Trojúhelníkové číslo

Stabilní verze byla zkontrolována 16. srpna 2022 . Existují neověřené změny v šablonách nebo .

Trojúhelníkové číslo je jednou z tříd složených mnohoúhelníkových čísel , definovaných jako počet bodů, které lze uspořádat ve formě pravidelného trojúhelníku . Jak je vidět z obrázku, -té trojúhelníkové číslo je součtem prvních přirozených čísel : $n$ $T_{n}$ $n$

{\begin{aligned}T_{1}&=1&=&\ 1\\T_{2}&=1+2&=&\ 3\\T_{3}&=1+2+3&=& \ 6\\T_{4}&=1+2+3+4&=&\ 10\\\end{aligned}}

atd. Obecný vzorec pro tý trojúhelníkové číslo je: $n$

T_{n}={\frac {1}{2}}n(n+1),\;n=1,2,3\tečky

;

Posloupnost trojúhelníkových čísel je nekonečná. Začíná to takto: $T_{n}$

1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , 45 , 55 , 66 , 78 , 91 , 105 , 120 ... ( sekvence OEIS A000217 )

Některé zdroje začínají posloupnost trojúhelníkových čísel od nuly, která odpovídá číslu $n=0.$

Trojúhelníková čísla hrají významnou roli v kombinatorice a teorii čísel , úzce souvisí s mnoha dalšími třídami celých čísel .

Vlastnosti

Rekurzivní vzorec pro n-té trojúhelníkové číslo [1] :

T_{n}=T_{n-1}+n

Důsledky ( ) [2] [3] : $n>1$

T_{n+1}=T_{n-1}+2n+1

T_{n+1}+T_{n-1}=2T_{n}+1

{\displaystyle T_{2n-1}=3T_{n-1}+T_{n))

(viz obrázek vlevo).

{\displaystyle T_{2n}=3T_{n}+T_{n-1))

. (viz obrázek vpravo).

Další dva vzorce lze snadno dokázat indukcí [4] :

T_{m+n}=T_{m}+T_{n}+mn

T_{mn}=T_{m}T_{n}+T_{m-1}T_{n-1}

Všechna trojúhelníková čísla kromě 1 a 3 jsou složená . Žádné trojúhelníkové číslo nemůže končit číslicí [2] v desítkovém zápisu Parita prvku sekvence se mění s tečkou 4: lichá, lichá, sudá, sudá. $2,4,7,9.$

Třetí boční čára (úhlopříčka) Pascalova trojúhelníku se skládá z trojúhelníkových čísel [5] .

Součet konečné řady trojúhelníkových čísel se vypočítá podle jednoho ze vzorců [6] :

S_{m-1}=1+3+6+\tečky +{\frac {(m-1)m}{2}}={\frac {m^{3}-m}{6} }

nebo:

S_{m}=1+3+6+\tečky +{\frac {m(m+1)}{2))={\frac {m(m+1)(m+2)}{ 6}}

Řada čísel převrácených k trojúhelníku se sbíhá (viz teleskopická řada ):

1+{1 \over 3}+{1 \over 6}+{1 \over 10}+{1 \over 15}+\tečky =2\sum _{n=1}^{\infty } \left({1 \over n}-{1 \over n+1}\right)=2

Kritéria pro trojúhelníkovost čísla

Přirozené číslo je trojúhelníkové právě tehdy, když je číslo dokonalým čtvercem . $X$ $8x+1$

Pokud je totiž trojúhelníkové, pak Naopak, číslo je liché, a pokud se rovná druhé mocnině nějakého čísla, pak je také liché: a dostaneme rovnost: odkud: - trojúhelníkové číslo ■ . $X$ $8x+1=8{\frac {n(n+1)}{2}}+1=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}.$ $8x+1$ $A,$ $A$ $a=2n+1,$ $8x+1=(2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1,$ $x={\frac {n(n+1)}{2))$

Důsledek: číselné číslo v posloupnosti trojúhelníkových čísel je určeno vzorcem: $X$

n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}.

Aplikace

Trojúhelníková čísla vznikají v mnoha praktických situacích.

