Aritmetický

Aritmetika ( jiné řecké ἀριθμητική , aritmētikḗ - od ἀριθμός , arithmós "číslo") je odvětví matematiky , které studuje čísla , jejich vztahy a vlastnosti. Předmětem aritmetiky je pojem čísla ( přirozená , celočíselná , racionální , reálná , komplexní čísla) a jeho vlastnosti. Aritmetika se zabývá měřením , výpočetními operacemi ( sčítání , odčítání , násobení ,dělení ) a metody výpočtu. Studium vlastností jednotlivých celých čísel se zabývá vyšší aritmetikou neboli teorií čísel . Teoretická aritmetika věnuje pozornost definici a analýze pojmu číslo, zatímco formální aritmetika pracuje s logickými konstrukcemi predikátů a axiomů . Aritmetika je nejstarší a jedna z hlavních matematických věd; to je blízko příbuzné algebře , geometrii a teorii čísel [1] [2] .

Důvodem pro vznik aritmetiky byla praktická potřeba počítání a výpočtů souvisejících s účetními úkoly při centralizaci zemědělství . Věda se vyvíjela spolu s rostoucí složitostí problémů, které je třeba řešit. Velkým přínosem pro rozvoj aritmetiky byli řečtí matematici - zejména pythagorejští filozofové , kteří se snažili pochopit a popsat všechny zákony světa pomocí čísel.

Ve středověku patřila aritmetika po novoplatonicích mezi tzv. sedm svobodných umění . Hlavními oblastmi praktického uplatnění aritmetiky pak byly obchod , navigace , stavebnictví . V tomto ohledu získaly zvláštní význam přibližné výpočty iracionálních čísel , které jsou nezbytné především pro geometrické konstrukce. Aritmetika se rozvíjela obzvláště rychle v Indii a zemích islámu , odkud nejnovější výdobytky matematického myšlení pronikly do západní Evropy ; Rusko se seznámilo s matematickými znalostmi „jak od Řeků, tak od Latinů“.

S nástupem nového věku, námořní astronomie , mechanika a stále složitější komerční výpočty předložily nové požadavky na výpočetní techniky a daly impuls k dalšímu rozvoji aritmetiky. Na začátku 17. století Napier vynalezl logaritmy a poté Fermat vybral teorii čísel jako nezávislou část aritmetiky. Koncem století se vytvořila představa o iracionálním čísle jako posloupnosti racionálních aproximací a v průběhu příštího století, díky pracím Lamberta , Eulera , Gausse , aritmetika zahrnovala operace s komplexními veličinami, čímž získala moderní vzhled. .

Následující historie aritmetiky byla poznamenána kritickou revizí jejích základů, pokusy o její deduktivní zdůvodnění. Teoretické zdůvodnění myšlenky čísla je spojeno především s přísnou definicí přirozeného čísla a Peanovými axiomy , formulovanými v roce 1889. Důslednost formální konstrukce aritmetiky ukázal Gentzen v roce 1936.

Základům aritmetiky je ve výuce na základní škole dlouhodobě a vždy věnována velká pozornost .

Předmět aritmetiky

Předmětem aritmetiky jsou číselné množiny , vlastnosti čísel a operace s čísly [3] . Zahrnuje také otázky týkající se techniky počítání, měření [4] , vzniku a vývoje pojmu číslo [1] . Aritmetické studium, především přirozená čísla a zlomky [5] . Na základě axiomatické struktury množiny přirozených čísel se konstruují další číselné množiny včetně celých čísel , reálných a komplexních čísel a provádí se jejich analýza [1] . Někdy jsou v rámci aritmetiky uvažovány také čtveřice a další hyperkomplexní čísla . Z Frobeniovy věty přitom vyplývá, že rozšíření pojmu číslo za komplexní rovinu bez ztráty některé z jeho aritmetických vlastností je nemožné [6] [7] .

Mezi hlavní operace s čísly patří sčítání , odčítání , násobení a dělení [3] , méně často - umocňování , získávání odmocniny [4] a řešení numerických rovnic [3] . Historicky do seznamu aritmetických operací patřil i vlastní výpočet , zdvojnásobení (kromě násobení), dělení dvěma a dělení se zbytkem (kromě dělení), zjištění součtu aritmetických a geometrických posloupností [8] . John Napier ve své knize The Art of Logistics rozdělil aritmetické operace do kroků: nejnižším krokem je sčítání a odčítání, dalším krokem je násobení a dělení, pak zvýšení na mocninu a odebírání kořenů [9] . Známý metodik I. V. Arnold také odkázal logaritmus na operace třetího stupně [10] . Tradičně se aritmetika nazývá provádění operací na různých objektech, např.: "aritmetika kvadratických forem ", "aritmetika matic " [1] .

Vlastní matematické výpočty a měření nutné pro praktické potřeby ( proporce , procenta , trojité pravidlo ) jsou klasifikovány jako nižší nebo praktická aritmetika [3] , zatímco logický rozbor pojmu číslo se označuje jako teoretická aritmetika [1] . Vlastnosti celých čísel, jejich dělení na části, konstrukce spojitých zlomků jsou nedílnou součástí teorie čísel [1] , která byla dlouhou dobu považována za vyšší aritmetiku [3] . S algebrou úzce souvisí i aritmetika , která studuje skutečné operace bez zohlednění rysů a vlastností čísel [1] [11] . Technickou částí algebry jsou aritmetické operace, jako je umocnění a vyjmutí odmocnin. V tomto ohledu je algebra po Newtonovi a Gaussovi považována za zobecnění aritmetiky [3] [4] . Obecně řečeno, neexistují žádné jasné hranice mezi aritmetikou, elementární algebrou a teorií čísel. TSB říká: „ Algebra studuje pomocí písmenných označení obecné vlastnosti numerických systémů a obecné metody řešení problémů pomocí rovnic; aritmetika se zabývá metodami výpočtu se specificky danými čísly a ve vyšších oblastech (viz Teorie čísel) jemnějšími individuálními vlastnostmi čísel “ [12] .

Jako jiné akademické disciplíny , aritmetika stojí před základními metodologickými problémy; k tomu je nutné studovat problematiku konzistence a úplnosti axiomů [3] . Logické konstrukce formálního systému predikátů a axiomů aritmetiky jsou prováděny formální aritmetikou [2] .

Nejjednodušší pojmy

Ordinální počítání, přirozená čísla

Nejjednodušší aritmetický koncept je pořadový počet . Předmětem počítání jsou různé prvky nebo jejich sady, například jablka a košíky jablek. Pomocí pořadového počtu můžete očíslovat prvky a určit jejich celkový počet .

Pořadové počítání je spojeno s počítáním po skupinách obsahujících určitý stejný počet prvků – například počítání po desítkách jablek. Obvykle se jedná o prsty na dvou rukou (základ se rovná ), ale v historických pramenech jsou seskupení podle . Počet prvků ve skupině slouží jako základ pro číselnou soustavu [11] . $deset$ $5,11,12,20,40,60,80$

Číselná řada získaná počítáním se nazývá přirozená a její prvky se nazývají přirozená čísla. Pojem přirozených řad se poprvé objevil v dílech řeckého matematika Nicomacha v 1. století našeho letopočtu. e., a přirozené číslo - římským autorem Boethius koncem 5. - začátkem 6. stol. Obecné použití termínu začíná prací d'Alemberta v 18. století. Archimedes ve svém díle „Psammit“ poukázal na to, že číselná řada může pokračovat donekonečna, ale zároveň si všiml, že na skutečné problémy stačí malý segment [13] . Rozdělení přirozených čísel na sudá a lichá je připisováno Pythagorejcům , nechybí ani v egyptském papyru Rinda . Pythagorejci také definovali prvočísla a složená čísla [14] .

