Teorie skupin

Teorie grup je odvětví obecné algebry , které studuje algebraické struktury zvané grupy a jejich vlastnosti. Skupina je ústředním pojmem v obecné algebře, protože mnoho důležitých algebraických struktur, jako jsou kruhy , pole , vektorové prostory , jsou skupiny s rozšířenou sadou operací a axiómů . Skupiny se objevují ve všech oblastech matematiky a metody teorie grup mají silný vliv na mnoho odvětví algebry. V procesu vývoje teorie grup byla vybudována výkonná sada nástrojů, která do značné míry určila specifika obecné algebry jako celku, byl vytvořen vlastní glosář , jehož prvky jsou aktivně vypůjčeny souvisejícími sekcemi matematiky a aplikací. Nejrozvinutější odvětví teorie grup – lineární algebraické grupy a Lieovy grupy – se staly samostatnými odvětvími matematiky.

Různé fyzikální systémy, takový jako krystaly nebo atom vodíku , mají symetrie, které mohou být modelovány skupinami symetrie , tak nacházet důležité aplikace teorie skupin a její blízko příbuzná teorie reprezentace ve fyzice a chemii .

Jedním z nejvýznamnějších matematických průlomů 20. století [1] byla úplná klasifikace jednoduchých konečných grup - výsledek společného úsilí mnoha matematiků, zabírající více než 10 tisíc tištěných stran, z nichž převážná část vyšla v letech 1960 až 1980.

Historie

Teorie grup má tři historické kořeny: teorii algebraických rovnic , teorii čísel a geometrii . Matematici u počátků teorie grup jsou Leonhard Euler , Carl Friedrich Gauss , Joseph Louis Lagrange , Niels Henrik Abel a Evariste Galois . Galois byl prvním matematikem, který spojil teorii grup s dalším odvětvím abstraktní algebry, teorií pole , a vyvinul teorii nyní nazývanou Galoisova teorie .

Jedním z prvních problémů, které vedly ke vzniku teorie grup, byl problém získání rovnice stupně m , která by měla m kořenů dané rovnice stupně n ( m < n ). Tímto problémem se v jednoduchých případech zabýval Hudde (1659). V roce 1740 si Saunderson všiml, že hledání kvadratických faktorů bikvadratických výrazů je redukováno na řešení rovnice šestého stupně a Le Seur (1748) a Waring (od 1762 do 1782) tuto myšlenku rozvinuli.

Obecný základ pro teorii rovnic, založenou na teorii permutací , nalezl Lagrange v letech 1770-1771 a na tomto základě následně vyrostla teorie substitucí. Zjistil, že kořeny všech rozpouštědel , se kterými se setkal, jsou racionálními funkcemi kořenů odpovídajících rovnic. Aby mohl studovat vlastnosti těchto funkcí, vyvinul „počet kombinací“ ( Calcul des Combinaisons ). Současná práce Vandermonda (1770) také předjímala vývoj teorie grup.

Paolo Ruffini v roce 1799 navrhl důkaz neřešitelnosti rovnic pátého a vyššího stupně v radikálech. Pro důkaz použil koncepty teorie grup, i když je nazýval jinými jmény. Ruffini také zveřejnil dopis, který mu napsal Abbati a jehož tématem byla teorie skupin.

Galois objevil, že pokud má algebraická rovnice několik kořenů, pak vždy existuje skupina permutací těchto kořenů, takže

každá funkce , která je invariantní v rámci skupinových permutací, je racionální a naopak,
každá racionální funkce kořenů je invariantní pod permutacemi grupy. Své první práce o teorii grup publikoval v roce 1829, ve věku 18 let, ale zůstaly prakticky nepovšimnuty až do vydání jeho sebraných prací v roce 1846 .

Arthur Cayley a Augustin Louis Cauchy byli mezi prvními matematiky, kteří ocenili důležitost teorie grup. Tito vědci také dokázali některé důležité teorémy teorie. [2] Předmět, který studovali, popularizoval Serret , který věnoval část teorie ze své knihy o algebře, Jordan , jehož dílo Traité des Substitutions se stalo klasikou, a Eugen Netto (1882). Mnoho dalších matematiků 19. století také významně přispělo k rozvoji teorie grup : Bertrand , Hermite , Frobenius , Kronecker a Mathieu .

Moderní definici pojmu „skupina“ podal až v roce 1882 Walther von Dyck [3] .

