Elipsa

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. srpna 2022; kontroly vyžadují 5 úprav .

Elipsa ( jiné řecké ἔλλειψις "vynechání; nedostatek, nedostatek ( excentricity do 1)") - uzavřená křivka na rovině, kterou lze získat jako průsečík roviny a kruhového válce nebo jako ortogonální průmět kružnice do letadla .

Kruh je zvláštní případ elipsy. Spolu s hyperbolou a parabolou je elipsa kuželosečkou a kvadrikou .

Definice

Elipsa - místo bodů M euklidovské roviny , pro které je součet vzdáleností ke dvěma daným bodům a (nazývaným ohnisky ) konstantní a větší než vzdálenost mezi ohnisky, tzn. $F_{1}$ $F_{2}$

|F_{1}M|+|F_{2}M|=2\cdot a

, navíc

|F_{1}F_{2}|<2\cdot a.

Další definice

Elipsu lze také definovat jako:

obrazec, který lze získat z kruhu aplikací afinní transformace
ortogonální průmět kružnice na rovinu
průsečík roviny a kruhového válce .

Související definice

Úsek AB procházející ohnisky elipsy , jehož konce leží na elipse, se nazývá hlavní osa této elipsy. Délka hlavní osy je ve výše uvedené rovnici 2a.
Úsek CD , kolmý k hlavní ose elipsy, procházející středem hlavní osy, jehož konce leží na elipse, se nazývá vedlejší osa elipsy.
Průsečík hlavní a vedlejší osy elipsy se nazývá její střed .
Segmenty nakreslené od středu elipsy k vrcholům na hlavní a vedlejší ose se nazývají hlavní poloosa a vedlejší poloosa elipsy a jsou označeny a a b .
Vzdálenosti a od každého z ohnisek k danému bodu na elipse se v tomto bodě nazývají ohniskové poloměry . $r_{1}$ $r_{2}$
Vzdálenost se nazývá ohnisková vzdálenost . $c={\frac {|F_{1}F_{2}|}{2}}$
Veličina se nazývá excentricita . $e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$
Průměr elipsy je libovolná tětiva procházející jejím středem. Konjugované průměry elipsy jsou párem jejích průměrů, které mají následující vlastnost: středy tětiv rovnoběžné s prvním průměrem leží na druhém průměru. V tomto případě leží středy tětiv paralelně s druhým průměrem také na prvním průměru.
Poloměr elipsy v daném bodě je úsečka spojující střed elipsy s bodem a také její délka, která se vypočítá podle vzorce , kde je úhel mezi poloměrem a hlavní poloosou. $r={\frac {ab}{\sqrt {b^{2}\cos ^{2}\varphi +a^{2}\sin ^{2}\varphi ))}={\frac {b}{ \sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\varphi }}}$ $\varphi$
Ohniskový parametr je polovina délky tětivy procházející ohniskem a kolmá k hlavní ose elipsy. $p={\frac {b^{2}}{a}}$
Poměr délek vedlejší a velké poloosy se nazývá elipsový kompresní poměr nebo elipticita :. Rovná hodnota se nazývá kontrakce elipsy. Pro kruh je kompresní faktor roven jedné, komprese je nulová. Kompresní poměr a excentricita elipsy souvisí vztahem $k={\frac {b}{a}}$ $(1-k)={\frac {ab}{a}},$ $k^{2}=1-e^{2}.$
Pro každé z ohnisek existuje přímka, nazývaná direktiva , taková, že poměr vzdálenosti od libovolného bodu elipsy k jejímu ohnisku ke vzdálenosti od tohoto bodu k dané přímce je roven excentricitě elipsy. . Celá elipsa leží na stejné straně takové přímky jako ohnisko. Směrové rovnice elipsy v kanonickém tvaru jsou psány jako pro ohniska , resp. Vzdálenost mezi ohniskem a směrovou přímkou je . $x=\pm {\frac {p}{e\left(1-e^{2}\right)))$ $\left(\pm {\frac {pe}{1-e^{2}}},\,0\right)$ ${\frac {p}{e}}$