Sčítání, násobení, umocňování

Aritmetické operace

Sčítání (+)

1. termín + 2. termín =

součet

Odečítání (-)

Sníženo − Odečteno =

rozdíl

Násobení (×)

1. násobitel × 2. násobitel =

práce

divize (:)

Dividenda : dělitel =

soukromé

Dělení se zbytkem (mod)

Dělitelný mod dělitel =

zbytek divize

Umocnění (^)

{\text{base}}^{\text{exponent}}

stupeň

Extrakce kořenů (√)

{\sqrt[{\text{value}}]{\text{number}}}

vykořenit

logaritmus (log)

\log _{\text{base}}

(číslo) =

logaritmus

Pro přirozená čísla jsou přirozeně definovány operace sčítání a násobení. Při kombinaci dvou sad obsahujících určitý počet položek bude mít nová sada tolik položek, jako měly první dvě sady dohromady. Pokud první sada obsahovala položku a druhá sada obsahovala položku , pak jejich součet bude obsahovat položky. Tato akce se nazývá sčítání a je to nejjednodušší binární operace [4] . Pro kontrolu správnosti součtu není nutné znát sčítací tabulku, stačí položky spočítat [15] . $3$ $2$ $3+2=5$

Vícenásobné sčítání prvků více stejných množin nezávisí na pořadí těchto množin, což umožnilo definovat další binární operaci - násobení [4] . Kromě násobení existovala v dávných dobách samostatná aritmetická operace – zdvojnásobení neboli násobení dvěma [16] .

Analogicky s definicí násobení pomocí sčítání vám vícenásobné násobení umožňuje definovat operaci zvyšování na mocninu.

Základní zákony aritmetiky

O vlastnostech těchto operací je formulováno pět zákonů, které jsou považovány za základní zákony aritmetiky [17] :

Komutativnost: komutativní zákon sčítání říká, že součet se nemění od změny místa členů . Podobný zákon je známý pro násobení, ale samozřejmě mluví o faktorech a součinech. Tyto zákony lze vyjádřit v algebraické formě pomocí písmenné notace:

a+b=b+a

a\cdot b=b\cdot a

Asociativita: Asociativní zákon sčítání říká, že přidáním několika výrazů je můžete seskupit v libovolném pořadí . Podobný zákon pro násobení hovoří o násobení faktorů. Tyto zákony lze také vyjádřit v algebraické formě:

(a+b)+c=a+(b+c)

(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)

Distributivita: Distributivní zákon říká: Chcete-li vynásobit součet číslem, můžete vynásobit každý člen tímto číslem a poté sečíst výsledné produkty . V algebraickém tvaru:

(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c

Pro přirozená čísla platí kromě základních aritmetických zákonů také zákony monotonie sčítání a násobení [18] [19] , která se v algebraickém tvaru zapisují takto:

a+b>a+c

v ;

b>c

a\cdot b>a\cdot c

v a .

b>c

a>0

Termín „komutativní“ pro komutativní zákon zavedl v roce 1814 francouzský matematik Servois . Termín „asociativní“ pro asociační zákon zavedl v roce 1853 Hamilton [17] .

Poincare zvažoval všechny aritmetické operace a zákony z hlediska intuice . Tvrzením, že zákony zjevně platí pro malá čísla, a použitím pravidla indukce lze usoudit, že platí pro všechna čísla. Při jiném přístupu nejsou všechny, ale pouze nejjednodušší zákony považovány za intuitivně proveditelné, přičemž další důkaz je spojen s logickými konstrukcemi [20] . Komutativní a asociativní zákony byly přijímány jako samozřejmé [17] . Distributivní, neboli distributivní zákon v jeho „Principech“ dokázal dokonce Euklides pomocí geometrické metody [21] .

Operace umocňování již není komutativní a není asociativní, má svá pravidla. Základní pravidla pro provádění této operace s kladnými mocnostmi vyplývají zřejmým způsobem z její definice [4] . V algebraické formě je lze zapsat takto:

Distributivita je distributivní zákon pro operaci umocňování:

{\displaystyle a^{n+m}=a^{n}a^{m))

v případě odčítání má tvar zlomku:

a^{nm}={a^{n} \over {a^{m}}},\quad n>m

Opakované umocňování se projevuje jako násobení mocnin:

\left(a^{n}\right)^{m}=a^{nm}

Zpětné operace

Všechny aritmetické operace mají inverze: sčítání má odčítání, násobení má dělení, umocňování má aritmetický kořen a logaritmus. Skutečnost, že sčítání a násobení mají navzdory své binárnosti jednu inverzní operaci, se vysvětluje jejich komutativitou.

Odečítání: záporná čísla

Odečítání je inverzní operace sčítání: rozdíl dvou čísel a je z rovnice [4] . Operace odčítání je označena znaménkem "−" a zapisuje se jako . K provedení operace byly použity dvě metody: počítání od klesajícího počtu jednotek subtrahendu nebo výběr čísla, jehož přidáním k subtrahendu by bylo dosaženo redukovaného [16] . $5$ $2$ $X$ $2+x=5$ $5-2=3$

Operace odčítání, pokud je aplikována na všechny dvojice přirozených čísel, a nejen na ty, které by mohly být součtem a členy v rámci operace sčítání, vám umožní jít za přirozenou řadu, tedy rozdíl dvou přirozených čísel. čísla nemusí být nutně přirozené číslo - při odečítání může být nula nebo dokonce záporné číslo. Záporná čísla již nelze považovat za počet objektů, nacházejí se na číselné ose vlevo od nuly. Množina čísel získaná přičtením záporných čísel a čísla nula k přirozeným číslům se nazývá množina celých čísel. Nula a množina přirozených čísel se nazývají nezáporná celá čísla [4] . Při násobení, abyste určili, zda součin čísel bude kladný nebo záporný, použijte „pravidlo znamének“ [22] .

Záporná čísla byla až do 19. století mnohými matematiky považována za falešná a nesmyslná, což však nezabránilo jejich širokému formálnímu používání. Poprvé se koncept záporných čísel objevil v Indii, kde byly interpretovány jako "dluh" (kladná čísla - "majetek"). Ale záporná čísla se rozšířila až v 17. století [23] . Termín „odčítání“ se objevil u Boethia , termíny „odečíst“ a „redukovat“ zavedl Wolf v roce 1716, „rozdíl“ – Widman v roce 1489 [16] . Moderní označení se znaky „+“ a „−“ zavedl koncem 15. století také Widmann.

Dělení: racionální čísla

Inverzní operace násobení je operace dělení. První definice dělení je nalezení čísla, které je v dividendě tolikrát, kolikrát je 1s v děliteli. Taková definice je uvedena v učebnicích aritmetiky XIV století - například . Divize byla považována za velmi složitou a těžkopádnou operaci. Moderní způsob dělení pomocí dílčích součinů dělitele jednotlivými číslicemi kvocientu ( sloupcové dělení ) představuje italský rukopis z roku 1460 [16] . $20:4=5$

Pro přirozená čísla, která nejsou násobitelem a součinem, je známo dělení operace se zbytkem (a definice skutečného zbytku z dělení se také nazývá modulo dělení ). Existuje také mnoho způsobů, jak zjednodušit dělení v různých speciálních případech nebo zkontrolovat dělitelnost konkrétním číslem. Například:

číslo beze zbytku je dělitelné dvěma, je-li jeho poslední číslice v desítkovém zápisu dělitelná dvěma;
číslo beze zbytku je dělitelné třemi, je-li součet všech jeho číslic v desítkovém zápisu dělitelný třemi;
Číslo je dělitelné deseti beze zbytku, pokud je jeho poslední číslice v desítkovém zápisu nula.

Operace dělení, pokud dělíte nejen ta čísla, která lze získat násobením přirozených čísel, a zároveň nevybíráte zbytek, stejně jako odčítání, umožňuje jít za množinu přirozených čísel. Při dělení lze získat zlomky , které nelze beze zbytku zredukovat na celek. Čísla odpovídající takovým zlomkům se nazývají racionální. Vzhledem k povědomí o racionálních číslech založených na dělení dochází k dalšímu rozšíření seznamu známých typů čísel. Historicky se nejprve objevil pojem zlomek a poté záporné číslo [24] . Stejné pořadí je přijato ve školním kurzu [25] .

