvočíslem . Podle Bertrandova postulátu tak, že každý předchozí prvočíslo je menší než jeden z dělitelů předchozího primoria. Indukcí z toho plyne, že každé prvočíslo vyhovuje popisu praktických čísel. Protože primorial je z definice bez čtverce, je to také prvočíslo praktické číslo. $p_{i-1}$ $p_{i}<2p_{i-1}$
Zobecníme-li primorial, každé číslo, které je součinem nenulových mocnin prvních k prvočísel, musí být praktické. Tato množina obsahuje supersložená Ramanujan čísla (čísla s počtem dělitelů větším než jakékoli menší kladné číslo), stejně jako faktoriály [3] .

Praktická čísla a egyptské zlomky

Jestliže n je praktické, pak nějaké racionální číslo formy m / n s m < n může být reprezentováno jako součet , kde všechna d i jsou zřetelní dělitelé n . Každý člen v tomto součtu je zredukován na zlomek jedné , takže takový součet dává reprezentaci čísla m / n jako egyptského zlomku . Například, $\sum {\tfrac {d_{i}}{n}}$

{\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.

Fibonacci ve své knize Liber Abaci z roku 1202 [2] uvádí některé metody pro nalezení reprezentace racionálního čísla jako egyptského zlomku. Z nich první metodou je zkontrolovat, zda je číslo již zlomkem jedné, a druhou metodou je reprezentovat čitatel jako součet dělitelů jmenovatele, jak je popsáno výše. Tato metoda zaručuje úspěch pouze tehdy, když je jmenovatelem praktické číslo. Fibonacci dal tabulky takových reprezentací pro zlomky mající praktická čísla 6, 8, 12, 20, 24, 60 a 100 jako jmenovatele.

Vause [8] ukázal, že jakékoli číslo x / y může být reprezentováno jako egyptský zlomek s členy. Důkaz využívá hledání posloupnosti praktických čísel n i s vlastností, že libovolné číslo menší než n i lze zapsat jako součet různých dělitelů n i . Potom i je vybráno tak, že u je dělitelné y , což dává kvocient q a zbytek r . Z této volby vyplývá, že . Rozšířením čitatelů na pravé straně vzorce na součet dělitelů čísla n i dostaneme zobrazení čísla ve formě egyptského zlomku. Tenenbaum a Yokota [9] použili podobnou techniku, používající jinou posloupnost praktických čísel, aby ukázali, že jakékoli číslo x / y má reprezentaci egyptského zlomku, kde největší jmenovatel je . $\scriptstyle O({\sqrt {\log y)))$ $\scriptstyle O({\sqrt {\log n_{i-1))})$ ${\displaystyle n_{i-1}<y\leqslant n_{i))$ ${\displaystyle xn_{i))$ $\scriptstyle {\frac {x}{y}}={\frac {q}{n_{i}}}+{\frac {r}{yn_{i}}}$ $\scriptstyle O({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y)))$

Podle domněnky Chih-Wei Sun [10] ze září 2015 má každé kladné racionální číslo reprezentaci egyptského zlomku, ve kterém je libovolný jmenovatel praktickým číslem. Důkaz domněnky je na blogu Davida Eppsteina [11] .

Analogie prvočísla

Jedním z důvodů zájmu o praktická čísla je to, že mnoho jejich vlastností je podobných vlastnostem prvočísel . Navíc jsou pro praktická čísla známé věty podobné Goldbachově domněnce a domněnce dvojčete – každé kladné sudé číslo je součtem dvou praktických čísel a existuje nekonečně mnoho trojic praktických čísel [12] . Giuseppe Melfi také ukázal, že existuje nekonečně mnoho praktických Fibonacciho čísel (sekvence A124105 v OEIS ). Otevřená zůstává podobná otázka o existenci nekonečného počtu Fibonacciho prvočísel Houseman a Shapiro [13] ukázali, že v intervalu pro každé kladné reálné x je vždy praktické číslo , což je analogie Legendreovy domněnky pro prvočísla. $x-2,x,x+2$ $[x^{2},(x+1)^{2}]$

Nechť p ( x ) spočítá počet praktických čísel nepřesahujících x . Margenstern [14] předpokládal, že p ( x ) je asymptoticky rovno cx /log x pro nějakou konstantu c , což se podobá vzorci ve větě o prvočíslech a podporuje dřívější tvrzení Erdőse a Loxtona [15] , že praktická čísla mají hustotu nulu . v množině celých čísel. Sayes [16] dokázal, že pro vhodné konstanty c 1 a c 2

c_{1}{\frac {x}{\log x}}<p(x)<c_{2}{\frac {x}{\log x)),

Nakonec Weingartner [17] dokázal Margensternovu domněnku tím, že to ukázal

p(x)={\frac {cx}{\log x}}\left(1+O\!\left({\frac {\log \log x}{\log x}}\right) \že jo),