Vztahy mezi prvky elipsy

${\bold symbol {a}}$ - velká poloosa;
${\bold symbol {b))$ - vedlejší poloosa;
${\bold symbol {c}}$ - ohnisková vzdálenost (poloviční vzdálenost mezi ohnisky);
${\bold symbol {p}}$ — ohniskový parametr;
${\boldsymbol {r}}_{p}$ - perifokální vzdálenost (minimální vzdálenost od ohniska k bodu na elipse);
${\boldsymbol {r}}_{a}$ - vzdálenost apofokusu (maximální vzdálenost od ohniska k bodu na elipse);

$a^{2}=b^{2}+c^{2};$

$e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\;\;\;(0 \leqslant e<1);$

$p={\frac {b^{2}}{a}}.$

	${\bold symbol {a}}$	${\bold symbol {b))$	${\bold symbol {c}}$	${\bold symbol {p}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {r_{p))))$	${\displaystyle {\boldsymbol {r_{a))))$
${\bold symbol {a}}$ - velká poloosa	${\bold symbol {a}}$	$a={\frac {b}{\sqrt {1-e^{2))))$	$a={\frac {c}{e}}$	${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2))))$	$a={\frac {r_{p}}{1-e}}$	$a={\frac {r_{a}}{1+e}}$
${\bold symbol {b))$ - vedlejší náprava	${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2))))$	${\bold symbol {b))$	$b={\frac {c~{\sqrt {1-e^{2)))){e}}$	$b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2))))$	${\displaystyle b=r_{p}{\sqrt {\frac {1+e}{1-e))))$	${\displaystyle b=r_{a}{\sqrt {\frac {1-e}{1+e))))$
${\bold symbol {c}}$ - ohnisková vzdálenost	$c=ae$	$c={\frac {be}{\sqrt {1-e^{2))))$	${\bold symbol {c}}$	${\displaystyle c={\frac {pe}{1-e^{2))))$	$c={\frac {r_{p}e}{1-e))$	$c={\frac {r_{a}e}{1+e}}$
${\bold symbol {p}}$ — ohniskový parametr	$p=a(1-e^{2})$	${\displaystyle p=b~{\sqrt {1-e^{2))))$	$p=c~{\frac {1-e^{2}}{e}}$	${\bold symbol {p}}$	$p=r_{p}(1+e)$	$p=r_{a}(1-e)$
${\boldsymbol {r}}_{p}$ - perifokální vzdálenost	$r_{p}=a(1-e)$	${\displaystyle r_{p}=b~{\sqrt {\frac {1-e}{1+e))))$	$r_{p}=c~{\frac {1-e}{e))$	$r_{p}={\frac {p}{1+e))$	${\boldsymbol {r}}_{p}$	$r_{p}=r_{a}{\frac {1-e}{1+e))$
${\boldsymbol {r}}_{a}$ - apofokusová vzdálenost	$r_{a}=a(1+e)$	${\displaystyle r_{a}=b~{\sqrt {\frac {1+e}{1-e))))$	$r_{a}=c~{\frac {1+e}{e))$	$r_{a}={\frac {p}{1-e))$	$r_{a}=r_{p}~{\frac {1+e}{1-e))$	${\boldsymbol {r}}_{a}$

Reprezentace souřadnic

Elipsa jako křivka druhého řádu

Elipsa je centrální nedegenerovaná křivka druhého řádu a splňuje obecnou rovnici tvaru

a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

s invarianty a , kde: $D>0$ $\Delta I<0$

\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\ end{vmatrix}},

D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}^{2} ,

I=\operatorname {tr} {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11}+a_{22} .

