Kuželosečka

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 21. června 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Kuželosečka neboli kuželosečka [1] je průsečík roviny s povrchem pravého kruhového kužele . Existují tři hlavní typy kuželoseček: elipsa , parabola a hyperbola , kromě toho existují degenerované sekce: bod , přímka a dvojice přímek. Kruh lze považovat za zvláštní případ elipsy . Parabolu lze navíc považovat za extrémní případ elipsy, jejíž jedno ohnisko je v nekonečnu.

Kuželosečky lze získat jako průsečík roviny s oboustranným kuželem

a^{2}z^{2}=x^{2}+y^{2}

(v kartézských souřadnicích )

Tady

a=\jméno operátora {tg} \theta

\theta

je úhel mezi tvořící přímkou kužele a jeho osou.

Pokud rovina prochází počátkem , získá se degenerovaný řez. V nedegenerovaném případě

pokud rovina řezu protíná všechny generátory kužele v bodech jedné z jeho dutiny, dostaneme elipsu,
pokud je řezná rovina rovnoběžná s jednou z tečných rovin kužele, dostaneme parabolu,
pokud rovina řezu protíná obě dutiny kužele, dostaneme hyperbolu.

Rovnice kruhového kužele je kvadratická, proto jsou všechny kuželosečky kvadriky , také všechny kvadriky roviny jsou kuželosečky (i když dvě rovnoběžné přímky tvoří degenerovanou kvadriku, kterou nelze získat jako řez kuželem, ale lze být získán jako část válce - degenerovaný kužel a je obvykle považován za "degenerovaný kuželosečky").

Historie

Kuželosečky byly známy matematikům starověkého Řecka .

Nejúplnějším dílem věnovaným těmto křivkám byly „Kuželové řezy“ Apollonia z Pergy (asi 200 př. Kr.). Patrně jako první popsal ohniska elipsy a hyperboly [2] :41 .

Pappus z Alexandrie byl první, kdo popsal ohnisko paraboly a odvodil obecnou rovnici pro kuželosečku jako umístění bodů, pro které je poměr vzdáleností k bodu zaostření a přímce konstantní [2] :48 .

Excentricita

Všechny nedegenerované kuželosečky, kromě kružnice , lze popsat následujícím způsobem:

Vyberme si bod a přímku na rovině a nastavíme reálné číslo . Pak těžiště bodů , pro které se vzdálenost k bodu a k přímce faktorem liší , je kuželosečka. Bod se nazývá ohnisko kuželosečky, přímka je přímka a číslo je excentricita . $F$ $d$ $e\geq 0$ $F$ $d$ $E$ $F$ $d$ $E$

|FM|=e\cdot |MM'|,\ MM'\bot d

V závislosti na excentricitě to dopadne:

když - hyperbola . $e>1$
když - parabola ; $e=1$
když - elipsa ; $e<1$

U kruhu se to předpokládá (i když ve skutečnosti v GMT je pouze bod ). $e=0$ $e=0$ $F$

Excentricita souvisí s parametry kužele a umístěním roviny řezu vzhledem k ose kužele následujícím vztahem [3] :46,47 :

e={\frac {\sin(90^{\circ }-\psi )}{\sin(90^{\circ }-\varphi )))={\frac {\cos \psi }{\cos \ varphi}},

zde - úhel sklonu roviny sečny k ose kužele, - úhel mezi tvořící přímkou a osou kužele, rovný polovině úhlu otevření kužele. Z tohoto vzorce je vidět, že protnutím daného kužele s rovinou lze získat elipsu s libovolnou excentricitou, parabolu a hyperbolu lze získat pouze takovou, jejíž excentricita nepřesahuje . Této maximální hodnoty je dosaženo, když je daný kužel řezán rovinou rovnoběžnou s jeho osou. $\psi$ $\varphi$ ${\frac {1}{\cos \varphi ))$

Pampeliškové kuličky

Některé důležité vlastnosti kuželoseček se získají uvažováním dvou kuliček, které jsou tečné ke kuželosečce a kuželu – koule pampelišky . Například s jejich pomocí je stanoven geometrický význam ohniska, směrovky a excentricity kuželosečky [3] :46,47 .