pro a nějakou stálou . $x\geqslant 3$ $c>0$

Poznámky

↑ Margenstern ( Margenstern 1991 ), cituje Robinsona ( Robinson 1979 ) a Heywortha ( Heyworth 1980 ), používá název „panaritmická čísla“.
↑ 12 Sigler , 2002 .
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Srinivasan, 1948 .
↑ 1 2 3 Stewart, 1954 .
↑ 1 2 3 Sierpiński, 1955 .
↑ Hausman, Shapiro (1984 ); Margenstern (1991 ); Melfi (1996 ) Saias (1997 ).
↑ Margenstern (1991) .
↑ Vose, 1985 .
↑ Tenenbaum, Yokota, 1990 .
↑ Dohad o jednotkových zlomcích zahrnujících prvočísla (odkaz není k dispozici) . Staženo 30. 5. 2018. Archivováno z originálu 19. 10. 2018. (neurčitý)
↑ 0xDE: Egyptské zlomky s praktickými jmenovateli . Staženo 30. 5. 2018. Archivováno z originálu 2. 1. 2019. (neurčitý)
↑ Melfi, 1996 .
↑ Hausman, Shapiro, 1984 .
↑ Margenstern, 1991 .
↑ Erdős, Loxton, 1979 .
↑ Saias, 1997 .
↑ Weingartner, 2015 .

Literatura

Paul Erdős , Loxton JH Některé problémy v partitio numerorum // Journal of the Australian Mathematical Society (série A). - 1979. - T. 27 , no. 03 . — S. 319–331 . - doi : 10.1017/S144678870001243X .
Heyworth MR Více o panaritmických číslech // New Zealand Math. Mag.. - 1980. - T. 17 , no. 1 . — S. 24–28 . . Jak je uvedeno v Margenstern ( 1991 ).
Miriam Hausman, Harold N. Shapiro. O praktických číslech // Komunikace o čisté a aplikované matematice . - 1984. - T. 37 , no. 5 . — S. 705–713 . - doi : 10.1002/cpa.3160370507 .
Maurice Margenstern. Résultats et conjectures sur les nombres pratiques // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. - 1984. - Vol. 299 , no. 18 . — S. 895–898 . Jak je uvedeno v Margenstern ( 1991 ).
Maurice Margenstern. Les nombres pratiques: théorie, pozorování a dohady // Journal of Number Theory . - 1991. - T. 37 , no. 1 . — S. 1–36 . - doi : 10.1016/S0022-314X(05)80022-8 .
Giuseppe Melfi. O dvou dohadech o praktických číslech // Journal of Number Theory. - 1996. - T. 56 , no. 1 . — S. 205–210 . - doi : 10.1006/jnth.1996.0012 .
Dragoslav S. Mitrinovic, József Sandor, Borislav Crstici. III.50 Praktická čísla // Příručka teorie čísel, svazek 1. - Kluwer Academic Publishers, 1996. - Vol. 351. - S. 118–119. - (Matematika a její aplikace). - ISBN 978-0-7923-3823-9 .
Robinson DF Egyptské zlomky přes řeckou teorii čísel // Novozélandská matematika. Mag.. - 1979. - T. 16 , no. 2 . — s. 47–52 . . Jak je uvedeno v Margenstern ( 1991 ) a Mitrinovic Mitrinović , Sándor & Crstici (1996 ).
Entiers à diviseurs denses, I // Journal of Number Theory. - 1997. - T. 62 , no. 1 . — S. 163–191 . - doi : 10.1006/jnth.1997.2057 .
Fibonacciho Liber Abaci / Laurence E. Sigler (překlad). - Springer-Verlag, 2002. - S. 119-121 . — ISBN 0-387-95419-8 .
Waclaw Sierpinski . Sur une propriété des nombres naturels // Annali di Matematica Pura ed Applicata. - 1955. - T. 39 , čís. 1 . — S. 69–74 . - doi : 10.1007/BF02410762 .
Srinivasan AK Praktická čísla // Současná věda . - 1948. - T. 17 . — S. 179–180 .
Stewart BM Součty různých dělitelů // American Journal of Mathematics . - The Johns Hopkins University Press, 1954. - V. 76 , no. 4 . — S. 779–785 . - doi : 10.2307/2372651 . — .
Tenenbaum G., Yokota H. Délka a jmenovatelé egyptských zlomků // Journal of Number Theory. - 1990. - T. 35 , no. 2 . — S. 150–156 . - doi : 10.1016/0022-314X(90)90109-5 .
Vose M. Egyptské zlomky // Bulletin of the London Mathematical Society . - 1985. - T. 17 , no. 1 . - S. 21 . - doi : 10.1112/blms/17.1.21 .
Weingartner A. Praktická čísla a rozdělení dělitelů // The Quarterly Journal of Mathematics. - 2015. - T. 66 , č.p. 2 . — S. 743–758 . - doi : 10.1093/qmath/hav006 . - arXiv : 1405,2585 .

