Hyperbola (matematika)

Hyperbola ( jiné řecky ὑπερβολή , z ὑπερ - „top“ + βαλειν – „vrh“) je těžiště bodů M euklidovské roviny , pro které je absolutní hodnota rozdílu vzdáleností od M ke dvěma vybraným bodům a (tzv. ohniska ) je konstantní. Přesněji, $F_{1}$ $F_{2}$

{\bigl |}|F_{1}M|-|F_{2}M|{\bigr |}=2a,

|F_{1}F_{2}|>2a>0.

Spolu s elipsou a parabolou je hyperbola kuželosečkou a kvadrikou . Hyperbola může být definována jako kuželosečka s excentricitou větší než jedna.

Historie

Termín “hyperbola” ( Řek ὑπερβολή - přemíra) byl představen Apollonius Perga (c. 262 př.nl - c. 190 př.nl ), protože problém stavby bodu hyperboly je redukován na problém použití s přemírou.

Definice

Hyperbola může být definována několika způsoby.

Kuželosečka

Hyperbola může být definována jako množina bodů vytvořených jako výsledek řezu kruhového kužele rovinou , která odřízne obě části kužele. Jiné výsledky řezání kužele rovinou jsou parabola , elipsa a degenerované případy, jako jsou protínající se a shodné čáry a bod, které vznikají, když rovina řezu prochází vrcholem kužele. Zejména protínající se čáry lze považovat za degenerovanou hyperbolu shodující se s jejími asymptotami.

Jako těžiště bodů

Přes triky

Hyperbola může být definována jako těžiště bodů , absolutní hodnota rozdílu vzdáleností, od kterých ke dvěma daným bodům, nazývaným ohniska, je konstantní.

Pro srovnání: křivka konstantního součtu vzdáleností od kteréhokoli z jejích bodů k ohniskům je elipsa , konstantní poměr je Apolloniova kružnice , konstantní součin je Cassiniho ovál .

Prostřednictvím ředitelky a zaměření

Lokus bodů, pro které je poměr vzdálenosti k ohnisku a dané přímce, nazývaný přímka, konstantní a větší než jedna, se nazývá hyperbola. Daná konstanta se nazývá excentricita hyperboly. $\varepsilon >1$

Související definice

Hyperbola se skládá ze dvou samostatných křivek, které se nazývají větve .
Body dvou větví hyperboly nejblíže k sobě se nazývají vrcholy .
Nejkratší vzdálenost mezi dvěma větvemi hyperboly se nazývá hlavní osa hyperboly.
Střed hlavní osy se nazývá střed hyperboly.
Vzdálenost od středu hyperboly k jednomu z vrcholů se nazývá semi- hlavní osa hyperboly.
- Obvykle se označuje .
Vzdálenost od středu hyperboly k jednomu z ohnisek se nazývá ohnisková vzdálenost .
- Obvykle se označuje c .
Obě ohniska hyperboly leží na pokračování hlavní osy ve stejné vzdálenosti od středu hyperboly. Přímka obsahující hlavní osu hyperboly se nazývá skutečná nebo příčná osa hyperboly.
Přímka kolmá na skutečnou osu a procházející jejím středem se nazývá imaginární nebo konjugovaná osa hyperboly.
Úsek mezi ohniskem hyperboly a hyperbolou, kolmý k její skutečné ose, se nazývá ohniskový parametr .
Vzdálenost od ohniska k asymptotě hyperboly se nazývá parametr dopadu .
- Obvykle se označuje b .
V problémech souvisejících s pohybem těles po hyperbolických trajektoriích se vzdálenost od ohniska k nejbližšímu vrcholu hyperboly nazývá pericentrická vzdálenost .
- Obvykle se označuje . $r_{p}$

Poměry

Pro charakteristiky hyperboly definované výše existují následující vztahy

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2))$ .
$\varepsilon=c/a$ .
$b^{2}=a^{2}\left(\varepsilon ^{2}-1\right)$ .
$r_{p}=a\left(\varepsilon -1\right)$ .
$a={\frac {p}{\varepsilon ^{2}-1))$ .
${\displaystyle b={\frac {p}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-1))))$ .
$c={\frac {p\varepsilon }{\varepsilon ^{2}-1}}$ .
$p={\frac {b^{2}}{a}}$ .