Vztahy mezi invarianty křivky druhého řádu a poloosami elipsy (platí pouze tehdy, pokud se střed elipsy shoduje s počátkem a ): $a_{{33}}=-1$

\Delta =-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {1}{b^{2}}},

D={\frac {1}{a^{2}}}{\frac {1}{b^{2}}},

I={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.

Poměry

Přepíšeme-li obecnou rovnici jako

AX^{2}+BXY+CY^{2}+DX+EY+F=0,

pak souřadnice středu elipsy jsou:

h={\frac {BE-2CD}{4AC-B^{2}}},k={\frac {BD-2AE}{4AC-B^{2}}},

úhel natočení je určen z výrazu

tg(2\Theta )={\frac {B}{AC}}.

Směry vektorů os:

{\begin{pmatrix}B&(C-A+{\sqrt {(CA)^{2}+B^{2)))})\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}B&( CA -{\sqrt {(CA)^{2}+B^{2}}})\end{pmatrix}},

odtud

\operatorname {tg} \Theta ={\frac {CA\pm {\sqrt {(CA)^{2}+B^{2)))){B)).

Délky poloos jsou určeny výrazy

a={\sqrt {\frac {2F'({\sqrt {(AC)^{2}+B^{2))}+A+C)}{4AC-B^{2))} },

b={\sqrt {{\frac {2F'}{{\sqrt {(AC)^{2}+B^{2}}}+A+C}}.}}

Inverzní vztah - koeficienty obecné rovnice z parametrů elipsy - lze získat tak, že do kanonické rovnice (viz část níže) dosadíme výraz pro natočení souřadného systému o úhel Θ a přeneseme jej do bodu : $(x_{c},\,y_{c})$

{\frac {x'^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}=1,

x'=(x-x_{c})\cos \Theta +(y-y_{c})\sin \Theta ,

y'=-(x-x_{c})\sin \Theta +(y-y_{c})\cos \Theta .

Dosazením a rozšířením závorek získáme pro koeficienty obecné rovnice následující výrazy:

A=a^{2}\sin ^{2}\Theta +b^{2}\cos ^{2}\Theta ,

B=2(b^{2}-a^{2})\sin \Theta \cos \Theta ,

C=a^{2}\cos ^{2}\Theta +b^{2}\sin ^{2}\Theta ,

D=-2Ax_{c}-By_{c},

E=-Bx_{c}-2Cy_{c},

F=Ax_{c}^{2}+Cy_{c}^{2}+Bx_{c}y_{c}-a^{2}b^{2}.

Pokud zadáte pouze úhel a střed elipsy ponecháte v počátku, pak

D=0,

E=0,

F=-a^{2}b^{2}.

Je třeba poznamenat, že v rovnici obecného tvaru elipsy uvedené v kartézském souřadnicovém systému jsou koeficienty (nebo, co je totéž, ) definovány až do libovolného konstantního faktoru, tedy výše uvedeného označení a $A B C D E F$ ${\displaystyle a_{11},2a_{12},a_{22},2a_{13},2a_{23},a_{33))$

AkX^{2}+BkXY+CkY^{2}+DkX+EkY+Fk=0,

kde jsou ekvivalentní. Nelze očekávat, že výraz $k\neq 0,$

1/a^{2}+1/b^{2}=Ak+Ck

budou provedeny za jakékoli . $k$

Vztah mezi invariantem a poloosou je obecně následující: $já$

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {A+C}{F\cdot (A\cdot h ^{2}+B\cdot h\cdot k+C\cdot k^{2}-1)))={\frac {I}{F')),

kde je koeficient při přesunu počátku souřadnic do středu elipsy, když je rovnice redukována do tvaru $F'=F\cdot (A\cdot h^{2}+B\cdot h\cdot k+C\cdot k^{2}-1)$ $F$

AX^{2}+BXY+CY^{2}+F'=0.

Další invarianty jsou v následujících vztazích:

-{\frac {\Delta }{F'^{3}}}={\frac {D}{F'^{2}}}={\frac {1}{a^{2}} }{\frac {1}{b^{2}}}.

