Algebraická geometrie

Algebraická geometrie  je odvětví matematiky , které kombinuje algebru a geometrii . Hlavním předmětem studia klasické algebraické geometrie, stejně jako v širším smyslu moderní algebraické geometrie, jsou soustavy řešení soustav algebraických rovnic . Moderní algebraická geometrie je velmi založená na metodách obecné algebry (obzvláště komutativní algebry ) řešit problémy, které vyvstávají v geometrii.

Hlavním předmětem studia algebraické geometrie jsou algebraické variety , tedy geometrické objekty specifikované jako množiny řešení soustav algebraických rovnic. Nejvíce studované jsou algebraické křivky : přímky , kuželosečky , krychle (takový jako eliptická křivka ) a křivky vyšších řádů ( lemniscates jsou příklady takových křivek ). Základní otázky v teorii algebraických křivek se týkají studia „speciálních“ bodů na křivce, jako jsou singulární body nebo inflexní body . Pokročilejší otázky se týkají topologie křivky a vztahů mezi křivkami danými diferenciálními rovnicemi .

Moderní algebraická geometrie má rozmanité vztahy s široce rozmanitými oblastmi matematiky takový jako komplexní analýza , topologie nebo teorie čísel . Studium konkrétních soustav rovnic s více proměnnými vedlo k pochopení důležitosti studia obecných vnitřních vlastností množin řešení libovolné soustavy algebraických rovnic a v důsledku toho k hlubokým výsledkům v mnoha odvětvích matematiky.

Ve 20. století se algebraická geometrie rozdělila do několika (vzájemně souvisejících) disciplín:

Hlavní proud bádání v algebraické geometrii 20. století pokračoval aktivním využíváním pojmů obecné algebry s důrazem na „vnitřní“ vlastnosti algebraických variet, které nezávisí na konkrétním způsobu zabudování variety do určitý prostor. Jejím klíčovým úspěchem byla teorie schémat od Alexandra Grothendiecka , která umožnila aplikovat teorii snopů na studium algebraických variet metodami podobnými studiu diferencovatelných a komplexních variet. To vedlo k rozšíření pojmu bod: v klasické algebraické geometrii mohl být bod afinní variety definován jako maximální ideál souřadnicového kruhu, zatímco všechny body odpovídajícího afinního schématu jsou primárními ideály daného kruhu. . Bod takového schématu lze považovat jak za běžný bod, tak za podvarietu , což umožnilo sjednotit jazyk a nástroje klasické algebraické geometrie. Jedním z nejjasnějších příkladů síly tohoto přístupu byl důkaz Andrewa Wilese o Fermatově poslední větě .

Základní pojmy

Afinní odrůdy

Nejprve musíme opravit hlavní pole k . V klasické algebraické geometrii se zpravidla používá obor komplexních čísel, ale soubor výsledků zůstává platný pro jakékoli algebraicky uzavřené pole (v následujícím se předpokládá algebraické uzavření). Uvažujme n - rozměrný afinní prostor (Důvodem neuvažování vektorového prostoru nad k je zdůraznění nezávislosti vlastností variety na struktuře vektorového prostoru. S prvky základního prostoru se zachází jako s body, nikoli jako s vektory). V afinním prostoru fixujeme nějakou bázi (zejména volíme počátek souřadnic). Potom každá rodina S polynomů z okruhu k [ x 1 ,…, x n ] může být spojena s množinou V ( S ) bodů, jejichž souřadnice splňují všechny polynomy z množiny:

Vlastnost funkce být polynomem ve skutečnosti nezávisí na volbě základu, takže lze jednoduše mluvit o polynomických funkcích a množině společných nul rodiny takových funkcí. Množiny reprezentovatelné jako V ( S ) se nazývají algebraické množiny .

Libovolná podmnožina afinního prostoru U může být spojena s množinou I(U) polynomů rovných nule ve všech bodech této množiny. Je snadné zkontrolovat, že tato množina je ideálem v polynomickém kruhu. Vyvstávají dvě přirozené otázky:

Je zřejmé, že aby první rovnost platila, je nutné, aby U byla algebraická množina; je také snadné zkontrolovat, zda je tato podmínka dostatečná. Hledání odpovědi na druhou otázku působí velké potíže, David Hilbert dokázal Hilbertovu známou nulovou větu , podle níž se I ( V ( S )) shoduje s radikálem ideálu v kruhu polynomů generovaných prvky S ; to znamená, že existuje bijektivní korespondence mezi algebraickými množinami a radikálními ideály polynomiálního kruhu. Hilbertův základní teorém říká, že všechny ideály v polynomickém kruhu jsou definitivně generovány , to znamená, že jakákoli algebraická množina může být definována konečným počtem rovnic.