Equosceles hyperbola

Hyperbola, ve které , se nazývá rovnoramenná , nebo rovnostranná . Rovnoramenná hyperbola v nějakém pravoúhlém souřadnicovém systému je popsána rovnicí $a=b$

xy=a^{2}/2,

v tomto případě jsou ohniska hyperboly umístěna v bodech ( a , a ) a ( − a , − a ). Rovnostranná hyperbola je grafem nepřímé úměrnosti dané vzorcem

y={\frac {k}{x)),\quad k\neq 0.

Excentricita takové hyperboly je . ${\sqrt {2}}$

Cypertova hyperbola

Rovnostrannou hyperbolu jako Kiepertovu hyperbolu lze definovat pomocí trojúhelníků v trilineárních souřadnicích [1] jako těžiště bodů (viz obrázek): $N$

Pokud jsou tři trojúhelníky , postavené na stranách trojúhelníku , podobné , rovnoramenné se základnami na stranách původního trojúhelníku a stejně umístěné (to znamená, že jsou všechny postaveny buď zvenčí nebo zevnitř), pak čáry a protínají se v jednom bodě .

XBC

YCA

ZAB

ABC

AX

BY

CZ

N

Pokud je společný úhel na základně , pak vrcholy tří trojúhelníků mají následující trilineární souřadnice: $\theta$

X{\big (}-\sin \theta :\sin(C+\theta ):\sin(B+\theta ){\big )},

Y{\big (}\sin(C+\theta ):-\sin \theta :\sin(A+\theta ){\big )},

Z{\big (}\sin(B+\theta ):\sin(A+\theta ):-\sin \theta {\big )}.

Rovnice

Kartézské souřadnice

Hyperbola je dána rovnicí druhého stupně v kartézských souřadnicích ( x , y ) v rovině:

A_{{xx}}x^{{2}}+2A_{{xy}}xy+A_{{yy}}y^{{2}}+2B_{{x}}x+2B_{{y}} y+C\,=\,0

kde koeficienty A xx , A xy , A yy , B x , B y a C splňují následující vztah

D={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\\A_{xy}&A_{yy}\end{vmatrix}}<0

\Delta :={\begin{vmatrix}A_{{xx}}&A_{{xy}}&B_{{x}}\\A_{{xy}}&A_{{yy}}&B_{{y}}\\ B_{{x}}&B_{{y}}&C\end{vmatrix}}\not =0.

Kanonická forma

Přesunutím středu hyperboly do počátku a jejím otočením kolem středu lze rovnici hyperboly zredukovat na kanonickou formu:

{\frac {{x}^{{2}}}{a^{{2}}}}-{\frac {{y}^{{2}}}{b^{{2}}}}= jeden

kde je skutečná poloosa hyperboly; - pomyslná poloosa hyperboly [2] . V tomto případě je výstřednost $A$ $b$

\varepsilon ={\frac {c}{a}}={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}.

Polární souřadnice

Pokud je pól v ohnisku hyperboly a vrchol hyperboly leží na pokračování polární osy, pak

r={\frac {p}{1-\varepsilon \cos \varphi }}

Pokud je pól v ohnisku hyperboly a polární osa je rovnoběžná s jednou z asymptot, pak

{\frac {1}{r}}={\frac {a}{b^{2}}}\left(1-\cos \theta \right)+{\frac {1}{b}}\sin \theta

Rovnice v parametrickém tvaru

Stejně jako lze elipsu reprezentovat parametrickými rovnicemi, které zahrnují goniometrické funkce, lze hyperbolu v pravoúhlém souřadnicovém systému, jehož střed je stejný jako její střed a osa x prochází ohnisky, reprezentovat parametrickými rovnicemi, které zahrnují hyperbolické funkce [3 ] .

${\begin{cases}x=\pm a\jméno operátora {ch} t,\\y=b\jméno operátora {sh} t,\end{cases}}\quad -\infty <t<+\infty .$

V první rovnici znaménko "+" odpovídá pravé větvi hyperboly a "−" - její levé větvi.