Kanonická rovnice

Pro jakoukoli elipsu můžete najít kartézský souřadnicový systém tak, že elipsa bude popsána rovnicí:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.

Tato rovnice se nazývá kanonická rovnice elipsy. Popisuje elipsu se středem v počátku, jejíž osy se shodují s osami souřadnic [Comm. 1] .

Poměry

Pro definitivnost předpokládáme, že V tomto případě jsou veličiny a jsou hlavní a vedlejší poloosy elipsy. $0<b\leqslant a.$ $A$ $b$

Když známe poloosy elipsy, můžeme vypočítat:

jeho ohnisková vzdálenost a excentricita $\left|F_{1}F_{2}\right|=2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},\;\;\;e={\frac {\ sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}<1,$
souřadnice ohnisek elipsy $\left(ae,\,0\right),\left(-ae,\,0\right).$

Elipsa má dvě směrové přímky, jejichž rovnice lze zapsat jako

x={\frac {a}{e}},\;\;\;x=-{\frac {a}{e}}.

Ohniskový parametr (tj. polovina délky tětivy procházející ohniskem a kolmá k ose elipsy) je

p={\frac {b^{2}}{a}}.

Ohniskové poloměry, tedy vzdálenosti od ohnisek k libovolnému bodu na křivce : $\left(x,\,y\right)$

r_{1}=a+ex,\;\;\;r_{2}=a-ex.

Rovnice průměru konjugovaného s tětivami se sklonem : $k$

y=-{\frac {b^{2}}{a^{2}k}}x.

Rovnice pro tečnu k elipse v bodě je: $(x_{0}, y_{0})$

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1.

Podmínka tečnosti mezi úsečkou a elipsou se zapisuje jako vztah $y=mx+k$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ $k^{2}=m^{2}a^{2}+b^{2}.$

Rovnice tečen procházejících bodem : $\left(x_1, y_1\right)$

{\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {-x_{1}y_{1}\pm {\sqrt {b^{2}x_{ 1}^{2}+a^{2}y_{1}^{2}-a^{2}b^{2}}}}{a^{2}-x_{1}^{2}} }.

Rovnice tečen majících daný sklon : $k$

y=kx\pm {\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2))},

tečné body takové přímky elipsy (nebo co je totéž, body elipsy, kde má tečna úhel s tečnou rovný ): $k$

x=\mp {\frac {ka^{2}}{\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}}},y=\pm {\frac {b^{2 }}{\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}}}.

Normální rovnice v bodě $\left(x_{1},y_{1}\right):$

{\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {a^{2}y_{1}}{b^{2}x_{1}}}.

Rovnice v parametrickém tvaru

Kanonická rovnice elipsy může být parametrizována:

{\begin{cases}x=a\,\cos t\\y=b\,\sin t\end{cases}}\;\;\;0\leqslant t\leqslant 2\pi ,

kde je parametr. $t$

Pouze v případě kružnice (tedy v ) je parametrem úhel mezi kladným směrem osy x a vektorem poloměru daného bodu. $a=b$ $t$

V polárních souřadnicích

Pokud vezmeme ohnisko elipsy jako pól a hlavní osu jako polární osu, pak její rovnice v polárních souřadnicích bude vypadat takto $\left(\rho ,\varphi \right)$

\rho ={\frac {p}{1\pm e\cos \varphi )),

kde e je excentricita ap je ohniskový parametr. Znaménko mínus odpovídá umístění pólu polárních souřadnic do levého ohniska a znaménko plus do pravého.