Používají se dvě formy zápisu zlomků - ve formě čitatele a jmenovatele, oddělených vodorovnou nebo lomítkem a často zmenšených na minimální čísla, a ve formě zlomkových číslic, umístěných za oddělovačem celé a zlomkové části v poziční zápis čísla . Například výsledek dělení 10 20 lze zapsat jako . ${\frac {10}{20}}=10/20=5/10=1/2=0{,}5$

Extrahování odmocniny: iracionální a komplexní čísla

Jednou ze dvou inverzních operací pro zvýšení na mocninu je extrahování odmocniny , neboli nalezení čísla, které po umocnění na příslušnou mocninu poskytne známý výsledek. To je, řečeno algebraicky, toto je hledání kořene pro rovnici tvaru . Druhou inverzní operací je hledání logaritmu (kořen pro rovnici tvaru ). Aritmetika zpravidla zahrnuje pouze výpočet odmocniny druhého stupně - odmocniny . $x^{a}=b$ $a^{x}=b$

Operace výpočtu odmocniny, pokud se neprovádí pouze pro ta čísla, která lze získat umocněním přirozených čísel, stejně jako další inverzní operace, umožňuje jít za množinu přirozených čísel. Čísla, která z toho vyplývají, často nemohou být reprezentována jako konečné racionální zlomky, a proto se nazývají iracionální. Soubor čísel získaných přidáním iracionálních čísel k číslům racionálním se nazýval reálný nebo reálný .

Již ve starověkém Řecku se vědělo o existenci nesouměřitelných segmentů , alespoň na příkladu stran a úhlopříčky čtverce se stranou branou jako jednotka, a byly činěny pokusy získat pro ně přesné číselné hodnoty, který se odrážel v Euklidových " Principech " . Reálná čísla se stala předmětem zkoumání až v 17.-18. Ve druhé polovině 19. století formulovali Dedekind , Cantor a Weierstrass své vlastní konstruktivní způsoby definování reálného čísla [26] .

Pro operaci extrakce kořene je známo následující pravidlo [4] :

a^{n \over m}={\sqrt[{m}]{a^{n))}

Další rozšíření množiny čísel bylo způsobeno nemožností extrahovat druhou odmocninu ze záporného čísla. Podobný problém byl postaven ve starověku při řešení kvadratických rovnic a takové rovnice byly jednoduše považovány za neřešitelné. V první polovině 16. století začali řešení takových rovnic vyjadřovat pomocí odmocnin ze záporných čísel a nazývali takové kořeny „imaginární“, „nemožné“, „imaginární“ atd. [27]

Praktická aritmetika

Praktická stránka aritmetiky zahrnuje metody, schémata a algoritmy pro provádění přesných aritmetických operací, včetně použití počítacích strojů a dalších zařízení, jakož i různé metody přibližných výpočtů, které se objevily kvůli nemožnosti získat přesný výsledek u některých měření. a umožní vám určit jeho pořadí, tedy první platné číslice [28] .

Nejjednodušší počítací zařízení
římské počítadlo
Čínský suanpan
Yupana Inků
Ruské počítadlo

Přesné metody

Od 15. století byly navrhovány různé algoritmy pro provádění aritmetických operací na vícehodnotových číslech, které se liší povahou záznamu mezivýpočtů [1] . Aritmetické algoritmy jsou postaveny na současném pozičním číselném systému , kdy každé kladné reálné číslo je jednoznačně reprezentovatelné ve tvaru $X$

x=(a_{n-1}a_{n-2}\tečky a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\tečky )_{b}=\součet _{k= -\infty }^{n-1}a_{k}b^{k}

, kde je další číslice čísla , je základ číselné soustavy, je počet číslic celé části čísla .

A

X

b

n

X

Všechny operace s čísly používají tabulky sčítání a násobení do deseti a základní aritmetické zákony. Pro ilustraci uvádí slavný popularizátor vědy Klein následující příklad:

7\cdot 12=7\cdot (10+2)=70+14=70+(10+4)=(70+10)+4=80+4=84,

který používá zákony distributivní a kombinační [29] .

Potřeba rychlých a přesných výpočtů vedla k vytvoření nejjednodušších počítacích zařízení: abacus , suanpan , yupans nebo account . Dalším krokem bylo vytvoření logaritmického pravítka Oughtredem v roce 1622 , které umožňuje násobení a dělení [30] .

Počítačová aritmetika

Knuth považoval aritmetické operace za „hromadu počítačů “ [31] . První počítače , které umožňovaly mechanizovat čtyři aritmetické operace, byly sestrojeny v 17. století. Shikkardův aritmetický stroj , jak jej sám nazval, byl postaven v roce 1623. Operace sčítání a odčítání prováděly rotující válce, speciální válce byly i na násobení a dělení. Stroj navíc unesl desítky. Pascalův stroj vyvinul v roce 1642, aby pomohl jeho otci s finančními výpočty. Měl stejný princip fungování jako stroj Shikkard. Hlavní částí stroje byl převáděcí mechanismus desítek. Rukodělná výroba takových strojů přitom stále zůstávala nerentabilní [32] . Pokusy o vylepšení sčítacího stroje pokračovaly po celé 18. století, ale teprve v 19. století se používání sčítacích strojů rozšířilo [33] .

Ve 20. století byly sčítací stroje nahrazeny elektronickými počítači. Jsou založeny na algoritmech, které k provádění aritmetických operací využívají nejmenší počet elementárních operací [1] . Počítačová aritmetika zahrnuje algoritmy pro provádění operací s čísly s pohyblivou řádovou čárkou , zlomky a velmi velkými čísly [31] .

Rozměr

Kromě položek, které podléhají přepočtu, existují položky, které lze změřit - v první řadě jsou to délka a hmotnost [34] .

Stejně jako u počítání byly prvními měřítky délky u lidí prsty. Potom začali měřit vzdálenost v krocích, dvojitých krocích, mílích (tisíc dvojitých kroků), etapách . Kromě toho byly k měření délky použity lokty, dlaně, sáhy , palce . V různých regionech byly zavedeny vlastní systémy opatření, které byly zřídka násobkem deseti [35] . Rozmanitost opatření zejména umožnila obejít se bez použití frakcí [36] [37] . Obchodní aritmetika zahrnovala schopnost pracovat s hodnotami (peněžními jednotkami, měrnými jednotkami a váhami) v nedesítkové číselné soustavě [38] .

Francouzská revoluční vláda přijala na konci 18. století metrický systém měr na základě dočasného a poté archivního (zákonem z 10. prosince 1799) měřiče ( Francie na něj nakonec přešla od 1. ledna 1840). Společně s metrem byl definován i kilogram . Metrický systém je založen na desítkové soustavě. Právě tato okolnost umožnila jeho rozšíření téměř do celého světa (s výjimkou Velké Británie a USA ). Výnosem zvláštního Mezinárodního úřadu pro míry a váhy se sídlem v Paříži v roce 1888 byly vyrobeny mezinárodní metr a mezinárodní kilogram ze slitiny platiny a iridia - normy pro míry a váhy. Kromě měr času a úhlu jsou s desítkovou soustavou spojeny i všechny ostatní měrné jednotky [39] .

Přibližné metody

Historicky přibližné výpočty vznikaly při hledání délky úhlopříčky jednotkového čtverce, ale rozšířily se při přechodu na desítkovou soustavu a používání konečných desetinných zlomků místo iracionálních čísel a čísel vyjádřených nekonečným periodickým zlomkem [40] .

Pro vyhodnocovací výpočty se v první řadě používají zákony monotonie. Chcete-li například určit pořadí produktu , můžete použít následující odhad: [29] . $567\cdot 134$ $560\cdot 130<567\cdot 134<570\cdot 140$

Teorie čísel

Teorie čísel nebo vyšší aritmetika je věda o celých číslech, která vznikla z aritmetických problémů souvisejících s dělitelností čísel [41] . Elementární teorie čísel se zabývá problémy, které jsou řešeny elementárními metodami, obvykle bez použití imaginárních čísel. Zahrnuje teorii dělitelnosti, teorii srovnání, neurčité rovnice , dělení na členy , aproximace racionálními čísly, pokračující zlomky [42] . Základní věta aritmetiky - o dělení čísla na prvočinitele jedinečným způsobem - je také součástí elementární teorie čísel [43] .