Vlastnosti

optická vlastnost. Světlo ze zdroje umístěného v jednom z ohnisek hyperboly se odráží druhou větví hyperboly tak, že se pokračování odražených paprsků protnou ve druhém ohnisku.
- Jinými slovy, jestliže a jsou ohniska hyperboly, pak tečna v libovolném bodě hyperboly je sečna úhlu . $F_{1}$ $F_{2}$ $X$ $\angle F_{1}XF_{2}$
Pro jakýkoli bod ležící na hyperbole je poměr vzdáleností od tohoto bodu k ohnisku ke vzdálenosti od stejného bodu k přímce konstantní.
Hyperbola má zrcadlovou symetrii kolem skutečné a imaginární osy, stejně jako rotační symetrii, když je otočena o úhel 180 ° kolem středu hyperboly.
Každá hyperbola má konjugovanou hyperbolu , pro kterou jsou skutečné a imaginární osy obráceny, ale asymptoty zůstávají stejné. Konjugovaná hyperbola není výsledkem rotace počáteční hyperboly o 90°; hyperboly se liší tvarem u . $a \neq b$
Tečný segment v každém bodě hyperboly, uzavřený mezi dvěma asymptotami hyperboly, je rozdělen tečným bodem na polovinu a odřízne trojúhelník o konstantní ploše ze dvou asymptot.

Asymptoty

Asymptotní rovnice pro hyperbolu v kanonickém tvaru

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1

vystupují následovně. Nechte _ Předpokládejme, že asymptota existuje a má tvar . Pak $x,y>0$ $y=kx+l$

k=\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac ({\frac {b }{a}}{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}{x}}=\lim _{x\to +\infty }{\frac {b}{a}}\ vlevo({\sqrt {a^{2}+x^{2}}}-x\right)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {b}{a}}\left({ \sqrt {{\frac {a^{2}}{x^{2}}}+1}}\right)={\frac {b}{a}}),

l=\lim _{x\to +\infty }\left(f(x)-kx\right)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {b}{a)) \left({\sqrt {a^{2}+x^{2}}}-x\right)=\lim _{x\to +\infty }{\frac {b}{a}}\cdot { \frac {a^{2}}{{\sqrt {a^{2}+x^{2}}}+x}}=0.

Takže rovnice dvou asymptot jsou:

$y=\pm {\frac {b}{a}}x$

nebo

{\frac {x}{a}}\pm {\frac {y}{b}}=0.

Průměry a tětivy

Průměr hyperboly, stejně jako průměr jakékoli kuželosečky, je přímka procházející středy rovnoběžných tětiv. Každý směr rovnoběžných tětiv má svůj vlastní konjugovaný průměr. Všechny průměry hyperboly procházejí jejím středem. Průměr odpovídající tětivám rovnoběžným s imaginární osou je skutečná osa; průměr odpovídající tětivám rovnoběžným se skutečnou osou je imaginární osou.

Sklon rovnoběžných tětiv a sklon odpovídajícího průměru souvisí vztahem $k$ $k_{1}$

k\cdot k_{1}=\varepsilon ^{2}-1={\frac {b^{2}}{a^{2}}}.

Jestliže průměr a půlí tětivy rovnoběžné s průměrem b , pak průměr b půlí tětivy rovnoběžné s průměrem a . Takové průměry se nazývají vzájemně konjugované . Hlavní průměry se nazývají vzájemně konjugované a vzájemně kolmé průměry. Hyperbola má pouze jeden pár hlavních průměrů, skutečnou a imaginární osu.