V roce 1884 Sophus Lie zahájil studium toho, co nyní nazýváme Lieovy grupy a jejich diskrétní podskupiny jako transformační skupiny po jeho spisech následovaly Killing , Studi , Schur , Maurer a Elie Cartan . Teorii diskrétních grup vyvinuli Klein , Lie, Poincare a Picard v souvislosti se studiem modulárních forem a dalších objektů.

V polovině 20. století (převážně mezi lety 1955 a 1983) bylo vykonáno obrovské množství práce na klasifikaci všech konečných jednoduchých grup , včetně desítek tisíc stran článků.

Mnoho dalších matematiků také významně přispělo k teorii grup, jako je Artin , Emmy Noether , Ludwig Sylow a další.

Stručný popis teorie

Pojem grupy vznikl jako výsledek formálního popisu symetrie a ekvivalence geometrických objektů. V Erlangen programu Felixe Kleina bylo studium geometrie spojeno se studiem odpovídajících skupin transformací. Pokud jsou například figury v rovině zadány , pak skupina pohybů zjistí jejich rovnost.

Definice . Grupa je množina prvků (konečných nebo nekonečných), na kterých je uvedena operace násobení [4] , která splňuje následující čtyři axiomy:

Uzavřenost skupiny vzhledem k operaci násobení . Pro jakékoli dva prvky skupiny existuje třetí, což je jejich produkt:

1)~~~\pro všechna A,B\v G:~~~\existuje C\v G~~~A\cdot B=C;

Asociativita operace násobení . Pořadí, ve kterém se násobení provádí, není důležité:

2)~~~\forall A,B,C\in G:~~~A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C=A\cdot B\cdot C;

Existence jediného prvku . Ve skupině je nějaký prvek E , jehož součin s jakýmkoli prvkem A ze skupiny dává stejný prvek A :

3)~~~\existuje E\v G:~~~\forall A\in G\quad A\cdot E=E\cdot A=A;

Existence inverzního prvku . Pro jakýkoli prvek A skupiny existuje prvek A −1 takový, že jejich součin dává prvek identity E :

4)~~~\forall A\v G:~~~\existuje A^{{-1}}\in G:~~~A\cdot A^{{-1}}=A^{{-1 }}\cdot A=E.

Axiomy grupy nijak neregulují závislost operace násobení na pořadí faktorů. Obecně řečeno, změna pořadí faktorů ovlivňuje produkt. Skupiny, u kterých součin nezávisí na pořadí faktorů, se nazývají komutativní nebo abelovské grupy. Pro abelianskou skupinu

\forall A,B\in G:~~~A\cdot B=B\cdot A.

Abelovské skupiny jsou ve fyzických aplikacích poměrně vzácné. Skupiny, které mají fyzický význam, jsou nejčastěji neabelovské :

\existuje A,B\v G:~~~A\cdot B\není =B\cdot A.

Konečné skupiny malých rozměrů jsou vhodně popsány pomocí tzv "násobící tabulky". V této tabulce každý řádek a každý sloupec odpovídá jednomu prvku skupiny a výsledek operace násobení pro odpovídající prvky je umístěn do buňky na průsečíku řádku a sloupce.

Níže je uveden příklad tabulky násobení ( Cayleyovy tabulky ) pro skupinu čtyř prvků: (1, −1, i, −i), ve které je operací obvyklé aritmetické násobení:

	jeden	−1	i	−i
jeden	jeden	−1	i	−i
−1	−1	jeden	−i	i
i	i	−i	−1	jeden
−i	−i	i	jeden	−1

Prvek identity je zde 1, převrácené hodnoty 1 a -1 jsou samy o sobě a prvky i a -i jsou navzájem převrácené hodnoty.

Pokud má grupa nekonečný počet prvků, pak se nazývá nekonečná grupa .

Když prvky grupy spojitě závisí na nějakých parametrech, pak se grupa nazývá spojitá nebo Lieova grupa . Také se říká, že Lieova grupa je grupa, jejíž množina prvků tvoří hladkou varietu . S pomocí Lieových grup jako grup symetrie se nalézají řešení diferenciálních rovnic .

Skupiny se používají všudypřítomně v matematice a přírodních vědách, často k objevování vnitřní symetrie objektů ( skupiny automorfismu ). Vnitřní symetrie je obvykle spojena s neměnnými vlastnostmi; množina transformací, které si tuto vlastnost zachovají, spolu s operací složení tvoří grupu zvanou grupa symetrie.