Samostatné podtřídy celých čísel, jako je prvočíslo, složený, čtverec , dokonalá čísla , byly identifikovány starověkými Řeky . Odvodili vzorce pro určení pythagorejských trojic, největšího společného dělitele , ukázal nekonečno počtu prvočísel. Diophantus provedl systematizaci problémů souvisejících s celými čísly. V dílech Diophanta pokračoval Fermat v 17. století a Euler v 18. století. Fermat se zabýval řešením rovnic v celých číslech a formuloval bez důkazu Fermatovy malé a velké teorémy . Euler, pokračující ve Fermatově výzkumu, dokázal malou větu a speciální případ velké Fermatovy věty. Jako první použil matematickou analýzu k řešení problémů v teorii čísel a vytvořil analytickou teorii čísel. Euler definoval generující funkce , na jejichž základě byla postavena kruhová metoda a metoda goniometrických součtů [41] .

V současnosti kromě elementární a analytické teorie čísel existují sekce jako aditivní , algebraická , pravděpodobnostní , metrická teorie čísel [41] .

Teoretická aritmetika

V moderní matematice , konstrukce teorie je výběr základních vlastností nebo axiomů , od kterého to je vyžadováno odvodit všechna ustanovení teorie nebo teorémů , používat obecně přijímanou logiku [44] . Teoretická konstrukce aritmetiky pracuje s algebraickými pojmy. Složitost zvýraznění základních definic aritmetiky je spojena s jednoduchostí jejích počátečních pozic. Peano , který se obával falešné asociativní řady při používání slov, prováděl důkazy výhradně v jazyce symbolů a spoléhal pouze na jím přijatá předběžná ustanovení. Cantor a Dedekind spojovali čísla s množinami a abstraktní vztahy nad nimi [20] . Teorie množin považuje aritmetické operace za speciální vztahy mezi trojicemi prvků, ve kterých je jeden prvek určen pomocí dvou dalších, nebo za algebraické operace [45] . Když mluvil o teorii množin, Klein poznamenal, že s tímto přístupem se vývoj teorie stává „abstraktním a těžko dostupným“ [20] .

Přirozená čísla

V roce 1810 definoval český matematik Bolzano operaci sčítání pro přirozená čísla. Nezávisle na něm podobnou definici uvedli němečtí matematici Grassmann v roce 1861 a Hankel v roce 1869 [46] . Encyklopedie elementární matematiky nabízí následující definici sčítání přirozených čísel [47] :

Definice. Sčítání přirozených čísel je taková korespondence, která odpovídá každé dvojici přirozených čísel a odpovídá pouze jednomu přirozenému číslu, které má následující vlastnosti: $A$ $b$ $a+b$

$a+1=a'$ pro kohokoli , $A$
$a+b'=(a+b)'$ pro jakékoli a . $A$ $b$

Sčítání přirozených čísel je vždy proveditelné a jednoznačné [47] .

Násobení, stejně jako sčítání, nezávisle určili Bolzano, Grassmann a Hankel [46] . „Encyklopedie elementární matematiky“ nabízí následující definici násobení přirozených čísel [48] :

Definice. Násobení přirozených čísel je taková korespondence, která odpovídá každé dvojici přirozených čísel a odpovídá pouze jednomu přirozenému číslu (nebo ), které má následující vlastnosti: $A$ $b$ $ab$ $a\cdot b$

$a\cdot 1=a$ pro kohokoli , $A$
$a\cdot b'=a\cdot b+a$ pro jakékoli a . $A$ $b$

Násobení přirozených čísel je vždy proveditelné a jedinečné [48] .

V roce 1891 Peano zavedl axiomy pro přirozená čísla (jiné zdroje uvádějí i rok 1889) [11] [46] . Od té doby se axiomy změnily jen velmi málo.

Definice. Přirozená čísla jsou prvky libovolné neprázdné množiny , ve které pro některé prvky a existuje vztah „ následuje “ , pro který platí následující axiomy [49] : $\mathbb {N}$ $A$ $b$ $b$ $A$

Existuje číslo , které nenásleduje za žádným číslem, tedy pro libovolné číslo . $jeden$ $a'\neq 1$ $A$
Pro libovolné číslo existuje další číslo a pouze jedno, to znamená, že vyplývá z . $A$ $A'$ $a=b$ $a'=b'$
Jakékoli číslo následuje nejvýše po jednom čísle, tedy od následuje . $a'=b'$ $a=b$
Libovolná množina přirozených čísel, která má vlastnosti: patří do a pokud číslo patří do , pak další číslo patří také do , obsahuje všechna přirozená čísla, to znamená, že se shoduje s . $M$ $jeden$ $M$ $A$ $M$ $A'$ $M$ $\mathbb {N}$

Celá čísla

Encyklopedie elementární matematiky nabízí následující definici odčítání přirozených čísel [50] :

Definice. Odečítání přirozených čísel je taková korespondence, která spojuje každou dvojici přirozených čísel s číslem , které má následující vlastnost: $A$ $b$ $ab$

$(ab)+b=a$ .

Odečítání přirozených čísel je možné pouze tehdy , když rozdíl existuje, pak je jednoznačný [50] . Rozšíření přirozených čísel díky vlastnostem sčítání a odčítání vede ke konceptu celých čísel [51] . $a>b$

Definice. Kruh celých čísel je minimální prsten obsahující množinu všech přirozených čísel a má následující vlastnosti [52] : $\mathbb {Z}$ $\mathbb {N}$

Sčítání a násobení přirozených čísel se shoduje se stejnojmennými operacemi na těchto číslech v kruhu ; $\mathbb {Z}$
Prsten neobsahuje jiný podkruh obsahující sadu . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {N}$

Prvky kruhu se nazývají celá čísla. $\mathbb {Z}$

Kruh existuje a je jedinečný až do izomorfismu a každý jeho prvek se rovná rozdílu přirozených čísel. Při konstrukci prstence se používá množina dvojic přirozených čísel tvaru . Pro páry jsou ekvivalence , sčítání a násobení definovány takto [52] : $\mathbb {Z}$ $(a,\;b)$

$(a,\;b)$ je ekvivalentní tehdy a jen tehdy $(CD)$ $a+d=b+c,$
$(a,\;b)+(c,\;d)=(a+c,\;b+d),$
$(a,\;b)\cdot (c,d)=(ac+bd,\;ad+bc).$

Racionální čísla

„Encyklopedie elementární matematiky“ nabízí následující definici dělení přirozených čísel [50] :

Definice. Dělení přirozených čísel je taková korespondence, která spojuje každou dvojici přirozených čísel s číslem , které má následující vlastnost: $A$ $b$ $a:b$

$(a:b)\cdot b=a$ .

