Historie aritmetiky

Historie aritmetiky pokrývá období od vzniku počítání až po formální definici čísel a aritmetických operací s nimi pomocí systému axiomů . Aritmetika  - nauka o číslech , jejich vlastnostech a vztazích - je jednou z hlavních matematických věd. Úzce souvisí s algebrou a teorií čísel .

Důvodem pro vznik aritmetiky byla praktická potřeba počítání, jednoduchých měření a výpočtů . První spolehlivé informace o aritmetických znalostech byly nalezeny v historických památkách Babylonu a starověkého Egypta , pocházejících z III-II tisíciletí před naším letopočtem. E. Velký příspěvek k rozvoji aritmetiky učinili řečtí matematici , zejména Pythagorejci , kteří se pokusili určit všechny zákony světa pomocí čísel. Ve středověku byly hlavními oblastmi použití aritmetiky obchod a přibližné výpočty . Aritmetika se vyvinula především v Indii a islámských zemích a teprve poté se dostala do západní Evropy. V 17. století vytvořila námořní astronomie , mechanika a složitější komerční výpočty nové požadavky na aritmetiku výpočetní techniky a daly impuls k dalšímu rozvoji.

Teoretické zdůvodnění pojmu číslo souvisí především s definicí přirozeného čísla a Peanovými axiomy , formulovanými v roce 1889 . Po nich následovaly přesné definice racionálních , reálných , záporných a komplexních čísel. Další rozšiřování pojmu čísla je možné pouze tehdy, pokud je opuštěn jeden ze zákonů aritmetiky.

Vzestup aritmetiky

Pokud ve dvou množinách (množinách objektů) má každý prvek jedné množiny jedinečný pár v druhé množině, pak jsou tyto množiny ekvivalentní [2] . Takové aktuální srovnání, kdy objekty byly rozmístěny ve dvou řadách, využívaly primitivní kmeny při výměně [3] , umožňuje stanovit kvantitativní vztahy mezi skupinami objektů a nevyžaduje pojem čísla [4] .

Později se objevily přirozené počítací standardy , například prsty, a poté standardní sady, jako jsou ruce. S příchodem norem, symbolizujících konkrétní čísla, je spojen vznik pojmu číslo. Zároveň se porovnával počet objektů s Měsícem na obloze, počet očí, počet prstů na ruce. Později byly četné standardy nahrazeny jedním z nejpohodlnějších, obvykle prsty a/nebo prsty [3] .

Dalším krokem byl vznik obecného konceptu přirozeného čísla , odděleného od konkrétních objektů. Přirozené číslo vzniklo jako idealizace konečné množiny homogenních, stabilních a nedělitelných objektů (lidí, ovcí, dnů atd.) [5] ; podle toho operace s čísly původně odrážely skutečné operace s takovými množinami (sjednocení, dělení atd.). Pro protoindoevropský jazyk , který používal desítkovou číselnou soustavu, byly již rekonstruovány názvy číslovek do sta včetně [6] . Lebesgue k tomu poznamenal: „ Je možné, že kdyby lidé měli jedenáct prstů, byl by přijat jedenáctimístný číselný systém “ [3] .

K zaznamenávání výsledků počítání se používaly zářezy na stromě nebo kosti, uzly na lanech byly umělé počítací etalony [3] [7] [8] . Radiusová kost mladého vlka s 55 zářezy byla nalezena v roce 1937 u obce Dolné Věstonice ( Česká republika ). Stáří nálezu je asi 5 tisíc let (podle jiných zdrojů asi 30 tisíc let [1] ), dlouhou dobu šlo o nejstarší známý záznam počtu [7] . B. A. Frolov , specialista na paleolit ​​z Novosibirsku , vidí v grafice staropaleolitických ornamentů , počínaje památkami z Dolního Věstonice, mnoho důkazů, že lidé této doby jasně rozlišovali určité množství identických prvků a zvláště často zdůrazňovali některé množství: 5 nebo 7 objektů a také jejich násobky (zejména 10 a 14) [9] .

Při pojmenovávání čísel se používala buď nerozložitelná jména (taková čísla se nazývají uzlová ), nebo složená z uzlových jmen - algoritmické [10] . V tomto případě je kombinace algoritmických čísel založena na aritmetických operacích prováděných s čísly uzlů [11] .

Číslování, stejně jako názvy čísel, je založeno na jednom ze tří principů [7] :

Kromě výše zmíněných se v řadě zdrojů uvádí i princip založený na dělení [12] [13] .

Starověké matematické texty a číselné soustavy

Starověký Egypt

Základní informace o egyptské matematice jsou založeny na papyru Ahmes , který je synopsí egyptského písaře Ahmese (XVIII-XVII století př. n. l.), stejně jako na moskevském papyru . Oba papyry jsou z Říše středu . Informace o matematických textech Nové říše , stejně jako Rané a Staré říše , se nedochovaly [14] . Matematické papyry starověkého Egypta byly sestaveny pro výukové účely [14] , obsahují úlohy s řešeními, pomocné tabulky a pravidla pro operace s celými čísly a zlomky , jsou zde aritmetické a geometrické posloupnosti a také rovnice [8] [15] .

Egypťané používali desítkovou číselnou soustavu [16] . Hieroglyfické číslování bylo aditivní se speciálními znaky pro a tak dále do deseti milionů, zatímco v hieratickém písmu existovaly znaky pro čísla od jedné do devíti, pro desítky, stovky a tisíce a také speciální znaky pro zlomky tvaru , popř. alikvotní frakce [17] .

Egyptské matematické texty věnovaly zvláštní pozornost výpočtům a z toho plynoucím potížím, na nichž do značné míry závisí způsoby řešení problémů. Egypťané používali aritmetické operace jako sčítání, zdvojování a doplňování. Jakékoli násobení celým číslem a jakékoli dělení beze zbytku byly prováděny pomocí vícenásobného opakování operace zdvojení, což vedlo k těžkopádným výpočtům zahrnujícím určité členy posloupnosti [18] . V Egyptě byly použity pouze alikvotní frakce a všechny ostatní frakce byly rozloženy na součet alikvotů. Ahmesův papyrus obsahuje tabulky takových expanzí pro zlomky formuláře , další výpočty se zlomky byly provedeny pomocí operace zdvojení [19] . Při určování plochy čtverce , objemu krychle nebo při zjišťování strany čtverce podle jeho plochy byli Egypťané postaveni před mocninu a extrahování odmocniny , i když názvy těchto operací ještě nebyly [18] .

Babylon

Babylonské klínopisné matematické texty používaly systém šestinásobných čísel , charakteristický pro Sumery [20] , a byly učebními pomůckami, které zahrnovaly násobilku pro čísla od do , dále tabulky převrácených čísel , tabulky čtverců a krychlí přirozených čísel , tabulky pro počítání procenta , zlomky se základem [8] [16] . Je známo více než tři sta tabletů s texty matematických úloh a numerických tabulek [21] . Babylon se vyznačuje širokým používáním tabulek [22] [23] .

Sekvenční poziční číslování se poprvé objevuje v Babylonu . Prvních padesát devět čísel bylo napsáno s opakováním znaků jednotek a desítek požadovaným počtem opakování. Podobným způsobem byly nalevo od první sady zapsány násobky šedesáti. Později bylo toto uspořádání rozšířeno na libovolná čísla formuláře a . Babyloňané navíc při zápisu čísla zavedli znak označující nulu [24] [23] .

Sčítání a odčítání v Babylonu bylo podobné těmto operacím v desítkové poziční soustavě s tím rozdílem, že přechod na další číslici byl nutný jak pro základ soustavy, tak pro jednotky a desítky. Babyloňané kvůli velkému základu nepoužívali jedinou násobilku to , která by obsahovala velké množství prvků, ale různé tabulky součinů čísel od do po čísla , nazývané také "kapitál". Babyloňané neměli operaci dělení, takže velká pozornost byla věnována sestavování tabulky reciprokých, tedy čísel tvořených při dělení . V případě dělení dávajícího nekonečný zlomek se nejprve psalo, že reciproké neexistuje, později byla uvedena přibližná hodnota [22] .

Při řešení aritmetických problémů se Babyloňané spoléhali na proporce a průběhy. Znali vzorec pro součet členů aritmetické posloupnosti, pravidla pro sčítání geometrické posloupnosti a řešili úlohy na procenta [25] . V Babylonu znali spoustu pythagorejských trojic , k jejichž hledání pravděpodobně použili neznámou obecnou techniku. Obecně platí, že problém hledání celočíselných a racionálních řešení rovnice patří do teorie čísel [26] . Geometrické problémy vedly k potřebě přibližné extrakce odmocnin , kterou prováděli pomocí pravidel a iteračních metod pro další aproximaci výsledku [com. 1] [27] .

Starověké Řecko

Zpočátku, Řekové používali Attic numeration , který používal znamení pro čísla [28] . Tento systém popsal gramatik a historik Herodian ve 2. století našeho letopočtu. E. Pomocí číslování podkroví byly výsledky výpočtů zaznamenávány na počítací tabuli . Postupem času bylo číslování Attic nahrazeno kompaktním písmenem, neboli iónským [29] . Iontové číslování používalo 24 písmen řecké abecedy a tři zastaralá písmena k označení jednotek od do , desítek od do a stovek od do (zastaralá písmena se používala k reprezentaci čísel [28] ). Pro rozlišení čísel od písmen byla nad ně umístěna čára. Pro zápis čísla byl použit stejný symbol jako u jednotky, ale s tahem zleva dole. Připomíná poziční systém, ale ke konečnému přechodu nedošlo [30] . Má se za to, že takový systém ztěžoval obtížné výpočty [8] , nicméně v roce 1882 dospěl francouzský historik matematiky Paul Tannery k závěru, že při správném přístupu se řecký systém číslování příliš neliší od desítkového číslování. systému z hlediska rychlosti výpočtu [31] .

Vývoj starověké řecké aritmetiky je spojen s pythagorejskou školou . Pythagorejci nejprve věřili, že poměr jakýchkoli dvou segmentů lze vyjádřit poměrem celých čísel, to znamená, že geometrie byla aritmetikou racionálních čísel. Použití podobných vztahů v harmonii a hudbě vedlo pythagorejce k závěru, že všechny zákony světa lze vyjádřit pomocí čísel a aritmetika je potřebná k formulaci vztahů a vybudování modelu světa [32] . Zejména pythagorejský Archytas napsal [33] : „Podle mého názoru se aritmetika mezi jinými vědami velmi vyznačuje dokonalostí znalostí; a geometrie [je dokonalejší, protože] je jasnější než geometrie, bere v úvahu jakýkoli [předmět] ” .

Pythagorejci považovali pouze kladná celá čísla a číslo považovali za soubor jednotek. Jednotky byly nedělitelné a uspořádané do podoby pravidelných geometrických těles. Pythagorejci se vyznačují definicí " složených čísel " ("trojúhelníkový", "čtvercový" a další). Při studiu vlastností čísel je rozdělili na sudá a lichá (jako znak dělitelnosti dvěma), prvočísla a složená . Pravděpodobně to byli Pythagorejci, kteří pouze pomocí testu dělitelnosti dvěma dokázali, že pokud  je prvočíslo, pak  je to dokonalé číslo . Důkaz je uveden v Euklidových Prvcích ( IX , 36), teprve v 18. století Euler dokázal, že žádná jiná sudá dokonalá čísla neexistují a otázka nekonečnosti počtu dokonalých čísel dosud nebyla vyřešena. Pythagorejci také odvodili vzorec a našli nekonečnou množinu celočíselných řešení rovnice , tzv. pythagorejské trojice [34] (odvození prvního vzorce pro určování pythagorejských trojic je připisováno Platónovi , který věnoval velkou pozornost aritmetice, nebo nauka o číslech [35] ).

Je známo, že Pythagorejci měli nauku o racionálních číslech neboli poměrech segmentů, ale sama se nedochovala [36] . Zároveň jim patří doklad o nesouměřitelnosti úhlopříčky a strany jednotkového čtverce. Tento objev znamenal, že poměry celých čísel nestačí k vyjádření poměrů libovolných segmentů a že na tomto základě není možné sestavit metrickou geometrii [37] . První doktrína iracionality patří Theaetetovi , studentu Sokrata . Určil, že pro čtverec, jehož obsah je vyjádřen celým nečtvercovým číslem, je strana nesouměřitelná se stranou jednotkového čtverce, jinými slovy určil iracionalitu tvaru , podobně určil iracionalitu tvaru pro jednotkovou krychli [38] .

Obecná teorie dělitelnosti se objevila v roce 399 před naším letopočtem. E. a patří zřejmě také Theaetetovi. Euklides jí věnoval knihu VII a část knihy IX Počátků. Teorie je založena na Euklidově algoritmu pro nalezení největšího společného dělitele dvou čísel. Důsledkem algoritmu je možnost rozkladu libovolného čísla na prvočinitele a také jednoznačnost takového rozkladu. Zákon jednoznačnosti rozkladu na prvočinitele je základem celočíselné aritmetiky. Euclidův algoritmus dovolí jednoho definovat neúplné částečné expanze racionálního čísla do nepřetržitého zlomku . Ve stejné době ve starověkém Řecku nevznikl koncept pokračujícího zlomku [38] .

Po Euklidovi je pro racionální čísla, na rozdíl od celých čísel, dělení vždy možné. V Řecku věděli, jak pracovat se zlomky tvaru , sčítat je a odčítat, což vedlo ke společnému jmenovateli, násobit a dělit a také zmenšovat. V teoretických konstrukcích Řekové vycházeli z nedělitelnosti jednotky a mluvili nikoli o zlomcích jednotky, ale o poměru celých čísel. Pro tyto vztahy byl definován pojem proporcionality, který rozdělil všechny vztahy do nepřekrývajících se tříd. Ve starověkém Řecku byl pro tento účel určen nejmenší pár ze všech, který měl stejný poměr, nebo pár, ve kterém jsou čísla coprime, což odpovídá konceptu neredukovatelného zlomku [36] .