V Galoisově teorii, která dala vzniknout konceptu grupy, se skupiny používají k popisu symetrie rovnic, jejichž kořeny jsou kořeny nějaké polynomiální rovnice . Kvůli důležité roli, kterou v této teorii hrají, dostávají řešitelné skupiny své jméno .

V algebraické topologii se skupiny používají k popisu invariantů topologických prostorů [5] . Invarianty zde rozumíme vlastnosti prostoru, které se při nějaké jeho deformaci nemění. Příklady tohoto použití skupin jsou základní skupiny , homologické a kohomologické skupiny .

Lieovy grupy jsou aplikovány při studiu diferenciálních rovnic a variet ; kombinují teorii grup a počet . Pole analýzy spojené s těmito skupinami se nazývá harmonická analýza .

V kombinatorice se koncepty permutační skupiny a skupinové akce používají ke zjednodušení počítání počtu prvků v sadě; zejména se často používá Burnsideovo lemma .

Pochopení teorie grup je také velmi důležité pro fyziku a další přírodní vědy. V chemii se skupiny používají ke klasifikaci krystalových mřížek a molekulárních symetrií . Ve fyzice se skupiny používají k popisu symetrií, které řídí fyzikální zákony. Zvláště důležité ve fyzice jsou reprezentace skupin, zvláště Lieovy grupy, protože často ukazují cestu k „možným“ fyzikálním teoriím.

Skupina se nazývá cyklická , pokud je generována jediným prvkem a , to znamená, že všechny její prvky jsou mocniny a (nebo, abychom použili aditivní terminologii, lze ji reprezentovat jako na , kde n je celé číslo ). Matematický zápis: . $(G,\cdot )$ $G=\langle a\rangle$

O grupě se říká , že působí na množinu $G$ $M$ , je -li dán homomorfismus z grupy do grupy všech permutací množiny . Pro stručnost se často píše jako nebo . $\Phi :G\to S(M)$ $G$ $S(M)$ $M$ $(\Phi (g)) (m)$ $gm$ $gm$

Příklady skupin

Nejjednodušší skupinou je skupina s obvyklou aritmetickou operací násobení, která se skládá z prvku 1. Prvek 1 je prvkem identity skupiny a je inverzní sám k sobě:

	jeden
jeden	jeden

Dalším jednoduchým příkladem je grupa s obvyklou aritmetickou operací násobení, která se skládá z prvků (1, −1). Prvek 1 je prvkem identity skupiny, oba prvky skupiny jsou k sobě inverzní:

	jeden	−1
jeden	jeden	-jeden
-jeden	-jeden	jeden

Skupina s ohledem na obvyklou aritmetickou operaci násobení je množina sestávající ze čtyř prvků (1, −1, i, -i). Prvek identity je zde 1, převrácené hodnoty 1 a -1 jsou samy o sobě a prvky i a -i jsou navzájem převrácené hodnoty.

	jeden	−1	i	-i
jeden	jeden	-jeden	i	-i
-jeden	-jeden	jeden	-i	i
i	i	-i	-jeden	jeden
-i	-i	i	jeden	-jeden

Skupina jsou dvě rotace prostoru o 0° a 180° kolem stejné osy, pokud součin dvou rotací je jejich sekvenční provedení. Tato skupina se obvykle označuje C2 . Je izomorfní (tj. identická) s výše uvedenou skupinou s prvky 1 a −1. Otočení o 0°, protože je totožné, je v tabulce označeno písmenem E.

C2 _	E	R180 _
E	E	R180 _
R180 _	R180 _	E

Skupinu spolu s transformací identity E tvoří inverzní operace I, která obrátí směr každého vektoru. Skupinová operace je sekvenční provedení dvou inverzí. Tato skupina se obvykle označuje S 2 . Je izomorfní k výše uvedené skupině C2 .

S2 _	E	já
E	E	já
já	já	E

Analogicky se skupinou C2 lze zkonstruovat skupinu C3 sestávající z rovinných rotací o úhly 0 °, 120° a 240°. Můžeme říci, že grupa C 3 je grupa rotací, které do sebe berou pravidelný trojúhelník.

C3 _	E	R120 _	R240 _
E	E	R120 _	R240 _
R120 _	R120 _	R240 _	E
R240 _	R240 _	E	R120 _

Pokud ke skupině C 3 přidáme odrazy trojúhelníku kolem jeho tří os symetrie (R 1 , R 2 , R 3 ) , pak dostaneme kompletní skupinu operací, která vezme trojúhelník do sebe. Tato skupina se nazývá D 3 .