Dělení přirozených čísel je možné pouze tehdy, když ( násobek ), pokud kvocient existuje, pak je jednoznačný [50] . Rozšíření celých čísel pomocí pojmů násobení a dělení vede k definici racionálních čísel [51] . Již v roce 1710 Wolf vyslovil požadavek, že již známé zákony pro provádění aritmetických operací s celými čísly nelze přímo aplikovat na zlomky a musí být zdůvodněny. Samotné odůvodnění bylo vyvinuto až v 19. století na principu stálosti formálních zákonů [53] . $a\,\vtečky \,b$ $A$ $b$

Definice. Pole racionálních čísel je minimální pole obsahující kruh celých čísel a má následující vlastnosti [25] : $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$

sčítání a násobení celých čísel se shoduje se stejnojmennými operacemi na číslech v poli ; $\mathbb {Z}$
pole neobsahuje jiné podpole než samo sebe obsahující . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$

Prvky pole se nazývají racionální čísla. $\mathbb {Q}$

Pole existuje a je jedinečné až do izomorfismu a každý jeho prvek je roven podílu celých čísel. Pokud jde o celá čísla, při konstrukci oboru racionálních čísel se používá množina dvojic , ale nyní již celá čísla, zatímco . Pro páry jsou ekvivalence, sčítání a násobení definovány následovně [25] : $\mathbb {Q}$ $(a,\;b)$ $b\neq 0$

$(a,\;b)$ je ekvivalentní tehdy a jen tehdy $(CD)$ $ad=BC,$
$(a,\;b)+(c,\;d)=(ad+bc,\;bd),$
$(a,\;b)\cdot (c,d)=(ac,\;bd).$

Reálná čísla

Ve druhé polovině 19. století byly zavedeny tři různé teoretické konstrukce reálných čísel . Nejoblíbenější je konstrukce Dedekind . Kantor ve své konstrukci použil teorii limit [54] .

Definice. Obor reálných čísel je souvislé pole obsahující jako podpole obor racionálních čísel. Prvky pole se nazývají reálná čísla [55] . $\mathbb {R}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {R}$

Pole existuje a je jedinečné až do izomorfismu a každý jeho prvek je roven limitě posloupnosti racionálních čísel [55] . $\mathbb {R}$

Komplexní čísla

Definice. Pole komplexních čísel je minimální pole obsahující těleso reálných čísel a prvek takový, že , který má následující vlastnosti [56] : $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$ $i$ $i^{2}=-1$

sčítání a násobení celých čísel se shoduje se stejnojmennými operacemi na číslech v poli ; $\mathbb {R}$
pole neobsahuje jiné podpole než samo sebe obsahující . $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$

Prvky pole se nazývají komplexní čísla. $\mathbb {C}$

Pole je algebraicky uzavřené . Při konstrukci pole komplexních čísel se používá množina uspořádaných dvojic . Pro páry jsou ekvivalence, sčítání a násobení definovány takto: $\mathbb {C}$ $(a,\;b)$

$(a,\;b)$ je ekvivalentní tehdy a jen tehdy , když a , $(CD)$ $a=c$ $b=d$
$(a,\;b)+(c,\;d)=(a+c,\;b+d),$
$(a,\;b)\cdot (c,\;d)=(ac-bd,\;bc+ad).$

Formální aritmetika

Logicko-matematická konstrukce se nazývá formální aritmetika [57] . Přechod k logice je spojen s přístupem Hilbertovy školy , která uvažovala abstrakce místo čísel a předpokládala, že pro ně platí základní aritmetické zákony [20] . Pro ospravedlnění aritmetiky bylo navrženo několik variant axiomatiky. Kromě systému Peanova axiomu, který definuje jak sčítání, tak násobení, existuje systém Presburgerových axiomů , který definuje pouze sčítání, a axiomy, které definují sčítání, násobení a umocňování. Často jsou všechny vlastnosti operací zahrnuty jako axiomy [58] [59] . Všechny tyto axiomatické teorie jsou založeny na množině celých čísel a nezahrnují paradoxy teorie množin . Jiné výzkumné přístupy odvozují aritmetiku z axiomů teorie množin nebo matematické logiky [44] . Pro usnadnění výzkumu jsou axiomy psány ve speciálním formálním jazyce matematické logiky [57] . Obsahuje , číselné proměnné, symboly ( ) a logické spojky ( ), postuláty jsou postuláty predikátů kalkulu [2] . Axiom indukce je nekonečná množina axiomů, kterou nelze nahradit žádnou konečnou množinou [57] . $0$ $=,+,\cdot ,'$ $\A ,\leftarrow ,\forall ,\exists ,\lor ,{\mathcal {e))$

V ideálním případě by základní sada axiomů měla mít tři kvality [11] :

konzistence – axiomy by neměly být ve vzájemném rozporu;
nezávislost - mezi axiomy by neměly být nadbytečné, logicky odvozené z jiných axiomů;
úplnost - množina axiomů musí být dostatečná, aby bylo možné jakoukoli správně formulovanou větu dokázat nebo vyvrátit.

Aritmetika přirozených čísel má velký význam pro podložení matematických teorií: z její konzistence vyplývá konzistence aritmetiky reálných čísel, která zase umožňuje pomocí metody modelů ukázat konzistenci euklidovské geometrie a Lobačevského ' s geometrie [11] [44] . O důkaz konzistence aritmetiky v Peanově systému a příbuzných axiomatických systémech se Hilbert neúspěšně snažil na počátku 20. století. Po objevu Gödelovy věty o neúplnosti v roce 1930 se ukázalo, že to v tak jednoduchých systémech není možné. Důkaz konzistence provedl v roce 1936 Gentzen pomocí variace transfinitní indukce [57] .

Pro studium nezávislosti je každý axiom postupně nahrazen jeho opakem a pak je postaven model, kde je výsledná sada axiomů splněna. Pokud je nahrazený axiom závislý, tedy logicky vyplývá z jiných axiomů, pak jeho nahrazení opačným samozřejmě vede k nekonzistentnímu systému axiomů a sestavení modelu je nemožné. Pokud tedy lze model sestavit, pak je příslušný axiom nezávislý [60] . Tímto způsobem bylo dokázáno, že všechny Peanovy axiomy jsou na sobě nezávislé [61] .

Pomocí formální aritmetiky, která je založena na Peanových axiomech, lze psát věty teorie čísel, které jsou dokázány bez použití nástrojů matematické analýzy, stejně jako rekurzivní funkce a jejich vlastnosti [2] . Je ekvivalentní Zermelo-Fraenkelově axiomatické teorii množin bez axiomu nekonečna . Současně Godelův teorém úplnosti , dokázaný v roce 1929, ukázal, že Peanova axiomatika je neúplná, to znamená, že existují aritmetické teorémy, které nelze ani dokázat, ani vyvrátit. Zatímco aritmetika je kompletní s ohledem na formule formy , existují věty o tvaru , které vyjadřují pravdivý výrok, ale nelze je odvodit [57] . Bylo také možné najít konkrétní příklady teorémů: Goodsteinův teorém , Paris-Harringtonův teorém a další. $\existuje x_{1}\tečky \existuje x_{k}(P=Q)$ $\forall x_{1}\tečky \forall x_{9}(P\neq Q)$

Historický nástin

Starověké matematické texty a číselné soustavy

Egyptské matematické texty věnovaly zvláštní pozornost výpočtům a z toho vyplývajícím potížím, na nichž do značné míry závisely metody řešení problémů. Matematické papyry starověkého Egypta byly sestaveny pro vzdělávací účely [62] , obsahovaly úlohy s řešeními, pomocné tabulky a pravidla pro operace s celými čísly a zlomky , jsou zde aritmetické a geometrické posloupnosti a také rovnice [11] . Egypťané používali desítkovou číselnou soustavu [63] . Egypťané znali takové aritmetické operace jako sčítání, zdvojování a sčítání zlomků do jedné. Jakékoli násobení celým číslem a dělení beze zbytku byly prováděny pomocí vícenásobných opakování operace zdvojení, což vedlo k těžkopádným výpočtům zahrnujícím určité členy posloupnosti [15] . V Egyptě byly použity pouze alikvotní zlomky nebo zlomky jednotky ( ), a všechny ostatní frakce byly rozloženy na součet alikvotů [64] . Při určování plochy čtverce , objemu krychle nebo zjišťování strany čtverce podle jeho plochy byli Egypťané postaveni před mocninu a extrahování odmocniny, i když pro tyto operace dosud neexistovaly žádné názvy. [15] . $1,2,4,8,16...$ $1/n$