Problémy konstrukce konečné míry a určení skutečného čísla odhalily vědeckou krizi v 5. století před naším letopočtem. e., ze kterého byly zapojeny všechny filozofické školy starověkého Řecka . Všechny obtíže, které při řešení těchto problémů vznikají, dokázal Zenón z Eleje ukázat ve svých paradoxech neboli aporiích [39] . Nové základy matematiky navrhl Eudoxus z Cnidu . Formuloval obecnější pojem než číslo, pojem geometrické veličiny  – například úsečka, plocha, objem. Pro homogenní množství Eudoxus určil relaci objednávky pomocí axiomů a také zavedl axiom známý jako Archimédův axiom . Tento přístup umožnil stanovit libovolné poměry veličin, což vyřešilo tehdy známé problémy nesouměřitelnosti. Eudoxus přitom neformuloval obdobu axiomu kontinuity, a proto otázka souměřitelnosti zůstala ne zcela vyřešena. Eudoxus také nedefinoval aritmetické operace pro veličiny [40] . Newton, Isaac konečně sjednotil pojmy čísla a velikosti (přesněji poměr velikosti k jedinému standardu) v „ Univerzální aritmetice “ (1707) [41] . Konstrukce Eudoxu jsou přitom natolik blízké pozdější definici reálného čísla, kterou uvedl Dedekind , že se Lipschitz v jednom ze svých dopisů zeptal Dedekinda na to, co nového udělal [40] .

Po výbojích Alexandra Velikého se centrum řecké vědy přesunulo do Alexandrie [42] . Základním dílem té doby jsou Euklidovy prvky , sestávající ze třinácti knih. Kniha V je věnována teorii relací od Eudoxu, kniha VI je věnována souvislostem relací s operací násobení úseček nebo konstrukci rovnoběžníků , knihy VII-IX jsou věnovány teorii celých a racionálních čísel, Kniha X je také považována za segmenty a patří ke klasifikaci iracionalit podle Theaeteta [43] .

V práci Archiméda „ Psammita “ byla vyvinuta metoda pro vyjádření libovolně velkých čísel. Jeho konstrukce umožňuje sestrojit čísla prvního řádu (až ), poté druhého řádu (od do ) a dále, přičemž lze pokračovat dále. Archimédes také ukazuje, že počet zrnek písku v kouli , jejíž průměr je menší než násobek průměru Země nepřesahuje , jinými slovy, je konečný [44] [45] .

V budoucnu se starověká řecká aritmetika, stejně jako matematika obecně, rozpadla [46] . Nové poznatky se objevují až v I-II století našeho letopočtu. E. [47] Ve 3. století zahájil Diophantus konstrukci algebry založené nikoli na geometrii, ale na aritmetice. Diophantus také rozšířil numerickou oblast na záporná čísla [48] . Na průsečíku teorie čísel a algebraické geometrie stojí Diophantova práce o řešení neurčitých rovnic v racionálních číslech [49] .

Starověký Řím

Římský systém číslování nebyl dobře přizpůsoben pro výpočty. Římské číslice předcházely vzhledu abecedy a nejsou odvozeny z jejích písmen. Předpokládá se, že zpočátku byla čísla od 1 do 9 označena odpovídajícím počtem svislých čar a jejich přeškrtnutí znamenalo desetinásobek čísla (odtud číslo X). Aby bylo dosaženo čísla 100, byla hůl dvakrát přeškrtnuta. Následně byl systém zjednodušen [50] . V současné době se používá ve zvláštních případech - 19. století, Kateřina II., VI. kongres atd.

Čína

Ve 2. století našeho letopočtu. E. Byly vytvořeny "Pojednání o měřickém pólu" (o astronomii) a " Matematika v devíti knihách " (kniha pro zeměměřiče, inženýry, úředníky a obchodníky) - nejstarší matematické spisy Číny , které se k nám dostaly . Spolu s řadou dalších knih napsaných ve 3.-4.století tvořily Desatero klasických traktátů, které byly dlouho beze změn přetištěny [51] . Až do 14. století byla čínská matematika souborem výpočetních algoritmů pro řešení na počítací desce [52] .

Čínské číslování je založeno na multiplikativním principu: číslice se píší shora dolů nebo zleva doprava, přičemž znak tisíc následuje znak tisíc, poté znak stovek následovaný znakem stovek, číslo desítek následované znakem znak deset a na konci počet jednotek. K provádění aritmetiky byla použita počítací deska, předchůdce suanpanu a počítací tyčinky . Na počítací tabuli byl použit poziční zápis. Přitom podle čínského matematika ze 3. století Sun Tzu „ se v metodách, které se používají při běžném počítání, nejprve [je třeba] seznámit s číslicemi: jednotky jsou svislé, desítky vodorovné; stovky stojí, tisíce leží; tisíce a desítky vypadají stejně, desetitisíce a stovky vypadají stejně .

Aritmetické operace sčítání a odčítání prováděné na počítací tabuli nevyžadovaly další tabulky, ale pro násobení existovala tabulka od do . Operace násobení a dělení byly prováděny od nejvyšších číslic, zatímco mezivýsledky byly z tabule odstraněny, což znemožnilo ověření. Nejprve byly násobení a dělení nezávislé operace, ale pak Sun Tzu zaznamenal jejich vzájemnou inverzi [54] . Téměř současně s celými čísly se objevily i zlomky a ve 2. století př. Kr. E. operace s frakcemi byly dobře rozvinuté. Pro sčítání a odčítání byl použit součin jmenovatelů, násobení bylo definováno geometricky jako plocha obdélníku, zatímco dělení bylo spojeno s problémem dělení, zatímco počet účastníků dělení mohl být zlomkový. V 5. století našeho letopočtu. E. Zhang Qiu-jian nahradil dělení zlomkem násobením obráceným, zatímco zlomek byl vnímán jako dvojice čísel, což bylo usnadněno použitím počítací desky. Již ve 3. století našeho letopočtu. E. v Číně se objevují desetinné zlomky, s jejichž pomocí byla dána přibližná hodnota iracionálních veličin [55] .

V Číně věděli, jak řešit problémy pomocí pravidla dvou falešných pozic, které Evropané připisovali indické vědě. Dosazením dvou různých veličin na levé straně rovnice se získají dvě různé hodnoty na pravé straně rovnice, ze kterých bylo pomocí podílu možné najít řešení pro . Číňané využili možnost, když je na pravé straně přebytek a nedostatek [56] . Pro řešení soustav lineárních rovnic bylo nutné zavést záporná čísla. Na tabuli byly odlišeny tyčinkami jiné barvy a na písmenu jiným inkoustem nebo lomítkem. Navíc záporná čísla měla zvláštní název. Pro ně byla formulována pravidla pro provádění operací odčítání a sčítání a na prvním místě bylo určeno odčítání. Nejprve byla záporná čísla použita pouze v procesu počítání a na konci výpočtů byla odstraněna z tabule, poté je čínští vědci začali interpretovat jako dluh nebo nedostatek [57] .

Aritmetika ve středověku

Ve středověku se matematika rozvíjela především v islámských zemích, Byzanci a Indii a teprve poté se dostala do západní Evropy. Jednou z hlavních oblastí matematiky v této době jsou komerční aritmetika, přibližné výpočty a učení o čísle [58] .

Indie

Poziční číselný systém (deset číslic včetně nuly ) byl představen v Indii . Umožnil vyvinout poměrně jednoduchá pravidla pro provádění aritmetických operací [8] . Vědci se domnívají, že v Indii se poziční systém poprvé objevil nejpozději na začátku našeho letopočtu. Vzhledem k tomu, že indiáni používali pro psaní křehké materiály, se však dokumentární památky tohoto období nedochovaly. Za původní dokument využívající poziční číslování je považován bachšálský rukopis , který pochází z 12. století [59] .

Pro celá čísla se v Indii používala desítková soustava. Nejprve to byly číslice v písmu Kharoshthi , které byly psány zprava doleva, a později v písmu Brahmi , které se psaly zleva doprava. Obě možnosti využívaly aditivní princip pro čísla do 100 a dále multiplikativní. Brahmi však používal speciální znaky pro čísla 1 až 9. Na základě tohoto systému byly vyvinuty moderní číslice dévanágarí (neboli „božské písmo“), které se začaly používat v desítkové poziční soustavě. První záznam o čísle, ve kterém je použito devět číslic, pochází z roku 595, nula ještě nebyla. Pro usnadnění výpočtů Aryabhata navrhl psát čísla sanskrtskými znaky . V roce 662 křesťanský biskup Sýrie Severus Sebokht napsal: „Nebudu se dotýkat vědy o Indiánech... jejich číselném systému, který předčí všechny popisy. Chci jen říci, že počítání se provádí pomocí devíti znaků“ [60] .

Za hlavní aritmetické operace v Indii byly považovány sčítání, odčítání, násobení, dělení, kvadratura a krychle, odebírání druhé mocniny a krychle, pro které byla vyvinuta pravidla. Výpočty se prováděly na počítací desce s pískem nebo prachem nebo jednoduše na zemi a zaznamenávaly se tyčí. Mezivýpočty byly vymazány, což vedlo k nemožnosti ověření pomocí obrácené operace, místo které bylo použito ověření pomocí devíti [61] . Indiáni znali zlomky a věděli, jak s nimi provádět operace, proporce, průběhy [62] . Již od 7. století našeho letopočtu. E. oni používali záporná čísla, interpretovat je jako dluh, stejně jako iracionální čísla [63] . Zabývali se sčítáním číselných řad, konkrétně příklady aritmetických a geometrických posloupností lze nalézt ve Vedách a v 16. století Narayana Pandit ) produkoval obecnější sumace [64] .

Indičtí matematici Aryabhata, Brahmagupta a Bhaskara vyřešili diofantické rovnice tvaru v celých číslech. Kromě toho řešili rovnice tvaru v celých číslech , což byl nejvyšší úspěch indických matematiků na poli teorie čísel. Následně tato rovnice a její konkrétní případ přitáhl pozornost Fermata , Eulera a Lagrange . Metoda navržená Lagrangeem pro nalezení řešení byla blízká indické metodě [65] .

Země islámu

V 9.-10. století byl vědeckým islámským centrem Bagdád , kde pracovali al - Chwarizmi , Khabbash al-Khasib , al-Fargani , Sabit Ibn Qurra , Ibrahim ibn Sinan a al-Battani . Později vznikla nová vědecká centra v Bucharě , Khorezmu a Káhiře , ve kterých pracovali Ibn Sina , al-Biruni a Abu Kamil al-Misri , a poté v Isfahánu a Meraze , kde pracovali Omar Khayyam a Nasir al-Din al-Tusi . V 15. století vzniklo v Samarkandu nové vědecké centrum, v němž pracoval Giyas ad-Din al-Kashi . Velkou roli v šíření znalostí do Evropy sehrála matematická centra severozápadního pobřeží Afriky a Pyrenejského poloostrova [66] .

Arabové měli dva typy číslování: abecední a desetinné poziční. Číslování písmen, i když je podobné starověké řečtině, sahá až do starověké semitské abecedy [67] . Na počátku 9. století napsal Muhammad ibn-Musa al-Chwarizmi knihu „Na indický účet“. Učebnice obsahovala řešení praktických problémů "různých druhů a druhů" a byla první knihou psanou pomocí poziční číselné soustavy, předtím se čísla používala pouze pro výpočty na počítací tabuli [68] [67] . Ve 12. století provedli Adelard (Anglie) a Jan ze Sewelu (Španělsko) dva překlady knihy do latiny [69] . Jeho originál se nedochoval, ale v roce 1857 vyšel nalezený latinský překlad pod názvem „Alkhoresmi on the Indian Number“ [68] . Pojednání popisuje provádění aritmetických operací jako je sčítání, odčítání, zdvojování, násobení, bifurkace, dělení a odebírání odmocniny pomocí indických číslic na počítací tabuli [70] . Násobení zlomků, stejně jako dělení, bylo zvažováno pomocí proporcí: násobení podle se rovnalo nalezení takového , že . Tato teorie byla základem arabské aritmetiky. Existoval však také další počet zlomků, který představoval jakýkoli zlomek jako součet alikvotních zlomků [71] .

V letech 952-953 použil Abu-l-Hasan Ahmad al-Uqlidisi ve své Knize oddílů o indické aritmetice desetinné zlomky při dělení lichých čísel na polovinu a některé další výpočty, ale tato kniha neovlivnila další vývoj. Na počátku 15. století zamýšlel al-Kashi vybudovat systém zlomků, ve kterém se všechny operace provádějí jako s celými čísly a který je přístupný i těm, kdo neznají „počet astronomů“ [71] . V roce 1427 popsal al-Kashi systém desetinných zlomků , který se v Evropě rozšířil po Stevinových spisech v roce 1585 [8] . Al-Kashi tedy formuloval základní pravidla pro zacházení s desetinnými zlomky, vzorce pro jejich převod na šestinásobek a naopak [71] .

V dílech al-Khwarizmiho se nachází metoda extrakce druhé odmocniny, Kushyar ibn Labban se zabýval extrakcí krychlových kořenů a Omar Khayyam se zabýval vývojem metod pro výpočet kořenů. První popis extrakce kořenů jakéhokoli stupně z celého čísla se nachází v knize at-Tusiho „Sbírka aritmetiky pomocí desky a prachu“ (1265). Schéma se v podstatě shoduje s Hornerovým schématem navrženým v 19. století, kdy zlomková část kořene je přibližně ve tvaru . At-Tusi navíc dává tabulku binomických koeficientů ve formě podobné Pascalově trojúhelníku [72] . Velká pozornost byla v arabských zemích věnována iracionálním číslům a přibližným výpočtům. Al-Khwarizmi prováděl ty nejjednodušší operace s radikály , které se zdály být jednodušší než nesouměřitelné segmenty používané ve starověkém Řecku. Teorie proporcí prošla kritickou analýzou. Zejména Omar Khayyam v roce 1077 ve svém pojednání „Komentáře k potížím při zavádění knihy Euklides“ řekl, že starověká řecká definice neodráží skutečnou podstatu proporcí. Khayyam dal novou definici proporce, zavedl vztahy „více“ a „méně“, zobecnil koncept kladného reálného čísla. Záporná čísla nebyla u arabských matematiků oblíbená [73] .

K řešení problémů Arabové používali trojité pravidlo , které pocházelo z Indie a bylo popsáno spolu s řadou dalších technik v Al-Biruniho „Knize indických rašíků“, pravidlem dvou falešných pozic, které pocházelo z Číny a obdrželo teoretické zdůvodnění v „Knize o pravidle dvojitého falešného postavení“ Kusta ibn Lukka [74] .

Úspěchy islámské vědy v teorii čísel jsou méně významné. Věděli, jak řešit rovnice prvního a druhého stupně v celých číslech, znali pravidla pro konstrukci pythagorejských trojic a poprvé prohlásili, že rovnice obecně je neřešitelná v racionálních číslech, což je zvláštní případ velké Fermatovy věty . Daný důkaz tohoto tvrzení se nedochoval [75] .

Byzanc

Prvním byzantským křesťanským matematikem byl Anthimius , který žil v 6. století. Byzantská aritmetika byla ovlivněna pracemi arabských a starověkých řeckých matematiků. Michael Psellos , který žil v 11. století, vlastní esej o aritmetice, ve které se zabývá klasifikací čísel a vztahů a také uvádí názvy stupňů, přičemž nazývá „první nevyslovitelný“ a  – „druhý“ nevyjádřitelný“, což naznačuje, že Psellus znal a používal multiplikativní systém, ve kterém jsou exponenty vyjádřeny součinem, a nikoli sčítáním, jak tomu bylo dříve. Maximus Planudus , který žil ve 13. století, vlastní komentáře k „Aritmetice“ Diofanta, stejně jako „Aritmetice podle vzoru Indiánů“. Ve 14. století napsal John Pediasim několik děl o aritmetice, zdůrazňující její obtížné problémy, Nikolaj Ravda poskytl metodu počítání na prstech a přibližnou metodu získávání druhých odmocnin a Isaac Argir komentoval prvních šest knih Euklidovy knihy. Začátky“ a sestrojil tabulku pro extrakci druhých odmocnin pro čísla do 102 pomocí šestičlenných zlomků [76] .

Amerika

Ve Střední Americe se používal hlavně číselný systém se základnou 20. Mayští kněží z Yucatánu jej uměle vytvořili a používali pro kalendářní výpočty . V něm byla druhá kategorie neúplná a sahala pouze do [77] . Jako doplňkový základ bylo použito číslo [78] . Mayský kalendář byl poziční systém, kde se na každé pozici nacházelo božstvo s určitým počtem znamení. Při psaní se božstvo nezobrazovalo a k označení prázdné kategorie byl použit symbol v podobě otevřené skořápky [79] nebo oka [80] [81] . V Jižní Americe se k zápisu čísel používalo nodální číslování neboli quipu [82] .

Aritmetické výpočty byly prováděny pomocí yupany , což je obdoba počítadla [83] , avšak kvůli zvláštnostem číselného systému byla aritmetika, která nesouvisí s astronomickými výpočty, špatně rozvinutá [84] .

Západní Evropa

V éře raného feudalismu v západní Evropě potřeba vědy nepřesahovala otázky praktické aritmetiky a geometrie. Knihy obsahovaly úvod do sedmi svobodných umění , včetně aritmetiky. Nejoblíbenější byla díla Boethia z 6. století, který mimo jiné přeložil Nicomachovu aritmetiku s vlastními číselnými příklady do latiny a část Euklidových Prvků bez rigorózních důkazů [85] .

Přes Španělsko a Sicílii v 10. století se začaly navazovat vědecké vazby s arabským světem. V této době navštívil Katalánsko mnich Herbert, který se později stal papežem Silvestrem II . Jsou mu připisovány práce jako „Kniha o dělení čísel“ a „Pravidla pro počítání na počítadle“. V obou knihách jsou čísla psána slovy nebo římskými číslicemi [85] . Herbert nazval kalkulačky na počítadle „abacisty“ [86] .

Ve 12.-13. století se v Evropě objevily latinské překlady arabských knih o aritmetice. Hlavní překlady vznikly z arabštiny na území Pyrenejského poloostrova v Toledu pod záštitou arcibiskupa Raymonda I. , dále v Barceloně a Segovii . Zastánci desetinného pozičního číslování prezentovaného v knihách se začali nazývat „algoristé“ podle jména matematika al-Khwarizmiho v latinské podobě [86] . Postupně se nový systém ujal [69] [87] . Jeho hlavní výhodou bylo zjednodušení aritmetických operací. Přitom v Německu, Francii a Anglii se nová čísla začala používat až na konci 15. století [87] .

Další překlady šly k Italovi Leonardovi z Pisy (Fibonacci), který žil ve 13. století. Ve svém hlavním díle „ The Book of the Abacus “, napsané v roce 1202, se vyslovil jako zastánce indického systému číslování a považoval metody abacistů za vybočení ze správné cesty. Pět kapitol knihy je věnováno celočíselné aritmetice. Fibonacci používal nulu jako reálné číslo, testoval ji devítkou, znal znaky dělitelnosti 2, 3, 5, 9, zlomky redukoval na společného jmenovatele pomocí nejmenších společných násobných jmenovatelů, stanovil pravidlo trojice, pravidla pro pět, sedm, devět velikostí a další pravidla proporcí, vyřešil směšovací úlohy, operoval se sčítáním řad, včetně jedné z reciprokých řad nebo Fibonacciho řady , vysvětlil metody pro přibližný výpočet druhé a třetí odmocniny. V knize The Book of the Abacus jsou spolu s důkazy uvedeny různé metody a problémy, které byly široce používány ve spisech pozdních matematiků [88] .

Thomas Bradwardin , učitel na Oxfordské univerzitě (počátek 14. století), který se později stal arcibiskupem z Canterbury , vlastní knihu Theoretical Arithmetic, což je zkrácená verze Boethiusovy aritmetiky. Kromě toho tento myslitel ve svých pracích o mechanice použil „poloviční“ poměr, na jehož základě francouzský matematik Nicholas Oresme ve svém pojednání „Algorismus vztahů“ rozvinul doktrínu zlomkových exponentů a přiblížil se také konceptu iracionálního exponent [89] [90] , který lze uzavřít mezi docela blízkými celými čísly a zlomkovými, a provedl zobecnění umocňování na kladné zlomkové exponenty. Oresmova díla vyšla až v 19. století [90] .

V roce 1484 vyšel rukopis francouzského bakaláře medicíny Nicolase Shuqueta „Nauka o číslech ve třech částech“, ve kterém zejména srovnává součin členů aritmetické progrese a součet čísel. členy geometrické progrese, předvídat logaritmy , navrhuje, aby číslo bylo považováno za kořen prvního stupně od sebe, a také používá záporné a nulové exponenty [91] . V roce 1487 Pacioli napsal své „Shrnutí [znalostí] v aritmetice, geometrii, vztazích a proporcionalitě“. V knize vydané v Benátkách v roce 1494 Pacioli nastínil různé metody aritmetických operací pomocí algebraických symbolů. Pacioli označil sčítání pomocí a odčítání pomocí . Navíc pro záporné číslo použil výraz „méně než nula“ a formuloval pravidlo, podle kterého se při násobení čísel mění znaménka [92] .

V díle Cardana „Velké umění“ v 16. století byl zaveden koncept imaginárních veličin, neboli sofistických. Ačkoli je sám Cardano považoval za zbytečné, použil je k řešení kubických rovnic Rafael Bombelli , který také zavedl pravidla pro násobení imaginárních a reálných čísel [93] . Ve stejném století se v Evropě rozšířily desetinné zlomky. Objevují se v dílech Françoise Viety , Immanuela Bonfilse , Simona Stevina . V roce 1585 v knize „Desáté“ agitoval druhý za rozšířené používání desetinných zlomků. Ve stejném roce [94] v díle „Aritmetika“ podal zásadně novou definici iracionálního čísla jako „pomocí kterého se vyjadřuje množství jakékoli věci“. Stevin považoval iracionální a částečně záporná čísla za reálná jako zlomky a jedničku považoval za dělitelnou [95] .

Stiefel ve své „Kompletní aritmetice“ zavádí definici a algoritmus pro dělení poměru poměrem [96] , podává také geometrickou interpretaci záporných čísel („nižší než nic“) a kreslí analogii mezi zavedením záporných a iracionálních čísla [97] . V roce 1569 francouzský profesor Peter Ramus , jemuž bylo královským dekretem zakázáno kritizovat Aristotela, napsal Kurz matematiky ve třiceti jedna knihách, ve kterém se pokusil dát matematice nové ospravedlnění založené nikoli na geometrii, ale na aritmetice [98 ] .

Moderní aritmetika

V 17. století námořní astronomie , mechanika a složitější komerční výpočty nastolily nové požadavky na aritmetiku pro výpočetní techniku ​​a daly impuls k dalšímu rozvoji.

Desetinná aritmetika a rozšíření pojmu číslo

Výraznou změnou prošel pojem čísla. Jestliže dříve byla pole čísel většinou připisována pouze kladná racionální čísla, pak počínaje 16. stoletím byla stále více rozpoznávána iracionální a záporná čísla. V " Geometrii " od Descarta z roku 1637 je vytvořeno spojení mezi aritmetickými a geometrickými konstrukcemi a numerické veličiny jsou na rozdíl od Euklida ve skutečnosti zbaveny rozměru a odděleny od geometrie. Poměr jakékoli veličiny k jedinému standardu je v tomto případě ekvivalentem reálného čísla, zatímco uvažování zůstalo pravdivé pro souměřitelné i nesouměřitelné segmenty, druhý Descartes sám nazýval „hluchá čísla“ ( nombres sourds ). Newton ve svých přednáškách také rozděluje čísla na tři typy: celá čísla (měřená jednotkou), zlomková (násobné zlomky jednotky) a iracionální (nesouměřitelná s jednotkou). Od roku 1710 je taková definice čísla pevně obsažena ve všech učebnicích [99] .

Periodické zlomky se objevily v díle „Desetinný účet“ ( Logistica decimalis ) od J. G. Beyera v roce 1603. Wallis na nich pokračoval v práci ve svém Pojednání o algebře v roce 1685, kde určil, že pro neredukovatelný zlomek je počet číslic období menší nebo roven . Wallis navíc ukázal konečnost zlomku se jmenovatelem tvaru , věděl také, že není možné vyjádřit iracionální čísla periodickými zlomky [100] .

Na počátku 17. století Napier vynalezl logaritmy . Použití logaritmů a desetinných zlomků, zahrnutí konceptu iracionálního čísla jako posloupnosti racionálních aproximací do aritmetiky rozšířilo na konci 17. století rozsah aritmetiky a určilo základní význam vědy pro studium spojitých veličin . [8] .

V 18. století pokračovala práce s desetinnými zlomky, zejména s nekonečnými a periodickými desetinnými zlomky. Skutečnost, že každý periodický zlomek je racionální číslo, a také to, že jakýkoli neredukovatelný zlomek obsahující ve jmenovateli jiné dělitele než dva a pět, se rozloží na periodický zlomek, dokázal Lambert v polovině 18. století . V Arithmetic Investigations by Gauss jsou hlubší vlastnosti periodických zlomků představeny pomocí teorie mocninných zbytků. V tehdejších učebnicích se však desetinné zlomky zmiňují jen tak mimochodem nebo se neuvádějí vůbec. Nepřetržité zlomky studoval Euler , který nejprve zavedl techniky pro převod nekonečných nekonečných zlomků na nekonečné řady a poté jim v roce 1748 věnoval celou kapitolu v prvním díle svého „Úvodu do analýzy nekonečna“. Euler vlastní důkaz, že jakékoli racionální číslo může být reprezentováno jako konečný zlomek a také, že periodický pokračující zlomek s jednotkami v čitatelích je kořenem kvadratické rovnice. Opak dokázal Lagrange v roce 1768 [100] . V XVIII století Euler a jeho studenti aritmetika nabývá moderních forem [8] .

Girard a Descartes geometricky interpretovali záporná čísla jako opačně orientované segmenty. Navzdory tomu, že již Descartes uvažoval o záporných kořenech rovnic spolu s kladnými, reálnými kořeny (na rozdíl od imaginárních), některé vlastnosti záporných čísel zůstávaly dlouho nejasné [101] . 1. září 1742 Euler v dopise Nicholasi I. Bernoullimu poprvé uvedl, že kořeny jakékoli algebraické rovnice mají tvar . V roce 1747 v Úvahách o společné příčině větrů d'Alembert ukázal, že . Euler ve Studiích o imaginárních kořenech přesto definuje imaginární číslo jako číslo, které „není ani větší než nula, ani menší než nula, ani rovno nule“, ale „něco nemožného“. Zároveň dokazuje větu, že každé imaginární číslo je tvořeno součtem reálného čísla a součinu reálného čísla . U jednotlivých funkcí byl problém vyřešen, nebyl nastíněn rozsah operací s imaginárními čísly. Navíc byly problémy s geometrickou interpretací imaginárních čísel [102] . První pokus provedl Wallis, který považoval imaginární čísla za úsečky kolmé na skutečná [101] , dále zde byla práce Heinricha Kuhna z roku 1753, ve které stranu čtverce se zápornou plochou považoval za pomyslné číslo [102] . Wesselovi a Arganovi se podařilo vypracovat definici Wallise až na přelomu 18.-19. století [101] .

Vznik a vývoj teorie čísel

Ve 30. letech 17. století Fermat vyčlenil teorii čísel jako samostatnou oblast aritmetiky, podle jeho názoru jen málo ovlivněnou Euklidem a případně Diofantem. Fermat se zabýval řešením diofantických rovnic a dělitelností celých čísel. Formuloval řadu tvrzení bez důkazu, zejména Fermatovu malou [103] a velkou větu [104] . Fermat nenapsal žádnou speciální práci o teorii čísel, jeho návrhy se dochovaly pouze v korespondenci, stejně jako ve formě komentářů k Diofantově Aritmetice [105] .

Jen o 70 let později Fermatova práce přitáhla pozornost Eulera , který se několik desetiletí zabýval teorií čísel [105] . Věnuje se mu čtyři a půl svazku Eulerovy 30svazkové matematické série [106] . Euler se zabýval zobecněním Fermatovy malé věty , stejně jako důkazem velké Fermatovy věty pro tento případ . Euler byl první, kdo aplikoval aparát jiných odvětví matematiky, především počet, na problémy v teorii čísel . Formuloval metodu generování funkcí , Eulerovu identitu a také problémy související se sčítáním prvočísel [107] .

Předpokládá se, že až po Eulerových dílech se teorie čísel stala samostatnou vědou [108] .

Problémy zdůvodnění aritmetiky

Proces kritické revize základů matematiky, ke kterému došlo v 19. století, je spojen s prací Lobačevského o geometrii . Již v 18. století se začaly objevovat pokusy o teoretické zdůvodnění myšlenek o čísle. Zpočátku se to týkalo pouze aritmetiky přirozených čísel, pro kterou byly aplikovány různé axiomy a definice, často nadbytečné a zároveň nedostatečné, z velké části převzaté z Euklidových Elementů . Totéž bylo v případě základních zákonů aritmetiky: komutativní a asociativní zákony pro násobení a sčítání byly zmiňovány poměrně často, distributivní zákon pro sčítání pro násobení méně často a všech pět zákonů velmi zřídka. Leibniz byl první, kdo si stanovil za úkol deduktivně konstruovat aritmetiku, a zejména ve svých Nových experimentech na lidské mysli v roce 1705 ukázal, že je třeba dokázat rovnost „dva plus dva se rovná čtyři“. Wolf v roce 1770, Schultz v roce 1790, Ohm v roce 1822, Grassmann v roce 1861 a konečně Peano v roce 1889 [109] představili své axiomy ve snaze vyřešit tento problém .

Složitost zvýraznění hlavních ustanovení aritmetiky je spojena s jednoduchostí jejích počátečních ustanovení. Teprve v polovině 19. století zvolil Grassmann systém základních axiomů, které řídí sčítání a násobení. Systém umožnil odvodit zbývající ustanovení aritmetiky jako logický důsledek z axiomů. Na základě axiomů byly prokázány komutativní , asociativní a distributivní zákony sčítání a násobení, byl zaveden koncept zlomku jako dvojice celých čísel s určitými zákony porovnávání a akce. V Grassmannově díle pokračoval Peano [8] . Existovaly další pokusy přiblížit se úplnému teoretickému zdůvodnění aritmetiky přirozených čísel, zejména práce Hilberta , dokud Gödel v roce 1932 neprokázal teorém o neúplnosti [109] .

Podobně byly pokusy o teoretické zdůvodnění racionálních zlomků, pro které byly rozlišovány dva pojmy: stejné zlomky jedné nebo poměr dvou homogenních veličin [109] . U racionálních zlomků bylo nutné dokázat správnost rovností a (  je přirozené číslo), které se používaly navíc, odčítání a zmenšování zlomků. Rovnost byla v relační teorii triviální, ale v konceptu na ní nezávislém nebyla vůbec samozřejmá. Byl však prostě považován za pravdivého [110] . Aritmetiku zlomků doložil J. Tannery v roce 1894, v jeho modelu byly zlomky reprezentovány dvojicemi celých čísel [102] .

V roce 1758 v Prvních základech aritmetiky, geometrie, rovinné a sférické trigonometrie a perspektivy Kestner argumentoval pro ospravedlnění všech aritmetických pojmů v podmínkách celého čísla. Definoval tedy, v pořadí v knize, přirozená čísla, zlomky, záporná čísla, desetinná místa, iracionální čísla a teprve potom teorii relací. Operace s iracionálními čísly se začaly zkoumat na základě jejich aproximací racionálními zlomky. Existence iracionálních čísel se přitom předem předpokládala a samy o sobě byly považovány za limity posloupnosti racionálních čísel. Pro iracionální čísla byla použita Newtonova definice jako poměr nesouměřitelných veličin (podobnou definici uvedl Euler). Podobným způsobem interpretoval iracionální čísla P. A. Rakhmanov v „Nové teorii obsahu a proporce geometricky souměřitelných a nesouměřitelných veličin, v druhém případě na základě teorie limit“. Teprve ve druhé polovině 19. století se objevily rigorózní teorie reálného čísla , které formulovali Meray , Cantor , Dedekind a Weierstrass [110] .

Při tvorbě teorie záporných čísel bylo hlavním problémem tvrzení, že záporné číslo je menší než nula, tedy menší než nic. Neexistovala žádná striktní definice záporných čísel, ale existovaly pokusy formulovat pravidla znamének („mínus krát plus dává mínus“ a „mínus krát mínus dává plus“). Francouzský matematik Carnot v roce 1813 napsal: „ Metafyzika vlády znaků, je-li studována hlouběji, odhaluje možná větší obtíže než metafyzika nekonečně malých veličin; toto pravidlo nebylo nikdy zcela uspokojivým způsobem prokázáno a zřejmě ani dostatečně uspokojivě prokázáno být nemůže .“ První pokusy o formulaci teorie záporných čísel byly učiněny v polovině 19. století a patří Hamiltonovi a Grassmannovi [111] .

Kompletní geometrickou interpretaci komplexních čísel navrhl Caspar Wessel v „Essay on the Analytic Representation of Direction and its Applications, Principally to the Solution of Plane and Spherical Polygons“ v roce 1799. Wessel chtěl pracovat s nasměrovanými úsečkami v rovině pomocí algebraických operací, ale pro reálná čísla umožňovaly pouze změnu směru na opačný a nikoli směr libovolný. Wessel použil základní jednotky , , , a pomocí pravidel násobení dospěl k závěru, že . Wesselovo dílo zůstalo bez povšimnutí asi 100 let. Během této doby Jean Robert Argand v letech 1813–14, Scheiss v roce 1831 v The Theory of Biquadratic Residues a Hamilton v roce 1832, kteří vybudovali aritmetickou teorii tím, že považovali komplexní čísla za dvojice reálných čísel, představili svou interpretaci imaginárních čísel [102 ] .

Wessel se pokusil teorii zobecnit na trojrozměrný prostor, ale neuspěl. Otázka zůstala otevřená, dokud Hamilton nepostavil teorii čtveřic , jejichž násobení neplatí komutativní zákon. Studie Weierstrasse, Frobenia a Pierce zároveň ukázaly, že pro jakékoli rozšíření pojmu čísla za hranice komplexních čísel by bylo nutné opustit některý ze zákonů aritmetiky [102] .

Historie aritmetiky v Rusku

V Rusku se používal analog starověkého řeckého číslování pomocí písmen cyrilice nebo hlaholice . Současně, na rozdíl od mnoha národů, kteří dávali číselné hodnoty novým písmenům, v Rusku až na výjimky nadále používali písmena řecké abecedy nebo podobná písmena. Čísla se psala ve stejném pořadí, v jakém se vyslovovala, tedy v čísle 15, nejprve byl znak pro pět a poté pro deset, zatímco v čísle 25 - nejprve pro 2 a poté pro 5. Cyrilice nejrozšířenější bylo číslování [ 112] . Aritmetika v Rusku byla nazývána moudrostí štětce , nebo "Černá kniha" , odkud černá kniha pochází . Knihy o aritmetice dokázalo přečíst a pochopit jen málo lidí, protože obsahovaly aritmetická pravidla a výpočty a byly složeny z nejasných znaků [31] .

Matematické problémy z právní sbírky „ Ruská pravda “ pocházejí z 11. století – první matematický dokument starověkého Ruska, který se k nám dostal, obsahující problémy o potomcích hospodářských zvířat, množství obilí a sena sebraných z určité oblasti. . Další rozvoj vědy zastavila mongolsko-tatarská invaze [113] . Na konci 16. století se objevila „Kniha, doporučení v řečtině pro aritmetiku, v němčině pro algorismus a v ruštině pro moudrost numerického počítání“, která byla podle Karamzina první ruskou aritmetikou [114] .

Předpokládá se, že arabské číslice byly v Rusku zavedeny po první zahraniční cestě Petra I. [115] , když v roce 1698 přivedl námořní důstojníky z Londýna . Jedním z důstojníků byl Fergarson, o kterém se předpokládá, že zavedl do Ruska arabské číslice [114] . Ale ve skutečnosti přišli do Ruska dávno před Petrem, v roce 1647 byla v Moskvě dekretem cara Alexeje Michajloviče vytištěna ruská vojenská charta, ve které byly použity arabské číslice. Knihy tištěné v ruštině mimo Rusko obsahovaly arabské číslice z počátku 16. století. Zároveň bylo v textu použito slovanské číslování a pro výpočty arabské [116] .

V roce 1682 vyšla v Moskvě první kniha matematického obsahu „Pohodlné počítání, které každý, kdo velmi pohodlně nakupuje nebo prodává, najde, množství všelijakých věcí“, která obsahovala násobilky až do 100 a používala slovanský jazyk. číslování. Druhé vydání této knihy, vydané v roce 1714 v Petrohradě , bylo vytištěno civilním písmem a arabskými číslicemi. V roce 1699 byla v Amsterodamu vydána kniha „Stručný a užitečný průvodce aritmetikou aneb k výuce a poznání jakéhokoli výkladu v kombinaci všech věcí“ – první učebnice aritmetiky v ruštině. Knihu sestavil Ilja Fedorovič Kopievič (nebo Kopievskij) na objednávku archangelských obchodníků. Neuspokojila zákazníky a nedostala distribuci [116] .

V Rusku byla v roce 1703 vydána první učebnice aritmetiky od Leontyho Magnitského [115] . V Magnitského "Aritmetice", po zbytku Evropy, se počítání používá podle počtu prstů na rukou: čísla od 1 do 9 se nazývají "prsty", nula - "nic", desítky - "složení" a zbytek čísel - "skladby" [kom . 2] [117] .

Poznámky

Komentáře
  1. ↑ Nechť je třeba najít kořen ,  - první aproximace s nevýhodou,  - aproximace s přebytkem. Druhá aproximace je tvořena aritmetickým průměrem vzorce , a odpovídá mu , atd.) [27] .
  2. ↑ Herbert (940-1003) používá „digiti“, „articuli“, „compositi“. Leonardo z Pisy (začátek 13. století) má „unitates“, „deceni“, „desetiletí“. Autoři renesance  – „monadici“, „dekády“ [117] .
Prameny
  1. ↑ 1 2 Boyer & Merzbach, 2010 , Pojmy a vztahy.
  2. ↑ MacDuffee , C.C. Aritmetika  . Encyklopedie Britannica. Získáno 20. března 2012. Archivováno z originálu dne 27. května 2012.
  3. ↑ 1 2 3 4 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 9-12.
  4. ↑ Depman, 1965 , str. 18-20.
  5. ↑ Mach E. Poznání a klam // Albert Einstein a teorie gravitace. - M. : Mir, 1979. - S. 74 (poznámka pod čarou). — 592 s. : "než vyvstane pojem čísla, musí existovat zkušenost, že v určitém smyslu existují předměty stejné hodnoty mnohonásobné a neměnné ."
  6. ↑ Mallory, JP Encyklopedie indoevropské kultury / JP Mallory, QA Douglas. - L.  : Fitzroy Dearborn Publishers, 1997. - S. 398. - ISBN 9781884964985 .
  7. ↑ 1 2 3 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 12-13.
  8. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Arnold, 1970 .
  9. ↑ Frolov, B. A. Čísla v paleolitické grafice. - Novosibirsk: Nauka, 1974. - S. 93-94.
  10. ↑ Aritmetika, 1951 , str. 12-13.
  11. ↑ Aritmetika, 1951 , str. 24.
  12. ↑ Belyustin, 1909 , Kapitola 4: Různé číselné soustavy .
  13. ↑ Menninger, 2011 , str. 100.
  14. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 19-20.
  15. ↑ Scott, 1958 , str. osm.
  16. ↑ 1 2 Depman, 1965 , str. 49-52.
  17. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 21.
  18. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 23-24.
  19. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 25.
  20. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 34.
  21. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 35.
  22. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 37-39.
  23. ↑ 1 2 Scott, 1958 , str. deset.
  24. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 36.
  25. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 40.
  26. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. padesáti.
  27. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 46-47.
  28. ↑ 12 Scott , 1958 , s. 40-41.
  29. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 62.
  30. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 64.
  31. ↑ 1 2 Depman, 1965 , str. 53-54.
  32. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 67.
  33. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 68.
  34. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 68-69.
  35. ↑ Scott, 1958 , str. dvacet.
  36. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 70-72.
  37. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 73.
  38. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 74-76.
  39. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 88-89.
  40. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 94-98.
  41. ↑ Dějiny matematiky, díl II, 1970 , str. 33-35.
  42. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 106.
  43. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 111-114.
  44. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 128.
  45. ↑ Vygodsky, 1967 , s. 265.
  46. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 139.
  47. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 143.
  48. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 144-146.
  49. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 146-148.
  50. ↑ Depman, 1965 , str. 57-58.
  51. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 156-157.
  52. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 178.
  53. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 157-160.
  54. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 160-161.
  55. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 162-163.
  56. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 163-164.
  57. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 167-169.
  58. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 154.
  59. ↑ Depman, 1965 , str. 62-68.
  60. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 181-183.
  61. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 183-185.
  62. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 185.
  63. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 190-191.
  64. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 201.
  65. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 194-195.
  66. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 205-209.
  67. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 209-210.
  68. ↑ 1 2 Depman, 1965 , str. 72-78.
  69. ↑ 1 2 Depman, 1965 , str. 90-94.
  70. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 211-212.
  71. ↑ 1 2 3 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 212-214.
  72. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 214-216.
  73. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 216-218.
  74. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 218-219.
  75. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 227-229.
  76. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 249-250.
  77. ↑ Menninger, 2011 , str. 80-81.
  78. ↑ Menninger, 2011 , str. 83-84.
  79. ↑ Ifrah, 2000 , str. 310.
  80. ↑ Boyer & Merzbach, 2010 , Rané číselné základy.
  81. ↑ Depman, 1965 , str. 61.
  82. ↑ Depman, 1965 , str. 59.
  83. ↑ Ifrah, 2000 , str. 308.
  84. ↑ Ifrah, 2000 , str. 322.
  85. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 254-256.
  86. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 256-257.
  87. ↑ 1 2 Aritmetika, 1951 , str. 50-57.
  88. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 261-265.
  89. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 270-271.
  90. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 275-277.
  91. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 289-290.
  92. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 286-287.
  93. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 296-297.
  94. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 301-303.
  95. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 304-306.
  96. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 306-307.
  97. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 316.
  98. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 307.
  99. ↑ Dějiny matematiky, díl II, 1970 , str. 34-36.
  100. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl III, 1972 , str. 45-47.
  101. ↑ 1 2 3 Dějiny matematiky, díl II, 1970 , str. 36-39.
  102. ↑ 1 2 3 4 5 Dějiny matematiky, díl III, 1972 , str. 61-66.
  103. ↑ Dějiny matematiky, díl II, 1970 , str. 74.
  104. ↑ Dějiny matematiky, díl II, 1970 , str. 78.
  105. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl II, 1970 , str. 73-74.
  106. ↑ Dějiny matematiky, díl III, 1972 , str. 37-38.
  107. ↑ Teorie čísel / A. A. Karatsuba // Chagan - Aix-les-Bains. - M .  : Sovětská encyklopedie, 1978. - ( Velká sovětská encyklopedie  : [ve 30 svazcích]  / šéfredaktor A. M. Prochorov  ; 1969-1978, sv. 29).
  108. ↑ Dějiny matematiky, díl II, 1970 , str. 17.
  109. ↑ 1 2 3 Dějiny matematiky, díl III, 1972 , str. 47-49.
  110. ↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl III, 1972 , str. 49-52.
  111. ↑ Dějiny matematiky, díl III, 1972 , str. 52-56.
  112. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 252.
  113. ↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 252-253.
  114. ↑ 1 2 Aritmetika, věda // Encyklopedický slovník Brockhausův a Efronův  : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
  115. ↑ 1 2 Uspensky, G.P. Zkušenosti s vyprávěním ruských starožitností . - Charkov: Univerzitní tiskárna, 1818. - S. 532. - 818 s.
  116. ↑ 1 2 Depman, 1965 , str. 90-94.
  117. ↑ 1 2 Depman, 1965 , str. 90-94.

Literatura

 Historie matematiky
Země a éry
Tematické
sekce
viz také