Jako binomický koeficient určuje číslo počet kombinací pro výběr dvou prvků z možných. ${\displaystyle T_{n}=C_{n+1}^{2))$ $T_{n}$ $n+1$

Pokud jsou objekty spojeny v párech segmenty, pak počet segmentů ( počet hran celého grafu ) bude vyjádřen jako trojúhelníkové číslo: $n$

T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2))

Je to patrné z toho, že každý z objektů je propojen se zbytkem objektů, takže existují souvislosti, nicméně při tomto účtování se každé spojení počítá dvakrát (ze dvou různých konců), takže výsledek musí být rozdělena na polovinu. $n$ $n-1$ $n(n-1)$

Podobně maximální počet podání ruky pro osobu nebo počet šachových partií v turnaji s účastníky jsou stejné . Ze stejných úvah můžeme usoudit, že počet úhlopříček v konvexním mnohoúhelníku se stranami (n>3) je stejný . na: $n$ $n$ $T_{n-1}.$ $n$

T_{n-2}-1={\frac {n(n-3)}{2))

Maximální počet plátků, které lze získat rovnými plátky pizzy (viz obrázek vpravo) je (viz Centrální polygonální čísla , sekvence OEIS A000124 ). $p$ $n$ $T_{n}+1$

" Číslo šelmy " (666) známé v mystice je 36. trojúhelník [7] . Je to nejmenší trojúhelníkové číslo, které lze vyjádřit jako součet druhých mocnin trojúhelníkových čísel [8] : $666=15^{2}+21^{2}.$

Pythagorejci považovali čtvrté trojúhelníkové číslo 10 ( tetraksis ) za posvátné, určující harmonii vesmíru - zejména poměr hudebních intervalů , střídání ročních období a pohyb planet [9] .

Vztah k jiným třídám čísel

Jakékoli -úhlové číslo lze vyjádřit pomocí trojúhelníku [10] : $k$ $P_{n}^{(k)}\;(k\geqslant 3,n>1)$

P_{n}^{(k)}=n+(k-2){\frac {n(n-1)}{2}}=(k-3)T_{n-1}+T_{ n}

Součet dvou po sobě jdoucích trojúhelníkových čísel je čtvercové číslo (dokonalý čtverec), tedy [7] :

T_{n-1}+T_{n}=n^{2}\;

(vzorec Theona ze Smyrny [11] .

Příklady:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Zobecněním tohoto vzorce je Nicomachův vzorec — pro jakýkoli je rozdíl mezi čísly -coal a -coal se stejným číslem trojúhelníkové číslo [12] : $k \geqslant 3$ $(k+1)$ $k$

{\displaystyle P_{n}^{(k+1)}-P_{n}^{(k)}=T_{n-1))

Předchozí vzorec se získá pomocí $k=3.$

Existuje jedinečná pythagorejská trojice skládající se z trojúhelníkových čísel [13] :

\{T_{132},T_{143},T_{164}\}=\{8778,10296,13530\}.

Mezi trojúhelníkovými čísly jsou palindromová čísla , tedy čísla, která jsou stejná při čtení zleva doprava a zprava doleva (sekvence A003098 v OEIS ):

1,3,6,55,66,171,595,666,3003,5995,8778,\tečky

Existuje nekonečně mnoho trojúhelníkových čísel, která jsou současně čtvercová (" čtvercová trojúhelníková čísla ") [14] [15] : (sekvence A001110 v OEIS ). $1,36,1225,41616,1413721\tečky$

Trojúhelníkové číslo může být také současně

pětiúhelníkový (sekvence A014979 v OEIS ):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 217261583646;

hexagonální (všechna trojúhelníková čísla s lichým číslem);
sedmiúhelníkový (sekvence A046194 v OEIS ):

1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 104297931341959741, 0831...

atd. Není známo, zda existují čísla, která jsou současně trojúhelníková, čtvercová a pětiúhelníková; počítačová kontrola čísel menších než žádné takové číslo nenašla, ale nebylo prokázáno, že žádná nejsou [16] . $10^{22166},$

Čtyři trojúhelníková čísla jsou současně Mersennova čísla (sekvence A076046 v OEIS ) (viz Ramanujan-Nagelova rovnice ). $1,3,15,4095$

Pět čísel (a pouze jich) je trojúhelníkových i čtyřstěnných (sekvence A027568 v OEIS ). $1,10,120,1540,7140$

Čtyři čísla jsou jak trojúhelníková, tak čtvercová pyramida (sekvence A039596 v OEIS ). $1,55,91,208335$

Žádné přirozené číslo, kromě 1, nemůže být současně [17] [18] :

trojúhelníkové a krychlové;
trojúhelníkové a bikvadrické [19] ;
trojúhelníková a pátá mocnina celého čísla [17] ;

Každé sudé dokonalé číslo je trojúhelníkové [20] .