Odkazy

Tabulky praktických čísel Archivováno 26. prosince 2017 na Wayback Machine sestaveném Giuseppem Melfim.
Practical Number (anglicky) na webu PlanetMath .
Weisstein, Eric W. Practical Number (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Třídy přirozených čísel

Mocniny a
související čísla

Achilles
Stupeň 2
10 stupňů
12 stupňů
čtverce
Kuba
čtvrtého stupně
Pátý stupeň
Perfektní stupeň
Plný násobek
Mocnina prvočísla

Čísla tvaru
a × 2 b ± 1

Ostatní
polynomická
čísla

Rekurzivně
definovaná
čísla

Množiny čísel
se specifickými
vlastnostmi

Vyjádřeno
v částkách

Nehypotenze
Praktický
Principiální poloprosté
Ulama
Wolsenholm

Získává
se sítem

šťastná čísla

Související kódy
_

Mirtens

složená čísla

2-rozměrný

na střed _	trojúhelníkový náměstí pětiúhelníkový šestiúhelníkový sedmiúhelníkový osmiúhelníkový neúhlové desetiúhelníkový hvězdicový
mimo střed	trojúhelníkový náměstí čtvercový trojúhelníkový šestiúhelníkový osmiúhelníkový

3 dimenzionální

na střed _	čtyřstěnný krychlový osmistěnný dvanáctistěnný dvacetistěnný
mimo střed	čtyřstěnný osmistěnný dvanáctistěnný dvacetistěnný Hvězdo-osmistěnné
pyramidální _	náměstí pětiúhelníkový šestiúhelníkový sedmiúhelníkový

4-rozměrný

na střed _	pentachorický trojúhelníkový ve čtverci
mimo střed	pentatop

Pseudojednoduché

Carmichael
katalánská
eliptický
Euler
Euler-Jacobi
Farma
Frobenius
Luca
Somera - Luca
silný pseudojednoduchý

kombinatorická
čísla

Aritmetické
funkce

σ ( n )	redundantní téměř perfektní aritmetický kolosálně nadbytečné Descartes hemiperfektní čísla vysoce nadbytečná čísla čísla s vysokými složkami hyperdokonalá čísla multiperfektní čísla angažovaný praktický primitivní redundantní mírně nadbytečné tau čísla majestátní čísla přebytečná čísla superkompozitní čísla superdokonalá čísla
Ω ( n )	téměř jednoduché polojednoduché
φ( n )	vysoce kovalentní vysoký totient dokonalý totient mírně totient
s( n )	přátelský zasnoubený nedostatečné polodokonalé

Euklides
čísla štěstí

Podle dělitelů

Ostatní prvočíslí
dělitelé nebo
související
s dělitelností

Zábavná
matematika

Číselné soustavy

automorfní číslo
cyklický
Osiris
Dudeni
stejné číslice
extravagantní
Faktorion
Friedman
spokojený
Nivena
Kita
Lichrel
částka s chybějící číslicí
Armstrong
palindromický
pandigitální
parazitický
škodlivý
magický
primitivní
opakovací číslice
pokání
vytvořené samy
sebepopisný
Smarandsha - Wellena
přísně nepalindromické
posunovače
přemístění
trimorfní
vlnitý
upíři

Aronsonova sekvence
čísla palačinek

Čísla podle charakteristik dělitelnosti
Obecná informace	Faktorizace celých čísel Dělitelnost unitární dělitel Funkce děliče prvočíslo Základní teorém aritmetiky Aritmetické číslo
Faktorizační formy	prvočíslo Složené číslo Semiprime obdélníkové číslo Sfénické číslo Číslo bez čtverců Plný násobek Perfektní stupeň Achillovo číslo hladké číslo Běžné číslo hrubé číslo neobvyklé číslo
S omezenými děliteli	dokonalé číslo Poněkud nedostatečná čísla Trochu nadbytečná čísla Multiperfektní číslo Hemiperfektní čísla hyperdokonalé číslo super dokonalé číslo unitární prvočíslo polodokonalé číslo pararytmické číslo Erdős-Nicolasovo číslo
Čísla s mnoha děliteli	Přebytečná čísla Primitivní nadbytečná čísla Vysoce nadbytečná čísla Super redundantní čísla Velmi nadbytečná čísla superkompozitní číslo Vysoce superkompozitní číslo podivné číslo
Souvisí s alikvotními sekvencemi	posvátné číslo přátelská čísla veřejná čísla Kvazi přátelská čísla
jiný	Nedostatek čísel čísla kamarádů sublimovaná čísla Rudná čísla skromné číslo Stejné číslice extravagantní číslo