D3 _	E	R120 _	R240 _	R1 _	R2 _	R3 _
E	E	R120 _	R240 _	R1 _	R2 _	R3 _
R120 _	R120 _	R240 _	E	R2 _	R3 _	R1 _
R240 _	R240 _	E	R120 _	R3 _	R1 _	R2 _
R1 _	R1 _	R3 _	R2 _	E	R240 _	R120 _
R2 _	R2 _	R1 _	R3 _	R120 _	E	R240 _
R3 _	R3 _	R2 _	R1 _	R240 _	R120 _	E

Množina všech rotací kolem jedné osy tvoří spojitou skupinu nazývanou R 2 . Jeho prvky budeme označovat symboly R ( a ), kde a je úhel natočení, který je v rozmezí 0 ≤ a < 360°. Pro tuto grupu je násobilka nekonečná, proto je grupa popsána obecným vzorcem

R(a)\cdot R(b)=R(a+b~|~{\bmod {~}}360^{\circ }).

Protože výsledek dvou po sobě jdoucích rotací kolem stejné osy nezávisí na pořadí rotací, je grupa R 2 komutativní. Inverzní prvek ve skupině je definován vzorcem

R^{-1}(a)=R(360^{\circ }-a).

Grupa R 3 je skupina všech možných rotací trojrozměrného prostoru kolem os procházejících jedním bodem. Tato grupa je grupou symetrie koule. Každý prvek skupiny R (α,β, a ) je specifikován třemi parametry: α a β jsou Eulerovy úhly, které určují polohu osy, a je úhel natočení.

Skupina S n nebo symetrická grupa řádu n je kolekce n ! všechny možné permutace n prvků. Permutace je vhodně označena symbolem

P={\begin{pmatrix}1&2&3&\tečky &n\\p_{1}&p_{2}&p_{3}&\tečky &p_{n}\end{pmatrix)),

označující, že prvek n je při permutaci nahrazen prvkem p n . Inverzní prvek pro prvek P bude prvek

P^{-1}={\begin{pmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&\tečky &p_{n}\\1&2&3&\tečky &n\end{pmatrix)).

Zajímavé je, že grupa S 3 je izomorfní ke grupě D 3 , protože ta obsahuje všechny možné transformace, které trojúhelník do sebe berou, a transformace trojúhelníku může být dána různými permutacemi jeho tří vrcholů:

E={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix));~~R_{120}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix));~R_{240 }={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix));

R_{1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix));~R_{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix));~~ ~R_{3}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}.

Multiplikativní skupina zbytkového kruhu (kde je přirozené číslo) je skupina tvořená koprimem se zbytky ( ) modulo Například, $G(n)$ $n$ $n$ $\mathbb {Z} _{n}=\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $n.$ $G(2)=\{1\},\quad G(3)\cca \mathbb {Z} _{2},\quad \quad G(4)\cca \mathbb {Z} _{2 },\quad \quad G(5)\cca \mathbb {Z} _{4},\quad \quad G(6)\cca \mathbb {Z} _{2},\quad \quad G(7) \approx \mathbb {Z} _{6},\quad \quad G(8)\approx \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}.$

Abelovské skupiny

Abelian skupina je skupina ve kterém operace skupiny je komutativní ; to je, skupina je abelian jestliže pro nějaké dva elementy . $G$ $ab=ba$ $a,\;b\v G$

Skupinová operace v abelianských skupinách se obvykle nazývá "sčítání" a je označena . Abelovské skupiny jsou základem pro konstrukci složitějších objektů v abstraktní algebře, jako jsou prstence , pole a moduly . Název je uveden na počest norského matematika Abela za jeho přínos ke studiu permutačních grup. $+$

Příklady

Skupina paralelních translace v lineárním prostoru.
Jakákoli cyklická skupina . Opravdu, pro všechny a je to pravda $G=\langle a\rangle$ $x=a^{n}$ $y=a^{m}$ $xy=a^{m}a^{n}=a^{{m+n}}=a^{n}a^{m}=yx$ .
- Konkrétně celá čísla tvoří komutativní skupinu při sčítání, stejně jako třídy zbytků . $\mathbb {Z}$ $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$
Jakýkoli kruh je svou adicí komutativní (abelovská) skupina. Včetně reálných čísel s operací sčítání.
Invertibilní prvky komutativního kruhu , zejména nenulové prvky jakéhokoli pole , tvoří abelovskou skupinu násobením. Například reálná čísla, která se nerovnají nule, s operací násobení.