Jakékoli přirozené číslo může být reprezentováno jako součet nejvýše tří trojúhelníkových čísel. Tvrzení poprvé formuloval v roce 1638 Pierre Fermat v dopise Mersennovi bez důkazu, který poprvé dokázal v roce 1796 Gauss [21] .

Druhá mocnina n-tého trojúhelníkového čísla je součtem třetí mocniny prvních přirozených čísel [22] . Důsledek: Rozdíl druhých mocnin dvou po sobě jdoucích trojúhelníkových čísel dává kubické číslo . Například, $n$ $15^{2}-10^{2}=125=5^{3}.$

Generující funkce

Mocninná řada, jejíž koeficienty jsou trojúhelníková čísla, konverguje, když : $|x|<1$

{\frac {x}{(1-x)^{3}}}=T_{1}x+T_{2}x^{2}+T_{3}x^{3}+\tečky +T_{n}x^{n}+\tečky

Výraz vlevo je generující funkce pro posloupnost trojúhelníkových čísel [23] .

Variace a zobecnění

Variace na trojúhelníková čísla jsou vycentrovaná trojúhelníková čísla .

Koncept plochého trojúhelníkového čísla lze zobecnit na tři nebo více rozměrů. Jejich prostorovými analogy jsou tetraedrická čísla a v libovolném rozměrovém prostoru lze definovat hypertetraedrická čísla [24] : $d$

T_{n}^{[d]}={\frac {(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!)))

Jejich speciální případy jsou:

$T_{n}^{[2]}$ jsou trojúhelníková čísla.
$T_{n}^{[3]}$ jsou čtyřstěnná čísla.
$T_{n}^{[4]}$ jsou pentatopová čísla .

Dalším zobecněním trojúhelníkových čísel jsou Stirlingova čísla druhého druhu [25] :

T_{n}=S(n+1,n)

Poznámky

↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 16.
↑ 12 Villemin . _
↑ Deza E., 2011 , s. 24-25, 29.
↑ Deza E., 2011 , s. 66.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 188.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 71.
↑ 1 2 Shamshurin A. V. Magická síla trojúhelníkových čísel . Začněte ve vědě . Datum přístupu: 7. dubna 2021. (Ruština)
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 225.
↑ Dimitra Karamanides (2005), Pythagoras: průkopnický matematik a hudební teoretik starověkého Řecka , The Rosen Publishing Group, str. 65, ISBN 9781404205000 , < https://books.google.com/books?id=DQpSA4CEnIwC > Archivováno 14. října 2020 ve Wayback Machine
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. patnáct.
↑ Deza E., 2011 , s. 23.
↑ Za stránkami učebnice matematiky, 1996 , str. padesáti.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 195.
↑ Existují trojúhelníková čísla, která jsou také čtvercová . rozříznout uzel . Získáno 7. dubna 2021. Archivováno z originálu 27. dubna 2006.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 25-33.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 34-37.
↑ 1 2 Tučňákův slovník zvědavých a zajímavých čísel . Staženo: 9. března 2021.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 77-78.
↑ Dickson, 2005 , str. osm.
↑ Vojto, Johne. Perfektní čísla: základní úvod // University of California, Berkley. - 1998. - S. 7 . Archivováno z originálu 25. února 2017.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. deset.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 79.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 17-19.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 126-134.
↑ Deza E., Deza M., 2016 , str. 214-215.

Literatura

Vilenkin N. Ya., Shibasov L. P. Shibasova 3. F. Za stránkami učebnice matematiky: Aritmetika. Algebra. Geometrie . - M . : Vzdělávání, 1996. - S. 30 . — 320 s. — ISBN 5-09-006575-6 .
Glazer G.I. Historie matematiky ve škole . - M . : Vzdělávání, 1964. - 376 s.
Deza E. Speciální čísla přírodní řady: Učebnice .. - M . : Dům knihy "LIBROKOM", 2011. - 240 s. - ISBN 978-5-397-01750-3 .
Deza E., Deza M. Kudrnatá čísla. - M. : MTSNMO, 2016. - 349 s. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
Dickson LE Polygonální. pyramidová a figurální čísla //Historie teorie čísel . - New York : Dover, 2005. - Sv. 2: Diofantinová analýza. - S. 22-23.

