Super nadbytečné číslo

Superabundant number ( SA z anglického  superabundant ) - přirozené číslo takové, že pro všechny

kde  je funkce dělitele (tj. součet všech kladných dělitelů čísla , včetně ).

Prvních pár superredundantních čísel [1] : 1 , 2 , 4 , 6 , 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 120 , …. Například číslo 5 není nadbytečné číslo, protože pro 1, 2, 3, 4 a 5 je sigma 1, 3, 4, 7, 6 a 7/4 > 6/5.

Byly zjištěny nadbytečné počty[ upřesnit ] Leonidas Alaoglu a Pal Erdős [2] . Asi 30 stránek Ramanujanova článku z roku 1915 „Čísla supersložek“, které Alaoglu a Erdős neznali, bylo uzavřeno.[ specifikovat ] . Tyto stránky byly nakonec publikovány v Ramanujan's Journal 1 (1997), 119-153[ specifikovat ] . V sekci 59 tohoto článku Ramanujan definuje zobecněná supersložená čísla , která zahrnují superredundantní čísla.

Vlastnosti

Leonidas Alaoglu a Pal Erdős ( 1944 [2] ) dokázali, že pokud je superredundantní, pak existují takové ,

kde:

 -té prvočíslo;

To znamená, že dokázali, že pokud je superredundantní, rozklad na prvočísla má nerostoucí exponenty (exponent většího prvočísla není nikdy větší než exponent menšího prvočísla) a že všechna prvočísla až  jsou faktory . Každé superredundantní číslo je potom sudým celým násobkem -tého prvočísla .

Ve skutečnosti je poslední exponent 1, kromě případů, kdy je 4 nebo 36.

Superredundantní čísla úzce souvisí se supersloženými čísly. Ne všechna superhojná čísla jsou supersložená čísla. Ve skutečnosti se shoduje pouze 449 superredundantních a supersložených čísel (sekvence A166981 v OEIS ). Například 7560 je superkompozitní, ale není superredundantní. Naproti tomu 1163962800 je superredundantní, ale není superkompozitní.

Alaoglu a Erdős si všimli, že všechna nadbytečná čísla jsou velmi nadbytečná .

Ne všechna nadbytečná čísla jsou drsná čísla . První výjimkou je 105. číslo SA, 149602080797769600. Součet číslic je 81, ale 81 není tímto číslem SA rovnoměrně dělitelné.

Přebytečná čísla jsou také zajímavá v souvislosti s Riemannovou hypotézou a Robinovou větou , protože Riemannova hypotéza je ekvivalentní tvrzení:

pro všechny větší než největší známá výjimka je superredundantní číslo 5040. Pokud má tato nerovnost větší protipříklad, který dokazuje, že Riemannova hypotéza je nepravdivá, nejmenším takovým protipříkladem musí být superredundantní číslo [3] .

Ne všechna superredundantní čísla jsou kolosálně nadbytečná .

Generalizace

Zobecněná -superredundantní čísla  jsou čísla taková, že pro všechny , kde je součet -tých mocnin dělitelů .

1-super-redundantní čísla jsou super-redundantní čísla. 0-nadbytečná čísla jsou supersložená čísla.

Například zobecněná 2-nadbytečná čísla jsou [4] 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, …

Poznámky

  1. ↑ OEIS sekvence A004394 _
  2. ↑ 1 2 Alaoglu, Leonidas & Erdős, Pal (1944), O superkomponentě a podobných číslech , Proceedings of the American Mathematical Society ( American Mathematical Society ) . — T. 56 (3): 448–469 , DOI 10.2307/1990319 [ upřesnit ]
  3. ↑ Akbari - Friggstad, 2009 .
  4. ↑ OEIS sekvence A208767 _

Literatura

Odkazy