Vlastnosti

Prostřednictvím libovolných pěti bodů v rovině, z nichž žádné tři neleží na stejné přímce, lze nakreslit jedinečnou kuželosečku.
Koně mají tzv. optické vlastnosti. Známější a použitelnější je optická vlastnost elipsy : světlo ze zdroje v jednom ohnisku se odráží eliptickým zrcadlem, takže paprsky jsou shromažďovány v jiném ohnisku. Protože parabolu lze považovat za extrémní případ elipsy, má podobnou vlastnost: světlo ze zdroje, který je v ohnisku, se odráží parabolou, takže všechny odražené paprsky jsou rovnoběžné (to znamená, že se protínají v bodě v nekonečnu). Hyperbola má také optickou vlastnost : světlo ze zdroje umístěného v jednom ohnisku se odráží hyperbolou, takže pokračování odražených paprsků se protínají v jiném ohnisku. Z optických vlastností vyplývá, že elipsa a hyperbola, které mají společná ohniska, jsou kolmé (to znamená, že tečny k nim v průsečíkech jsou kolmé).
Pokud vezmeme v úvahu segmenty, které kuželosečka vyřízne na libovolné rodině rovnoběžných čar, ukáže se, že středy všech takových segmentů leží na jedné přímce. Tato přímka se nazývá průměr kuželosečky; každá rodina rovnoběžných sečen má svůj vlastní průměr. Průměr vždy prochází středem kuželosečky - středem segmentu spojujícího ohniska. V případě elipsy a hyperboly je střed bodem euklidovské roviny, v případě paraboly je to nekonečně vzdálený bod ve stejném směru jako "nekonečné" ohnisko, tj. shoduje se s ohniskem.
Izogonální vlastnost: pokud lze z bodu v rovině nakreslit dvě tečny ke kuželosečce, pak tyto tečny jsou izogonály v úhlu tvořeném přímkami spojujícími bod s ohnisky kuželosečky. Jinými slovy, jestliže je bod v rovině, je kuželosečka s ohnisky a , jsou tečny k , pak , kde symbol označuje směrovaný nebo orientovaný úhel . Speciálním případem izogonální vlastnosti - v případě, kdy bod leží na kuželosečce a dvě tečny "splývají" v jednu - je výše zmíněná optická vlastnost. $P$ $\gamma$ $F$ $F'$ $PA,PB$ $\gamma$ $\measuredangle (PA,PF)=\measuredangle (PF',PB)$ $\measuredangle$ $P$
Pascalův teorém: je -li šestiúhelník (ne nutně konvexní) vepsán do kuželosečky, pak průsečíky tří párů protilehlých stran leží na stejné přímce.

Brianchonova věta: je-li šestiúhelník opsán blízko kuželosečky, pak jedním bodem procházejí tři úhlopříčky spojující protilehlé vrcholy tohoto šestiúhelníku. Brianchonův teorém je duální s Pascalovým teorémem.
Fregierův teorém: budiž dána kuželosečka a bod na ní. Pak všechny tětivy kuželosečky při pohledu z bodu v pravém úhlu procházejí jedním bodem. $P$ $P$
Předchozí fakt připouští zobecnění: všechny tětivy viděné z bodu pod úhlem rovným nebo tečným k nějaké kuželosečce. [čtyři] $P$ $\phi$ $180^{\circ }-\phi$
Sollertinského lemma: nechťje libovolný bod abuď projektivní transformace . Pak množina průsečíkůa, kdeje přímka procházející, je kuželosečka procházející body a. $P$ $F$ $l$ $f(l)$ $l$ $P$ $P$ $f(P)$

Polární dualita

Upevníme kruh na rovině . Jakýkoli bod roviny lze přiřadit relativně k její polárně - a naopak jakákoli přímka může být spojena s jejím pólem. Výsledná transformace, která spojuje úsečky s body a body s úsečkami, se nazývá polární korespondence a je involucí , obrazy bodů a čar pod takovou transformací se nazývají duální obrazy. Polární korespondence může být definována nejen s ohledem na kružnici, ale také s ohledem na jakoukoli kuželosečku - v tomto případě se bude jednat o kompozici projektivní transformace, která tuto kuželosečku přenese do kruhu, polární korespondence s ohledem na tuto kružnice a inverzní projektivní transformace. $\omega$ $P$ $p$ $\omega$

Duální obraz hladké křivky je sada duálních obrazů všech tečen k této křivce. Pak platí, že duální obraz kuželosečky je také kuželosečka. Některá tvrzení, jako Pascalova a Brianchonova věta, jsou tedy navzájem polárními duály.

