Délka křivky

Délka křivky (nebo, co je totéž, délka oblouku křivky ) je číselnou charakteristikou délky této křivky [1] . Historicky se výpočet délky křivky nazýval rovnání křivky (z latinského rectificatio , rovnání).

Definice

Pro euklidovský prostor je délka segmentu křivky definována jako nejmenší horní hranice délek přerušovaných čar vepsaných do křivky.

Nechť je například parametricky zadána spojitá křivka v trojrozměrném prostoru: $\gamma$

x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)

(jeden)

kde jsou všechny tři funkce spojité a neexistuje více bodů, to znamená, že různé body křivky odpovídají různým hodnotám. Všechny možné dělení parametrického intervalu sestrojíme na segmenty: . Spojením bodů křivky s úsečkami vznikne přerušovaná čára. Pak je délka segmentu křivky definována jako nejmenší horní mez celkových délek všech takto přerušovaných čar [2] . $a\leqslant t\leqslant b$ $t$ $[a,b]$ $m$ $a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{m}=b$ $\gamma (t_{0}),\tečky ,\gamma (t_{m})$

Související definice

Každá křivka má délku, konečnou nebo nekonečnou. Pokud je délka křivky konečná, pak se o křivce říká, že je rektifikovatelná , jinak je nerektifikovatelná . Kochova sněhová vločka je klasickým příkladem ohraničené, ale nerektifikovatelné křivky; navíc každý, libovolně malý jeho oblouk je nerektifikovatelný [3] .
Parametrizace křivky délkou jejího oblouku se nazývá přirozená .
Křivka je speciální případ funkce ze segmentu do prostoru. Variace funkce , definovaná v matematické analýze, je zobecněním délky křivky (viz níže).

Vlastnosti

Pokud jsou všechny funkce v (1) funkcemi ohraničené variace , pak délka křivky existuje a je konečná.

V matematické analýze je odvozen vzorec pro výpočet délky úseku křivky dané rovnicí (1), za předpokladu, že všechny tři funkce jsou spojitě diferencovatelné : $s$

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{x'}^{2}(t)+{y'}^{2}(t)+{z'}^{2} (t)}}\,dt

(2)

Ze vzorce vyplývá, že délka se také počítá ve směru rostoucího parametru t . Pokud jsou uvažovány dva různé směry počítání délky od bodu křivky, pak je často vhodné přiřadit oblouku v jednom z těchto směrů znaménko mínus.

a\leqslant b

V n - rozměrném případě máme místo (2) podobný vzorec:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\sum \limits _{{k=1}}^{n}{f'_{k}}^{2}(t)} }\,dt

Pokud je rovinná křivka dána rovnicí , kde je hladká funkce na intervalu hodnot parametrů , pak je délka křivky určena vzorcem: $y=f(x),$ $F$ $[a,b]$

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2))}\,dx.

V polárních souřadnicích :

(r,\varphi )

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}}}\, d\varphi .

Croftonův vzorec umožňuje vztáhnout délku křivky na rovině a integrál počtu jejích průsečíků s úsečkami v přirozené míře na prostoru úseček.

Historie

Problém narovnání se ukázal být mnohem obtížnější než výpočet plochy a v dávných dobách se jediné úspěšné narovnání provádělo pro kruh . Descartes dokonce vyslovil názor, že „ vztah mezi přímkami a křivkami je neznámý a myslím, že ho ani lidé nemohou poznat “ [4] [5] .

Prvním úspěchem bylo narovnání Neilovy paraboly ( 1657 ), které provedli Fermat a Neil sám . Brzy byla nalezena délka oblouku cykloidy ( Renne , Huygens ). James Gregory (ještě před objevem kalkulu ) vytvořil obecnou teorii pro zjištění délky oblouku, která byla okamžitě použita pro různé křivky.

Variace a zobecnění

Riemannův prostor

V n - rozměrném Riemannově prostoru se souřadnicemi je křivka dána parametrickými rovnicemi: $x^{1}\cdots x^{n}$

x^{i}=x^{i}(t)\qquad \qquad

((3))

Délka křivky v Riemannově prostoru je dána vztahem:

s=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{{ij}}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt}}}\,dt

kde: je metrický tenzor . Příklad: křivka na ploše v . $g_{ij}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Obecný metrický prostor

V obecnějším případě libovolného metrického prostoru je délka křivky variací mapování definující křivku, to znamená, že délka křivky je určena podle vzorce: $(X,\rho)$ $S$ $\gamma :[a,b]\to X$

s=\sup \sum \limits _{{k=0}}^{m}\rho (\gamma (x_{{k+1}}),\gamma (x_{k})),

kde horní hranice je převzata, jako dříve, přes všechny oddíly segmentu . $a=x_{0}<x_{1}<\tečky <x_{m}=b$ $[a,b]$

Viz také

Poznámky

↑ Délka // Matematická encyklopedie (v 5 svazcích) . - M . : Sovětská encyklopedie , 1982. - T. 2.
↑ Shibinsky, 2007 , str. 199.
↑ Shibinsky, 2007 , str. 201-202.
↑ René Descartes. Geometrie. S aplikací vybraných děl P. Fermata a korespondence Descartes / Překlad, poznámky a články A. P. Juškeviče . - M. - L .: Gostekhizdat , 1938. - S. 49. - 297 s. - (Klasika přírodních věd).
^ Původní francouzská citace : „la proporce qui est entre les droites et les courbes n'étant pas connue, et même, je crois, ne le pouvant être par les hommes“, viz Descartes, René. Discours de la method... . - 1637. - S. 340.

Literatura

Korn G., Korn T. Příručka matematiky (pro výzkumníky a inženýry) . — M .: Nauka, 1973.
Merzon G. A., Yashchenko I. V. Délka, plocha, objem. - MTSNMO, 2011. - ISBN 9785940577409 .
Fikhtengol'ts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu ve třech svazcích. - Ed. 6. — M .: Nauka, 1966.
Shibinsky VM Příklady a protipříklady v průběhu matematické analýzy. Tutorial. - M . : Vyšší škola, 2007. - 543 s. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Křivky

Definice

Transformováno

Nerovinné

Plochá
algebraika

Kuželosečky

3. řád ( kubický )

Eliptický	Eliptická křivka Jacobiho eliptické funkce Eliptický integrál Eliptické funkce
jiný	Verziera Agnesi Kartézský list Maclaurinův trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Semikubická parabola Trojzubec Cissoid of Diocles

4. řádu

Lemniscates

Přiblížení

Spline
beziers

Cykloidní

jiný

Pokřivená farma

Ploché
transcendentální

Spirály	Archimedov Farma Galilee Hyperbolický "Hůlka" Zlatý klotoidní logaritmický sinusový
Cykloidní	trochoidní Cykloidní Epitrochoidní Epicykloida Hypotrochoidní Hypocykloidní Kvazitrochoidní "Růže" quadrifolium Rychlý sestup (brachistochronní, cykloidní oblouk)
jiný	Quadratrix kochleoidní Honit traktor trochoidní řetězová linka obráceně klenutý konstantní šířka sinusoida Ribokura Super formule Superelipsa Reuleauxův trojúhelník polygon Lissajousovy postavy

fraktál

Jednoduchý	Gilbert Gosper dračí křivka Koch Levy Minkowski Peano Sierpinsky
topologické	Ubrousek Sierpinski Koberec Sierpinski Houba Menger kruhový fraktál Koberec Apollonius