Babylonské matematické texty klínového písma používaly systém šestinásobných čísel , charakteristický pro Sumery [65] , a byly učebními pomůckami, které zahrnují násobilku pro čísla od do , dále tabulky převrácených čísel , tabulky čtverců a krychlí přirozených čísel, tabulky pro výpočet procenta , zlomky se základem [11] [63] . Při řešení aritmetických problémů se Babyloňané spoléhali na proporce a průběhy. Znali vzorec pro součet členů aritmetické posloupnosti, pravidla pro sčítání geometrické posloupnosti a řešili úlohy na procenta [66] . V Babylonu znali spoustu pythagorejských trojic , k jejichž hledání pravděpodobně použili neznámou obecnou techniku. Obecně platí, že problém hledání celočíselných a racionálních řešení rovnice patří do teorie čísel [67] . Geometrické problémy vedly k potřebě přibližné extrakce odmocnin , kterou prováděli pomocí pravidel a iteračních metod pro další aproximaci výsledku [com. 1] . $jeden$ $59$ $60$ $n$ $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ ${\sqrt {a^{2}+r}}\přibližně a+{\frac {r}{2a}}$

Nejstarší řecké matematické texty pocházejí ze 14.–7. století před naším letopočtem. E. [69] Zpočátku Řekové používali attické číslování , které bylo nakonec nahrazeno kompaktním písmenem, neboli iónským [70] . Vývoj starověké řecké aritmetiky patří do pythagorejské školy . Pythagorejci nejprve věřili, že poměr jakýchkoli dvou segmentů lze vyjádřit poměrem celých čísel, to znamená, že geometrie byla aritmetikou racionálních čísel. Zvažovali pouze kladná celá čísla a definovali číslo jako soubor jednotek. Při studiu vlastností čísel je rozdělili na sudá a lichá (jako znak dělitelnosti dvěma), prvočísla a složená , našli nekonečnou množinu pythagorejských trojic [71] . V roce 399 př.n.l. E. objevila se obecná teorie dělitelnosti, která zjevně patří Theaetetovi , studentu Sokrata . Euklides jí věnoval knihu VII a část knihy IX „ Počátky “. Teorie je založena na Euklidově algoritmu pro nalezení největšího společného dělitele dvou čísel. Důsledkem algoritmu je možnost rozkladu libovolného čísla na prvočinitele a také jednoznačnost takového rozkladu [72] .

Pythagorejcům přitom patří důkaz o nesouměřitelnosti úhlopříčky a strany jednotkového čtverce. Tento objev znamenal, že poměry celých čísel nestačí k vyjádření poměrů libovolných segmentů a na tomto základě je nemožné sestavit metrickou geometrii [73] . První nauka o iracionalitě patří Theaetetovi. Euklidův algoritmus umožňuje určit neúplné částečné expanze racionálního čísla na pokračující zlomek. Koncept pokračujícího zlomku přitom ve starověkém Řecku nevznikl [72] . Ve třetím století začal Diophantus konstrukci algebry založené nikoli na geometrii, ale na aritmetice. Diophantus také rozšířil numerickou oblast na záporná čísla [74] .

Římský systém číslování nebyl dobře přizpůsoben pro výpočty. Římské číslice předcházely vzhledu abecedy a nejsou odvozeny z jejích písmen. Předpokládá se, že zpočátku byla čísla od do označena odpovídajícím počtem svislých čar a jejich přeškrtnutí znamenalo desetinásobné číslo (odtud číslo ). Proto, abychom získali číslo , byla hůl dvakrát přeškrtnuta. Následně byl systém zjednodušen [75] . V současnosti se používá především k označení řadových číslovek. $jeden$ $9$ $X$ $100$

Až do 14. století byla čínská matematika souborem výpočetních algoritmů pro řešení na počítací desce [76] . Aritmetické operace sčítání a odčítání prováděné na počítací tabuli nevyžadovaly další tabulky, ale pro násobení existovala tabulka od do . Operace násobení a dělení byly prováděny od nejvyšších číslic, zatímco mezivýsledky byly z tabule odstraněny, což znemožnilo ověření. Nejprve byly násobení a dělení nezávislé operace, ale pak Sun Tzu zaznamenal jejich vzájemnou inverzi [77] . V Číně uměli řešit problémy pomocí pravidla dvou falešných pozic [78] a pro řešení soustav lineárních rovnic byla zavedena záporná čísla . Nejprve byly použity pouze v procesu počítání a na konci výpočtů byly odstraněny z tabule, poté je čínští vědci začali interpretovat jako dluh nebo nedostatek [79] . $1\krát 1$ $9 krát 9$

Aritmetika ve středověku

Poziční číselný systém (deset číslic včetně nuly ) byl představen v Indii . Umožnil vyvinout poměrně jednoduchá pravidla pro provádění aritmetických operací [11] . Za hlavní aritmetické operace v Indii byly považovány sčítání, odčítání, násobení, dělení, kvadratura a krychle, odebírání druhé mocniny a krychle, pro které byla vyvinuta pravidla. Výpočty se prováděly na počítací desce s pískem nebo prachem nebo jednoduše na zemi a zaznamenávaly se tyčí [80] . Indiáni znali zlomky a věděli, jak s nimi provádět operace, proporce, průběhy [81] . Již od 7. století našeho letopočtu. E. používali záporná čísla, interpretovali je jako dluh, stejně jako iracionální čísla [82] .

Na počátku 9. století napsal Muhammad ibn-Musa al-Chwarizmi knihu „Na indický účet“. Učebnice obsahovala řešení praktických problémů "různých druhů a druhů" a byla první knihou psanou pomocí poziční číselné soustavy, předtím se čísla používala pouze pro výpočty na počítací tabuli [83] [84] . Ve 12. století byly Adelardem a Janem ze Sewelu provedeny dva překlady knihy do latiny [85] . Jeho originál se nedochoval, ale v roce 1857 vyšel nalezený latinský překlad pod názvem „Alkhoresmi on the Indian Number“ [83] . Pojednání popisuje provádění aritmetických operací jako je sčítání, odčítání, zdvojování, násobení, bifurkace, dělení a odebírání odmocniny pomocí indických číslic na počítací tabuli [86] . Násobení zlomků, stejně jako dělení, bylo zvažováno pomocí proporcí: násobení podle se rovnalo nalezení takového , že . Tato teorie byla základem arabské aritmetiky. Existoval však také další počet zlomků, který představoval jakýkoli zlomek jako součet alikvotních zlomků [87] . K řešení problémů Arabové používali trojité pravidlo , které pocházelo z Indie a bylo popsáno spolu s řadou dalších technik v Al-Biruniho „Knize indických rašíků“, pravidlem dvou falešných pozic, které pocházelo z Číny a obdrželo teoretické zdůvodnění v "Knize o pravidle dvojitého falešného postavení" Bushes ibn Lukka [88] . $A$ $b$ $q$ $q:a=b:1$

Přes Španělsko a Sicílii v 10. století se začaly vytvářet vědecké vazby mezi Evropou a arabským světem. V této době navštívil Katalánsko učený mnich Herbert, který se později stal papežem Silvestrem II . Jsou mu připisovány spisy jako Kniha dělení čísel a Pravidla pro počítání na počítadle. V obou knihách jsou čísla psána slovy nebo římskými číslicemi [89] . Herbert nazval abakusové kalkulačky „abacisty“. Ve 12.-13. století se v Evropě objevily latinské překlady arabských knih o aritmetice. Zastánci desetinného pozičního číslování prezentovaného v knihách začali být nazýváni „algoristy“ podle jména arabského matematika al-Khwarizmiho v latinské podobě [90] . Na počátku 13. století existovaly v západní Evropě dva číselné systémy: starý, založený na počítadle a podporovaný Herbertem, a nový, polohový indický systém, podporovaný Leonardem Fibonaccim. Postupně se nový systém ujal [85] [91] . Jeho hlavní výhodou je zjednodušení aritmetických operací. V Německu, Francii a Anglii se však nová čísla začala používat až na konci 15. století. K úplnějšímu posunu starého číslování došlo až v 16.–17. století [91] .

V roce 1427 popsal al-Kashi systém desetinných zlomků , který se rozšířil po Stevinových spisech v roce 1585 [11] . Stevin chtěl desetinnou soustavu rozšířit co nejvíce. Proto psal své skladby ve francouzštině a vlámštině , nikoli v latině. Navíc se stal energickým zastáncem zavádění desítkové soustavy měr [37] .

Moderní aritmetika

V 17. století námořní astronomie , mechanika a složitější komerční výpočty nastolily nové požadavky na aritmetiku pro výpočetní techniku a daly impuls k dalšímu rozvoji. Výraznou změnou prošel pojem čísla. Jestliže dříve byla pole čísel většinou připisována pouze kladná racionální čísla, pak počínaje 16. stoletím byla stále více rozpoznávána iracionální a záporná čísla. Newton ve svých přednáškách rozděluje čísla na tři typy: celá čísla (měřená jednotkou), zlomková (násobné zlomky jednotky) a iracionální (nesouměřitelná s jednotkou). Od roku 1710 je tato definice čísla pevně obsažena ve všech učebnicích [92] .

Na počátku 17. století Napier vynalezl logaritmy . Použití logaritmů a desetinných zlomků, zahrnutí konceptu iracionálního čísla jako posloupnosti racionálních aproximací do aritmetiky rozšířilo na konci 17. století rozsah aritmetiky a určilo základní význam vědy pro studium spojitých veličin . [11] .

Proces kritické revize základů matematiky, ke kterému došlo v 19. století, je spojen s prací Lobačevského o geometrii . Již v 18. století se začaly objevovat pokusy o teoretické zdůvodnění myšlenek o čísle. Leibniz byl první, kdo si stanovil za úkol deduktivně konstruovat aritmetiku, a zejména ve svých Nových experimentech na lidské mysli v roce 1705 ukázal, že je třeba dokázat rovnost „dva plus dva se rovná čtyři“. Wolf v roce 1770, Schultz v roce 1790, Ohm v roce 1822, Grassmann v roce 1861 a konečně Peano v roce 1889 [93] představili své axiomy ve snaze vyřešit tento problém .

V roce 1758 v Prvních základech aritmetiky, geometrie, rovinné a sférické trigonometrie a perspektivy Kestner argumentoval pro ospravedlnění všech aritmetických pojmů v podmínkách celého čísla. Tak definoval, v pořadí v knize, přirozená čísla, zlomky, záporná čísla, desetinná čísla, iracionální čísla a teprve potom teorii relací [94] . Při tvorbě teorie záporných čísel bylo hlavním problémem tvrzení, že záporné číslo je menší než nula, tedy menší než nic [95] .

Kompletní geometrickou interpretaci komplexních čísel navrhl Caspar Wessel v „Essay on the Analytic Representation of Direction and its Applications, Principally to the Solution of Plane and Spherical Polygons“ v roce 1799. Wessel se pokusil teorii zobecnit na trojrozměrný prostor, ale neuspěl. Otázka zůstala otevřená, dokud Hamilton nepostavil teorii čtveřic , jejichž násobení neplatí komutativní zákon. Studie Weierstrasse, Frobenia a Pierce zároveň ukázaly, že pro jakékoli rozšíření pojmu čísla za hranice komplexních čísel by bylo nutné opustit některý z aritmetických zákonů [96] .

Aritmetika ve vzdělávání

Tvorba aritmetických pojmů úzce souvisí s procesem počítání. Je založena na takových prvcích duševní činnosti, jako je schopnost rozpoznat předmět; rozlišovat předměty; rozdělte množinu objektů na prvky, které jsou si v počítání stejné (jinými slovy použijte počítací jednotku); schopnost uspořádat prvky postupně , uspořádat je, což vede k počítání objektů různé kvality a vytvoření pojmu čísla. Podobné procesy lze pozorovat při asimilaci pojmů dětmi [11] .

Boethius o aritmetice [97]

Který z oborů by se tedy měl studovat jako první, pokud ne ten, který je počátkem a působí jako matka ve vztahu k ostatním [oborům]? To je jen aritmetika. Předchází všechny ostatní, nejen proto, že sám Bůh, stvořitel tohoto vesmíru, si ji vzal nejprve za vzor své myšlenky a podle jejího [principu] uspořádal vše, co prostřednictvím čísel, silou tvořivé Mysli, nalezený soulad v zavedeném řádu, ale také proto, že aritmetika je prohlášena za předchozí, že jsou-li eliminovány entity, které svou povahou předcházely, jsou okamžitě eliminovány i ty následující. Pokud následující zahynou, pak se na stavu předchozí substance nic nemění.

Standardy primárního vzdělávání zahrnují počítání a porovnávání čísel do milionu, práci se základními jednotkami měření a vztahy mezi nimi, provádění čtyř základních aritmetických operací (ústně do 100 a písemně do 10 000), jakož i dělení se zbytkem, hledání hodnoty číselného výrazu složeného z několika aritmetických operací [98] [99] . Školní materiál je prezentován pomocí vizuálních reprezentací. Na prvním stupni se děti zabývají číselnými obrázky a množstvím předmětů, počítání jde do 20. Na druhém stupni se seznámí s desetinnou soustavou, polohovou soustavou, násobilkou, počítání jde do 100. Ve 3. ročníku se studovat aritmetické operace s vícehodnotovými čísly. Dalším krokem je přechod na písmenná označení, jinými slovy, od konkrétního k abstraktnímu. Právě tím podle Kleina začíná matematika [100] . Náročnost studia aritmetiky na základní škole spočívá v tom, že je nutné provádět výpočet abstraktně od povahy objektů [101] .

Vzdělávání na střední škole je spojeno s rozšířením pojmu číslo, zavádění zlomků a dějů na nich, záporná čísla, iracionální čísla [102] . Reálná a komplexní čísla, stejně jako Euklidův algoritmus a základní teorém aritmetiky, jsou klasifikovány jako úplné středoškolské vzdělání. Podle ruského federálního státního vzdělávacího standardu „ Obsah aritmetické části slouží studentům jako základ pro další studium matematiky, přispívá k rozvoji jejich logického myšlení, formování schopnosti používat algoritmy a získávání praktické dovednosti nezbytné v každodenním životě“ [103] .

V moderním světě je matematická gramotnost jedním z hlavních cílů vzdělávání. Zahrnuje zejména schopnost provádět aritmetické operace, provádět výpočty a měření [104] . Problematikou matematické gramotnosti dětí a dospělých se zabývají organizace jako UNICEF a UNESCO [105] [106] .

Výuka početních operací se přitom na dlouhou dobu omezila na mechanické provádění vzorků. Ve staré Číně byla velká pozornost věnována výuce matematiky, včetně složení zkoušek. Matematika se sedm let studovala na Imperiální akademii. Klasická matematická pojednání však byla považována za dogma a přetištěna beze změn [107] .

V Evropě systematická cvičení na sčítání, odčítání, násobení a dělení navrhoval Tartaglia v 16. století, ale dlouho se nepoužívaly [108] . Kromě toho ve středověku existovala pravidla pro řešení velkého množství soukromých aritmetických problémů. V některých učebnicích je takových pravidel až 26 a nemusí se učebnice od učebnice shodovat [109] . Některá pravidla neztratila svůj význam dodnes. Patří sem proporce (zlomky byly uvažovány jako poměry dvou čísel, což vedlo k úvaze o proporcích pro provádění operací), procenta [110] .

Aritmetika je čtvrtým ze sedmi svobodných umění z hlediska učení. Předchází mu trivium sestávající z gramatiky , rétoriky a dialektiky a je samo o sobě vyšší vědou v kvadriviu , které také zahrnuje geometrii , hudbu a astronomii . S příchodem prvních evropských univerzit se matematika vyučovala na uměleckých fakultách jako kvadrivium a byla pomocnou disciplínou. První přednášky z aritmetiky přednesl mistr vídeňské univerzity Johann z Gmundenu v roce 1412 [112] .