Transformovat skupiny

Excentricita dvou nedegenerovaných kuželoseček je stejná právě tehdy, když je lze převést do sebe pomocí podobnostní transformace .
Afinní transformace zachovávají pouze znak excentricity, tzn. z hlediska afinní geometrie existují pouze tři různé nedegenerované kuželosečky: elipsa, parabola a hyperbola.
Všechny nedegenerované kuželosečky jsou v projektivní geometrii nerozeznatelné .

Reprezentace souřadnic

Kartézské souřadnice

V kartézských souřadnicích jsou kuželosečky popsány obecným kvadratickým polynomem :

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,

Jinými slovy, kuželosečky jsou křivky druhého řádu . Diskriminační znamení

B^{2}-4AC,

definuje typ kuželosečky.

Pokud je diskriminant menší než nula, pak se jedná o elipsu , bod nebo prázdnou množinu .
Pokud je diskriminant nulový, pak se jedná o parabolu , úsečku nebo dvojici rovnoběžných čar.
Pokud je diskriminant větší než nula, pak se jedná o hyperbolu nebo dvojici protínajících se čar.

Polární souřadnice

V polárních souřadnicích se středem v jednom z ohnisek a nulovém směru podél hlavní osy je kuželosečka reprezentována rovnicí $(\rho,\theta)$

\rho (1+e\cos \theta )=l

kde e je excentricita a l je ohniskový parametr.

Dráhy v gravitačním poli a podobné síly

V rámci klasické mechaniky je dráha hmotného bodu nebo tuhého sféricky symetrického tělesa v poli síly, která se řídí zákonem inverzní čtverce, jedna z kuželoseček - parabola, hyperbola, elipsa (zejména kružnice) nebo přímka.

V případě, že takovou silou je přitažlivá síla, jsou možné všechny tyto trajektorie (v závislosti na počátečních podmínkách); pokud se jedná o odpudivou sílu, pak jsou možné pouze přímky a hyperboly.

Trajektorie pohybu tělesa (nebo jeho těžiště u libovolného nebodového tělesa) v poli rovnoměrné konstantní síly [5] v rámci klasické mechaniky je přesná parabola.

Tento závěr platí nejen pro pevnou (nepohyblivou) polohu těžiště [6] , ale i pro interakci dvou bodových nebo kulových těles srovnatelné hmotnosti [7] .

Druhé tvrzení v rámci klasické mechaniky je přesné (v praxi je přesné jako to, jak přesně interakční síla splňuje zákon inverzní kvadráty a žádné jiné síly neexistují).

Pro více než dvě interagující tělesa toto vše obecně řečeno neplatí (to znamená, že dráhy mohou být přesné kuželosečky jen ve vzácných speciálních případech - za vybraných speciálních počátečních podmínek), ale může to být dobrá aproximace v případ jednoho masivního centrálního tělesa a relativně slabě interagujících mnohem méně hmotných jiných těles, zejména pro sluneční soustavu jako celek, s výjimkou malých nebeských těles, která se někdy k planetám přibližují příliš blízko.

Fyzikálně lze situaci označit jako interakci bodu (který má velmi malou velikost ve srovnání se vzdáleností k jiným tělesům) nebo kulových těles působením gravitačních sil podléhajících zákonu univerzální gravitace (tento zákon je poměrně dobrým přibližným popis skutečné gravitační interakce ve většině případů, se kterou se ve sluneční soustavě srážíme) a/nebo elektrostatické síly podléhající Coulombovu zákonu [8] .

Aby trajektorie těles byly kuželosečky [9] , je důležité, aby byly splněny výše popsané podmínky pro počet a/nebo hmotnosti interagujících těles a aby v ideálním případě neexistovaly žádné (prakticky zanedbatelné, popř. dobře kompenzované) všechny ostatní síly, jako jsou např. aerodynamické odporové síly (k tomu je potřeba např. dostatečné zředění média, vakuum), radiační ztráty (v případě pohybu elektricky nabitých těles např. mohou být značné, v rámci newtonské gravitace jsou takové ztráty vždy rovné nule, ve skutečnosti však mohou být ztráty v důsledku vyzařování gravitačních vln patrné při interakci blízkých hmotných a rychle se pohybujících objektů). Kromě obvyklého aerodynamického odporu mohou být významné síly, jako je tlaková síla a odporová síla způsobená slunečním větrem.

Při pohybu vesmírných těles jsou tyto podmínky zpravidla alespoň do určité míry splněny, takže kuželosečka je přijatelnou a často velmi dobrou aproximací reálné dráhy (po nějakou dobu).