Algebraická množina je považována za neredukovatelnou, pokud ji nelze reprezentovat jako spojení dvou menších algebraických množin. Afinní algebraická varieta [1]  je ireducibilní algebraická množina; v algebraickém jazyce primární ideály polynomiálních kruhů odpovídají afinním varietám. Libovolnou algebraickou množinu lze reprezentovat jako sjednocení konečného počtu algebraických variet (žádná z nich není podmnožinou druhé) a navíc jedinečným způsobem [2] .

Někteří autoři nedělají terminologický rozdíl mezi „algebraickými množinami“ a „algebraickými varietami“ a místo toho používají termín „nereducibilní algebraická množina“ (nebo „neredukovatelná varieta“).

Regulární funkce

Regulární funkce na algebraické množině  je funkce, která je omezením na V nějaké polynomiální funkce. Regulární funkce na V tvoří prstenec k [ V ], nazývaný souřadnicový prstenec této množiny. Tento kruh je izomorfní k faktorovému kruhu polynomického kruhu v I ( V ) (opravdu, pokud f a g mají stejné omezení na V , pak f − g náleží I ( V ).

Regulární zobrazení mezi algebraickými množinami jsou definována přirozeným způsobem. Pravidelné mapování má totiž tvar , kde  jsou regulární funkce. Regulární zobrazení na algebraickou množinu  je regulární funkce v takovém, že .

Za předpokladu pravidelného mapování lze libovolnou regulérní funkci mapovat na regulární funkci podle pravidla . Zobrazení je kruhový homomorfismus , stejně jako každý homomorfismus souřadnicových kruhů definuje pravidelné zobrazení algebraických množin (v opačném směru). Z těchto korespondencí můžeme odvodit, že kategorie algebraických množin (jejichž morfismy jsou regulární funkce) je duální s kategorií konečně generovaných k - algeber bez nilpotentů . Objev této ekvivalence byl výchozím bodem teorie obvodů.

Racionální funkce

Na rozdíl od předchozího pododdílu zde budou uvažovány pouze (neredukovatelné) algebraické variety. Na druhou stranu lze tyto definice rozšířit na projektivní odrůdy .

Jestliže V  je afinní varieta, její souřadnicový kruh je integrální , a proto má pole kvocientů . Toto pole se označuje k ( V ) a nazývá se pole racionálních funkcí na V. Definiční obor racionální funkce není nutně roven celému V , ale je roven doplňku množiny, na kterém je její jmenovatel roven nule. Podobně jako v případě regulárních funkcí je definováno racionální zobrazení mezi variety, podobně racionální zobrazení odpovídají jedna ku jedné homomorfismům polí racionálních funkcí.

O dvou afinních varietách se říká , že jsou biracionálně ekvivalentní , pokud mezi nimi existují dvě racionální zobrazení, která jsou vzájemně inverzní na svých doménách (ekvivalentně jsou racionální funkční pole těchto variet izomorfní).

Afinní varieta se nazývá racionální varieta , pokud je biracionálně ekvivalentní afinnímu prostoru. Jinými slovy, dá se racionálně parametrizovat. Například jednotková kružnice je racionální křivka , protože existují funkce

specifikováním racionálního zobrazení z úsečky na kružnici lze ověřit, že inverzní zobrazení je také racionální (viz také Stereografická projekce ).

Schémata

V pozdních padesátých létech, Alexander Grothendieck dal definici schématu , zevšeobecňovat ponětí o algebraické rozmanitosti. Afinní schéma je spektrum nějakého kruhu (v klasické algebraické geometrii polynomiální kruhy) spolu se svazkem kruhů na něm (každá otevřená množina je spojena s racionálními funkcemi definovanými v každém bodě množiny). Afinní schémata tvoří kategorii, která je duální ke kategorii komutativních kruhů , což rozšiřuje dualitu algebraických množin a algeber bez nilpotentů. Obecná schémata jsou výsledkem slepení několika afinních schémat (jako topologické prostory s topologií Zariski ).