Tangenta a normála

Protože hyperbola je hladká křivka, v každém z jejích bodů ( x 0 , y 0 ) lze nakreslit tečnu a normálu . Rovnice tečny k hyperbole dané kanonickou rovnicí je:

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1

nebo, což je totéž,

y=y_{0}+{\frac {b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}}\left(x-x_{0}\vpravo)

Odvození tečné rovnice
Rovnice tečny libovolné rovné přímky má tvar $y-y_{0}=y'\vlevo(x_{0},y_{0}\vpravo)\cdot \left(x-x_{0}\vpravo)$ Kanonická rovnice hyperboly může být reprezentována jako dvojice funkcí $y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}$ . Pak má derivace těchto funkcí tvar $y'=\pm {\frac {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2} }}x^{2}-b^{2}}}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x}{y}}$ . Dosazením této rovnice do obecné tečné rovnice získáme $y-y_{0}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}\left(x-x_{0} \že jo)$ ${\frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}={\frac {x_{0}^{2}}{ a^{2}}}-{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1$

Odvození tečné rovnice

Rovnice tečny libovolné rovné přímky má tvar

y-y_{0}=y'\vlevo(x_{0},y_{0}\vpravo)\cdot \left(x-x_{0}\vpravo)

Kanonická rovnice hyperboly může být reprezentována jako dvojice funkcí

y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}

Pak má derivace těchto funkcí tvar

y'=\pm {\frac {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2} }}x^{2}-b^{2}}}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x}{y}}

Dosazením této rovnice do obecné tečné rovnice získáme

y-y_{0}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}\left(x-x_{0} \že jo)

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}-{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}={\frac {x_{0}^{2}}{ a^{2}}}-{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}=1

Rovnice normály k hyperbole má tvar:

y=y_{0}-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\left(x-x_{0} \že jo)

Odvození normální rovnice
Rovnice normály libovolné rovné přímky má tvar $y-y_{0}={\frac {1}{y'\left(x_{0},y_{0}\right)}}\left(x_{0}-x\right)$ . Kanonická rovnice hyperboly může být reprezentována jako dvojice funkcí $y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}$ . Pak má derivace těchto funkcí tvar $y'=\pm {\frac {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2} }}x^{2}-b^{2}}}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x}{y}}$ . Dosazením této rovnice do obecné rovnice normály získáme $y-y_{0}=-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\left(x-x_{0 }\že jo)$ .

Odvození normální rovnice

Rovnice normály libovolné rovné přímky má tvar

y-y_{0}={\frac {1}{y'\left(x_{0},y_{0}\right)}}\left(x_{0}-x\right)

Kanonická rovnice hyperboly může být reprezentována jako dvojice funkcí

y=\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}}

Pak má derivace těchto funkcí tvar

y'=\pm {\frac {{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x}{{\sqrt {{\frac {b^{2}}{a^{2} }}x^{2}-b^{2}}}}}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}{\frac {x}{y}}

Dosazením této rovnice do obecné rovnice normály získáme

y-y_{0}=-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}{\frac {y_{0}}{x_{0}}}\left(x-x_{0 }\že jo)

Zakřivení a evoluce

Zakřivení hyperboly v každém z jejích bodů ( x , y ) je určeno z výrazu:

K={\frac {ab}{\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}+{\frac {b^{2}}{a^{ 2}}}x^{2}\right)^{{3/2}}}}

Poloměr zakřivení má tedy tvar:

R={\frac 1K}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}+{\frac {b^{2}}{ a^{2}}}x^{2}\right)^{{3/2}}}{ab}}

Konkrétně v bodě ( a , 0 ) je poloměr zakřivení

R\left(a,0\right)={\frac {b^{2}}{a}}=p

Odvození vzorce pro poloměr křivosti
Vzorec pro poloměr zakřivení rovné čáry zadaný parameticky je: $R_{c}={\frac {\left(x'^{2}\ +y'^{2}\right)^{{3/2))}{\left\|x'y''-x' 'y'\right\|}}$ . Použijeme parametrickou reprezentaci hyperboly: ${\begin{cases}x=a\cdot {\mathrm {ch}}\,(t)\\y=b\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)\end{cases}}$ Pak má první derivace x a y vzhledem k t tvar ${\begin{cases}x'=a\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)={\frac {a}{b}}y\\y'=b\cdot {\mathrm {ch} }\,(t)={\frac {b}{a}}x\end{cases}}$ , a druhá derivace je ${\begin{cases}x''=a\cdot {\mathrm {ch}}\,(t)=x\\y''=b\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)=y \end{cases}}$ Dosazením těchto hodnot do vzorce pro zakřivení získáme: $R_{c}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}\ +{\frac {b^{2}}{a^ {2}}}x^{2}\right)^{{3/2}}}{\left\|a{\frac {y^{2}}{b}}-b{\frac {x^{ 2}}{a}}\right\|}}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}\ +{\frac {b ^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right)^{{3/2}}}{ab\left\|{\frac {y^{2}}{b}}- {\frac {x^{2}}{a}}\right\|}}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} \ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right)^{{3/2}}}{ab}}$ .