Související definice

Analogicky s dimenzí vektorových prostorů má každá abelovská skupina svou hodnost . Je definována jako minimální rozměr prostoru nad polem racionálních čísel, do kterého je zasazen faktor grupy svou torzí .

Vlastnosti

Konečně vytvořené abelovské skupiny jsou izomorfní k přímým součtům cyklických skupin .
- Konečné abelovské grupy jsou izomorfní k přímým součtům konečných cyklických grup.
Jakákoli abelovská skupina má přirozenou modulovou strukturu v kruhu celých čísel . Opravdu, nechť je přirozené číslo a je prvkem komutativní grupy s operací označenou +, pak můžeme definovat obojí ( krát) a . $n$ $X$ $G$ $nx$ $x+x+\ldots +x$ $n$ $(-n)x=-(nx)$
- Tvrzení a teorémy, které jsou pravdivé pro abelovské grupy (tj. moduly nad hlavním ideálním prstencem ) lze často zobecnit na moduly nad libovolným hlavním ideálním prstencem. Typickým příkladem je klasifikace
finitely generovaných abelovských grup . $\mathbb {Z}$

Množina homomorfismů všech skupinových homomorfismů od do je sama o sobě abelovská grupa. Opravdu, nechť jsou dvě grupové homomorfismy mezi Abelovskými grupami, pak jejich součet , daný jako , je také homomorfismus (to neplatí, pokud je grupa nekomutativní).

\operatorname {Hom}(G,\;H)

G

H

f,\;g:G\až H

f+g

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

H

Konečné abelovské skupiny

Základní teorém o struktuře konečné abelovské grupy říká, že jakákoli konečná abelovská grupa může být rozložena na přímý součet jejích cyklických podgrup, jejichž řády jsou mocniny prvočísel . Je to důsledek obecné věty o struktuře konečně generovaných abelovských grup pro případ, kdy grupa nemá prvky nekonečného řádu. je izomorfní k přímému součtu právě tehdy , když a jsou coprime. $\mathbb{Z } _{{mn}}$ $\mathbb{Z } _{m}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $m$ $n$

Proto lze napsat abelovskou skupinu ve formě přímého součtu $G$

\mathbb{Z } _{{k_{1}}}\oplus \ldots \oplus \mathbb{Z } _{{k_{u}}}

dvěma různými způsoby:

Kde jsou prvočísla $k_{1},\;\ldots ,\;k_{u}$
Kde se dělí , kdo dělí , a tak dále až do . $k_{1}$ $k_{2}$ $k_{3}$ $k_{u}$

Lze jej například rozložit na přímý součet dvou cyklických podskupin řádů 3 a 5: . Totéž lze říci o jakékoli abelovské skupině řádu patnáct, docházíme k závěru, že všechny abelovské skupiny řádu 15 jsou izomorfní. $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\mathbb{Z } _{{15}}$ $\mathbb{Z } /15\mathbb{Z } =\{0,\;5,\;10\}\oplus \{0,\;3,\;6,\;9,\;12\}$

Variace a zobecnění

Diferenciální grupa je Abelovská grupa , ve které je dán takový endomorfismus , že . Tento endomorfismus se nazývá diferenciální . Prvky diferenciálních grup se nazývají řetězce , prvky jádrových cyklů , prvky hranic obrazu . ${\mathbf {C}}$ $d\dvojtečka {\mathbf {C}}\to {\mathbf {C}}$ $d^{2}=0$ $\ker \,d$ ${\mathrm {Im}}\,d$

Hyperbolické skupiny

Konečně generovaná grupa se nazývá hyperbolická , pokud je hyperbolická jako metrický prostor.

Podrobněji je zde přirozená metrika na konečně generované skupině s vybranými generátory, slovníková metrika . Skupina se nazývá hyperbolická, pokud je vybavena touto metrikou a ukáže se, že je hyperbolická jako metrický prostor. Protože při výměně zvolené soustavy generátorů se metrika mění kvaziizometricky , přičemž hyperbolita metrického prostoru je zachována, ukazuje se koncept nezávislý na volbě systému generátorů.

Protože hyperbolicita je v jistém smyslu "podobností" vlastností metrického prostoru se stromem, je volná grupa ( jejíž Cayleyův graf je strom) s libovolným konečným počtem generátorů hyperbolická.
Skupina PSL(2,Z) je hyperbolická.
Konečná grupa je hyperbolická.