Ve Sluneční soustavě jsou dráhy planet elipsy s celkem dobrou aproximací (odchylka od přesné elipticity je největší u Merkuru), trajektorie komet jsou elipsy, hyperboly [10] ; trajektorie komet jsou často „téměř parabolické“ [11] (viz též Nebeská mechanika ).

Dráha letu dělové koule v gravitačním poli Země, bez zohlednění vlivu vzduchu, je obloukem elipsy blízko paraboly (protože rychlost dělové koule je mnohem menší než ta první kosmická).

V malé (ve srovnání s poloměrem Země) laboratoři lze gravitační pole považovat za rovnoměrné a konstantní. Pokud je v takové laboratoři dostatečně dobře odčerpáván vzduch, pak trajektorie kamene do ní hozeného bude téměř přesná parabola (nebo přímka) [12] . Za normálních podmínek (přítomnost vzduchu) jsou trajektorie vržených těles, obecně řečeno, zcela odlišné od parabol a přímek (s výjimkou přísně vertikálního vrhu), ale při nízkých rychlostech a krátkých letových vzdálenostech mohou být docela blízko parabole.

Viz také

Poznámky

↑ Lohwaterův AJ rusko-anglický slovník matematických věd. Editoval R.P.Boas. 1990. strana 162
↑ 1 2 Florian Cajori, Historie matematiky, 5. vydání 1991
↑ 1 2 Pogorelov A. V. Geometrie. — M .: Nauka , 1983. — 288 s.
↑ A.V. Akopyan, A.A. Záslavský. Geometrické vlastnosti křivek 2. řádu . — M.: MTsNMO, 2007. — S. 79 .
↑ Myslí se síla, jejíž velikost a směr jsou všude v uvažované oblasti pohybu stejné a jsou v čase konstantní; ostatní síly, které by tuto vlastnost porušovaly, jsou považovány za nepřítomné. Jinými slovy, v tomto případě na těleso působí vždy stejná, ve směru a velikosti, konstantní síla. V praxi to může být výslednice více sil, která splňuje popsanou podmínku a případné odchylky, pokud nejsou přesně nulové, jsou malé - pak parabola bude přibližným řešením trajektorie.
↑ Tato možnost je implementována s dobrou přesností v případě, kdy je hmotnost jednoho z interagujících těles mnohem větší než hmotnost druhého. Pak je první těleso (téměř) nehybné a v důsledku toho je nehybný střed síly působící na druhé těleso.
↑ V tomto případě je snadné ukázat, že těžiště soustavy interagujících těles bude hrát roli pevného těžiště a síla působící na každé ze dvou těles bude nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenost k tomuto centru.
↑ V praxi je tento případ klasického pohybu za podmínek čistě elektrostatické interakce méně významný a spíše vzácný, protože se s případem přítomnosti převážně elektrostatické interakce se srovnatelnou malostí ostatních sil setkáme jen zřídka, ale teoreticky se je možné.
↑ Ve skutečnosti je to možné pouze přibližně, ale mluvíme o tom, že je to alespoň dostatečně dobrá aproximace.
↑ Hughes D.U. O hyperbolických kometách // Journal of the British Astronomical Association. - 1991. - Sv. 101, č.p. 2 . - S. 119-120 .
↑ Vlastnosti záchytu komet Halleyova typu z téměř parabolických drah
↑ Přísně vzato, pouze pokud by se Země neotáčela; rotace Země zkresluje skutečnou trajektorii, i když slabě.

Literatura

A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky Geometrické vlastnosti křivek druhého řádu, - M.: MTsNMO , 2007. - 136 s.
I. N. Bronshtein, Obecné vlastnosti kuželoseček , Kvant , č. 5, 1975.
D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, Vizuální geometrie , kapitola I.
R. Courant, G. Robbins, Co je matematika? Kapitola IV, § 8.
AI Markushevich Pozoruhodné křivky "Populární přednášky o matematice". Vydání 04
Šátek, Micheli . O anharmonické vlastnosti bodů kuželosečky atd. // Historický přehled vzniku a vývoje geometrických metod. T. 2. Přibl. XV-XVI. M., 1883.

Odkazy

Wikimedia Commons má média související se sekcí Conic

Kuželosečky
Hlavní typy	Elipsa Hyperbola Parabola
Degenerovat	Tečka Rovný Dvojice rovných čar
Zvláštní případ elipsy	Kruh
Geometrické konstrukce	kuželosečka Pampeliškové kuličky Steinerův design
viz také	Kuželová konstanta
Matematika • Geometrie

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius