Maxwellovy rovnice

Maxwellovy rovnice jsou soustavou rovnic v diferenciální nebo integrální formě, které popisují elektromagnetické pole a jeho vztah k elektrickým nábojům a proudům ve vakuu a spojitých médiích . Spolu s výrazem pro Lorentzovu sílu, který specifikuje míru vlivu elektromagnetického pole na nabité částice, tvoří tyto rovnice kompletní systém rovnic klasické elektrodynamiky , někdy nazývaný Maxwell-Lorentzovy rovnice. Rovnice formulované Jamesem Clerkem Maxwellem na základě experimentálních výsledků nashromážděných do poloviny 19. století hrály klíčovou roli ve vývoji koncepcí teoretické fyziky a měly silný, často rozhodující vliv nejen na všechny oblasti fyziky. přímo související s elektromagnetismem , ale také na mnoha následně vzniklých fundamentálních teoriích, jejichž předmět nebyl redukován na elektromagnetismus (jedním z nejjasnějších příkladů je zde speciální teorie relativity ).

Historie

Rovnice formulované Jamesem Clerkem Maxwellem vzešly z řady důležitých experimentálních objevů, které byly učiněny na počátku 19. století . V roce 1820 Hans Christian Oersted objevil [1] , že galvanický proud procházející drátem způsobuje odchylku magnetické střelky kompasu. Tento objev přitáhl širokou pozornost vědců té doby. Ve stejném roce 1820 Biot a Savart experimentálně našli výraz [2] pro magnetickou indukci generovanou proudem ( Biot-Savartův zákon ) a André Marie Ampère také objevil, že mezi dvěma vodiči dochází k vzájemnému působení na určitou vzdálenost. proud prochází. Ampere zavedl termín „ elektrodynamický “ a předložil hypotézu, že přirozený magnetismus je spojen s existencí kruhových proudů v magnetu [3] .

Vliv proudu na magnet, který objevil Oersted, přivedl Michaela Faradaye k myšlence, že musí existovat inverzní vliv magnetu na proudy. Po zdlouhavých experimentech v roce 1831 Faraday zjistil, že pohyb magnetu v blízkosti vodiče vytváří elektrický proud ve vodiči . Tento jev se nazývá elektromagnetická indukce . Faraday představil koncept " pole sil " - určité médium umístěné mezi náboji a proudy . Jeho argumenty byly kvalitativní povahy, ale měly obrovský dopad na Maxwellův výzkum.

Po Faradayových objevech vyšlo najevo, že staré modely elektromagnetismu ( Ampère , Poisson atd.) byly neúplné. Brzy se objevila Weberova teorie , založená na akci na dlouhé vzdálenosti . V této době se však veškerá fyzika, kromě teorie gravitace , zabývala pouze působením na krátkou vzdálenost (optika, termodynamika, mechanika kontinua atd.). Gauss , Riemann a řada dalších vědců spekulovali, že světlo má elektromagnetickou povahu, takže teorie elektromagnetických jevů by měla být také založena na interakci krátkého dosahu. Tento princip se stal základním rysem Maxwellovy teorie.

Ve svém slavném „Pojednání o elektřině a magnetismu“ ( 1873 ) Maxwell napsal [4] :

Když jsem začal studovat Faradayovu práci, zjistil jsem, že jeho metoda chápání jevů byla také matematická, i když nebyla zastoupena ve formě běžných matematických symbolů. Zjistil jsem také, že tuto metodu lze vyjádřit běžnou matematickou formou a porovnat ji tak s metodami profesionálních matematiků.

Nahrazením Faradayova termínu „pole sil“ pojmem „síla pole“ z něj Maxwell učinil klíčový předmět své teorie [5] :

Pokud toto prostředí přijmeme jako hypotézu, domnívám se, že by mělo v našich studiích zaujímat přední místo a že bychom se měli pokusit vytvořit racionální představu o všech detailech jeho fungování, což bylo mým stálým cílem v tomto pojednání.

Takové elektrodynamické médium bylo pro newtonovskou fyziku absolutně novým konceptem. Ten studoval interakci mezi tělesy a hmotou. Na druhou stranu Maxwell sepsal rovnice, kterým se musí médium řídit, což určuje interakci nábojů a proudů a existuje i v jejich nepřítomnosti.

Analýzou známých experimentů získal Maxwell systém rovnic pro elektrická a magnetická pole. V roce 1855, ve svém úplně prvním článku „ On Faraday's Lines of Force“ [6] („On Faraday's Lines of Force“ [7] ), poprvé sepsal soustavu rovnic elektrodynamiky v diferenciální formě, ale bez uvedení výchylky. zatím aktuální . Takový systém rovnic popisoval všechna do té doby známá experimentální data, ale neumožňoval vzájemně vztáhnout náboje a proudy a předpovídat elektromagnetické vlny [8] . Poprvé byl posuvný proud představen Maxwellem v práci „ On Physical Lines of Force“ [9] („On Physical Lines of Force“ [10] ), sestávající ze čtyř částí a publikované v letech 1861-1862. Zobecněním Ampérova zákona zavádí Maxwell posuvný proud , pravděpodobně proto, aby dal do souvislosti proudy a náboje rovnicí kontinuity , která již byla známa pro jiné fyzikální veličiny [8] . V důsledku toho byla v tomto článku vlastně dokončena formulace úplného systému rovnic elektrodynamiky. V článku z roku 1864 „ A dynamical theory of the electromagnetic field“ [ 12] byl uvažován dříve formulovaný systém rovnic 20 rovnic pro 20 neznámých. V tomto článku Maxwell poprvé formuloval koncept elektromagnetického pole jako fyzikální reality, která má svou vlastní energii a konečnou dobu šíření, která určuje zpožděnou povahu elektromagnetické interakce [8] .

Ukázalo se, že nejen proud, ale také elektrické pole , které se mění s časem (výtlakový proud), vytváří magnetické pole . Podle Faradayova zákona měnící se magnetické pole opět generuje elektrické. V důsledku toho se elektromagnetická vlna může šířit prázdným prostorem . Z Maxwellových rovnic vyplynulo, že jeho rychlost je rovna rychlosti světla , takže Maxwell dospěl k závěru o elektromagnetické povaze světla.

Někteří fyzici se postavili proti Maxwellově teorii (zejména koncept posuvného proudu vyvolal mnoho námitek). Helmholtz navrhl svou teorii, kompromis ve vztahu k modelům Webera a Maxwella, a pověřil svého studenta Heinricha Hertze , aby provedl její experimentální ověření. Hertzovy experimenty však jednoznačně potvrdily Maxwellovu správnost.

Maxwell nepoužíval vektorovou notaci a psal své rovnice v poněkud těžkopádné komponentové formě. Ve svém pojednání [13] částečně použil i kvaternionovou formulaci. Moderní forma Maxwellových rovnic se objevila kolem roku 1884 po práci Heavisidea , Hertze a Gibbse . Nejenže přepsali Maxwellův systém ve vektorové podobě, ale také jej symetrizovali, přeformulovali z hlediska pole, zbavili se elektrických a magnetických potenciálů, které hrály významnou roli v Maxwellově teorii, protože věřili, že tyto funkce jsou pouze zbytečnými pomocnými funkcemi. matematické abstrakce [14] . Je zajímavé, že moderní fyzika podporuje Maxwella, ale nesdílí negativní postoj jeho raných následovníků k potenciálům. Elektromagnetický potenciál hraje důležitou roli v kvantové fyzice a objevuje se jako fyzikálně měřitelná veličina v některých experimentech, např. u Aharonov-Bohmova jevu [15] .

Systém rovnic ve formulaci Hertzovy a Heavisideovy rovnice se nějakou dobu nazýval Hertz-Heaviside rovnice [16] . Einstein ve svém klasickém článku „O elektrodynamice pohybujících se těles“ [17] je nazval Maxwell-Hertzovy rovnice. Někdy se v literatuře vyskytuje také název Maxwell-Heaviside rovnice [18] .

Maxwellovy rovnice hrály důležitou roli při vzniku speciální teorie relativity (SRT). Joseph Larmor ( 1900 ) [19] a nezávisle na něm Henrik Lorenz ( 1904 ) [20] našli transformace souřadnic, času a elektromagnetických polí, které ponechávají Maxwellovy rovnice invariantní při přechodu z jedné inerciální vztažné soustavy do druhé. Tyto transformace se lišily od galileovských transformací klasické mechaniky a na návrh Henriho Poincarého [21] se staly známými jako Lorentzovy transformace . Staly se matematickým základem speciální teorie relativity .

Šíření elektromagnetických vln rychlostí světla bylo původně interpretováno jako poruchy nějakého prostředí, tzv. éteru [22] . Byly učiněny četné pokusy (viz historická recenze ) detekovat pohyb Země vzhledem k éteru, ale vždy dávaly negativní výsledek. [~ 1] Henri Poincaré proto vyslovil hypotézu o zásadní nemožnosti detekovat takový pohyb ( princip relativity ). Vlastní také postulát o nezávislosti rychlosti světla na rychlosti jeho zdroje a závěr (spolu s Lorentzem), založený na takto formulovaném principu relativity, přesnou podobu Lorentzových transformací (vlastnosti grupy z těchto transformací byly také ukázány). Tyto dvě hypotézy (postuláty) tvořily základ článku Alberta Einsteina ( 1905 ) [17] . S jejich pomocí odvodil i Lorentzovy transformace a schválil jejich obecný fyzikální význam, přičemž zdůraznil zejména možnost jejich aplikace pro přechod z libovolné inerciální vztažné soustavy do jakékoli jiné inerciální. Tato práce ve skutečnosti poznamenala konstrukci speciální teorie relativity. V SRT Lorentzovy transformace odrážejí obecné vlastnosti prostoru a času a model éteru se ukazuje jako zbytečný. Elektromagnetická pole jsou nezávislé objekty, které existují na stejné úrovni jako hmotné částice.

Klasická elektrodynamika založená na Maxwellových rovnicích je základem mnoha aplikací v elektrotechnice a radiotechnice, mikrovlnné troubě a optice. Zatím nebyl nalezen žádný efekt, který by vyžadoval úpravu rovnic. Ukazují se také jako použitelné v kvantové mechanice, kdy se uvažuje pohyb např. nabitých částic ve vnějších elektromagnetických polích. Proto jsou Maxwellovy rovnice základem mikroskopického popisu elektromagnetických vlastností hmoty.

Maxwellovy rovnice jsou také žádané v astrofyzice a kosmologii, protože mnoho planet a hvězd má magnetické pole. Magnetické pole určuje zejména vlastnosti objektů, jako jsou pulsary a kvasary .

Na současné úrovni chápání jsou všechny základní částice kvantovými excitacemi ("kvanta") různých polí. Například foton je kvantem elektromagnetického pole a elektron je kvantem spinorového pole [23] . Proto je polní přístup navržený Faradayem a významně vyvinutý Maxwellem základem moderní fyziky základních částic, včetně jejího standardního modelu .

Historicky, o něco dříve, sehrál důležitou roli ve vzniku kvantové mechaniky při formulaci Schrödingera a obecně v objevu kvantových rovnic popisujících pohyb částic, včetně relativistických ( Klein-Gordonova rovnice , Diracova rovnice ) , i když zpočátku zde byla analogie s Maxwellovými rovnicemi vnímána spíše jen v obecné představě, později se ukázalo, že ji lze chápat jako konkrétnější a podrobnější (jak je popsáno výše).

Také přístup pole, obecně sahající až k Faradayovi a Maxwellovi, se stal ústředním bodem teorie gravitace (včetně obecné relativity ).

Záznam Maxwellových rovnic a jednotek

Psaní většiny rovnic ve fyzice nezávisí na volbě systému jednotek . To však není případ elektrodynamiky. V závislosti na volbě soustavy jednotek se v Maxwellových rovnicích objevují různé koeficienty (konstanty). Mezinárodní systém jednotek (SI) je standardem ve strojírenství a výuce, spory mezi fyziky o jeho výhodách a nevýhodách ve srovnání s konkurenčním systémem jednotek ČGS však neutichají [24] ; zde a všude níže znamená CGS výhradně symetrický Gaussův systém CGS. Výhodou systému CGS v elektrodynamice je, že všechna pole v něm mají stejný rozměr a rovnice jsou podle mnoha vědců psány jednodušším a přirozenějším způsobem [25] . Proto se GHS nadále používá ve vědeckých publikacích o elektrodynamice a ve výuce teoretické fyziky, například v kurzu teoretické fyziky od Landaua a Lifshitze . Pro praktické aplikace jsou však jednotky měření zavedené do GHS, z nichž mnohé jsou nepojmenované a nejednoznačné, často nepohodlné. Systém SI je standardizovaný a lépe soběstačný, na tomto systému je postavena veškerá moderní metrologie [26] . Systém SI se navíc běžně používá v kurzech obecné fyziky. V tomto ohledu jsou všechny vztahy, pokud jsou v soustavách SI a ČGS zapsány odlišně, dále uvedeny ve dvou verzích.

Někdy (například v některých částech Feynmanových přednášek o fyzice , stejně jako v moderní kvantové teorii pole) se používá systém jednotek, ve kterém se rychlost světla, elektrické a magnetické konstanty berou jako jednotky: . V takovém systému jsou Maxwellovy rovnice psány zcela bez koeficientů, všechna pole mají jeden rozměr a všechny potenciály mají svůj vlastní. Takový systém je zvláště vhodný v kovariantní čtyřrozměrné formulaci zákonů elektrodynamiky z hlediska 4-potenciálu a 4-tenzoru elektromagnetického pole . $c=\varepsilon _{0}=\mu _{0}=1$

Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru

Maxwellovy rovnice jsou soustavou čtyř rovnic ve vektorové notaci, která redukuje v reprezentaci složek na osm (dvě vektorové rovnice obsahují tři složky každá plus dvě skalární [~ 2] ) lineární parciální diferenciální rovnice prvního řádu pro 12 složek čtyř vektorových a pseudovektorové funkce ( ): $\mathbf {D} ,\;\mathbf {E} ,\;\mathbf {H} ,\;\mathbf {B}$

název	GHS [~3]	SI	Přibližný verbální projev
Gaussův zákon	$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$	Elektrický náboj je zdrojem elektrické indukce.
Gaussův zákon pro magnetické pole	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	Nebyly detekovány žádné magnetické náboje. [~4]
Faradayův indukční zákon	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$	Změna magnetické indukce vytváří vírové elektrické pole. [~4]
Věta o cirkulaci magnetického pole	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} } {\částečné t))$	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))$	Elektrický proud a změna elektrické indukce vytváří vírové magnetické pole

V následujícím textu jsou tučným písmem označeny vektorové a pseudovektorové veličiny, kurzíva označuje skalární veličiny .

Zavedena označení:

$\rho\$ - objemová hustota elektrického náboje třetí strany (v jednotkách SI - C / m ³ );
$\mathbf {j}$ - hustota elektrického proudu (hustota vodivostního proudu) (v jednotkách SI - A / m²); v nejjednodušším případě, v případě proudu generovaného jedním typem nosičů náboje , je vyjádřen jednoduše jako ] ; v obecném případě musí být tento výraz zprůměrován pro různé typy médií; $\mathbf {j} =\mathbf {u} \rho _{1}$ $\mathbf {u}$ $\rho_{1}$ $\rho$
$C$ - rychlost světla ve vakuu (299 792 458 m / s );
$\mathbf {E}$ - intenzita elektrického pole (v jednotkách SI - V / m);
$\mathbf {H}$ — síla magnetického pole (v jednotkách SI — A/m);
$\mathbf {D}$ - elektrická indukce (v jednotkách SI - C / m²);
$\mathbf {B}$ - magnetická indukce (v jednotkách SI - Tl \ u003d Wb / m² \ u003d kg • s −2 • A −1 );
$\nabla$ je diferenciální operátor nabla , zatímco: $\nabla \times \mathbf {E} \equiv \mathrm {rot} \,\mathbf {E}$ znamená rotor vektoru , $\mathbf {E}$ $\nabla \cdot \mathbf {E} \equiv \mathrm {div} \,\mathbf {E}$ znamená divergenci vektoru . $\mathbf {E}$

Výše uvedené Maxwellovy rovnice ještě nepředstavují úplný systém rovnic elektromagnetického pole , protože neobsahují vlastnosti prostředí, ve kterém je elektromagnetické pole vybuzeno . Vztahy spojující veličiny , , a a beroucí v úvahu jednotlivé vlastnosti prostředí se nazývají konstitutivní rovnice . $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {j}$

Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru

Pomocí Ostrogradského-Gaussova vzorce a Stokesovy věty lze Maxwellovým diferenciálním rovnicím dát tvar integrálních rovnic :

název	GHS	SI	Přibližný verbální projev
Gaussův zákon	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =4\pi Q$	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =Q$	Tok elektrické indukce uzavřeným povrchem je úměrný množství volného náboje v objemu ohraničeném tímto povrchem.
Gaussův zákon pro magnetické pole	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0$	$\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0$	Tok magnetické indukce uzavřeným povrchem je nulový (magnetické náboje nebyly detekovány [~ 4] ).
Faradayův indukční zákon	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =$ $-{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s}$	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =$ $-{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s}$	Změna toku magnetické indukce procházející otevřenou plochou , braná s opačným znaménkem, je úměrná cirkulaci elektrického pole na uzavřeném obrysu , který je hranicí plochy [~ 4] . $s$ $l$ $s$
Věta o cirkulaci magnetického pole	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =$ ${\frac {4\pi }{c}}I+{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s}$	$\oint \limits _{\mathbf {l} }\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =$ $I+{\frac {d}{dt}}\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s}$	Celkový elektrický proud volných nábojů a změna toku elektrické indukce otevřeným povrchem jsou úměrné cirkulaci magnetického pole na uzavřeném obrysu , který je hranicí povrchu . $s$ $l$ $s$

Zavedena označení:

$s\$ - dvourozměrná uzavřená plocha v případě Gaussovy věty omezující objem a otevřená plocha v případě Faradayova a Ampere-Maxwellova zákona (její hranicí je uzavřený obrys ). $proti\$ $l\$
$Q=\int \limits _{v}\rho \,dv\$ - elektrický náboj uzavřený v objemu ohraničeném povrchem (v jednotkách SI - C ); $proti\$ $s\$
$I=\int \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} \$ - elektrický proud procházející povrchem (v jednotkách SI - A ). $s\$

Při integraci přes uzavřený povrch směřuje vektor plošného prvku směrem ven z objemu. Orientace při integraci přes otevřenou plochu je určena směrem pravého šroubu , který se "zašroubuje" při otáčení ve směru obcházení obrysového integrálu přes . $d\mathbf {s}$ $d\mathbf {s}$ $d\mathbf {l}$

Slovní popis Maxwellových zákonů, například Faradayův zákon, nese otisk tradice, protože nejprve byl při řízené změně magnetického toku zaznamenán výskyt elektrického pole (přesněji elektromotorické síly ). V obecném případě jsou v Maxwellových rovnicích (v diferenciálním i integrálním tvaru) vektorové funkce stejné neznámé veličiny určené jako výsledek řešení rovnic. $\mathbf {E} ,\mathbf {B} ,\mathbf {D} ,\mathbf {H}$

Lorentzova síla

Při řešení Maxwellových rovnic se rozložení nábojů a proudů často považuje za dané. S přihlédnutím k okrajovým podmínkám a materiálovým rovnicím nám to umožňuje určit sílu elektrického pole a magnetickou indukci , které zase určují sílu působící na zkušební náboj pohybující se rychlostí . Tato síla se nazývá Lorentzova síla : $\rho$ $\mathbf {j}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $q$ $\mathbf {u}$

GHS	SI
$\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]$	$\mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +q\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]$

Elektrická složka síly směřuje rovnoběžně s elektrickým polem a magnetická složka je kolmá na rychlost náboje a magnetickou indukci. První výraz pro sílu působící na náboj v magnetickém poli (elektrická složka byla známa) získal v roce 1889 Heaviside [27] [28] tři roky před Hendrikem Lorentzem , který výraz pro tuto sílu odvodil v roce 1892 .

Ve složitějších situacích klasické a kvantové fyziky , v případě, kdy se působením elektromagnetických polí pohybují volné náboje a mění hodnoty polí, je nutné řešit samostatně konzistentní systém Maxwellových rovnic a pohybových rovnic. včetně Lorentzových sil. Získání exaktního analytického řešení takto kompletního systému je obvykle spojeno s velkými obtížemi. Důležitým příkladem takového systému rovnic pro samokonzistentní pole jsou Vlasov-Maxwellovy rovnice popisující dynamiku plazmatu .

Rozměrové konstanty v Maxwellových rovnicích

V Gaussově systému jednotek CGS mají všechna pole stejný rozměr a v Maxwellových rovnicích se objevuje jediná základní konstanta , která má rozměr rychlosti, který se nyní nazývá rychlost světla (byla to rovnost této konstanty rychlost šíření světla, která dala Maxwellovi základy pro hypotézu elektromagnetické povahy světla [29] ). $C$

V soustavě jednotek SI je pro srovnání elektrické indukce a intenzity elektrického pole ve vakuu zavedena elektrická konstanta ( ). Magnetická konstanta je stejný faktor úměrnosti pro magnetické pole ve vakuu ( ). Názvy elektrická konstanta a magnetická konstanta jsou nyní standardizovány. Dříve se pro tyto veličiny používaly i názvy elektrická (dielektrická) a magnetická permeabilita vakua, respektive [30] [31] . $\varepsilon_{0}$ $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E}$ $\mu_{0}$ $\mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H}$

Rychlost elektromagnetického záření ve vakuu ( rychlost světla ) v SI se objevuje v odvození vlnové rovnice :

c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0))))

V soustavě jednotek SI je rychlost světla ve vakuu určena jako přesná rozměrová konstanta a magnetická konstanta po změně v letech 2018–2019 je experimentálně zjištěná veličina. Jejich prostřednictvím je vyjádřena elektrická konstanta . $C$ $\mu_{0}$ $\varepsilon_{0}$

Hodnoty [32] rychlosti světla , elektrické a magnetické konstanty jsou uvedeny v tabulce:

Symbol	název	Číselná hodnota	jednotky SI
$C$	Konstantní rychlost světla	$299\;792\;458$ (přesně tak)	m / s
$\mu_{0}$	Magnetická konstanta	$1{,}256\;637\times 10^{-6}$	H /m
$\varepsilon _{0}=1/(\mu _{0}c^{2})$	Elektrická konstanta	$8{,}854\;188\times 10^{-12}$	f /m

Někdy se zavádí veličina nazývaná „ impedance vakuové vlny“ nebo „ impedance vakua“ :

Z_{0}={\sqrt {\frac {\mu _{0}}{\varepsilon _{0}}}}=\mu _{0}c\cca 120\pi

Ohm .

v systému GHS . Tato hodnota má význam poměru amplitud sil elektrického a magnetického pole rovinné elektromagnetické vlny ve vakuu . Této veličině však nelze přisuzovat fyzikální význam vlnového odporu, protože ve stejném systému CGS se jeho rozměr neshoduje s rozměrem odporu [33] . $Z_{0}=1$

Maxwellovy rovnice v médiu

Pro získání úplné soustavy rovnic elektrodynamiky je nutné do soustavy Maxwellových rovnic přidat konstitutivní rovnice, které vztahují veličiny , , , , , ve kterých jsou zohledněny jednotlivé vlastnosti prostředí. Způsob získání materiálových rovnic je dán molekulárními teoriemi polarizace , magnetizace a elektrické vodivosti prostředí s využitím idealizovaných modelů prostředí. Aplikováním na ně rovnic klasické nebo kvantové mechaniky , stejně jako metod statistické fyziky , je možné vytvořit spojení mezi vektory , , na jedné straně a , na straně druhé. $\mathbf {j}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\mathbf {j}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {D}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

Související poplatky a proudy

Když je na dielektrický materiál aplikováno elektrické pole , každá z jeho molekul se změní na mikroskopický dipól . Kladná jádra atomů jsou v tomto případě mírně posunuta ve směru pole a elektronové obaly v opačném směru. Molekuly některých látek mají navíc zpočátku dipólový moment. Dipólové molekuly mají tendenci se orientovat ve směru pole. Tento efekt se nazývá dielektrická polarizace . Takový posun vázaných nábojů molekul v objemu je ekvivalentní vzhledu nějaké distribuce nábojů na povrchu, ačkoli všechny molekuly zapojené do procesu polarizace zůstávají neutrální (viz obrázek).

Podobně magnetická polarizace ( magnetizace ) nastává v materiálech, ve kterých jejich atomy a molekuly mají magnetické momenty , které souvisejí se spinem a orbitálním momentem jader a elektronů. Úhlová hybnost atomů může být reprezentována jako kruhové proudy. Na hranici materiálu je souhrn takových mikroskopických proudů ekvivalentní makroskopickým proudům cirkulujícím po povrchu, přestože k pohybu nábojů v jednotlivých magnetických dipólech dochází pouze v mikroměřítku (vázané proudy).

Uvažované modely ukazují, že ačkoli vnější elektromagnetické pole působí na jednotlivé atomy a molekuly, jeho chování lze v mnoha případech uvažovat zjednodušeně v makroskopickém měřítku, ignorujíc detaily mikroskopického obrazu.

V prostředí vnější elektrická a magnetická pole způsobují polarizaci a magnetizaci látky, které jsou makroskopicky popsány polarizačním vektorem a magnetizačním vektorem látky a jsou způsobeny výskytem vázaných nábojů a proudů . V důsledku toho se pole v médiu ukáže jako součet vnějších polí a polí způsobených vázanými náboji a proudy. $\mathbf {P}$ $\mathbf {M}$ $\rho _{b}\$ $\mathbf {j} _{b}$

GHS	SI
$\rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$ $\mathbf {j} _{b}=c\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t))$	$\rho _{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P}$ $\mathbf {j} _{b}=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t))$

Polarizace a magnetizace látky souvisí s vektory intenzity a indukce elektrického a magnetického pole pomocí následujících vztahů: $\mathbf {P}$ $\mathbf {M}$

GHS	SI
$\mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P}$ $\mathbf {B} =\mathbf {H} +4\pi \mathbf {M}$	$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$ $\mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )$

Vyjádřením vektorů a pomocí , , a , tedy můžeme získat matematicky ekvivalentní systém Maxwellových rovnic: $\mathbf {D}$ $\mathbf {H}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\rho _{b}\$ $\mathbf {j} _{b}$

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi [\rho _{f}+\rho _{b}]$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}[\rho _{f}+\rho _{b}]$
$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$
$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}[\mathbf {j} _{b}+\mathbf {j} _{f}]+{\frac {1} {c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}[\mathbf {j} _{b}+\mathbf {j} _{f}]+{\frac {1}{c^{2} )){\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))$

Index zde označuje volné náboje a proudy. Maxwellovy rovnice v této podobě jsou zásadní v tom smyslu, že nezávisí na modelu elektromagnetického zařízení hmoty. Rozdělení nábojů a proudů na volné a vázané umožňuje „schovat se“ v , , a poté v a tedy v komplexní mikroskopické povaze elektromagnetického pole v médiu. $F\$ $\rho _{b}\$ $\mathbf {j} _{b}$ $\mathbf {P} ,\mathbf {M}$ $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$

Materiálové rovnice

Materiálové rovnice vytvářejí spojení mezi a . V tomto případě se berou v úvahu jednotlivé vlastnosti prostředí. V praxi konstitutivní rovnice obvykle používají experimentálně stanovené koeficienty (které obecně závisí na frekvenci elektromagnetického pole), které jsou shromážděny v různých referenčních knihách fyzikálních veličin [34] . $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$

Ve slabých elektromagnetických polích , která se mění relativně pomalu v prostoru a čase , v případě izotropních , neferomagnetických a neferoelektrických médií platí aproximace, ve které polarizovatelnost a magnetizace závisí lineárně na aplikovaných polích:

GHS	SI
$\mathbf {P} =\chi _{e}\mathbf {E}$ $\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H}$	$\mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E}$ $\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H} ,$

kde jsou zavedeny bezrozměrné konstanty: je dielektrická susceptibilita a je magnetická susceptibilita látky (v soustavě jednotek SI jsou tyto konstanty několikanásobně větší než v Gaussově soustavě CGS ). V souladu s tím jsou konstitutivní rovnice pro elektrické a magnetické indukce zapsány v následujícím tvaru: $\chi _{e}\$ $\chi _{m}\$ $4\pi\$

GHS	SI
$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} =(1+4\pi \chi _{e})\mathbf {E}$ $\mathbf {B} =\mu \mathbf {H} =(1+4\pi \chi _{m})\mathbf {H}$	$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\varepsilon \mathbf {E} =\varepsilon _{0}(1+\chi _{e})\mathbf {E}$ $\mathbf {B} =\mu _{0}\mu \mathbf {H} =\mu _{0}(1+\chi _{m})\mathbf {H} ,$

kde je relativní permitivita , je relativní magnetická permeabilita . Rozměrové veličiny (v jednotkách SI - F / m ) a (v jednotkách SI - H / m ) vznikající v soustavě SI se nazývají absolutní permitivita a absolutní magnetická permeabilita . $\varepsilon\$ $\mu\$ $\varepsilon _{0}\varepsilon$ $\mu _{0}\mu$

Ve vodičích existuje vztah mezi hustotou proudu a silou elektrického pole, v dobré aproximaci vyjádřené Ohmovým zákonem :

\mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} ,

kde je měrná vodivost média (v jednotkách SI — Ohm −1 • m −1 ). $\sigma$

V anizotropním prostředí , a jsou tenzory , a . V souřadnicovém systému hlavních os je lze popsat pomocí diagonálních matic . V tomto případě má vztah mezi silami pole a indukcemi různé koeficienty pro každou souřadnici. Například v soustavě SI : $\varepsilon$ $\mu$ $\sigma$ ${\klobouk {\varepsilon ))$ ${\klobouk {\mu ))$ ${\klobouk {\sigma ))$

{\begin{array}{lll}D_{x}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{xx}\,E_{x},~~~~~&D_{y}=\varepsilon _{0}\ varepsilon _{yy}\,E_{y},~~~~~&D_{z}=\varepsilon _{0}\varepsilon _{zz}\,E_{z},\\[3mm]B_{x} =\mu _{0}\mu _{xx}\,H_{x},~~~~~&B_{y}=\mu _{0}\mu _{yy}\,H_{y},~ ~~~~&B_{z}=\mu _{0}\mu _{zz}\,H_{z}.\end{array}}

Ačkoli pro širokou třídu látek platí lineární aproximace pro slabá pole s dobrou přesností, obecně vztah mezi a může být nelineární . V tomto případě nejsou permeability prostředí konstanty, ale závisí na velikosti pole v daném bodě. Navíc je v prostředích s prostorovými nebo časovými disperzemi pozorován složitější vztah mezi a . V případě prostorové disperze závisí proudy a náboje v daném bodě prostoru na velikosti pole nejen ve stejném bodě, ale i v sousedních bodech. V případě časové disperze není polarizace a magnetizace prostředí určena pouze velikostí pole v daném časovém okamžiku, ale závisí také na velikosti polí v předchozích časových okamžicích. V nejobecnějším případě nelineárních a nehomogenních prostředí s disperzí mají konstitutivní rovnice v soustavě SI integrální tvar: $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$ $\mathbf {D} ,\mathbf {H}$ $\mathbf {E} ,\mathbf {B}$

\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon _{0}\int \limits _{v}\!\int \limits _{-\infty }^{t}{\ klobouk {\chi }}_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',tt',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {E} (\mathbf { r} ',t')\,dt'd^{3}\mathbf {r} ';

\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)=\int \limits _{v}\!\int \limits _{-\infty }^{t}{\hat {\chi )) _{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',tt',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {H} (\mathbf {r} ',t' )\,dt'd^{3}\mathbf {r} '.

Podobné rovnice získáme v Gaussově systému CGS (pokud formálně nastavíme ). $\varepsilon_{0}=1$

Rovnice v izotropních a homogenních prostředích bez disperze

V izotropních a homogenních médiích bez disperze mají Maxwellovy rovnice následující podobu:

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon ))$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ $\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j} +{\frac {\varepsilon \mu }{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))$	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0}}}$ $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))$ $\nabla \times \mathbf {B} ={\mu \mu _{0}}\mathbf {j} +{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\částečný \ mathbf {E} }{\částečné t))$

V oblasti optických frekvencí se místo permitivity používá index lomu , který ukazuje rozdíl mezi rychlostí šíření monochromatické světelné vlny v prostředí a rychlostí světla ve vakuu. V tomto případě je v optické oblasti permitivita obvykle znatelně nižší než při nízkých frekvencích a magnetická permeabilita většiny optických médií je prakticky rovna jednotce. Index lomu většiny průhledných materiálů se pohybuje od 1 do 2, u některých polovodičů dosahuje hodnoty 5 [35] . Ve vakuu se permitivita i permeabilita rovnají jednotě: . $\varepsilon$ $n={\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $\varepsilon=\mu=1$

Protože Maxwellovy rovnice v lineárním prostředí jsou lineární s ohledem na pole a volné náboje a proudy , platí princip superpozice : $(\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$ $(\rho ,\mathbf {j} )$

Pokud rozložení nábojů a proudů vytvoří elektromagnetické pole se složkami , a ostatní rozložení vytvoří pole , pak se celkové pole vytvořené zdroji bude rovnat . $(\rho _{1},\mathbf {j} _{1})$ $(\mathbf {E} _{1},\mathbf {B} _{1})$ $(\rho _{2},\mathbf {j} _{2})$ $(\mathbf {E} _{2},\mathbf {B} _{2})$ $(\rho _{1}+\rho _{2},\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2})$ $(\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2},\mathbf {B} _{1}+\mathbf {B} _{2})$

Když se elektromagnetická pole šíří v lineárním prostředí bez nábojů a proudů, součet všech konkrétních řešení rovnic bude vyhovovat také Maxwellovým rovnicím.

Okrajové podmínky

V mnoha případech může být nehomogenní médium reprezentováno jako soubor po částech spojitých homogenních oblastí oddělených nekonečně tenkými hranicemi. V tomto případě je možné řešit Maxwellovy rovnice v každé oblasti a výsledná řešení „spojovat“ na hranicích. Zejména při úvahách o řešení v konečném objemu je nutné vzít v úvahu podmínky na hranicích objemu s okolním nekonečným prostorem. Okrajové podmínky se získají z Maxwellových rovnic přechodem na limitu. K tomu je nejjednodušší použít Maxwellovy rovnice v integrálním tvaru.

Když ve druhé dvojici rovnic zvolíme integrační obrys ve formě pravoúhlého rámu nekonečně malé výšky protínajícího rozhraní mezi dvěma prostředími, můžeme získat následující vztah mezi složkami pole ve dvou oblastech sousedících s hranicí [36] :

GHS	SI
$(\mathbf {E} _{1}-\mathbf {E} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $(\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf { j} _{s}$ ,	$(\mathbf {E} _{1}-\mathbf {E} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $(\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2})\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {j} _{s}$ ,

kde je jednotkový povrchový normálový vektor směrovaný z média ;délce 1 do média 2 a má rozměr inverzní k První okrajovou podmínku lze interpretovat jako spojitost na hranici oblastí tangenciálních složek sil elektrického pole (z druhé vyplývá, že tangenciální složky intenzity magnetického pole jsou spojité pouze za nepřítomnosti povrchových proudů na hranice). $\mathbf {n} _{1-2}$ $\mathbf {j} _{s}$

Podobně výběrem oblasti integrace v první dvojici integrálních rovnic ve formě válce s nekonečně malou výškou protínajícího rozhraní tak, aby jeho generátory byly kolmé k rozhraní, lze získat:

GHS	SI
$(\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-4\pi \rho _{s}$ , $(\mathbf {B} _{1}-\mathbf {B} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,	$(\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-\rho _{s}$ , $(\mathbf {B} _{1}-\mathbf {B} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,

kde je povrchová hustota volných nábojů (tj. nezahrnuje vázané náboje vznikající na hranici prostředí v důsledku dielektrické polarizace samotného prostředí). $\rho _{s}\$

Tyto okrajové podmínky ukazují spojitost normálové složky vektoru magnetické indukce (normální složka elektrické indukce je spojitá pouze tehdy, pokud na hranici nejsou žádné povrchové náboje).

Z rovnice kontinuity lze získat okrajovou podmínku pro proudy:

(\mathbf {j} _{1}-\mathbf {j} _{2})\cdot \mathbf {n} _{1-2}={\frac {\partial }{\partial t))\rho _{s}

Důležitým speciálním případem je rozhraní mezi dielektrikem a ideálním vodičem . Protože ideální vodič má nekonečnou vodivost, elektrické pole v něm je nulové (jinak by generovalo nekonečnou hustotu proudu). Pak v obecném případě proměnných polí z Maxwellových rovnic vyplývá, že magnetické pole ve vodiči je nulové. V důsledku toho se tangenciální složka elektrického a normálního magnetického pole na hranici s ideálním vodičem rovná nule:

GHS	SI
$\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $\mathbf {H} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} _{s}$ , $\mathbf {D} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-4\pi \rho _{s}$ , $\mathbf {B} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,	$\mathbf {E} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {0}$ , $\mathbf {H} _{1}\times \mathbf {n} _{1-2}=\mathbf {j} _{s}$ , $\mathbf {D} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=-\rho _{s}$ , $\mathbf {B} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1-2}=0$ ,

Zákony na ochranu

Maxwellovy rovnice obsahují zákony zachování náboje a energie elektromagnetického pole.

Rovnice kontinuity

Zdroje pole ( ) nelze nastavit libovolně. Aplikací divergenční operace na čtvrtou rovnici (Ampere-Maxwellův zákon) a použitím první rovnice (Gaussův zákon) můžeme získat rovnici kontinuity pro náboje a proudy: $\rho ,~\mathbf {j}$

\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t))=0.

Odvození rovnice kontinuity

Divergence od rotoru je nulová, takže pro čtvrtou Maxwellovu rovnici (Ampère–Maxwellův zákon) v soustavě SI máme:

$0=\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ]=\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\částečný \nabla \cdot \mathbf {D} }{\částečný t)) =\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t)),$

kde první rovnice je dosazena do poslední rovnosti (Gaussův zákon).

Tuto rovnici pomocí Ostrogradského-Gaussova integrálního teorému lze napsat v následujícím tvaru:

\oint \limits _{\mathbf {s} }\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} =-{\frac {d}{dt))\int \limits _{v}\rho \,dv.

Na levé straně rovnice je celkový proud protékající uzavřeným povrchem . Na pravé straně - změna s časem nabíjení uvnitř objemu . Změna vsázky uvnitř objemu je tedy možná pouze jejím přítokem nebo odtokem povrchem omezujícím objem. $s\$ $proti\$ $s\$

Rovnice kontinuity, která je ekvivalentem zákona zachování náboje, jde daleko za hranice klasické elektrodynamiky a zůstává platná i v kvantové teorii. Proto tato rovnice sama o sobě může být považována za základ elektromagnetické teorie. Pak například posuvný proud (časová derivace elektrického pole) musí být nutně přítomen v Ampérově zákoně.

Od Maxwellových rovnic pro rotory a rovnice kontinuity až po libovolné časově nezávislé funkce následujte Gaussovy zákony pro elektrická a magnetická pole.

Zákon zachování energie

Pokud vynásobíme třetí Maxwellovu rovnici v diferenciálním tvaru (Faradayův zákon) skalárně a čtvrtou (Ampere-Maxwellův zákon) a sečteme výsledky, dostaneme Poyntingovu větu : $\mathbf {H}$ $-\mathbf {E}$

\nabla \cdot \mathbf {S} +{\frac {\partial }{\partial t))\left(w_{E}+w_{H}\right)=-\mathbf {E} \mathbf {j} ,

kde

GHS	SI
$\mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {H}$ $w_{E}={\frac {1}{8\pi }}\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {D}$ $w_{H}={\frac {1}{8\pi }}\,\mathbf {H} \cdot \mathbf {B}$	$\mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H}$ $w_{E}={\frac {1}{2}}\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {D}$ $w_{H}={\frac {1}{2}}\,\mathbf {H} \cdot \mathbf {B}$

Odvození Poyntingovy věty

Pomocí třetí a čtvrté Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru v soustavě SI můžete získat:

\mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ]=\mathbf {E} \mathbf {j} +\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{ \partial t)),~~~~~~~~~~~~~\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]=-\mathbf {H} \cdot {\frac { \partial \mathbf {B} }{\partial t}}.

Rozdíl levých stran rovnic je složen podle následujícího vzorce vektorové analýzy (derivát součinu):

$\nabla \cdot [\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]=\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]-\mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ].$

V lineárních, ale možná neizotropních prostředích existuje lineární vztah mezi intenzitami a indukcemi. Například pro elektrické pole . Pokud je symetrická matice nezávislá na čase, pak: $\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\,{\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E}$ ${\klobouk {\varepsilon ))$

$\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t))=\varepsilon _{0}\,\mathbf {E} \cdot {\hat {\varepsilon ))\ cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t))={\frac {\varepsilon _{0)){2))\,{\frac {\partial (\mathbf {E} \ cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial (\mathbf {E} \cdot \ mathbf {D} )}{\částečné t}}.$

Podobně pro magnetické pole.

Vektor se nazývá Poyntingův vektor (vektor hustoty toku elektromagnetické energie) a určuje množství elektromagnetické energie přenesené přes jednotku plochy za jednotku času. Integrál Poyntingova vektoru nad úsekem šířící se vlny určuje jeho sílu. Je důležité poznamenat, že, jak poprvé poukázal Heaviside , pouze irotační část Poyntingova vektoru má fyzický význam toku energie. Vírová část, jejíž divergence je rovna nule, není spojena s přenosem energie. Všimněte si, že Heaviside odvodil výraz pro zákon zachování nezávisle na Poyntingovi . V ruskojazyčné literatuře se Poyntingův vektor často nazývá také " Umov - Poyntingův vektor ". $\mathbf {S}$

Veličiny a určují objemové hustoty energie elektrického a magnetického pole. Při absenci proudů a souvisejících ztrát je Poyntingova věta rovnicí kontinuity pro energii elektromagnetického pole. V tomto případě, integrací přes nějaký uzavřený objem a pomocí Ostrogradského-Gaussova teorému , můžeme získat zákon zachování energie pro elektromagnetické pole: $my}\$ $w_{H}\$

\oint \limits _{s}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {s} +{\frac {d}{dt))\int \limits _{v}(w_{E}+w_ {H})\,dv=0.

Tato rovnice ukazuje, že při absenci vnitřních ztrát dochází ke změně energie elektromagnetického pole v objemu pouze v důsledku výkonu elektromagnetického záření přeneseného přes hranici tohoto objemu.

Poyntingův vektor souvisí s hybností elektromagnetického pole [37] :

\mathbf {p} ={\frac {1}{c^{2}}}\int \mathbf {S} \,dv,

kde se integrace provádí přes celý prostor. Elektromagnetická vlna, která je pohlcena nebo odražena od určitého povrchu, na něj předává část své hybnosti, která se projevuje ve formě světelného tlaku . Tento efekt byl poprvé experimentálně pozorován PN Lebeděvem v roce 1899 .

Potenciály

Skalární a vektorové potenciály

Faradayův zákon a Gaussův zákon pro magnetickou indukci jsou splněny shodně, pokud jsou elektrická a magnetická pole vyjádřena pomocí skalárního a vektorového potenciálu [38] : $\varphi$ $\mathbf {A}$

GHS	SI
$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {1}{c))\,{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$	$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

Důkaz

Protože podle Gaussova zákona je divergence indukce magnetického pole nulová, pak podle Helmholtzovy věty existuje takové vektorové pole , že pak stočení vektoru (v systému CGS ) nebo vektoru (v Soustava SI ) splňuje podmínku Například v soustavě SI dostaneme: $\mathbf {B}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .$ $\mathbf {E} '=\mathbf {E} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$ $\mathbf {E} '=\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))$ $\nabla \times \mathbf {E} '=0.$

\nabla \times \mathbf {E'} =\nabla \times \left(\mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right)=\nabla \times \mathbf {E} +\nabla \times {\frac {\částečný \mathbf {A} }{\částečný t))=\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\částečný }{\částečný t ))\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))+{\frac {\partial \mathbf {B} } {\částečné t))=0.

Z podmínky, že rotor je roven nule, podle Helmholtzovy věty vyplývá, že existuje skalární funkce taková , že $\varphi ,$ $\mathbf {E} '=-\nabla \varphi .$

Reverzní substituce funguje podobným způsobem. Pokud jsou elektrická a magnetická pole vyjádřena pomocí skalárních a vektorových potenciálů podle výše uvedených vzorců, pak je divergence indukce magnetického pole automaticky rovna nule: $\varphi$ $\mathbf {A}$

\nabla \cdot \mathbf {B} =\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {A} ]=[\nabla \times \nabla ]\cdot \mathbf {A} =0.

Pro sílu elektrického pole bude automaticky splněn Faradayův zákon. Například v soustavě SI dostaneme: $\mathbf {E}$

\nabla \times \mathbf {E} =\nabla \times \left(-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t))\right)=-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}).

Pro dané elektrické a magnetické pole jsou skalární a vektorové potenciály definovány nejednoznačně. Pokud je libovolná funkce souřadnic a času, pak následující transformace nezmění hodnotu polí: $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\psi\$

GHS	SI
$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$ $\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \psi }{\partial t}}$	$\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi$ $\varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\částečné \psi }{\částečné t)).$

Takové transformace hrají důležitou roli v kvantové elektrodynamice a jsou základem místní kalibrační symetrie elektromagnetické interakce. Lokální kalibrační symetrie zavádí do fáze globální kalibrační symetrie závislost na souřadnicích a čase, což podle Noetherova teorému vede k zákonu zachování náboje .

Nejednoznačnost definice potenciálů se ukazuje jako vhodná pro uložení dalších podmínek, které se nazývají měřidlo . Díky tomu nabývají rovnice elektrodynamiky jednodušší podoby. Uvažujme např. Maxwellovy rovnice v homogenních a izotropních prostředích s dielektrickou ( ) a magnetickou ( ) permeabilitou. Pro data a je vždy možné zvolit funkci tak, aby byla splněna podmínka Lorentzova měřidla [39] : $\varepsilon$ $\mu\$ $\varphi$ $\mathbf {A}$ $F$

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {\varepsilon \mu }{c))\,{\frac {\partial \varphi }{\partial t))=0$	$\nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}\,{\frac {\partial \varphi }{\partial t))=0.$

V tomto případě lze zbývající Maxwellovy rovnice v homogenních a izotropních prostředích zapsat v následujícím tvaru:

GHS	SI
$\čtverec \varphi =-4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon ))$ $\čtverec \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j}$	$\square \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0}}}$ $\čtverec \mathbf {A} =-\mu \mu _{0}\,\mathbf {j} ,$

kde je d'Alembertův operátor , který má v systému ČGS i v systému SI tvar: $\náměstí$

\čtverec =\Delta -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\částečný ^{2}}{\částečný t^{2}}}.

Tak lze 8 Maxwellových rovnic (rovnice prvního řádu) pro složky elektromagnetického pole (2 vektorové a 2 skalární) redukovat na 4 rovnice, ale již druhého řádu (skalární pro a vektor pro ) pomocí potenciálů. . Řešení těchto rovnic pro libovolně se pohybující bodový náboj nazýváme Lienard-Wiechertovy potenciály [40] . $\varphi$ $\mathbf {A}$

Je možné zavést další kalibrace. Takže pro řešení řady problémů se Coulombovo měřidlo ukazuje jako vhodné :

\nabla \cdot \mathbf {A} =0

V tomto případě:

GHS	SI
$\Delta \varphi =-4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon }}$ $\čtverec \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j} _{\bot }$	$\Delta \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon _{0))}$ $\čtverec \mathbf {A} =-\mu \mu _{0}\,\mathbf {j} _{\bot },$

kde je solenoidová část proudu ( ). $\mathbf {j} _{\bot }$ $\nabla \mathbf {\cdot } {j}_{\bot }=0$

První rovnice popisuje okamžité (bez zpoždění) působení Coulombovy síly, protože Coulombovo měřidlo není při Lorentzových transformacích invariantní. V tomto případě lze energii Coulombovy interakce oddělit od ostatních interakcí, což usnadňuje kvantování pole v hamiltonovském formalismu [41] .

Vektorový potenciál hraje důležitou roli v elektrodynamice a kvantové teorii pole, nicméně pro studium procesů šíření elektromagnetických vln v nepřítomnosti proudů a nábojů jeho zavedení často nevede ke zjednodušení systému, ale dochází k jednoduché nahrazení vektorů elektrického a magnetického pole jiným podobným vektorem popsaným stejnými rovnicemi. Takže pro harmonická pole bude vektorový potenciál jednoduše úměrný elektrickému poli (v tomto případě může být skalární potenciál nastaven na nulu).

Hertzovy vektory

V roce 1887 navrhl Heinrich Hertz místo přímého řešení Maxwellových rovnic pro dvě vektorové funkce elektrických a magnetických polí nebo skalární a vektorové potenciály přejít k nové jediné vektorové funkci, která nyní nese název Hertzův elektrický vektor a umožňuje případy zjednodušit řešení elektrodynamických problémů, redukovat je na řešení skalární vlnové rovnice. ${\mathbf {\Pi } }^{e}$

GHS	SI
$\varphi =-\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e},$ $\mathbf {A} ={\frac {\varepsilon \mu }{c)){\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t)),$	$\varphi =-\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e},$ $\mathbf {A} ={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t)),$
$\mathbf {E} ^{e}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e})-{\frac {\mu \varepsilon }{c^{2))}{\frac { \částečné ^{2}\mathbf {\Pi } ^{e)){\částečné t^{2))},$ $\mathbf {B} ^{e}={\frac {\mu \varepsilon }{c))\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\partial t)) .$	$\mathbf {E} ^{e}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e})-{\frac {\mu \varepsilon }{c^{2))}{\frac { \částečné ^{2}\mathbf {\Pi } ^{e)){\částečné t^{2))},$ $\mathbf {B} ^{e}={\frac {\mu \varepsilon }{c^{2))}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e)){\ částečné t}}.$

Všimněte si, že skalární a vektorové potenciály vyjádřené v podmínkách Hertzova vektoru automaticky splňují podmínku Lorentzova měřidla . Hertzův vektor bere v úvahu všechna pole spojená s volnými náboji a jejich proudy. $\varphi$ $\mathbf {A}$

Dosazením výrazů pro pole z hlediska elektrického vektoru do posledních dvou Maxwellových rovnic lze získat [42] [43] :

GHS	SI
$\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e ))}{\částečné t^{2))}=-{\frac {4\pi }{\varepsilon ))\mathbf {P} _{f},$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e)) }{\částečné t^{2))}=-{\frac {4\pi }{\varepsilon }}\left[\mathbf {P} +\mathbf {P} _{f}\right].$	$\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e ))}{\částečné t^{2))}=-{\frac {1}{\varepsilon \varepsilon _{0))}\mathbf {P} _{f},$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e)) }{\částečné t^{2))}=-{\frac {1}{\varepsilon \varepsilon _{0))}\left[\mathbf {P} +\mathbf {P} _{f}\right ].$

Zde je uveden polarizační vektor volných nábojů a proudů:

\mathbf {j} _{f}={\frac {\částečné }{\částečné t}}{\mathbf {P} }_{f},~~~~~~~~~~~~~~ ~ \rho _{f}=-\nabla \cdot {\mathbf {P} }_{f},

(v tomto případě je automaticky splněna rovnice kontinuity pro náboj).

Hertzův elektrický vektor je tedy určen vlnovými rovnicemi, na jejichž pravé straně je polarizovatelnost vlivem volných nebo volných a vázaných nábojů, tedy elektrických dipólových momentů.

V roce 1901 zavedl magnetický vektor spárovaný s elektrickým Hertzovým vektorem, který se také tradičně nazývá Hertz, italský fyzik Augusto Righi [44] .

GHS	SI
$\varphi=0,$ $\mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m},$	$\varphi=0,$ $\mathbf {A} ={\frac {1}{c}}\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m},$
$\mathbf {D} ^{m}=-{\frac {\varepsilon \mu }{c))\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{m)){\partial t} },$ $\mathbf {H} ^{m}=\nabla \times [\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m}].$	$\mathbf {D} ^{m}=-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{m)){ \partial-t}},$ $\mathbf {H} ^{m}=\nabla \times [\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m}].$

Protože pole popsaná Hertzovým magnetickým vektorem nezávisí na volných nábojích a proudech a nebyly nalezeny žádné magnetické monopóly, uspokojují potenciály Lorentzovo měřidlo v degenerované formě, tzv. Coulombovo měřidlo ( , ). $\varphi=0$ $\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

Podobně lze získat rovnice pro Hertzův magnetický potenciál tím, že dosadíme pole přes něj vyjádřená do třetí a čtvrté Maxwellovy rovnice bez proudu:

GHS	SI
$\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m ))}{\částečné t^{2))}=0,$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m)) }{\částečné t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{\mu }}\mathbf {M} .$	$\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m ))}{\částečné t^{2))}=0,$ $\Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m)) }{\částečné t^{2}}}=-{\frac {1}{\mu }}\mathbf {M} .$

Působení vnějších magnetických polí spojených s vnějšími zdroji lze vzít v úvahu analogicky s Hertzovým elektrickým vektorem zavedením dodatečné magnetické polarizace do správných částí . $\mathbf {M} _{f}$

Rozlišují se tedy dva typy elektromagnetických polí, vyjádřené pomocí Hertzových elektrických a magnetických potenciálů, a libovolné pole lze reprezentovat jako součet takových polí. Pole vyjádřená v podmínkách Hertzova elektrického vektoru se nazývají pole elektrického typu nebo příčná magnetická (TM) pole, protože magnetické pole pro ně je ortogonální ke směru Hertzova vektoru. V souladu s tím se pole vyjádřená pomocí Hertzova magnetického vektoru nazývají pole magnetického typu nebo příčná elektrická pole (TE), ve kterých je elektrické pole ortogonální ke generujícímu Hertzovu vektoru. Pole TM lze reprezentovat jako pole generovaná elektrickými dipóly rozmístěnými v prostoru a pole TE jako magnetická. Hertzovy vektorové potenciály mohou být v mnoha případech vyjádřeny pomocí skalárních potenciálů.

Debyeovy potenciály

V elektrodynamice se široce používají skalární potenciály navržené Debyem [45] .

Vlnová rovnice je systém tří spojených skalárních rovnic, které se rozkládají na tři skalární Helmholtzovy rovnice pouze v kartézském souřadnicovém systému . Pro usnadnění hledání řešení, která splňují okrajové podmínky, je žádoucí volit souřadnicové systémy, jejichž souřadnicové plochy jsou blízko nebo se shodují s hraničními plochami. Jedním z přístupů k řešení vektorové Helmholtzovy rovnice je zavedení skalárních funkcí splňujících skalární Helmholtzovu vlnovou rovnici, pomocí které lze potom vyjádřit vektorová pole [46] : $\psi$

\nabla ^{2}{\psi }+k^{2}\psi =0.

{\mathbf {M} }_{\psi }=\nabla \times ({\mathbf {f} }\psi ),

{\mathbf {N} }_{\psi }={\frac {1}{k}}\nabla \times \nabla \times ({\mathbf {f} }\psi ),

{\mathbf {L} }_{\psi }=\nabla \psi .

Zde je nějaká vektorová funkce souřadnic. Vektor popisuje potenciální část pole a může být nastaven na nulu v nepřítomnosti volných nábojů. $\mathbf {f}$ ${\mathbf {L} }_{\psi }$

Jestliže pro nějaký ortogonální souřadnicový systém existuje funkce úměrná souřadnicovému vektoru, pak libovolné vektorové pole, které splňuje vektorovou Helmholtzovu rovnici v tomto systému, lze reprezentovat jako součet vektorových funkcí úměrných vektorům a . Jak vyplývá z Maxwellových rovnic, elektrické pole úměrné k odpovídá magnetickému poli typu , a naopak. V tomto případě vektorové potenciály odpovídají Hertzovým vektorům. Protože v tomto případě pole úměrné k je kolmé k vektoru , jsou jeho složky tečné k odpovídající ploše souřadnic. Pokud se hranice v řešeném problému shodují s jednou z těchto souřadnicových ploch, pak se splnění okrajových podmínek značně zjednoduší. ${\mathbf {f} } ({\mathbf {r} })$ ${\mathbf {M} }_{\psi }$ ${\mathbf {N} }_{\psi }$ ${\mathbf {M} }_{\psi }$ ${\mathbf {N} }_{\psi }$ ${\mathbf {f} } \psi$ ${\mathbf {M} }_{\psi }$ ${\mathbf {f} }$ ${\mathbf {f} }$

Taková reprezentace je možná pouze v omezeném počtu ortogonálních souřadnicových systémů [47] . V kartézském souřadnicovém systému může jako vektor fungovat jakýkoli vektor souřadnic. Odpovídajícím řešením jsou rovinné vlny. Pro cylindrický souřadnicový systém , pro kulový . Kromě toho je takové znázornění možné v kuželovém , stejně jako ve vztahu k ose v parabolických a eliptických cylindrických souřadnicových systémech. ${\mathbf {f} }$ ${\mathbf {f} }={\mathbf {i} }_{z}$ ${\mathbf {f} }={\mathbf {r} }$ $z$

Riemann-Silberstein vektory

Zavedeme -li komplexní Riemannův - Silbersteinův vektor $\mathbf {F}$ a jeho komplexně konjugovaný vektor [48] [49] [50] : $\mathbf {F} ^{*}$

GHS	SI
$\mathbf {F} ={\frac {1}{\sqrt {8\pi }}}\left[{\sqrt {\varepsilon }}\mathbf {E} +i{\sqrt {\mu } }\mathbf {H} \right],$	$\mathbf {F} ={\frac {1}{\sqrt {2))}\left[{\sqrt {\varepsilon \varepsilon _{0))}\mathbf {E} +i{\sqrt {\mu \mu _{0}}}\mathbf {H} \right],$

pak jsou Maxwellovy rovnice redukovány na dvě:

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\sqrt {\frac {2\pi }{\varepsilon }}}\rho ,$ $\nabla \times \mathbf {F} =i{\sqrt {2\pi \mu }}\mathbf {j} +i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac { \partial \mathbf {F} }{\partial t}}.$	$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\sqrt {\frac {1}{2\varepsilon \varepsilon _{0))))\rho ,$ $\nabla \times \mathbf {F} =i{\sqrt {\frac {\mu \mu _{0}}{2}}}\mathbf {j} +i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac {\částečný \mathbf {F} }{\částečný t}}.$

Při nepřítomnosti vnějších nábojů a proudů zůstává pouze druhá rovnice (první je v tomto případě kvůli rovnosti divergence rotoru k nule automaticky splněna až do časově nezávislé složky):

$\nabla \times \mathbf {F} =i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}.$

Na rozdíl od vlnové rovnice, která se v tomto případě získává pro pole nebo potenciálové vektory, má poslední vektorová diferenciální rovnice první řád, nikoli druhý, a proto může být v některých případech snáze řešitelná.

Pro harmonické pole se závislostí je vektor vlastním vektorem operátoru rotoru: $\mathbf {F} =\mathbf {F} ^{\pm }e^{\pm i\omega t}$ $\mathbf {F}$

$\nabla \times \mathbf {F} ^{\pm }=\mp k\mathbf {F} ^{\pm }.$

Při zvolené normalizaci dává smysl komplexní amplituda elektromagnetického pole a jeho modul na druhou $\mathbf {F}$

$w=|\mathbf {F} |^{2}\equiv \mathbf {F} ^{*}\mathbf {F} =w_{E}+w_{H}$

má význam energetické hustoty pole.

Ukazující vektor :

$\mathbf {S} =-{\frac {ic}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}{\mathbf {F} }^{*}\times {\mathbf {F} }.$

Vektory a lze interpretovat jako vlnové funkce kruhově polarizovaných fotonů [49] . $\mathbf {F}$ $\mathbf {F} ^{*}$

Kovariantní formulace

Z moderního hlediska je čtyřrozměrná kovariantní formulace elektrodynamiky (a zejména zápis Maxwellových rovnic v této podobě) fyzikálně nejzákladnější.

V praxi to vede kromě explicitní kovariance k mnohem větší kompaktnosti rovnic, a tím k určité kráse a v některých případech k pohodlnosti, a organickěji a přímočařeji zahrnuje jednotu elektromagnetického pole.

Kovariantní formulací se rozumí dvě různé, ale přímo a přímo související možnosti: Lorentzova kovariantní formulace v plochém Minkowského časoprostoru a obecná kovariantní formulace pro obecný případ zakřiveného časoprostoru (standardně uvažovaného v kontextu obecná teorie relativity ). Druhá možnost se od první liší tím, že metrika časoprostoru v ní není konstantní (což může znamenat buď přítomnost gravitace, nebo jednoduše použití širší třídy souřadnic, např. odpovídajících neinerciálním soustavám odkaz) a do značné míry se snižuje o nahrazení obvyklých derivací s ohledem na čtyřrozměrné souřadnice na kovariantní derivace (ve významné části případů jde o mechanické nahrazení prvních derivací druhými). Druhá možnost mimo jiné umožňuje prozkoumat interakci elektromagnetického pole s gravitací.

Níže nejprve uvažujeme (jako jednodušší) první variantu, variantu Lorentzovy kovariantní formulace v plochém časoprostoru.

Čtyřrozměrné vektory

S kovariantním zápisem rovnic elektrodynamiky se provede přechod z trojrozměrných vektorů a skalárů na čtyřrozměrné vektory (4 vektory). Bez ohledu na soustavu jednotek jsou čtyřrozměrné souřadnice (4-vektor souřadnic, jejichž složky zahrnují časové a trojrozměrné prostorové souřadnice), derivace vzhledem k těmto souřadnicím (4-derivace) a aktuální hustota definovány jako sleduje [~ 6] :

x^{\alpha }=(ct,~\mathbf {r} )=(ct,x,y,z),

\partial _{\alpha }={\frac {\partial }{\partial x^{\alpha ))}={\Bigl (}{\frac {1}{c))\,{\frac {\partial }{\partial t)),~\nabla {\Bigr )}={\Bigl (}{\frac {1}{c))\,{\frac {\partial }{\partial t)),{\ frac {\partial }{\partial x)),{\frac {\partial }{\partial y)),{\frac {\partial }{\partial z)){\Bigr )},

j^{\alpha }=\rho {\frac {dx^{\alpha }}{dt}}=(c\rho ,~\mathbf {j} )=(c\rho ,j_{x},j_{ YJ z}).

Index 4-vektoru nabývá hodnot . Ve složkovém zápisu vektoru je na prvním místě nulová (časová) složka, pak prostorové. Například čas je a hustota náboje je . Na základě těchto definic má zákon zachování náboje v kovariantní formě následující podobu: $\alpha =0,1,2,3\$ $t=x^{0}/c\$ $\rho =j^{0}/c\$

$\partial _{\alpha }j^{\alpha }=0.$

Opakovaný index předpokládá součet od 0 do 3 ( Einsteinovo pravidlo ).

Příklad

Výše uvedená rovnice je kompaktní reprezentací rovnice kontinuity:

$\částečné _{0}j^{0}+\částečné _{1}j^{1}+\částečné _{2}j^{2}+\částečné _{3}j^{3}={\ frac {\partial \rho }{\partial t))+\nabla \mathbf {j} =0.$

Představme si 4-vektor potenciálu, který má v soustavách ČGS a SI tyto složky :

GHS	SI
$A^{\alpha }=(\varphi ,~~\mathbf {A} )$ $A_{\alpha }=(\varphi ,-\mathbf {A} )$	$A^{\alpha }=(\varphi /c,~~\mathbf {A} )$ $A_{\alpha }=(\varphi /c,-\mathbf {A} )$

V kovariantní notaci hraje roli poloha indexu 4-vektoru. Pokud je index dole, pak se takový vektor nazývá kovariantní vektor (nebo kovektor) a jeho prostorové složky mají opačné znaménko než složky 4-vektoru. Zvyšování a snižování indexů se provádí pomocí metrického tenzoru , který má ve čtyřrozměrném Minkowského prostoru diagonální tvar s podpisem: . $A_{\alpha }=g_{\alpha \beta }A^{\beta }\$ $g_{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }={\rm {úhlopříčka}} (1,-1,-1,-1)\$

Pomocí této definice 4-vektoru potenciálu lze podmínku Lorentzova měřidla v kovariantní formě zapsat následovně:

$\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0.$

Pokud je tato podmínka splněna, pak Maxwellovy rovnice pro potenciály ve vakuu za přítomnosti nábojů a proudů nabývají tvaru:

GHS	SI
$\partial ^{2}A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}\,j^{\alpha }$	$\partial ^{2}A^{\alpha }=\mu _{0}\,j^{\alpha }$ ,

kde je d'Alembertův operátor s opačným znaménkem: $\částečné ^{2}$

$\částečné ^{2}=\částečné _{\alpha }\částečné ^{\alpha }=-\čtverec ={\frac {1}{c^{2))}{\frac {\částečné ^{2} }{\částečné t^{2))}-\Delta .$

Nulová složka Maxwellových rovnic pro 4-vektor potenciálu odpovídá rovnici pro , prostorová pro . $\varphi$ $\mathbf {A}$

Tenzor elektromagnetického pole

Definujme kovariantní tenzor elektromagnetického pole pomocí derivace 4-vektoru potenciálu [51] [52] :

F_{\alpha \beta }=\částečné _{\alpha }A_{\beta }-\částečné _{\beta }A_{\alpha }.

Explicitní forma tohoto antisymetrického tenzoru ( ) může být reprezentována následovně: $F_{\alpha \beta }=-F_{\beta \alpha }\$

GHS	SI
$F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_ {y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right),$	$F_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y }\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\vpravo).$

Časové složky tenzoru jsou složeny ze složek intenzity elektrického pole a prostorových složek magnetického pole, které lze zapsat následovně: . V tenzoru elektromagnetického pole s horními indexy se mění znaménko nulových složek (tedy před složkami elektrického pole): . $F_{\alpha \beta }=(\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$ $F^{\alpha \beta }=(-\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$

Pomocí definice tenzoru elektromagnetického pole je snadné ověřit následující identitu:

\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }+\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }=0.

Lze jej přepsat do kompaktnější podoby zavedením duálního tenzoru elektromagnetického pole:

\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\tilde {F}} ^ {\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,F_{\gamma \delta },

kde je antisymetrický symbol Levi-Civita ( ). Tato rovnice je kovariančním záznamem Gaussova zákona pro magnetické pole a Faradayova zákona elektromagnetické indukce. Složky duálního tenzoru jsou získávány z tenzoru jako výsledek permutace elektrického a magnetického pole [53] : , . $\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\$ $\epsilon ^{0123}=1\$ ${\tilde {F}}_{\alpha \beta }$ $F_{\alpha \beta }$ ${\tilde {F}}_{\alpha \beta }=(\mathbf {B} ,-\mathbf {E} )$ ${\tilde {F}}^{\alpha \beta }=(-\mathbf {B} ,-\mathbf {E} )$

Kompletní systém Maxwellových rovnic v kovariantní formě má tvar:

GHS	SI
$\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0$ $\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }={\frac {4\pi }{c}}j^{\beta },$	$\partial _{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0$ $\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}\,j^{\beta }.$

Opakující se index se sčítá od 0 do 3 a 4-vektor proudu se nachází na pravé straně druhé rovnice. Nulová složka této rovnice odpovídá Gaussovu zákonu a prostorové složky odpovídají Ampère-Maxwellovu zákonu. $\alpha\$

Pomocí tenzoru elektromagnetického pole lze získat zákony transformace složek elektrického a magnetického pole měřených s ohledem na různé inerciální referenční soustavy [54] [55] :

GHS	SI
$E'_{y}=\gamma \,(E_{y}-{u \over c}\,B_{z}),~~~E'_{z}=\gamma \,(E_{z} +{u \over c}\,B_{y}),$ $B'_{y}=\gamma \,(B_{y}+{u \over c}\,E_{z}),~~~B'_{z}=\gamma \,(B_{z} -{u \over c}\,E_{y}),$	$E'_{y}=\gamma \,(E_{y}-u\,B_{z}),~~~E'_{z}=\gamma \,(E_{z}+u\,B_ {y}),$ $B'_{y}=\gamma \,(B_{y}+{u \over c^{2}}\,E_{z}),~~B'_{z}=\gamma \,(B_ {z}-{u \over c^{2}}\,E_{y}),$

kde "implementované" veličiny jsou měřeny vzhledem k referenčnímu rámci pohybujícímu se podél osy s rychlostí vzhledem k rámci, ve kterém jsou měřeny "neprimované" složky pole, a je Lorentzův faktor. Složky pole ve směru relativního pohybu inerciálních vztažných soustav zůstávají nezměněny: . $X$ $u$ $\gamma =1/{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}$ $E'_{x}=E_{x},~~B'_{x}=B_{x}$

Maxwellovy rovnice ve vakuu jsou invariantní pod Lorentzovými transformacemi . To byl jeden z impulsů pro vytvoření speciální teorie relativity .

Elektrické a magnetické pole se mění různými způsoby, když jsou osy prostorového souřadnicového systému převráceny. Elektrické pole je polární vektor a magnetické pole je axiální vektor . Je možné sestrojit dvě veličiny invariantní pomocí Lorentzových transformací:

$F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }=\mathrm {inv} ~~~~~~~~~~~~\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\alpha \beta }F_{\gamma \delta }=\mathrm {inv} .$

První invariant je skalár a druhý je pseudoskalární , to znamená, že mění své znaménko, když jsou souřadnicové osy invertovány.

Lagrangian

Akce a Lagrangián (Lagrangeova funkce) pro testovací náboj pohybující se ve vnějším elektromagnetickém poli v soustavách CGS a SI mají tvar [56] [57] : $S\$ $L\$

GHS	SI
$S=\int (-mc\,ds~-~{\frac {q}{c}}\,A_{\alpha }\,dx^{\alpha })$ $L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u^{2}} }{c^{2}}}}}+{\frac {q}{c}}\ ,\mathbf {A} \cdot \mathbf {u} -q\varphi$	$S=\int (-mc\,ds~-~q\,A_{\alpha }\,dx^{\alpha })$ $L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u^{2)) }{c^{2))))}+q\,\mathbf {A} \cdot \ mathbf {u} -q\varphi$

kde:

$m\$ je hmotnost částice (v jednotkách SI, kg);
$\mathbf {u}$ - jeho rychlost (v jednotkách SI - m / s);
$q\$ je náboj částice (v jednotkách SI - C );
$ds={\sqrt {dx_{\alpha }dx^{\alpha }}}$ - 4. interval.

Pohybové rovnice náboje pod vlivem Lorentzovy síly v kovariantní notaci mají tvar:

GHS	SI
$mc{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{ds^{2}}}={\frac {q}{c}}\,F^{\alpha \beta }\,{\ frac {dx_{\beta }}{ds}}$	$mc{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{ds^{2}}}=q\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {dx_{\beta }}{ ds}}.$

Maxwellovy rovnice jsou odvozeny z principu nejmenší akce , ve kterém jsou dynamické proměnné 4-potenciály elektromagnetického pole . Toto používá následující kovariantní výraz pro akci [57] [58] [59] : $A^{\alpha }\$

GHS	SI
$S=-{\frac {1}{16\pi c}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\,d^{4}x-{\frac {1}{c ^{2}}}\int A_{\alpha }\,j^{\alpha }\,d^{4}x$	$S=-{\frac {1}{4\mu _{0}c}}\int F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\,d^{4}x-{ \frac {1}{c}}\int A_{\alpha }\,j^{\alpha }\,d^{4}x,$

kde se provádí integrace přes invariantní 4-svazek . $d^{4}x=c\,dt\,dv$

Zápis pomocí rozdílových tvarů

Maxwellovy rovnice v kovariantní formě, podobné vektorové reprezentaci v trojrozměrném prostoru, lze zapsat v „neindexové formě“. K tomu je zavedena operace vnějšího produktu , který má vlastnost antisymetrie : . Vnější produkt umožňuje psát výrazy složené přes všechny indexy s antisymetrickými tenzory , jako je . Vznikají tak objekty zvané diferenciální formy (nebo jednoduše formy) [60] . 1-forma potenciálu pole je definována následovně (podle indexu je součet od 0 do 3): $\klín$ $\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }=-\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }$ $F_{\alpha \beta }\$ $\alpha\$

$\mathrm {A} =A_{\alpha } \mathrm {d} x^{\alpha }\ .$

Z 1-formy se pomocí operace vnější diferenciace získá 2-forma elektromagnetického pole (nebo Faradayova 2-forma): $\mathrm{d}\$

$\mathrm {F} =\mathrm {d} \,\mathrm {A} =\mathrm {d} A_{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }=\částečné _{\beta } A_{\alpha }~\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }~\ mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }.$

Operace vnější diferenciace má vlastnost , která vede ke Gaussovu zákonu pro magnetické pole a Faradayově zákonu: $\mathrm {d} ^{2}=0\$

$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =\mathrm {d} ^{2}\,\mathrm {A} ={\frac {1}{2}}\,\částečné _{\gamma }F_ {\alpha \beta }\,\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }={\frac { 1}{6))\,(\částečné _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\částečné _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\částečné _{\beta }F_{\gamma \alpha })~\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }=0.$

Pro zapsání zbývajících Maxwellových rovnic je zaveden 2-formový duál k k , nazývaný také Maxwell 2-forma [61] : $\mathrm{F}\$ $^{*}\mathrm {F} \$

$^{*}\mathrm {F} ={\frac {1}{2}}\,{\tilde {F}}_{\alpha \beta }~\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }={\frac {1}{4}}\,F^{\alpha \beta }\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta } ~\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },$

a 3-formový proud:

$^{*}\mathrm {J} =-{\frac {1}{3!}}\,j^{\alpha }\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }~\mathrm {d } x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },$

kde je absolutní antisymetrický symbol Levi-Civita ( ). Konvoluce se symbolem Levi-Civita vnějšího součinu diferenciálů se nazývá Hodgeův hvězdný operátor . $\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }\$ $\epsilon _{0123}=-1\$

V těchto zápisech mají Maxwellovy rovnice v systémech CGS a SI následující podobu [62] :

GHS	SI
$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =0,$ $\mathrm {d} ^{}\mathrm {F} ={\frac {4\pi }{c}}\,^{}\mathrm {J} ,$	$\mathrm {d} \,\mathrm {F} =0,$ $\mathrm {d} ^{}\mathrm {F} =\mu _{0}\,^{}\mathrm {J} .$

Důkaz

Abychom ukázali ekvivalenci těchto rovnic s Maxwellovými rovnicemi, je nutné je zapsat v trojrozměrném vektorovém tvaru. V tomto případě v systému CGS mají proud a Maxwell 2 tvar:

$^{*}\mathrm {J} =c\rho \mathrm {d} v-\mathbf {j} \mathrm {d} \mathbf {s} \wedge \mathrm {d} t\,c,~~~ ~~~~~~~~~~~~~^{*}\mathrm {F} =\mathbf {E} \mathrm {d} \mathbf {s} -\mathbf {B} \mathrm {d} \ mathbf {r} \wedge \mathrm {d} t\,c,$

kde je trojrozměrný objem a je vektor plochy povrchu v trojrozměrném prostoru. Protože: $\mathrm {d} v=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z$ $\mathrm {d} \mathbf {s} =(\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z,~\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x,\mathrm {d} x\ klín \mathrm {d} y)$

$\mathrm {d} ^{*}\mathrm {F} =(\nabla \mathbf {E} )\mathrm {d} v+{\Bigl (}{\frac {1}{c}}{\frac {\ částečný \mathbf {E} }{\částečný t}}-\nabla \times \mathbf {B} {\Bigr )}\mathrm {d} \mathbf {s} \wedge \mathrm {d} t\,c.$

pak, vezmeme-li v úvahu Maxwellovy rovnice v diferenciálním tvaru, dostaneme . $^{*}\mathrm {J} \$

Vezmeme-li v úvahu identitu , poslední Maxwellova rovnice, napsaná pomocí diferenciálních forem, okamžitě vede k rovnici kontinuity (zákon zachování náboje): $\mathrm {d} ^{2}=0\$

$\mathrm {d} ^{*} \mathrm {J} =0\ .$

V této podobě zůstávají Maxwellovy rovnice platné pro libovolnou 4-rozměrnou varietu, například v zakřiveném časoprostoru obecné teorie relativity . V tomto případě se navíc ve vztazích objevuje determinant metrického tenzoru . Například pro proudovou a vnější diferenciaci: $G$

$^{*}\mathrm {J} =-{\frac {1}{3!}}\,j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }~\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },~~~~~~~~ ~~~~~~\mathrm {d} ^{*}\mathrm {F} ={\frac {1}{4}}\,F_{~~;\alpha }^{\alpha \beta }{\ sqrt {-g}}\,\epsilon _{\beta \gamma \delta \eta }~\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }\wedge \mathrm {d}x^{\eta }.$

Běžná kovariantní notace v komponentách

Na libovolné 4-rozměrné varietě, tedy v obecném případě včetně časoprostoru nenulové křivosti (stejně jako libovolných čtyřrozměrných souřadnic, včetně případů neinerciálních vztažných soustav), lze elektrodynamiku formulováno v obvyklém indexovém zápisu.

V zásadě je receptem na přechod od případu nulového zakřivení časoprostoru a Lorentzových referenčních systémů v něm, podrobně popsaného výše, k obecnému případu nahrazení obvyklých derivací s ohledem na souřadnice kovariantními derivacemi s přihlédnutím k skutečnost, že metrika v tomto případě není konstantní a nemá speciální Lorentzův typ (tedy prakticky libovolný), stejně jako při integraci - například při záznamu akce - s přihlédnutím k tomu, že metrika je zahrnuto v prvku objemu (prostřednictvím faktoru – odmocnina mínus determinant metriky). ${\sqrt {-g))$

V obecné kovariantní formě mají Maxwellovy rovnice tvar: [63]

F_{\mu \nu :\sigma }+F_{\nu \sigma :\mu }+F_{\sigma \mu :\nu }=0

{\displaystyle F_{:\nu }^{\mu \nu }=4\pi J^{\mu ))

Zde znaménko ":" znamená kovariantní derivát, stejně jako znaménko "," znamená obvyklou derivaci:

{\displaystyle A_{\mu :\nu }=A_{\mu ,\nu }-\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }A_{\alpha ))

kde je Christoffelův symbol druhého typu. ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\alpha ))$

Zákon zachování elektrického náboje v obecné kovariantní formě vyplývá z . Vynásobením obou částí identitou a použitím identity najdeme . ${\displaystyle F_{:\nu }^{\mu \nu }=4\pi J^{\mu ))$ ${\sqrt {-g))$ $F_{:\nu }^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}=(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g}})_{,\nu }$ $(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g)))_{,\nu }=4\pi J^{\mu }{\sqrt {-g))$

Odtud dostáváme zákon zachování elektrického náboje v obecné kovariantní formě:

(J^{\mu }{\sqrt {-g)))_{,\mu }={\frac {1}{4\pi }}(F^{\mu \nu }{\sqrt {-g}})_{,\mu \nu }=0

Spinor formulace

Maxwellovy rovnice lze zapsat ve spinorovém tvaru:

$\partial _{\lambda {\tečka {\sigma }}}f_{\tečka {\mu }}^{\tečka {\sigma }}+\částečná _({\tečka {\mu }}\sigma }f_ {\lambda }^{\sigma }=2s_{{\tečka {\lambda }}\mu }$ ,

$\partial _{\lambda {\tečka {\sigma }}}f_{\tečka {\mu }}^{\tečka {\sigma }}-\částečná _({\tečka {\mu }}\sigma }f_ {\lambda }^{\sigma }=0$ ,

kde spinor druhé řady je určen rovnicí _ _ $F$ $f_{\lambda \mu }={\frac {1}{2}}(\částečná _{\lambda {\tečka {\sigma }}}\varphi _{\mu }^{\tečka {\sigma }} +\partial _{\mu \sigma }\varphi _{\sigma }^{\tečka {\sigma )))$ $\varphi _{\mu \nu }$ $\částečné _{\mu \nu }$ $s_{\mu \nu }$

Spektrální zobrazení

V elektrodynamice mají velký význam harmonické kmity . Tato pole mohou být reprezentována jako

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{2}}\left[{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} )e^{- i\omega t}+{\mbox{cc}}\right]=\Re [{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}],$

$\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{2}}\left[{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} )e^{- i\omega t}+{\mbox{cc}}\right]=\Re [{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}].$

kde je frekvence kmitů pole . Zápis "cc" znamená komplexní konjugaci předchozího termínu. V některých článcích není ve shodě o harmonických amplitudách použit faktor 1/2, což vede k odpovídající úpravě všech výrazů souvisejících s touto shodou. V literatuře je také běžné volit obrácené znaménko v komplexním exponentu. Zde zvažovaná varianta je v souladu s variantou přijatou v kvantové teorii v Schrödingerově reprezentaci . $\omega \$

Energetické hustoty elektrického a magnetického pole zprůměrované za dané období jsou, resp.

GHS	SI
$\mathbf {S} ={\frac {c}{16\pi }}\left[({\tilde {\mathbf {E} }}^{}}\times {\tilde {\mathbf {H} } }+{\tilde {\mathbf {E} }}\times ({\tilde {\mathbf {H} }}^{}}\right],$ $\langle w_{E}\rangle ={\frac {\tilde {\varepsilon }}{16\pi }}\,\|{\tilde {\mathbf {E} }}\|^{2},$ $\langle w_{H}\rangle ={\frac {\tilde {\mu }}{16\pi }}\,\|{\tilde {\mathbf {H} }}\|^{2}.$	$\mathbf {S} ={\frac {1}{4}}\left[{\mathbf {E} ^{}}\times {\tilde {\mathbf {H} }}+{\tilde {\mathbf {E} }}\times {{\tilde {\mathbf {H} }}^{}}\right],$ $\langle w_{E}\rangle ={\frac {\varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}\|{\tilde {\mathbf {E} }}\|^{2}}{4}},$ $\langle w_{H}\rangle ={\frac {\mu _{0}{\tilde {\mu }}\|{\tilde {\mathbf {H} }}\|^{2}}{4}}.$

Pomocí Fourierovy transformace lze harmonické oscilace použít k rozšíření polí s libovolnou časovou závislostí.

\mathbf {E} (r,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,\omega )e ^{-i\omega t}{\frac {d\omega }{2\pi )),

\mathbf {H} (r,t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!{\tilde {\mathbf {H} }} (\mathbf {r} ,\omega )e ^{-i\omega t}{\frac {d\omega }{2\pi }}.

Přechod na spektrální složky nám umožňuje zaměřit se na souřadnicovou závislost polí. Maxwellovy rovnice pro spektrální složky v homogenním prostředí pak nabývají tvaru

GHS	SI
$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {4\pi {\tilde {\rho }}}{\tilde {\varepsilon }}},$	$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {\tilde {\rho }}{\varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}}},$
$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}=0,$	$\nabla \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}=0,$
$\nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=i{\frac {\omega }{c}}{\tilde {\mathbf {B} }}),$	$\nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=i\omega {\tilde {\mathbf {B} )),$
$\nabla \times {\tilde {\mathbf {B} }}=-i{\tilde {\varepsilon }}{\tilde {\mu }}{\frac {\omega }{c}}\left[1+ i{\frac {4\pi {\tilde {\sigma }}}{\omega {\tilde {\varepsilon }}}}\right]{\tilde {\mathbf {E} }}.$	$\nabla \times {\tilde {\mathbf {B} }}=-i{\tilde {\varepsilon }}{\tilde {\mu }}{\frac {\omega }{c^{2}}}\ vlevo[1+i{\frac {\tilde {\sigma }}{\omega \varepsilon _{0}{\tilde {\varepsilon }}}}\right]{\tilde {\mathbf {E} }}.$

Dielektrická a magnetická permeabilita prostředí ve spektrálním zobrazení souvisí s citlivostí konstitutivních rovnic v integrálním zobrazení Fourierovou transformací:

GHS	SI
${\tilde {\varepsilon }}(\omega )=1+4\pi \int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{e}(\tau )e^{i\ omega\tau }d\tau ,$ ${\tilde {\mu ))(\omega )=1+4\pi \int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{m}(\tau )e^{i\ omega \tau }d\tau .$	${\tilde {\varepsilon }}(\omega )=1+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{e}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau ,$ ${\tilde {\mu ))(\omega )=1+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!\chi _{m}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau .$

Rovnice bez volných nábojů a proudů

V nepřítomnosti volných nábojů a proudů , v izotropním a homogenním prostředí bez disperze mají Maxwellovy rovnice následující tvar: $\rho =0$ $\mathbf {j} =0$

GHS	SI
$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~\nabla \cdot \mathbf {B} =0,$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t)),~~~~~~\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c)){\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t)),$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~\nabla \cdot \mathbf {B} =0,$ $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t)),~~~~~~\nabla \times \mathbf {B} ={\frac { \varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.$

Řešení těchto rovnic jsou síla elektrického pole a magnetická indukce . Dielektrická a magnetická permeabilita je určena vlastnostmi média. Pro vakuum , . $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$ $\varepsilon$ $\mu$ $\varepsilon=1$ $\mu=1$

Vlnová rovnice

Maxwellovy rovnice jsou diferenciální rovnice prvního řádu v souřadnicích a čase. Ve druhém páru však každá rovnice zahrnuje jak neznámé vektorové funkce , tak . Při absenci nábojů a proudů lze přejít k rovnicím druhého řádu, z nichž každá závisí pouze na jednom (elektrickém nebo magnetickém) poli [66] : $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

$\Delta \mathbf {E} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{ 2}}}=0,$ $\Delta \mathbf {B} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{ 2}}}=0.$

Takové rovnice se nazývají vlna .

Odvození vlnové rovnice

Když vezmeme rotor z Faradayova zákona a použijeme Ampere-Maxwellův zákon, dostaneme (v soustavě SI ):

\nabla \times [\nabla \times \mathbf {E} ]=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t))\right)=-{\frac {\partial }{\partial t))[\nabla \times \mathbf {B} ]=-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2} \mathbf {E} }{\částečné t^{2}}}.

Na druhou stranu, rozšířením dvojitého křížového produktu máme:

\nabla \times [\nabla \times \mathbf {E} ]=\nabla \,(\nabla \cdot \mathbf {E} )-\Delta \mathbf {E} =-\Delta \mathbf {E} ,

protože divergence elektrického pole ve vakuu je nulová. Porovnáním těchto dvou výrazů získáme vlnovou rovnici pro elektrické pole. Podobně se získá vlnová rovnice pro magnetické pole.

V Lorentzově měřidle je při absenci nábojů a proudů vlnová rovnice také splněna skalárním a vektorovým potenciálem:

\Delta \varphi -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2))}=0,~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta \mathbf {A} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}{\frac {\ částečný ^{2}\mathbf {A} }{\částečné t^{2))}=0.

Hodnota obsažená ve vlnových rovnicích určuje rychlost šíření elektromagnetických polí v médiu. Jeho maximální hodnoty je dosaženo ve vakuu, když a . $c/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $C$ $\varepsilon=1$ $\mu=1$

Helmholtzova rovnice

Nechť je kruhová frekvence harmonického signálu a časová závislost je zvolena jako . V nepřítomnosti elektrických nábojů v médiu má Helmholtzova rovnice tvar: $\omega$ ${\displaystyle e^{-i\omega t))$

$\Delta \mathbf {E} +k^{2}\mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta \mathbf {B } +k^{2}\mathbf {B} =0,$

kde . $k^{2}=\mu \varepsilon {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}$

Maxwellovy rovnice ve tvaru majoránky

Při studiu kvantově mechanických vlastností fotonu je vhodné znázornit Maxwellovy rovnice pro prázdnotu v Majoranově formě, která je podobná Diracově rovnici pro bezhmotnou částici. [67]

Maxwellovy rovnice v Majoranově tvaru mají tvar: [68]

i{\frac {\partial \xi }{\partial t))={\vec {s}}{\vec {p}}\xi

.. _

{\vec {p}}{\vec {\xi }}=0

i{\frac {\partial \eta }{\partial t))={\vec {s}}{\vec {p}}\eta

.. _

{\vec {p}}{\vec {\eta }}=0

Zde: , , ${\vec {\xi }}={\vec {E}}+i{\vec {H}}$ ${\vec {\eta }}={\vec {E}}-i{\vec {H}}$

${\vec {E}},{\vec {H}}$ - vektory elektrických a magnetických polí v Maxwellových rovnicích pro prázdnotu (v relativistické soustavě jednotek ):

{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=-\operatorname {rot} {\vec {E}}

.. _

\operatorname {div} {\vec {H}}=0

{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}=\operatorname {rot} {\vec {H}}

.. _

\operatorname {div} {\vec {E}}=0

${\vec {p}}=({\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {1}{i}}{ \frac {\partial }{\partial x_{2))},{\frac {1}{i)){\frac {\partial }{\partial x_{3))})$ - operátor hybnosti, - vektor s maticovými složkami: ${\vec {s))$

s_{1}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix)),

s_{2}={\begin{pmatrix}0&0&i\\0&0&0\\-i&0&0\end{pmatrix)),

s_{3}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix)),

Některá přesná řešení

Pole pohybujícího se bodového náboje

Pohybuje-li se náboj konstantní rychlostí , vzniká kolem něj magnetické pole a elektrická síla přestává být sféricky symetrická [69] : $\mathbf {u}$ $\mathbf {B}$

GHS	SI
$\mathbf {E} ={\frac {Q}{\varepsilon }}\,{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\,{\frac {1-u^{2} /c^{2}}{(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}/c^{2})^{3/2}}}$ $\mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c))\,[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]$	$\mathbf {E} ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon \varepsilon _{0}}}\,{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\,{\ frac {1-u^{2}/c^{2}}{(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}/c^{2})^{3/2 }}}$ $\mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2))}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]$

Jednotkový vektor směřuje od náboje k bodu měření intenzity pole. je modul vektoru . Pokud zavedeme úhel mezi vektory a , pak . V pevné vzdálenosti od náboje je síla elektrického pole v bodech umístěných na linii pohybu náboje minimální. Maximální hodnoty je dosaženo v rovině procházející nábojem kolmým na jeho rychlost. Magnetická indukce je díky vektorovému součinu kolmá na rychlost a elektrické pole. Protože se náboj pohybuje, v pevném bodě v prostoru se elektrické a magnetické pole mění s časem. Splňují Maxwellovy rovnice s hustotou náboje a proudu úměrnou Diracově delta funkci : $\mathbf {n} =\mathbf {r} /r$ $r$ $\mathbf {r}$ $\theta$ $\mathbf {u}$ $\mathbf {n}$ $[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}=u^{2}\sin ^{2}\theta$

\rho (\mathbf {r} )=Q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}),~~~~~~~~~~~\mathbf {j} (\mathbf {r} )=\mathbf {u} \,\rho (\mathbf {r} )

kde je aktuální poloha náboje. $\mathbf {r} _{0}$

Zkušební náboj pohybující se ve stejné vztažné soustavě je ovlivněn Lorentzovou silou . Lze jej získat pomocí Lorentzových transformací z Coulombova zákona a principu nábojové invariance [70] . V tomto smyslu je magnetické pole ze své podstaty relativistickým efektem. $q$

Pokud se bodový náboj pohybuje se zrychlením, pak pole jím vytvořené závisí nejen na rychlosti, ale také na zrychlení. Složka pole, která závisí na zrychlení, odpovídá záření elektromagnetické vlny [40] .

Rovinné elektromagnetické vlny

Předpokládejme, že intenzita elektrického pole a magnetická indukce jsou libovolné funkce následující kombinace souřadnic a času:

\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} {\Bigl (}\mathbf {n} \mathbf {r} -{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}t{\Bigr )},~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} {\Bigl (} \mathbf {n} \mathbf {r} -{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}t{\Bigr )},

kde je nějaký konstantní vektor. V tomto případě a splňte Maxwellovy rovnice při absenci nábojů a proudů, pokud mezi nimi existuje následující vztah: $\mathbf {n}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

GHS	SI
$\mathbf {B} ={\sqrt {\varepsilon \mu }}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]$	$\mathbf {B} ={\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]$

a jsou kolmé na vektor , který musí být jednotný: $\mathbf {n}$

$\mathbf {n} \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {n} \mathbf {B} =0,~~~~~~~~~ ~~~~~~\mathbf {n} ^{2}=1.$

Odvození řešení pro rovinnou vlnu

Pokud intenzita elektrického pole závisí na souřadnicích a čase ve formě jejich následující kombinace , pak pro derivaci -té složky vektoru vzhledem k -té souřadnici a času můžeme napsat: $u=\mathbf {n} \mathbf {r} -ct/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $j\$ $\mathbf {E}$ $já\$

$\nabla _{i}E_{j}={\frac {\částečné E_{j}}{\částečné r_{i}}}={\frac {dE_{j}}{du}}\,{\frac {\partial u}{\partial r_{i}}}=n_{i}E_{j},~~~~~~~~~~~~~~~{\frac {\partial E_{j} } {\partial t}}=-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}{\frac {dE_{j}}{du}},$

a podobně pro magnetickou indukci. Proto mají Maxwellovy rovnice v nepřítomnosti nábojů a proudů tvar ( systém SI ):

${\frac {d(\mathbf {n} \mathbf {E} )}{du}}=0,~~~~~~~{\frac {d(\mathbf {n} \mathbf {B} ) } {du}}=0,~~~~~~~~{\frac {d}{du}}{\bigl (}[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]-{\frac { c }{\sqrt {\varepsilon \mu }}}\mathbf {B} {\bigr )}=0,~~~~~~~~{\frac {d}{du}}{\bigl (}[ \ mathbf {n} \times \mathbf {B} ]+{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\mathbf {E} {\bigr )}=0.$

Integrací těchto vztahů a vynecháním integračních konstant, které odpovídají konstantním polím, získáme: $u$

$\mathbf {n} \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~\mathbf {n} \mathbf {B} =0,~~~~~~~~\mathbf {B} = { \frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ],~~~~~~~~~\mathbf {E} =- { \frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {B} ].$

Dosazením čtvrté rovnice do třetí dostaneme . $\mathbf {n} ^{2}=1$

Fyzikální význam řešení ve formě rovinné vlny je následující. Osu kartézského souřadnicového systému volíme tak, aby vektor směřoval podél ní. Potom elektrické a magnetické pole vlny závisí na souřadnici a čase takto: $z\$ $\mathbf {n}$ $z\$ $t\$

$\mathbf {E} (z,t)=\mathbf {E} {\Bigl (}z-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}t{\Bigr )},~~~ ~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (z,t)=\mathbf {B} {\Bigl (}z-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu } }}t{\Bigr )},$

Předpokládejme, že v počátečním okamžiku je intenzita pole libovolnou vektorovou funkcí . Časem se tato funkce posune v prostoru podél osy rychlostí . $t=0\$ $z\$ $z\$ $c/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$

V elektromagnetické vlně může být v obecném případě intenzita pole libovolná neperiodická funkce . Například řešení rovinných vln může popisovat elektromagnetický puls lokalizovaný ve směru pohybu. V rovině kolmé k se elektromagnetická pole nemění, což znamená, že v této rovině není rovinná vlna omezena a má ploché fázové čelo (proto se vlna nazývá rovina ). Protože elektrická a magnetická pole během šíření rovinné vlny zůstávají po celou dobu kolmá k vektoru , nazýváme takové vlny „příčné“ nebo „příčné“. Vektory a vzhledem k vlastnostem křížového součinu jsou také na sebe kolmé. $u=\mathbf {n} \mathbf {r} -ct/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {n}$ $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

$\kulka$ Hustoty energie elektrického a magnetického pole v rovinné vlně jsou stejné:

GHS	SI
$w_{E}=w_{H}={\frac {\varepsilon }{8\pi }}\,\mathbf {E} ^{2}$	$w_{E}=w_{H}={\frac {\varepsilon \varepsilon _{0}}{2}}\,\mathbf {E} ^{2}$

Poyntingův vektor (hustota toku energie), bez ohledu na systém jednotek, souvisí s celkovou hustotou energie takto:

$\mathbf {S} ={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}\,\mathbf {n} \,(w_{E}+w_{H}).$

Tento vztah odpovídá rovnici hybnosti a energie pro bezhmotnou částici v relativistické teorii . Rychlost v médiu je však menší než rychlost světla ve vakuu . $c/{\sqrt {\varepsilon \mu ))$ $C$

Rovinné a příčné vlny jsou matematické abstrakce. Vlivem difrakce lze skutečné vlny konečné apertury považovat za rovinné a příčné pouze v určité aproximaci.

$\kulka$ Důležitý speciální případ řešení rovinných vln nastává, když jsou intenzity polí harmonické periodické funkce. Zvolíme souřadnicovou osu podél vlnového vektoru . Potom bude vektor elektrického pole (stejně jako magnetické pole) ležet v rovině , tedy . Pokud pro každou projekci v této rovině elektrické pole periodicky osciluje, pak se taková vlna nazývá monochromatická rovinná vlna: $z$ $\mathbf {k}$ $(x,y)$ $\mathbf {E} =(E_{x},E_{y},0)$

$E_{x}=a\,\cos(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} +\phi _{1}),~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~E_{y}=b\,\cos(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} +\phi _{2}).$

Srovnání s obecným řešením rovinných vln vede k následujícímu vztahu mezi vektorem a konstantou , který se nazývá disperzní rovnice : $\mathbf {k}$ $\omega$

$\mathbf {k} =\mathbf {n} \,{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,\omega ,~~~~~~~~~~~~\mathbf { k} ^{2}={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}\,\omega ^{2}.$

V tomto případě se vektor nazývá vlnový vektor a kruhová frekvence monochromatické elektromagnetické vlny. Modul vlnového vektoru a kruhová frekvence souvisí s vlnovou délkou a frekvencí následovně: $\mathbf {k}$ $\omega$ $\lambda$ $\nu$

$k={\frac {2\pi }{\lambda )),~~~~~~~~~\omega =2\pi \nu ,~~~~~~~~~~~\lambda \nu = {\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu ))}.$

Konstanty a jsou fázové posuny a a jsou amplitudy oscilací podél každé osy. $\phi _{1}$ $\phi _{2}$ $A$ $b$

V pevném bodě prostoru ( ) vektor elektrického pole v obecném případě popisuje elipsu v rovině, proto se takové vlny nazývají elipticky polarizované . Jejich speciálním případem jsou vlny polarizované v kruhu. Degenerace elipsy do přímky odpovídá oscilacím intenzity pole podél jedné přímky v rovině . Takové vlny se nazývají lineárně polarizované. Obdobná situace je s vektorem magnetické indukce, který je vždy kolmý na intenzitu elektrického pole. $\mathbf {k} \mathbf {r} =\mathrm {const}$ $(x,y)\$ $(x,y)\$

Vztah k jiným teoriím

Maxwellovy rovnice jsou plně kompatibilní s principy speciální teorie relativity . Jsou také použitelné v mikroskopickém popisu hmoty, kdy se nabité částice řídí principy kvantové mechaniky a elektromagnetické pole zůstává klasické (ne kvantové). V tomto případě jsou kvantové objekty (například elektrony ) popsány Schrödingerovou rovnicí nebo Diracovou rovnicí , avšak potenciály elektromagnetické interakce v těchto rovnicích jsou určeny klasickými Maxwellovými rovnicemi.

Přesto existují jevy, které vyžadují důslednější sjednocení Faraday-Maxwellova přístupu pole s principy kvantové mechaniky. Provádí se metodami kvantové teorie pole v kvantové elektrodynamice . V tomto případě zůstává tvar Maxwellových rovnic (Lagrangian) nezměněn, avšak pole se stávají operátory a Maxwellovy rovnice Heisenbergovými operátorovými rovnicemi . Řešení takových rovnic vede ke vzniku nových efektů, které v klasické teorii pole chybí. Tyto účinky jsou významné zejména v následujících fyzických situacích:

Supersilná pole ( ≈1,32×10 18 V/m, kde je hmotnost elektronu , je jeho náboj, je Planckova konstanta ) - práce takového pole při Comptonově vlnové délce elektronu je řádově stejná na klidovou energii elektronu, což vede ke spontánní tvorbě páry elektron-pozitron z vakua ( Schwingerův jev ) [71] . V důsledku toho vzniká efektivní interakce fotonů, která v klasické elektrodynamice chybí, vedoucí k efektivní změně pole Lagrangian (např. v nízkoenergetické hranici pole popisuje Heisenbergův-Eulerův Lagrangian [72 ] ). $E\sim m_{e}^{2}c^{3}/e\hbar$ $mě}\$ $E\$ $\hbar$
Superslabá pole s energií , kde je frekvence pole (viz Planckův vzorec ). V tomto případě jsou patrná jednotlivá kvanta elektromagnetického pole - fotony . $\sim \hbar \omega$ $\omega \$
Popsat účinky absorpce a emise světla atomy a molekulami.
K popisu neklasických, např. komprimovaných stavů pole [73] .
Na krátké vzdálenosti, srovnatelné s Comptonovou vlnovou délkou elektronu ≈ 3,86 × 10 −13 m, kdy je např. Coulombův zákon upraven v důsledku efektů vakua . $\lambda _{e}=\hbar /m_{e}c$

Axiomatický přístup

Historicky Maxwellovy rovnice vznikly jako výsledek zobecnění různých experimentálních objevů. Z axiomatického hlediska je však lze získat pomocí následující sekvence kroků [74] :

Předpokládalo:
- Coulombův zákon (vynucené působení na zkušební náboj od stacionárního náboje ); $\mathbf {F}$ $q$ $Q$
- invariance náboje v různých inerciálních vztažných soustavách;
- princip superpozice .
Pomocí Lorentzových transformací se získá hodnota pro vektor síly působící na zkušební náboj ze strany náboje rovnoměrně se pohybující rychlostí , která se shoduje s Lorentzovou silou . $\mathbf {F}$ $\mathbf {u}$ $Q$
Divergence a zvlnění vypočtené z elektrické ( ) a magnetické ( ) složky síly dávají Maxwellovy rovnice pro bodový náboj. Na základě principu superpozice jsou napsány pro libovolné rozložení nábojů a proudů. Na závěr je postulována použitelnost těchto rovnic na zrychlený pohyb nábojů. $\mathbf {E}$ $\mathbf {B}$

Druhý přístup je založen na lagrangeovském formalismu [75] . Současně se předpokládá, že elektromagnetické pole je popsáno lineární interakcí čtyřrozměrného potenciálu se čtyřvektorovým elektrickým proudem a volný Lagrangián je úměrný invariantní konvoluci druhé mocniny tenzoru elektromagnetického pole. . ${\displaystyle A^{\alpha ))$ ${\displaystyle j^{\alpha ))$ ${\displaystyle F^{\alpha \beta ))$

V prvním i druhém přístupu se předpokládá, že principy teorie relativity jsou zavedeny . Ačkoli historicky vznikla na základě Maxwellových rovnic a druhého Einsteinova postulátu, existuje axiomatická metoda konstrukce SRT , která sahá až k pracím Ignatovského [76] , Franka a Rothe [77] a nepoužívá postulát invariance. rychlosti světla a Maxwellových rovnic.

V obou axiomatických přístupech jsou Maxwellovy rovnice získány ve vakuu za přítomnosti volných nábojů. Rozšíření těchto rovnic na elektrodynamiku spojitých médií vyžaduje další zapojení různých modelových představ o struktuře hmoty.

Jednoznačnost řešení Maxwellových rovnic

Maxwellovy rovnice jsou parciální diferenciální rovnice . K jejich řešení je tedy nutné nastavit počáteční a okrajové podmínky . Pro pevné funkce hustoty náboje a proudu pro nestacionární pole je výsledné řešení jedinečné. Tato skutečnost je formulována jako věta [78] [79] [80] :

Jsou-li síly elektrického a magnetického pole dány v počátečním časovém okamžiku v každém bodě určité oblasti prostoru a po celou dobu tangenciální (tangenciální) složky síly elektrického nebo magnetického pole na hranici tohoto oblasti jsou uvedeny , pak existuje jedinečné řešení Maxwellových rovnic. $t=0$ $proti$ $t\geq 0$ $s$

Důkaz

Nechť jsou elektrické a magnetické indukce vztaženy k intenzitě pole pomocí následujících konstitutivních rovnic:

$\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)={\hat {\varepsilon }}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),~~~ ~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\hat {\mu }}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {H } (\mathbf {r} ,t),$

kde a jsou kladně určité, symetrické, stacionární matice. Pokud za daných počátečních a okrajových podmínek existují dvě různá řešení, pak následující veličiny budou nenulové: ${\hat {\varepsilon ))(\mathbf {r} )$ ${\hat {\mu ))(\mathbf {r} )$

$\mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{2}(\mathbf {r} ,t)-\mathbf {E} _{1}(\mathbf {r} , t),~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {h} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {H} _{2}(\mathbf {r}, t)-\mathbf {H} _{1}(\mathbf {r} ,t),$

kde index udává číslo řešení. Protože jsou dány počáteční a okrajové podmínky (stejné pro obě možná řešení), pak:

$\mathbf {e} (\mathbf {r} ,0)=\mathbf {h} (\mathbf {r} ,0)=0,~~~~~~~~~~~~~~[\mathbf { e} _{\tau }(\mathbf {r} ,t)\cup \mathbf {h} _{\tau }(\mathbf {r} ,t)]{\Big |}_{s}=0 .$

První vztahy odpovídají počátečním podmínkám a druhý okrajovým podmínkám na povrchu , kde . (Index je normálová složka k povrchu a je tečnou. Podobně pro ) Dosazení funkcí a do Maxwellových rovnic pro rotory vede k následujícím rovnicím: $s$ $\mathbf {e} =\mathbf {e} _{n}+\mathbf {e} _{\tau }$ $n$ $\tau$ $\mathbf {h}$ $\mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)$ $\mathbf {h} (\mathbf {r} ,t)$

$k\,\nabla \times \mathbf {e} =-{\frac {\částečný ({\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )}{\částečný t)),~~~~~ ~~~~~~~~~~~~k\,\nabla \times \mathbf {h} ={\frac {\částečný ({\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} )}{ \partial-t}},$

kde koeficient je roven v soustavě ČGS a jednotce v soustavě SI . Pokud je jedno z diferenčních polí nebo rovno nule, pak v důsledku nulových počátečních podmínek z první nebo druhé rovnice vyplývá, že neurčité diferenční pole je rovno nule, respektive , a jedinečnost v těchto speciálních případech je prokázáno. $k$ $C$ $\mathbf {e}$ $\mathbf {h}$ $\mathbf {h}$ $\mathbf {e}$

Předpokládejme, že obě diferenční pole nejsou rovna nule. Pokud je první rovnice vynásobena a druhá rovnice a odečtena od sebe navzájem, dostaneme následující výraz: $\mathbf {h}$ $\mathbf {e}$

-2k\,\nabla \cdot (\mathbf {e} \times \mathbf {h} )={\frac {\částečný (\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon ))\cdot \mathbf { e} )}{\částečné t}}+{\frac {\částečné (\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )}{\částečné t}}).

Tento výraz lze integrovat přes objem a použít Gaussovu větu : $proti$

-2k\oint \limits _{s}[\mathbf {e} \times \mathbf {h} ]\,d\mathbf {s} ={\frac {d}{dt))\int \limits _{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )\,dv.

Složky vektorů tečné (tangenciální) k ploše nebo jsou rovny nule pro libovolné (okrajové podmínky), proto je integrál po ploše také roven nule. Tudíž: $s$ $\mathbf {e} _{\tau }$ $\mathbf {h} _{\tau }$ $t\geq 0$

{\frac {d}{dt}}\int \limits _{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )\,dv=0.

Výsledný vztah je integrován v čase. Protože v počátečním čase funkce je integrační konstanta rovna nule a pro libovolné : $t=0$ $\mathbf {e} (\mathbf {r} ,0)=\mathbf {h} (\mathbf {r} ,0)=0$ $t$

\int \limits _{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon ))\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu )) \cdot \mathbf {h} )\,dv=0.

Integrand je kladně určitý (vždy větší nebo roven nule). Integrál takové funkce je nulový pouze tehdy, je-li integrand shodně nulový. Proto kdykoli uvnitř svazku a . Řešení jsou tedy stejná. $\mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)=0$ $\mathbf {h} (\mathbf {r} ,t)=0$

Pro jednoznačnost řešení Maxwellových rovnic lze místo specifikace tangenciálních složek pole vyžadovat, aby podmínka typu impedance byla splněna na hranici

\left(\mathbf {E} _{\tau }-Z[\mathbf {n} \times \mathbf {H} ]\right){\Big |}_{s}=0,

kde je impedance zvolena tak, aby byl vyloučen příliv energie zvenčí. Tato podmínka nám umožňuje formulovat větu o jednoznačnosti i v neomezeném případě a impedanční podmínka se v nekonečnu změní na Sommerfeldovu radiační podmínku . $Z$

U procesů, které jsou v čase harmonické, je jedinečnost řešení úlohy bez počátečních podmínek zajištěna libovolně malým pohlcováním energie uvnitř objemu nebo jejím únikem povrchem (nepočítáme-li vlastní kmity na skutečných rezonančních frekvencích). $proti$ $s$

Ve stacionárních úlohách elektrostatiky a magnetostatiky je jediné řešení pro ustálená pole určeno pouze okrajovými podmínkami.

Numerické řešení Maxwellových rovnic

S rozvojem výpočetní techniky bylo možné řadu problémů elektrodynamiky řešit numerickými metodami [81] , které umožňují určit rozložení elektromagnetického pole za daných počátečních a okrajových podmínek pomocí algoritmů založených na Maxwellových rovnicích.

Hlavními metodami jsou projekční metody, ve kterých se řešení promítá na nějakou vhodnou funkční bázi, a metody diskretizační, ve kterých je oblast prostoru rozdělena na mnoho malých konečných oblastí.

V Bubnovově–Galyorkinově promítací metodě [82] je řešení okrajové úlohy uvažováno jako přibližné konečné rozšíření z hlediska bázových funkcí. Po dosazení expanze do původních rovnic s přihlédnutím k požadavku, aby výsledná nesrovnalost byla ortogonální ke zvoleným bázovým funkcím, je získána soustava lineárních rovnic pro expanzní koeficienty.

Pro počítačové výpočty se častěji používají univerzálnější metody diskretizace:

Metoda konečných prvků (MKP), která se používá k řešení široké třídy problémů, které se redukují na parciální diferenciální rovnice. V teorii elektromagnetismu se častěji používá k výpočtu úloh elektrostatiky, magnetostatiky, šíření vln a kvazistacionárních jevů [83] [84] . V metodě konečných prvků je uvažovaná oblast prostoru, ve které se hledá řešení, rozdělena na velké množství jednoduchých diskrétních prvků, obvykle, ale ne nezbytně, trojúhelníkových (ve dvourozměrném případě) nebo čtyřstěnných (ve tří- rozměrové pouzdro). Tvar a hustota prvků jsou přizpůsobeny požadavkům daného úkolu. Chování jednotlivých prvků je uvažováno jako výsledek lineární interakce sousedních uzlů dělicí mřížky při působení vnějších sil a je popsáno maticovými rovnicemi. Řešení úlohy se tak redukuje na řešení řídkých soustav velkého počtu lineárních maticových rovnic. Metoda je implementována v mnoha komerčních a svobodných softwarových balíčcích (viz článek Metoda konečných prvků ).

Metoda konečných rozdílů v časové oblasti (FDTD) pro zjištění časových a spektrálních závislostí [85] [86] byla vyvinuta speciálně pro řešení Maxwellových rovnic, ve kterých změna elektrického a magnetického pole v čase závisí na změně magnetického pole. a elektrických polí ve vesmíru, resp. V rámci této metody se oblast prostoru a časový interval podrobí jednotné diskretizaci s přiřazením počátečních podmínek. Konečné diferenční rovnice získané z Maxwellových rovnic jsou řešeny v každém následujícím okamžiku časové mřížky, dokud není dosaženo řešení úlohy v celém požadovaném časovém intervalu.