Odvození rovnice

Nechť r 1 a r 2 jsou vzdálenosti k danému bodu elipsy od prvního a druhého ohniska. Nechť je také pól souřadného systému na prvním ohnisku a úhel nechť je měřen od směru k druhému ohnisku. Z definice elipsy pak vyplývá, že $\varphi$

r_{1}+r_{2}=2a

Odtud . Na druhou stranu z kosinové věty ${\displaystyle r_{2}^{2}=\left(2a-r_{1}\right)^{2}=4a^{2}-4ar_{1}+r_{1}^{2))$

r_{2}^{2}=r_{1}^{2}+4c^{2}-4r_{1}c\cos \varphi .

Vyloučením z posledních dvou rovnic dostaneme $r_{2}$

r_{1}={\frac {a^{2}-c^{2}}{ac\cos \varphi }}={\frac {a(1-c^{2}/a^{ 2})}{1-c/a\cos \varphi }}.

Vezmeme-li v úvahu toto a , získáme požadovanou rovnici. $p=a(1-e^{2})$ $e=\frac{c}{a}$

Pokud vezmeme střed elipsy jako pól a hlavní osu jako polární osu, pak její rovnice v polárních souřadnicích bude vypadat takto $\left(\rho ,\varphi \right)$

\rho ={\frac {b}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\varphi ))}={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}\sin ^ {2}\varphi +b^{2}\cos ^{2}\varphi }}}.

Délka oblouku elipsy

Délka oblouku rovné čáry je určena vzorcem:

l=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\ frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt.

Pomocí parametrické reprezentace elipsy získáme následující výraz:

l=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t} }\,dt.

Po nahrazení má výraz pro délku oblouku konečnou podobu: $b^{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\right)$

l=a\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}t}}\,dt,\;\;\ ;e<1.

Výsledný integrál patří do rodiny eliptických integrálů , které nejsou vyjádřeny v elementárních funkcích, a redukuje se na eliptický integrál druhého druhu . Obvod elipsy je zejména: $E\left(t,e\right)$

l=4a\int \limits _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}t}}\,dt=4aE(e),

kde je úplný eliptický integrál druhého druhu . $E\doleva (e\doprava)$

Přibližné vzorce pro obvod

$L\cca 4{\frac {\pi ab+(ab)^{2}}{a+b}}.$

Maximální chyba tohoto vzorce pro excentricitu elipsy (poměr os ). Chyba je vždy kladná. $\approx 0{,}63\ \%$ $\approx 0{,}988$ $\approx 1/6{,}5$

Přibližně dvakrát menší chyby v širokém rozsahu excentricity jsou dány vzorcem : $L\cca 4\cdot \left(a^{x}+b^{x}\right)^{\left(1/x\right)}$ $x={\frac {\ln 2}{\ln {\frac {\pi }{2))))$ $\approx 0{,}36\ \%$ $\approx 0{,}980$ $\approx 1/5$

Výrazně lepší přesnost poskytuje Ramanujanův vzorec : $0{,}05<a/b<20$ $L\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)))\right].$

Při excentricitě elipsy (poměr os ) je chyba . Chyba je vždy záporná. $\approx 0{,}980$ $\approx 1/5$ $\approx 0{,}02\ \%$

Druhý Ramanujanův vzorec se ukázal být ještě přesnější: $L\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\frac {ab}{a+b}}\right)^{2}}{10+{ \sqrt {4-3\left({\frac {ab}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right].$

Přesné vzorce pro obvod

James Ivory [1] a Friedrich Bessel [2] nezávisle získali vzorec pro obvod elipsy:

L=\pi (a+b)\left[1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {(2n-1)!!}{(2n -1)\cdot 2^{n}\cdot n!}}\left({\frac {ab}{a+b}}\right)^{n}\right]^{2}\right].

Alternativní vzorec

L={\frac {2\pi aN(1-e^{2})}{M({\sqrt {1-e^{2))})))),

kde je aritmeticko-geometrický průměr 1 a a je modifikovaný aritmeticko-geometrický průměr 1 a , který zavedl S. F. Adlai v článku z roku 2012 [3] . $M(x)$ $X$ $N(x)$ $X$

Oblast elipsy a její segment

Plocha elipsy se vypočítá podle vzorce

S=\pi ab.