Skutečná algebraická geometrie

Reálná algebraická geometrie  je studium reálných algebraických množin, tedy reálných řešení algebraických rovnic s reálnými koeficienty a zobrazeními mezi nimi.

Poloalgebraická geometrie  je studium poloalgebraických množin, tedy množin reálných řešení algebraických rovnic a nerovnic s reálnými koeficienty, jakož i zobrazení mezi nimi.

Výpočetní algebraická geometrie

Gröbnerův základ

Gröbnerův základ je systém prvků tvořících daný ideál v polynomickém kruhu nad polem (ne nutně algebraicky uzavřeným); výpočet Gröbnerovy báze umožňuje určit některé vlastnosti algebraické množiny V definované tímto ideálem v algebraicky uzavřeném rozšíření (např. soustava rovnic s reálnými koeficienty přirozeně definuje množinu komplexních čísel vyhovujících všem rovnicím).

Informace o Gröbnerově bázi nestačí pro výpočet rozkladu dané množiny na neredukovatelné složky, nicméně existují algoritmy pro řešení tohoto problému, které ji také využívají.

V některých případech je výpočet Gröbnerovy báze poměrně obtížný: v nejhorším případě může obsahovat polynomy, jejichž stupeň závisí jako dvojitý exponent (výraz tvaru ) na počtu proměnných v polynomickém kruhu; počet základních prvků může růst stejnou rychlostí. Toto je však horní hranice složitosti a v mnoha případech lze tyto algoritmy použít pro práci s polynomiálními kruhy v několika desítkách proměnných.

Historie

Pozadí: před 19. stoletím

Známky původu algebraické geometrie lze nalézt v dílech Řeků z 5. století před naším letopočtem. E. Například problém zdvojení krychle se scvrkává na konstrukci krychle, jejíž objem se rovná objemu „krabice“ pro data a a b . Menechm interpretoval tento problém geometricky jako konstrukci průniku dvou kuželoseček : ay = x 2 a xy = ab . [3] V pozdějších dílech Archiméda a Apollonia jsou kuželosečky studovány systematičtěji, včetně použití souřadnic. Arabští matematici věděli, jak řešit určité kubické rovnice a uměli výsledky geometricky interpretovat. Perský matematik Omar Khayyam (XI. století) objevil způsob, jak vyřešit obecnou kubickou rovnici pomocí průsečíku kružnice a paraboly. [čtyři]

Francouzští matematici François Viet a později René Descartes a Pierre Fermat radikálně změnili způsob vytváření geometrických konstrukcí a vytvořili analytickou geometrii . Jejich hlavním cílem bylo studovat algebraické křivky , jako jsou křivky dané diofantinskými rovnicemi (ve Fermatově případě), kuželosečky a kubiky (v Descartově případě). Přibližně ve stejném období Pascal a Desargues přistoupili k problému z jiného úhlu a vyvinuli projektivní geometrii . Pascal a Desargues také zkoumali vlastnosti křivek, ale pouze z geometrického hlediska, za použití kružidel a přímkových konstrukcí. Nakonec nad tímto přístupem zvítězila analytická geometrie, protože poskytla matematikům 18. století specifické výpočetní nástroje k řešení fyzikálních problémů pomocí nové analýzy . Jako výsledek, koncem 18. století, použití algebraických metod v geometrii bylo redukováno k použití infinitezimálního počtu (obzvláště, to bylo aktivně používáno Eulerem a Lagrange ).

19. století

V 19. století přispěl rozvoj neeuklidovské geometrie a teorie abelovských integrálů k návratu algebraických myšlenek do geometrie. Cayley byl první, kdo vyšetřoval homogenní polynomy na projektivním prostoru , zejména kvadratické formy . Později Felix Klein studoval projektivní geometrii (stejně jako další odvětví geometrie) z toho pohledu, že geometrie prostoru je dána skupinou jeho transformací. Do konce 19. století geometrové studovali nejen projektivní lineární transformace , ale také biracionální transformace vyššího stupně.

Rozvoj teorie Abelových integrálů vedl Bernharda Riemanna k vytvoření teorie Riemannových variet. Pomocí integrálů prvního druhu K. Schwartz dokázal, že křivka připouštějící do sebe souvislou skupinu biracionálních transformací je biracionálně ekvivalentní přímé nebo eliptické křivce. Algebraickou geometrii 2. poloviny 19. století reprezentuje především italská škola od Cremony po Enriquese .