Odvození vzorce pro poloměr křivosti

Vzorec pro poloměr zakřivení rovné čáry zadaný parameticky je:

R_{c}={\frac {\left(x'^{2}\ +y'^{2}\right)^{{3/2))}{\left|x'y''-x' 'y'\right|}}

Použijeme parametrickou reprezentaci hyperboly:

{\begin{cases}x=a\cdot {\mathrm {ch}}\,(t)\\y=b\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)\end{cases}}

Pak má první derivace x a y vzhledem k t tvar

{\begin{cases}x'=a\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)={\frac {a}{b}}y\\y'=b\cdot {\mathrm {ch} }\,(t)={\frac {b}{a}}x\end{cases}}

a druhá derivace je

{\begin{cases}x''=a\cdot {\mathrm {ch}}\,(t)=x\\y''=b\cdot {\mathrm {sh}}\,(t)=y \end{cases}}

Dosazením těchto hodnot do vzorce pro zakřivení získáme:

R_{c}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}\ +{\frac {b^{2}}{a^ {2}}}x^{2}\right)^{{3/2}}}{\left|a{\frac {y^{2}}{b}}-b{\frac {x^{ 2}}{a}}\right|}}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2}\ +{\frac {b ^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right)^{{3/2}}}{ab\left|{\frac {y^{2}}{b}}- {\frac {x^{2}}{a}}\right|}}={\frac {\left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}y^{2} \ +{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right)^{{3/2}}}{ab}}

Souřadnice středů křivosti jsou dány dvojicí rovnic:

{\begin{cases}x_{c}={\frac {x^{3}}{a^{2}}}\left(1+{\frac {b^{2}}{a^{2} }}\right)\\y_{c}=-{\frac {y^{3}}{b^{2}}}\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{ 2}}}\vpravo)\end{cases}}

Dosazením do poslední soustavy rovnic místo x a y jejich hodnot z parametrické reprezentace hyperboly získáme dvojici rovnic definující novou křivku sestávající ze středů křivosti hyperboly. Tato křivka se nazývá evoluce hyperboly.

{\begin{cases}x=\pm a\,{\mathrm {ch))^{3}\,t\left(1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}} \right)\\y=b\,{\mathrm {sh}}^{3}\,t\left(1+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}\right) \end{cases}}

Generalizace

Hyperbola je sinusová spirála v . $n=-2$

Aplikace

Rodina konfokálních ( konfokálních ) hyperbol spolu s rodinou konfokálních elips tvoří dvourozměrný eliptický souřadnicový systém .

Jiné ortogonální dvourozměrné souřadnicové systémy postavené pomocí hyperbol lze získat pomocí jiných konformních transformací. Například transformace w = z² mapuje kartézské souřadnice do dvou rodin ortogonálních hyperbol.

Invertováním hyperboly se středem ležícím v jejím vlastním středu, v ohnisku nebo ve vrcholu, lze získat Bernoulliho lemniscate , Pascalův šnek nebo strofoid .

Hyperboly lze vidět na mnoha slunečních hodinách . Během kteréhokoli dne v roce Slunce popisuje kruh na nebeské sféře a jeho paprsky dopadající na vrchol gnómonu slunečních hodin popisují kužel světla. Průsečík tohoto kužele s rovinou vodorovných nebo svislých slunečních hodin je kuželosečka . V nejlidnatějších zeměpisných šířkách a po většinu roku je tato kuželosečka hyperbolou. Sluneční hodiny často ukazují linie popsané stínem z vrcholu gnómonu během dne po několik dní v roce (například dny letního a zimního slunovratu), takže často ukazují určité hyperboly, jejichž vzhled je odlišný pro různé dny v roce a různé zeměpisné šířky. .