Oblast segmentu mezi obloukem , konvexním doleva a svislou tětivou procházející body a lze ji určit podle vzorce [4] : $\left(x,\,y\right)$ $\left(x,\,-y\right),$

S={\frac {\pi ab}{2}}-{\frac {b}{a}}\left(x\,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a ^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\vpravo).

Pokud je elipsa dána rovnicí , pak lze plochu určit vzorcem $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1$

S={\frac {2\pi }{\sqrt {4AC-B^{2)))).

Další vlastnosti

Optický
- Světlo ze zdroje umístěného na jednom z ohnisek se odráží v elipse, takže odražené paprsky se protínají ve druhém ohnisku.
- Světlo ze zdroje, který je mimo jakékoli ohnisko, se odráží v elipse, takže odražené paprsky se v žádném ohnisku neprotínají.
Jestliže a jsou ohniska elipsy, pak pro jakýkoli bod X patřící k elipse je úhel mezi tečnou v tomto bodě a přímkou roven úhlu mezi touto tečnou a přímkou . $F_{1}$ $F_{2}$ $(F_{1}X)$ $(F_{2}X)$
Čára vedená středem segmentů odříznutých dvěma rovnoběžnými čarami protínajícími elipsu bude vždy procházet středem elipsy. To umožňuje stavět pomocí kružítka a pravítka snadno získat střed elipsy a později osy, vrcholy a ohniska.
- Ekvivalentní formulace: středy libovolných dvou rovnoběžných tětiv elipsy prochází nějaký průměr elipsy. Jakýkoli průměr elipsy zase vždy prochází středem elipsy.
Evoluta elipsy je astroid prodloužený podél vertikální osy.
Průsečíky elipsy s osami jsou její vrcholy .
Excentricita elipsy, tedy poměr, charakterizuje prodloužení elipsy. Čím blíže je excentricita nule, tím více se elipsa podobá kruhu a naopak, čím blíže je excentricita jednotě, tím je protáhlejší. $e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\;\;\;(0\leqslant e <1),$
- Pokud je excentricita elipsy nulová (což je stejné jako ohnisková vzdálenost je nula: ), pak elipsa degeneruje do kruhu . $F_{1}F_{2}=0$
Extrémní vlastnosti [5]
- Jestliže je konvexní obrazec a je vepsán do -gonu maximální plochy, pak $F$ $T_{n}$ $F$ $n$ $S(T_{n})\geq S(F)\cdot {\frac {n}{2\cdot \pi }}{\sin(2\cdot \pi /n)},$

kde označuje oblast obrázku .

S(F)

F

Kromě toho je rovnosti dosaženo právě tehdy, je-li ohraničena elipsou. $F$

Mezi všemi konvexními uzavřenými křivkami ohraničujícími danou oblast mají elipsy a pouze ty maximální afinní délku .

Pokud je libovolná elipsa vepsána do trojúhelníku ABC a má ohniska P a Q , pak pro ni platí vztah [6] :

{\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}({\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB }}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac ({\overline {PC}}\cdot {\overline {QC }} ))}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.

Pokud je žebřík (nekonečně tenký segment čáry) opřen o svislou stěnu s vodorovnou podlahou a jeden konec žebříku klouže po stěně (stále se jí dotýká) a druhý konec žebříku klouže po podlaze ( po celou dobu se ho dotýkat), pak se jakýkoli pevný bod žebříku (ne na jeho koncích) bude pohybovat po oblouku nějaké elipsy. Tato vlastnost zůstává pravdivá, pokud vezmeme bod nikoli uvnitř žebříkového segmentu, ale na jeho myslitelném rozšíření. Poslední vlastnost je použita ve výše popsaném elipsografu .

Tečna procházející bodem patřícím k elipse má následující rovnici: $(x_{0}, y_{0})$

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1.