Během tohoto období začala algebraizace geometrie používat komutativní algebru: zejména David Hilbert dokázal své teorémy na základě a Nullstellensatz.

20. století

Myšlenky konstruovat algebraickou geometrii na základě komutativní algebry , která se intenzivně rozvíjela ve 30. a 40. letech 20. století , sahají k O. Zariskymu a A. Weylovi . Jedním z jejich cílů bylo dokázat výsledky italské školy: italští geometrové té doby používali ve svých důkazech pojem „společný bod“, aniž by jej nějak striktně definovali.

V 50. a 60. letech Jean-Pierre Serre a Alexander Grothendieck kompletně přepracovali základy algebraické geometrie pomocí technik z teorie svazku, teorie schémat a homologické algebry . V 70. letech se vývoj poněkud stabilizoval, byly nalezeny aplikace na teorii čísel a na klasičtější otázky v algebraické geometrii: studium singularit a modulů .

Důležitou třídou algebraických rozmanitostí, které je obtížné popsat pomocí definujících rovnic samotných, jsou abelovské rozmanitosti . Jejich hlavním příkladem jsou eliptické křivky , které mají velmi rozsáhlou teorii. Staly se nástrojem pro dokazování Fermatovy poslední věty a používají se v eliptické kryptografii .

Aplikace

Algebraická geometrie nachází uplatnění ve statistice [5] , teorii řízení [6] , robotice [7] , teorii kódů pro opravu chyb [8] a modelování [9] . Aplikace jsou také známy v teorii strun [10] , solitonové teorii [11] , teorii her [12] a teorii párování [13] .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ Hartshorne, 1981 , s. osmnáct.
  2. ↑ Hartshorne, 1981 , s. 22.
  3. ↑ Dieudonné, Jean. Historický vývoj algebraické geometrie  (anglicky)  // The American Mathematical Monthly  : journal. - 1972. - Sv. 79 , č. 8 . - S. 827-866 . - doi : 10.2307/2317664 . — .
  4. ↑ Kline, M. (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (1. díl). Oxford University Press. str. 193-195.
  5. ↑ Mathias Drton, Bernd Sturmfels, Seth Sullivant (2009), Přednášky o algebraické statistice archivované 20. února 2014 na Wayback Machine Springer, ISBN 978-3-7643-8904-8
  6. ↑ Peter L. Falb (1990), [1] Archivováno 27. června 2014 ve Wayback Machine , Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-3454-3
  7. ↑ JM Selig (205), Geometrické základy robotiky Archivováno 20. února 2014 na Wayback Machine , Springer, ISBN 978-0-387-20874-9
  8. ↑ Michael A. Tsfasman, Serge G. Vlăduț, Dmitry Nogin (2007), Algebraické geometrické kódy: základní pojmy Archivováno 20. února 2014 ve Wayback Machine , AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-4306-2
  9. ↑ Bert Jüttler, Ragni Piene (2007) Geometrické modelování a algebraická geometrie Archivováno 20. února 2014 na Wayback Machine , Springer, ISBN 978-3-540-72184-0
  10. ↑ David A. Cox, Sheldon Katz (1999) Zrcadlová symetrie a algebraická geometrie Archivováno 20. února 2014 ve Wayback Machine , AMS Bookstore, ISBN 978-0-8218-2127-5
  11. ↑ I.M. Krichever a P.G. Grinevich, Metody algebraické geometrie v teorii solitonů, Kapitola 14 teorie Soliton Archivováno 20. února 2014 ve Wayback Machine , Allan P. Fordy, Manchester University Press ND, 1990, ISBN 978-0-7190-8149
  12. ↑ Blume, L.E.; Zame, WR Algebraická geometrie dokonalé a sekvenční rovnováhy  (anglicky)  // Econometrica  : journal. - 1994. - Sv. 62 , č. 4 . - str. 783-794 . — .  (nedostupný odkaz)
  13. ↑ Richard Kenyon; Andrei Okounkov & Scott Sheffield (2003), Dimers and Amoebae, arΧiv : math-ph/0311005 [math-ph]. 

Literatura

Odkazy

  Přejděte na položku Wikidata  Slovníky a encyklopedie
 Odvětví matematiky
Portál "Věda"
Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky
Teorie čísel ( aritmetika )
  • Portál "Matematika"
  • Kategorie "Matematika"