Hyperbolita je zachována při přechodu do podskupiny konečného indexu.
Jakákoli hyperbolická grupa je konečně prezentována : je dána konečným počtem generátorů a konečným počtem vztahů. (V důsledku toho jsou hyperbolické skupiny – na rozdíl od všech skupin obecně – jen spočítatelné.)
Hyperbolita znamená (a ve skutečnosti je ekvivalentní) lineární izoperimetrickou nerovnost : triviální slovo, zapsané jako součin N generátorů, je reprezentováno jako součin CN konjugovaných na základní vztahy (s jistou kontrolou délky konjugační produkty).

P. de la Harp, E. Gies, Hyperbolické skupiny podle Michaila Gromova

(P. de la Harpe, E. Ghys, Sur les groupes hyperboliques d'après Michael Gromov)

Michail Gromov, Hyperbolické skupiny. Eseje z teorie grup, 75-263, Math. sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.

Teorie reprezentace

Aplikace teorie grup

Existuje mnoho aplikací teorie grup. Mnoho struktur obecné algebry lze považovat za speciální případy grup, například kruhy lze považovat za abelovské grupy (s ohledem na sčítání), na kterých je zavedena druhá operace, násobení. Proto jsou skupiny základem velké části teorie těchto objektů.

Galoisova teorie používá grupy k popisu symetrie kořenů polynomu. Základní teorém Galoisovy teorie zakládá spojení mezi algebraickými rozšířeními a teorií grup. To dává efektivní kritérium pro řešitelnost algebraických rovnic za podmínek odpovídajících Galoisových grup .

Nevyřešené problémy v teorii grup

Nejznámější sbírkou několika tisíc nevyřešených problémů teorie grup je Zápisník Kourovka .

Poznámky

↑ Elwes, Richard, „ Obrovský teorém: klasifikace konečných jednoduchých grup, archivováno 2. února 2009 na Wayback Machine “ Plus Magazine , vydání 41, prosinec 2006.
↑ Například Cayleyho věta a Cauchyho věta
↑ Barut A., Ronchka R. Teorie reprezentace skupin a její aplikace, díl 1, 2, M., 1980.
↑ Operace se obvykle nazývá " násobení ", méně často se používá název " sčítání " .
↑ odtud například pochází název " torzní podskupina "

Literatura

Lyakhovsky V. D., Bolokhov A. A. Skupiny symetrie a elementární částice, Publishing House of Leningrad State University, 1983.
Barut A., Ronchka R. Teorie reprezentace grup a její aplikace, díl 1, 2, M., 1980.
Zhelobenko D. P. Kompaktní Lieovy skupiny a jejich reprezentace, Moskva, 1970.
Zhelobenko D. P., Shtern A. I. Representations of Lie groups, Moskva, 1980.
Kargapolov M. I. , Merzlyakov Yu. I. Základy teorie grup, Nauka Publishing House, 1972.
Isaev A.P., Rubakov V.A. Teorie grup a symetrií. koncové skupiny. Lieovy grupy a algebry. Nakladatelství URSS, 2018.

Odkazy

R. Borcherds (anglicky) , seznam videí na YouTube „Teorie skupiny“ .
GAP skupiny, algoritmy, programování systému pro výpočetní diskrétní algebru
Teorie grup vyšších dimenzí
Historie konceptu abstraktní skupiny
Plus balíček pro učitele a studenty: Teorie skupin

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX4576398 BNF : 11941215h GND : 4072157-7 J9U : 987007543476605171 LCCN : sh85057512 NDL : 00562608 NKC : ph126556 SUDOC : 027351440

Teorie skupin
Základní pojmy	Podskupina Normální podskupina Faktorová skupina Práce Přímo polopřímý volný, uvolnit
Algebraické vlastnosti	komutativní skupina Cyklická skupina objednaná skupina Transformovat skupinu Řešitelná skupina Schreierovo lemma Lagrangeova věta Sylowovy věty Klasifikace jednoduchých konečných grup
konečné skupiny	Konečná cyklická grupa C n Symetrická grupa S n Dihedrální skupina D n Střídavá skupina A n Kleinová čtyřčlenná skupina Mathieu skupiny M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conwayovy skupiny Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko skupiny J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Rybářské skupiny F22 _ F 23 F24 _ monstrum (M)
Topologické skupiny	Skupiny lži Ortogonální skupina O(n) Speciální ortogonální grupa SO(n) Unitární skupina U(n) Speciální unitární skupina SU(n) Symplectic group Sp(n) Výjimečně jednoduché Lorentzova skupina Skupina Poincaré
Algoritmy na skupinách	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fourierova transformace