Stavba elipsy

Nástroje pro kreslení elipsy jsou:

třístěnný
dvě jehly zapíchnuté do ohnisek elipsy a spojené nití délky 2 a , která se stáhne tužkou. Metoda byla vynalezena Jamesem Maxwellem ve věku 14 let a na dotaz svého otce Královské společnosti v Edinburghu se ukázalo, že byla dříve neznámá [7] .

Pomocí kružítka nebo kružítka a pravítka můžete sestrojit libovolný počet bodů náležejících k elipse, ale ne celou elipsu.

Elipsy spojené s trojúhelníkem

Brokarova elipsa - elipsa s ohnisky v Brocardových bodech
Ellipse Mandart
Elipsa Steinerová

Viz také

Komentáře

↑ Pokud je na pravé straně jednotka se znaménkem mínus, pak výsledná rovnice ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$ popisuje imaginární elipsu, ve skutečné rovině nemá žádné body.

Poznámky

↑ Ivory J. Nová řada pro opravu elipsy // Transactions of the Royal Society of Edinburgh. - 1798. - Sv. 4 . - S. 177-190 . - doi : 10.1017/s0080456800030817 .
↑ Bessel FW Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermesssungen (německy) // Astron. Nachr. . - 1825. - Bd. 4 . - S. 241-254 . - doi : 10.1002/asna.18260041601 . - . V angličtině přeloženo: Bessel FW Výpočet zeměpisné délky a šířky z geodetických měření (1825 ) // Astron. Nachr. . - 2010. - Sv. 331 . - S. 852-861 . - doi : 10.1002/asna.201011352 . - arXiv : 0908.1824 .
↑ Adlaj S. Výmluvný vzorec pro obvod elipsy // Notices of the AMS . - 2012. - Sv. 76 , iss. 8 . - S. 1094-1099 . - doi : 10.1090/noti879 .
↑ Korn, 1978 , str. 68.
↑ Feyesh Toth L. Kapitola II, §§ 4, 6 // Uspořádání na rovině, na kouli a v prostoru . - M. : Fizmatgiz, 1958. - 364 s. (Ruština)
↑ Allaire PR, Zhou J., Yao H. Prokazování identity elipsy devatenáctého století // Mathematical Gazette. - 2012. - Sv. 96 , č. 535 . - S. 161-165 .
↑ Kartsev V.P. Maxwell. - M .: Mladá garda, 1974. (Seriál "Život pozoruhodných lidí"). s. 26-28.

Literatura

Korn G., Korn T. Vlastnosti kružnic, elips, hyperbol a parabol // Příručka matematiky. - 4. vydání. - M .: Nauka, 1978. - S. 70-73.
Selivanov D. F. Ellipse // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
A. V. Akopyan, A. A. Záslavský Geometrické vlastnosti křivek druhého řádu, - M.: MTSNMO , 2007. - 136 s.
I. Bronstein . Elipsa // Kvant , č. 9, 1970.
A. I. Markuševič. Pozoruhodné křivky // " Populární přednášky o matematice ", číslo 4.

Odkazy

S. Sýkora, Aproximace obvodů elipsy a úplného eliptického integrálu E(x). Přehled známých vzorců
Grand P. Michon . Perimeter of an Elipse (konečné odpovědi) (anglicky) , 2000-2005. — 20 hodin
Video: Jak nakreslit elipsu

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Skvělý norský Velký sovět (1 ed.) Britannica (online)
V bibliografických katalozích	BNF : 11981967h GND : 4194779-4 J9U : 987007540845005171 LCCN : sh85042604

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius

Kuželosečky
Hlavní typy	Elipsa Hyperbola Parabola
Degenerovat	Tečka Rovný Dvojice rovných čar
Zvláštní případ elipsy	Kruh
Geometrické konstrukce	kuželosečka Pampeliškové kuličky Steinerův design
viz také	Kuželová konstanta
Matematika • Geometrie