Odkazy

Kudrnatá čísla . Vydavatelská skupina OSNOVA. (Ruština)
Villemin, Gerard. Nombre triangulaire Nombres Triangulaires (fr.) . Nombres-Curiosites, théorie a zvyky (2007).
Weisstein, Eric W. Triangular Number (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online)

složená čísla

byt

Klasický polygonální	trojúhelníkový Náměstí Pětiúhelníkový Šestihranný Sedmiúhelníkový Osmiúhelníkový Dvanáctiúhelníkový
Na střed	trojúhelníkový Náměstí Pětiúhelníkový Šestihranný Sedmiúhelníkový Osmiúhelníkový Devítiúhlý Dekagonální

Pyramidový	čtyřstěnný Čtvercový pyramidální
mnohostranný	krychlový Oktaedrální Dodekaedrální dvacetistěnný Hvězdicovitý oktaedrický

mnohostranný	Pentatopický Bisquare

Třídy přirozených čísel

Mocniny a
související čísla

Achilles
Stupeň 2
10 stupňů
12 stupňů
čtverce
Kuba
čtvrtého stupně
Pátý stupeň
Perfektní stupeň
Plný násobek
Mocnina prvočísla

Čísla tvaru
a × 2 b ± 1

Ostatní
polynomická
čísla

Rekurzivně
definovaná
čísla

Množiny čísel
se specifickými
vlastnostmi

Vyjádřeno
v částkách

Nehypotenze
Praktický
Principiální poloprosté
Ulama
Wolsenholm

Získává
se sítem

šťastná čísla

Související kódy
_

Mirtens

složená čísla

2-rozměrný

na střed _	trojúhelníkový náměstí pětiúhelníkový šestiúhelníkový sedmiúhelníkový osmiúhelníkový neúhlové desetiúhelníkový hvězdicový
mimo střed	trojúhelníkový náměstí čtvercový trojúhelníkový šestiúhelníkový osmiúhelníkový

3 dimenzionální

na střed _	čtyřstěnný krychlový osmistěnný dvanáctistěnný dvacetistěnný
mimo střed	čtyřstěnný osmistěnný dvanáctistěnný dvacetistěnný Hvězdo-osmistěnné
pyramidální _	náměstí pětiúhelníkový šestiúhelníkový sedmiúhelníkový

4-rozměrný

na střed _	pentachorický trojúhelníkový ve čtverci
mimo střed	pentatop

Pseudojednoduché

Carmichael
katalánská
eliptický
Euler
Euler-Jacobi
Farma
Frobenius
Luca
Somera - Luca
silný pseudojednoduchý

kombinatorická
čísla

Aritmetické
funkce

σ ( n )	redundantní téměř perfektní aritmetický kolosálně nadbytečné Descartes hemiperfektní čísla vysoce nadbytečná čísla čísla s vysokými složkami hyperdokonalá čísla multiperfektní čísla angažovaný praktický primitivní redundantní mírně nadbytečné tau čísla majestátní čísla přebytečná čísla superkompozitní čísla superdokonalá čísla
Ω ( n )	téměř jednoduché polojednoduché
φ( n )	vysoce kovalentní vysoký totient dokonalý totient mírně totient
s( n )	přátelský zasnoubený nedostačující polodokonalé

Euklides
čísla štěstí

Podle dělitelů

Ostatní prvočíslí
dělitelé nebo
související
s dělitelností

Zábavná
matematika

Číselné soustavy

automorfní číslo
cyklický
Osiris
Dudeni
stejné číslice
extravagantní
Faktorion
Friedman
spokojený
Nivena
Kita
Lichrel
částka s chybějící číslicí
Armstrong
palindromický
pandigitální
parazitický
škodlivý
magický
primitivní
opakovací číslice
pokání
vytvořené samy
sebepopisný
Smarandsha - Wellena
přísně nepalindromické
posunovače
přemístění
trimorfní
vlnitý
upíři

Aronsonova sekvence
čísla palačinek