AMS , překonávající přitažlivost hlavního tělesa, které jej ovlivňuje a letící daleko od něj, bez rušení, by se měl pohybovat po hyperbolické trajektorii nebo parabolické trajektorii , protože v tomto případě je teoreticky možné vzdálit se od tohoto tělesa do nekonečna. [4] . Zejména trajektorie AMS „ Voyager-1 “ a AMS „ Voyager-2 “ jsou hyperbolické vzhledem ke Slunci s excentricitami 3,7 a 6,3 a hlavními polosami 480,9 milionu km a 601,1 milionu km [5 ] [6] . Hyperbolická dráha nebeského tělesa ve sluneční soustavě může naznačovat jeho mezihvězdný původ. Koncem roku 2010 byl objeven první mezihvězdný asteroid a první mezihvězdná kometa [7] , jejich trajektorie jsou hyperbolické. Dříve známé komety s hyperbolickou trajektorií malé excentricity se však stanou pouze mezihvězdnými: poté, co během svého „života“ ve Sluneční soustavě zažily poruchu z planety jako Jupiter , spadají na mezihvězdný kurz [8] .

Viz také

Hyperboloidní
Hyperboly opsané kolem trojúhelníku
Žíravý
Kuželosečky
Křivka druhého řádu
Kruh
Parabola
Elipsa
Křivka konstantního součtu vzdáleností mezi dvěma body je elipsa ,
Křivka konstantního rozdílu ve vzdálenostech mezi dvěma body je hyperbola,
Křivka konstantního vztahu je Apolloniova kružnice ,
Křivka konstantního produktu je Cassiniho ovál .
Vyhlazený osmiúhelník § Konstrukce

Poznámky

↑ Eddy, RH a Fritsch, R. Kuželosečky Ludwiga Kieperta: Komplexní lekce z geometrie trojúhelníku. Matematika. Mag. 67, str. 188-205, 1994.
↑ Schneider V.E. Krátký kurz vyšší matematiky . — Ripol Classic. — ISBN 9785458255349 .
↑ Pogorelov A.V. Geometrie . - M .: Nauka , 1983. - S. 15 -16. — 288 s.
↑ Sikharulidze Yu.G. Balistika letadel. - M .: Nauka , 1982. - S. 162-163. - 5750 výtisků.
↑ Voyager - Hyperbolické orbitální prvky . NASA . Získáno 29. října 2019. Archivováno z originálu 6. května 2021. (neurčitý)
↑ Ulivi P., Harland DM Robotický průzkum sluneční soustavy. I. díl: Zlatý věk 1957-1982 . - Springer, Praxis, 2007. - S. 441. - ISBN 978-0-387-49326-8 . Obsahuje excentricitu oběžné dráhy Voyageru 2 vzhledem ke Slunci po průletu Neptunu .
↑ Pojmenování nového mezihvězdného návštěvníka: 2I/Borisov . MAC (24. září 2019). Získáno 24. září 2019. Archivováno z originálu 23. dubna 2020. (neurčitý)
↑ Carl Sagan , Ann Druyan. kometa . - New York: Ballantine Books, 1997. - S. 104. - ISBN 0-345-41222-2 .

Literatura

Bronstein I. Hyperbole // Kvant . - 1975. - č. 3 .
Grave D. A. Hyperbolas // Encyklopedický slovník Brockhause a Efrona : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
Matematická encyklopedie (v 5 svazcích). M.: Sovětská encyklopedie , 1982.
Markushevich AI Pozoruhodné křivky // Populární přednášky o matematice . - Gostekhizdat, 1952. - Vydání. 4 . Archivováno z originálu 14. září 2008.

Slovníky a encyklopedie	Velký sovět (1 ed.) Brockhaus a Efron Britannica (11.) Britannica (online)
V bibliografických katalozích	GND : 4161034-9 NKC : ph973163

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius

Kuželosečky
Hlavní typy	Elipsa Hyperbola Parabola
Degenerovat	Tečka Rovný Dvojice rovných čar
Zvláštní případ elipsy	Kruh
Geometrické konstrukce	kuželosečka Pampeliškové kuličky Steinerův design
viz také	Kuželová konstanta
Matematika • Geometrie