Zdroje

↑ Oersted H.K. „Experimenty související s působením elektrického konfliktu na magnetické jehle“, v knize. Amper A. M. Elektrodynamika. - M. : AN SSSR, 1954. - S. 433-439. — 492 s. - 5000 výtisků.
↑ J.-B. Biot a F. Savart , Note sur le Magnétisme de la pile de Volta Archivováno 2. listopadu 2009 na Wayback Machine . Annales Chim. Phys. - sv. 15.-str. 222-223 (1820)
↑ Mario Gliozzi. Historie fyziky. - M .: Mir, 1970. - S. 253-257. — 464 s.
↑ Maxwell J.K. Vybrané práce z teorie elektromagnetického pole. - M. : GITTL, 1952. - S. 349. - 687 s.
↑ Maxwell J.K. Vybrané práce z teorie elektromagnetického pole. - M. : GITTL, 1952. - S. 632. - 687 s.
↑ Maxwell J.K. O Faradayových silových liniích v knize. Maxwell JK Selected pracuje na teorii elektromagnetického pole. - M. : GITTL, 1952. - S. 11-88. — 687 s.
↑ Maxwell JC On Faraday's Lines of Force // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1856. - T. 10 , č. 1 . - S. 155-229 . Archivováno z originálu 17. prosince 2008.
↑ 1 2 3 Shapiro I. S. K historii objevu Maxwellových rovnic // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Ruská akademie věd , 1972. - T. 108 , č. 2 . - S. 319-333 . Archivováno z originálu 22. května 2013. (Ruština)
↑ Maxwell J.K. O fyzických siločarách v knize. Maxwell JK Selected pracuje na teorii elektromagnetického pole. - M. : GITTL, 1952. - S. 107-177. — 687 s.
↑ Maxwell JC On Physical Lines of Force // Filosofický časopis : Ser. 4. - 1861,1862. - T. 11.13 . - S. 161-175, 281-291, 338-347; 12-23, 85-95 . Archivováno z originálu 12. června 2009.
↑ Maxwell J.K. Dynamická teorie elektromagnetického pole v knize. Maxwell JK Selected pracuje na teorii elektromagnetického pole. - M. : GITTL, 1952. - S. 251-316. — 687 s.
↑ Maxwell JC Dynamická teorie elektromagnetického pole // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : journal. - 1865. - Sv. 155 . - str. 459-512 . Archivováno z originálu 28. července 2011.
↑ Maxwell JC Pojednání o elektřině a magnetismu, 1873
↑ Paul J. Nahin. Oliver Heaviside: život, práce a časy elektrického génia viktoriánské doby (anglicky) . — JHU Press, 2002. - S. 108-112. — ISBN 9780801869099 . Archivováno 1. října 2014 na Wayback Machine
↑ Aharonov, Y; Bohm, D. Význam elektromagnetických potenciálů v kvantové teorii (anglicky) // Physical Review : journal. - 1959. - Sv. 115 . - str. 485-491 . - doi : 10.1103/PhysRev.115.485 .
↑ Nahin PJ Oliver Heaviside: život, práce a časy elektrického génia viktoriánské doby Archivováno 25. září 2014 na Wayback Machine . — JHU Press. - str. 108-112. — ISBN 978-0-8018-6909-9
↑ 1 2 Einstein A. Zur Elektrodynamik bewegter Körper Ann Phys. 1905. Bd 17. S. 891 _ _ _ _ - M .: Nauka, 1965. - T. 1. - S. 7-35. - 700 s. - 32 000 výtisků.
↑ Myron Evans. Moderní nelineární optika (neopr.) . - John Wiley and Sons , 2001. - S. 240. - ISBN 9780471389316 . Archivováno 29. září 2014 na Wayback Machine
↑ Larmor J. Éter a hmota. – Cambridge. - 1900. - str. 162-193. Překlad: Larmor J. Éter a hmota v knize. Princip relativity. Sborník prací o speciální teorii relativity / Sestavil A. A. Tyapkin. - M .: Atomizdat , 1973. - S. 47-64. — 332 s.
↑ Lorentz H. A. Elektromagnetické jevy v systému pohybujícím se jakoukoli rychlostí menší než je rychlost světla. — Amst. Proč. - V. 6. - S. 809; 1904. - V. 12. - S. 986. Překlad: Lorentz G. A. Elektromagnetické jevy v systému pohybujícím se jakoukoli rychlostí menší, než je rychlost světla v knize. Princip relativity. Sborník prací o speciální teorii relativity / Sestavil A. A. Tyapkin. — M .: Atomizdat , 1973. — S. 67-86. — 332 s.
↑ Poincare H. Sur la dynainique de l'electron. — Comptes Rendues, akad. sci. — Paříž. - 1905. - V. 140. - S. 1504. Překlad: Poincare A. O dynamice elektronu v knize. Princip relativity. Sborník prací o speciální teorii relativity / Sestavil A. A. Tyapkin. - M .: Atomizdat , 1973. - S. 90-93. — 332 s.
↑ Pauli W. Teorie relativity. - M .: Věda. - S. 13-17.
↑ Berestetsky V. B. , Lifshits E. M. , Pitaevsky L. P. Kvantová elektrodynamika. - 4. vydání, přepracované. — M .: Fizmatlit , 2002. — 720 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek IV). — ISBN 5-9221-0058-0 .
↑ L. B. Okun . Příloha I // Fyzika elementárních částic. — M .: Nauka, 1984.
↑ D. V. Sivukhin . K mezinárodnímu systému fyzikálních veličin // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Ruská akademie věd , 1979. - T. 129 , č. 10 . - S. 335 . Archivováno z originálu 14. dubna 2010. (Ruština)
↑ S. G. Karshenboim. Základní fyzikální konstanty: role ve fyzice a metrologii a doporučené hodnoty // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Ruská akademie věd , 2005. - T. 175 , č. 3 . - S. 271 . Archivováno z originálu 28. března 2010. (Ruština)
↑ Bolotovský B.M. Oliver Heaviside . - M .: Nauka, 1985. - S. 43-44. — 260 str. Archivováno 14. března 2022 na Wayback Machine
↑ O. Haviside, „O elektromagnetických efektech v důsledku pohybu elektrifikace prostřednictvím dielektrika“ Archivováno 20. ledna 2012 ve Wayback Machine , Phil.Mag. S.5 27 , str. 324, 1889.
↑ Kartsev V.P. "Dobrodružství velkých rovnic", M.: Knowledge, 1986.
↑ Dengub V. M. , Smirnov V. G. Jednotky množství. Odkaz na slovník. - M . : Nakladatelství norem, 1990. - S. 213. - 240 s. — ISBN 5-7050-0118-5 .
↑ Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2008). CODATA Doporučené hodnoty základních fyzikálních konstant: 2006. Rev. Mod. Phys. 80: 633-730. doi : 10.1103/RevModPhys.80.633 .
↑ Hodnoty fyzikálních konstant . Získáno 30. března 2007. Archivováno z originálu 31. srpna 2014. (neurčitý)
↑ Sena L. A. Jednotky fyzikálních veličin a jejich rozměry. — M.: Nauka. Ch. vyd. Fyzikální matematika lit., 1988. - 432 s., ill. ISBN 5-02-013848-7 , § 7.5.
↑ Například Tabulky fyzikálních veličin / akad. I. K. Kikoin . — M .: Atomizdat , 1976.
↑ Databáze indexu lomu . Získáno 17. dubna 2010. Archivováno z originálu 22. prosince 2017. (neurčitý)
↑ Stratton J.A. Teorie elektromagnetismu. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 42-45. — 539 s. - 8000 výtisků.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — S. 112-113. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — S. 69-76,95-96. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Stratton J.A. Teorie elektromagnetismu. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 34-35. — 539 s. - 8000 výtisků.
↑ 1 2 Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — S. 215-218. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Ginzburg V. L. Teoretická fyzika a astrofyzika. - M. : Nauka, 1981. - S. 12. - 503 s.
↑ Stratton J.A. Teorie elektromagnetismu. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 37-40. — 539 s. - 8000 výtisků.
↑ Essex EA Hertzovy vektorové potenciály elektromagnetické teorie. — American Journal of Physics . - 45. - 1977. - 1099-1101.
↑ A. Nisbet, "Hertzovy elektromagnetické potenciály a související kalibrační transformace", Proc. Royal Soc. z Londýna. Ser. A., 231, #1185, 250-263, 1955.
↑ P. Debye. Der Lichtdruck auf Kugeln von beliebigem Material (německy) // Annalen der Physik . - 1909. - Bd. 30 . - S. 57-136 .
↑ Stratton J.A. Teorie elektromagnetismu. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 345-348. — 539 s. - 8000 výtisků.
↑ R. Janaswamy. Poznámka k {TE/TM} rozkladu elektromagnetických polí v trojrozměrném homogenním prostoru // IEEE Transactions on Antennas and Propagation . - 2004. - Sv. 52 . - str. 2474-2476 .
↑ L. Silberstein. Electromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung (německy) // Annalen der Physik . - 1907. - Bd. 22 . — S. 579 .
↑ 1 2 I. Bialynicky-Birula. Fotonová vlnová funkce // Pokrok v optice . - 1996. - Sv. 36 . - str. 245-294 .
↑ Stratton J.A. Teorie elektromagnetismu. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 40-42. — 539 s. - 8000 výtisků.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — S. 88-90. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Müller-Kirsten HJW Elektrodynamika: Úvod včetně kvantových efektů. - Singapur: World Scientific, 2004. - S. 398,399. — 522 s. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Müller-Kirsten HJW Elektrodynamika: Úvod včetně kvantových efektů. - Singapur: World Scientific, 2004. - S. 399. - 522 s. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — S. 90-91. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Müller-Kirsten HJW Elektrodynamika: Úvod včetně kvantových efektů. - Singapur: World Scientific, 2004. - S. 403. - 522 s. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — S. 70-73. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ 1 2 Müller-Kirsten HJW Elektrodynamika: Úvod včetně kvantových efektů. - Singapur: World Scientific, 2004. - S. 428. - 522 s. — ISBN 981-238-807-9 .
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. - M .: Nauka , 1988. - S. 102. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Fedosin SG Princip nejmenší akce v kovariantní teorii gravitace. Archivováno 12. března 2017 v Wayback Machine Hadronic Journal, 2012, sv. 35, č. 1, str. 35-70; článek v ruštině: Princip nejmenší akce v kovariantní teorii gravitace. Archivováno 12. března 2017 na Wayback Machine
↑ Archivní kopie rovnic a diferenciálních forem Bolibrukha A. A. Maxwella ze dne 1. února 2019 ve Wayback Machine , MTsNMO, 2002.
↑ Misner C. , Thorn C. , Wheeler J. Gravitace . - M .: Mir, 1977. - T. 1. - S. 195,196. — 474 s.
↑ Misner C. , Thorn C. , Wheeler J. Gravitace . - M .: Mir, 1977. - T. 1. - S. 153-155. — 474 s.
↑ Dirac P.A.M. Obecná teorie relativity. - M. : Atomizdat, 1978. - 64 s.
↑ Van der Werden B. L. Metoda teorie grup v kvantové mechanice, M., Editorial URSS, 2004, ISBN 5-354-00700-3
↑ Rumer Yu. B. Spinorová analýza, M., NKTP, 104 stran.
↑ Saveliev, 1970 , § 109. Vlnová rovnice.
↑ Mignani, R., Recami, E., Baldo, M. , O Diracově rovnici pro foton, podle Ettore Majorana, Lett. Nuovo Cimento 11:568-572 (1974)
↑ A. I. Akhiezer , V. B. Berestetsky Kvantová elektrodynamika. - M., Nauka, 1981. - str. 80
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. - M .: Nauka , 1988. - S. 128-130. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ Kurz fyziky v Berkeley. Svazek 2. Purcell E. Elektřina a magnetismus. — M.: Nauka, 1971.
↑ Schwinger J. O kalibrační invarianci a vakuové polarizaci // Phys . Rev. Lett. . - 1951. - Sv. 82 . — S. 664 .
↑ Heisenberg W. , Euler H. Folgerungen aus der Dlracschen Theorie des Positrons (německy) // Z. Phys. . - 1936. - Bd. 98 . - S. 714 .
↑ A. V. Belinsky, A. S. Chirkin Stlačený stav - článek z fyzické encyklopedie
↑ Purcell E. Berkeley fyzikální kurz. - M .: Věda. - T. II. elektřina a magnetismus. - S. 149-181.
↑ Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teorie pole. - 7. vydání, přepracované. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretická fyzika ", svazek II). — ISBN 5-02-014420-7 .
↑ von W. v. Ignatowsky "Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip" Verh. d. německy Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 ( ruský překlad Archivováno 2. července 2017 na Wayback Machine )
↑ von Philipp Frank a Hermann Rothe "Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme" Ann. der Physic, Ser. 4, sv. 34, č. 5, 1911, str. 825-855 ( ruský překlad Archivováno 29. srpna 2014 na Wayback Machine )
↑ Stratton J.A. Teorie elektromagnetismu. - M. - L. : GITTL, 1948. - S. 429-430. — 539 s. - 8000 výtisků.
↑ Nikolsky V.V., Nikolskaya T.I. Elektrodynamika a šíření rádiových vln. M.: Nauka, 1989. - C. 128-130
↑ XL Zhou „O nezávislosti, úplnosti Maxwellových rovnic a teorémech o jednoznačnosti v elektromagnetice“ Pokrok ve výzkumu elektromagnetického pole, PIER 64, 117-134, 2006 pdf Archivováno 2. června 2010 na Wayback Machine
↑ Chew WC, Jin J., Michielssen E., Song J. Fast and Efficient Algorithms in Computational Electromagnetics . — Artechův dům, 2001. - ISBN 1-58053-152-0 .
↑ Nikolsky V.V., Nikolskaya T.I. Elektrodynamika a šíření rádiových vln. M.: Nauka, 1989. - C. 416-436
↑ Sylvester P. a Ferrari R. Metoda konečných prvků pro rádiové a elektrotechniky. — M .: Mir, 1986. — 336 s.
↑ Monk, P. Metody konečných prvků pro Maxwellovy rovnice . — Oxford University Press , 2003.
↑ Taflove A. a Hagness SC Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method . — Artechův dům, 2005.
↑ Jin, J. Metoda konečných prvků v elektromagnetice . — 2. - Wiley-IEEE Press , 2002. - ISBN 0-47143-818-9 .

Poznámky

↑ Výjimkou byly Millerovy experimenty na Mount Wilson. Následné opakování těchto experimentů jinými výzkumníky s použitím přesnějších zařízení neodhalilo účinek. Viz Opakování Michelsonova experimentu archivované 12. ledna 2020 na Wayback Machine
↑ Tedy vektorová pole obsahující divergence, které jsou skaláry.
↑ Zde je použit symetrický gaussovský GHS. Maxwellovy rovnice v jiných verzích ČGS a v univerzální podobě, která nezávisí na volbě soustavy jednotek, viz článek ČGS § Rozšíření ČGS a univerzální tvar rovnic elektrodynamiky .
↑ 1 2 3 4 Pokud budou experimentálně objeveny volné magnetické monopóly , bude to vyžadovat zavedení do Gaussova zákona pro magnetické pole hustoty magnetických nábojů a hustoty jejich proudů do Faradayova zákona indukce.
↑ Například vodič obvykle obsahuje alespoň dva typy nosičů náboje různých znamének, takže celková hustota náboje ve vodiči může být nulová, ale stále může být přítomen proud (a pak se jeho hustota nerovná nule).
↑ Zde a níže jsou použity nejběžněji používané konvence v moderní literatuře (o číslování souřadnic, metrickém podpisu atd.), které lze obecně volit trochu jiným způsobem, který lze nalézt v literatuře.

Viz také

Literatura

Historické publikace

Amper A. M. Elektrodynamika. — M. : AN SSSR, 1954. — 492 s. - 5000 výtisků.
Maxwell JK Selected pracuje na teorii elektromagnetického pole. - M. : GITTL, 1952. - 687 s.
Články a projevy Maxwella J.K. — M .: Nauka, 1968. — 423 s.
Faraday M. Experimentální výzkum elektřiny. - M. : Akademie věd SSSR, 1947-1959. - svazek I-III.
Maxwell JC Dynamická teorie elektromagnetického pole // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. - 1865. - T. 155 . - S. 459-512 .
Maxwell JC , Pojednání o elektřině a magnetismu - Volume 1 - 1873 - Posner Memorial Collection - Carnegie Mellon University
Maxwell JC , Pojednání o elektřině a magnetismu - Volume 2 - 1873 - Posner Memorial Collection - Carnegie Mellon University
Maxwell J.K. Pojednání o elektřině a magnetismu. - M .: Nauka, 1989. - T. 1.
Maxwell J.K. Pojednání o elektřině a magnetismu. - M .: Nauka, 1989. - T. 2.
Maxwell JC On Physical Lines of Force // Filosofický časopis : Ser. 4. - 1861,1862. - T. 11.13 . - S. 161-175, 281-291, 338-347; 12-23, 85-95 .
Maxwell JC On Faraday's Lines of Force // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. - 1856. - T. 10 , č. 1 . - S. 155-229 .

Historie vývoje

Bolotovský B.M. Oliver Heaviside . — M .: Nauka , 1985. — 260 s.
Kartsev V.P. Maxwell (Život pozoruhodných lidí). - M .: Mladá garda , 1976. - 336 s.
Kartsev VP Dobrodružství velkých rovnic . — M .: Poznání , 1986. — 288 s.
Shapiro I. S. K historii objevu Maxwellových rovnic // Uspekhi fizicheskikh nauk . - Ruská akademie věd , 1972. - T. 108 , č. 2 . - S. 319-333 . (Ruština)
Cooper L. Fyzika pro každého. v.1 = Leon N. Cooper An Introduction to the Meaning and Structure of Phisics, 1968,1970. — M .: Mir , 1973.

Kurzy obecné fyziky

Astakhov AV, Shirokov Yu.M. Kurz fyziky, svazek II, Elektromagnetické pole. — M .: Nauka , 1980. — 360 s.
Baskakov S.I. Základy elektrodynamiky. - M . : Sovětský rozhlas , 1973. - 248 s.
Kalašnikov S. G. Elektřina (Obecný kurz fyziky, sv. 2). - 6. vyd. — M .: Fizmatlit , 2003. — 624 s. — ISBN 5-9221-0312-1 .
Matveev A. N. Elektřina a magnetismus. - M .: Vyšší škola , 1983.
Nikolsky VV, Nikolskaya TI Elektrodynamika a šíření rádiových vln. M.: Nauka , 1989.
Penner D. I., Ugarov V. A. Elektrodynamika a speciální teorie relativity. M.: Osvícení , 1980.
Purcell E. Elektřina a magnetismus. Kurz fyziky v Berkeley. Svazek 2. M.: Nauka , 1971.
Saveljev IV Kurz obecné fyziky, svazek II. Elektřina. - Věda, 1970.
Sivukhin DV Obecný kurz fyziky. - Ed. 3., rev. a další .. - M . : Nauka , 1996. - T. III. Elektřina. — 320 s. — ISBN 5-02-014054-6 ..
Tonnela M. A. Základy elektromagnetismu a teorie relativity. M.: IL, 1962.
Feynman R. , Layton R., Sands M. The Feynman Lectures in Physics. Svazek 5. Elektřina a magnetismus. M.: Mir , 1965
Feynman R. , Layton R., Sands M. The Feynman Lectures in Physics. Svazek 6. Elektrodynamika. M.: Mir , 1966

Kurzy teoretické fyziky

Baranov A. M., Ovchinnikov S. G., Zolotov O. A., Paklin N. N., Titov L. S. Teoretická fyzika: Elektrodynamika. Elektrodynamika spojitých médií. Učebnice pro předmět "Elektrodynamika a základy elektrodynamiky kontinuí" . - Krasnojarsk: SFU , 2008. - 198 s.
Jackson J. Klasická elektrodynamika. — M .: Mir , 1965.
Landau L. D., Lifshits E. M. Teorie pole (Teoretická fyzika, díl II). — M .: Fizmatlit , 2003. — 536 s. — ISBN 5-9221-0056-4 .
Landau L. D., Lifshitz E. M. Elektrodynamika spojitých médií (Theoretical Physics, sv. VIII). — M .: Fizmatlit , 2005. — 656 s. — ISBN 5-9221-0123-4 .
Batygin VV, Toptygin IN Moderní elektrodynamika. Část 1. Mikroskopická teorie. - M. : NIC "Regular and Chaotic Dynamics", 2005. - 736 s. — ISBN 5-93972-492-2 .
Toptygin I. N. Moderní elektrodynamika. Část 2. Teorie elektromagnetických jevů ve hmotě. - M. : NIC "Regular and Chaotic Dynamics", 2005. - 848 s. — ISBN 5-93972-493-0 .
Stratton J.A. Teorie elektromagnetismu. - M. - L. : GITTL, 1948. - 539 s. - 8000 výtisků.
Tamm I. E. Základy teorie elektřiny. — M .: Nauka , 1989.
Fushchich V. I., Nikitin A. G. Symetrie Maxwellových rovnic. - Kyjev: Naukova Dumka , 1983. - C. 200.
Bolibrukh AA Maxwellovy rovnice a diferenciální formy . — MTsNMO, 2002.

Řešení Maxwellových rovnic

Balandin M. Yu., Shurina E. P. Vektorová metoda konečných prvků: učebnice . - Novosibirsk: NSTU , 2001. - 69 s.
Vainshtein L.A. Elektromagnetické vlny. - M.: Rádio a komunikace , 1988.
Vonsovský S. V. Magnetismus. Magnetické vlastnosti dia-, para-, ferro-, antifero- a ferrimagnetik. — M.: Nauka , 1971.
Ginzburg VL Šíření elektromagnetických vln v plazmatu. - 2. vyd. — M.: Nauka , 1967.
Sylvester P. a Ferrari R. Metoda konečných prvků pro radiotechniky a elektrotechniky. — M .: Mir , 1986. — 336 s.

Odkazy

Slovníky a encyklopedie	Velká Katalánština Skvělý norský Velký Rus Velký sovět (1 ed.) Britannica (online)
V bibliografických katalozích	BNF : 12043257h GND : 4221398-8 J9U : 987007558284105171 LCCN : sh85082387 NKC : ph218895

Matematická fyzika

Typy rovnic

Okrajové podmínky

Rovnice matematické fyziky

Difúze a konvekce	Tepelná rovnice Difúzní rovnice Mason-Weaverova rovnice
Hydrodynamika	Přenosová rovnice Navier-Stokesovy rovnice Eulerova rovnice Gromekova-Lambova rovnice Vortexová rovnice Rovnice hamburgerů Rovnice pro mělkou vodu Korteweg-de Vriesova rovnice
Elektromagnetismus	Maxwellovy rovnice Helmholtzova rovnice Landau-Lifshitzova rovnice Screenovaná Poissonova rovnice
Kvantová mechanika	Schrödingerova rovnice Heisenbergova rovnice Rarita-Schwingerova rovnice Hartreeho rovnice Diracova rovnice Klein-Gordonova rovnice
Obecné modely	Rovnice kontinuity vlnová rovnice Fokker-Planckova rovnice Poissonova rovnice

Metody řešení

Metody řešení diferenciálních rovnic

Metody mřížky

Metody konečných prvků	Metoda konečných prvků Galerkinova metoda Diskontinuální Galerkinova metoda Víceškálová metoda konečných prvků Multigrid metoda
Jiné metody	Metoda konečných rozdílů Metoda konečných objemů Godunovova metoda Metoda hraničních prvků

Negridové metody

Studium rovnic

související témata