Aritmetika ve filozofii a umění

Poté, co Pythagorejci používali vztahy celých čísel k vyjádření geometrických vztahů segmentů, stejně jako podobné vztahy v harmonii a hudbě, dospěli k závěru, že všechny zákony světa lze popsat pomocí čísel a že je potřeba aritmetika vyjadřovat vztahy a budovat modelový mír [113] . Přitom jedním z objevů Pythagorejců je, že poměry celých čísel nestačí k vyjádření poměrů libovolných segmentů (úhlopříčka a strana čtverce jsou nesouměřitelné) a na tomto základě nelze postavit metrická geometrie [73] . Problémy konstrukce konečné míry a určení skutečného čísla odhalily vědeckou krizi v 5. století před naším letopočtem. e., ze kterého byly zapojeny všechny filozofické školy starověkého Řecka. Všechny obtíže, které při řešení těchto problémů vznikají, dokázal Zenón z Eleje ukázat ve svých paradoxech neboli aporiích [114] .

Marcianus Capella ve svém pojednání „Sňatek filozofie a Merkura“ vytvořil vizuální obrazy všech sedmi umění, včetně aritmetiky. Umění personifikovaly ženy s patřičnými atributy, které doprovázely známé představitelky sféry. Aritmetika drží v rukou tabulku s čísly nebo počítadlo. Pythagoras [115] ji doprovází .

Počítání bylo jednou z Buddhových zkoušek . Po soutěžích v lukostřelbě , běhu a plavání mu matematik Arjuna nařídil pojmenovat všechny číselné stupně výše . Buddha jmenoval dvacet dva stupňů až (pouze liché stupně měly jména), a to byl pouze první počet, ve druhém počtu Buddha pokračoval v . Dalším úkolem Buddhy bylo spočítat počet atomů na míli a pak ve vesmíru [116] . Podobné „číslicové žebříčky“ se opakovaně vyskytují v indické náboženské poezii, zatímco slova pro čísla se mohou lišit. Účelem takových žebříků je povznést se nad smrtelný svět. Indická kniha „Lilavatistara“ popisuje soupeření mezi nápadníky paní země, krásné Gopy, v psaní , aritmetice, zápase a umění házet šípy. Značná část práce [117] je věnována testům z aritmetiky . $10^{9}$ $10^{53}$ $10^{{421}}$

Stejně jako v Indii velmi velká čísla uměle konstruovaná mayskými kněžími hovoří o touze vyšplhat se výše po „numerickém žebříčku“, blíže k bohům [118] .

Poznámky

Komentáře

↑ Nechť je třeba najít kořen , - první aproximace s nevýhodou, - aproximace s přebytkem. Druhá aproximace je tvořena vzorcem aritmetického průměru , a odpovídá mu atd.) [68] . $N=a^{2}+r$ $A$ $b=N/a$ $a_{1}=(a+b)/2$ $b_{1}=N/a_{1}$

Použitá literatura a zdroje

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vinogradov I. M. Aritmetika // Matematická encyklopedie. - M . : Sovětská encyklopedie, 1977. - T. 1.
↑ 1 2 3 4 Vinogradov I. M. Formální aritmetika // Matematická encyklopedie. - M . : Sovětská encyklopedie, 1977. - T. 1.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 Aritmetika, věda // Encyklopedický slovník Brockhausův a Efronův : v 86 svazcích (82 svazcích a 4 dodatečné). - Petrohrad. , 1890-1907.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 MacDuffee CC Aritmetika . Encyklopedie Britannica. Získáno 20. března 2012. Archivováno z originálu dne 27. května 2012. (neurčitý) (Angličtina)
↑ ARITMETIKA . Velká ruská encyklopedie . Získáno 15. června 2017. Archivováno z originálu 27. června 2017. (Ruština)
↑ Arnold, 1938 , str. 3-5.
↑ Pontryagin, 1986 , s. 4-6.
↑ Belyustin V. Kapitola 12. Počet a pořadí akcí, znamení a definice // Jak se lidé postupně dostali ke skutečné aritmetice . - M . : Tiskárna K. L. Menshova, 1909.
↑ Depman, 1965 , str. 195-199.
↑ Arnold, 1938 , str. 151-156.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Aritmetika // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ Algebra // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ Depman, 1965 , str. 21-25.
↑ Depman, 1965 , str. 129-130.
↑ 1 2 3 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 23-24.
↑ 1 2 3 4 Depman, 1965 , str. 212-232.
↑ 1 2 3 Depman, 1965 , str. 204.
↑ Aritmetika, 1951 , str. 142.
↑ Klein, 1987 , str. 23-26.
↑ 1 2 3 4 Klein, 1987 , str. 26-35.
↑ Aritmetika, 1951 , str. 77-79.
↑ Klein, 1987 , str. 37-44.
↑ Aritmetika, 1951 , str. 157.
↑ Klein, 1987 .
↑ 1 2 3 Aritmetika, 1951 , str. 172-178.
↑ Aritmetika, 1951 , str. 188-201.
↑ Aritmetika, 1951 , str. 227.
↑ Klein, 1987 , str. 35-36.
↑ 1 2 Klein, 1987 , s. 23-25.
↑ ARITMETIKA // Collierova encyklopedie. — Otevřená společnost. — 2000.
↑ 1 2 Knuth , str. 216.
↑ Dějiny matematiky, díl II, 1970 , str. 66-67.
↑ Dějiny matematiky, díl III, 1972 , str. 42-45.
↑ Klein, 1987 , str. 45-49.
↑ Depman, 1965 , str. 263-267.
↑ Boyer & Merzbach, 2010 , Aritmetika a logistika.
↑ 1 2 Aritmetika, 1951 , str. 57-71.
↑ Knuth , str. 216, 221.
↑ Depman, 1965 , str. 275-285.
↑ Klein, 1987 , str. 49-57.
↑ 1 2 3 Vinogradov I. M. Teorie čísel // Mathematical Encyclopedia. - M . : Sovětská encyklopedie, 1977. - T. 5.
↑ Vinogradov I. M. Elementární teorie čísel // Mathematical Encyclopedia. - M . : Sovětská encyklopedie, 1977. - T. 5.
↑ Arnold, 1938 , str. 413-415.
↑ 1 2 3 Axiomatická metoda // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ Aritmetika, 1951 , str. 100-107.
↑ 1 2 3 Depman, 1965 , str. 117-126.
↑ 1 2 Aritmetika, 1951 , str. 135-138.
↑ 1 2 Aritmetika, 1951 , str. 139-142.
↑ Aritmetika, 1951 , str. 133.
↑ 1 2 3 4 Aritmetika, 1951 , str. 150-151.
↑ 1 2 Aritmetika, 1951 , str. 172-179.
↑ 1 2 Aritmetika, 1951 , str. 160-167.
↑ Depman, 1965 , str. 258-262.
↑ Aritmetika, 1951 , str. 188.
↑ 1 2 Aritmetika, 1951 , str. 202.
↑ Aritmetika, 1951 , str. 228.
↑ 1 2 3 4 5 Formální aritmetika // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ Avigad, 2003 , str. 260.
↑ Nechaev, 1975 , s. 52-53.
↑ Nechaev, 1975 , s. 48.
↑ Nechaev, 1975 , s. 68-72.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 19-20.
↑ 1 2 Depman, 1965 , str. 49-52.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 25.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 34.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 40.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. padesáti.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 46-47.
↑ Depman, 1965 , str. 53-54.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 62.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 68-69.
↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 74-76.
↑ 1 2 Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 73.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 144-146.
↑ Depman, 1965 , str. 57-58.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 178.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 160-161.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 163-164.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 167-169.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 183-185.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 185.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 190-191.
↑ 1 2 Depman, 1965 , str. 72-78.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 209-210.
↑ 1 2 Depman, 1965 , str. 90-94.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 211-212.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 212-214.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 218-219.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 254-256.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 256-257.
↑ 1 2 Aritmetika, 1951 , str. 50-57.
↑ Dějiny matematiky, díl II, 1970 , str. 34-36.
↑ Dějiny matematiky, díl III, 1972 , str. 47-49.
↑ Dějiny matematiky, díl III, 1972 , str. 49-52.
↑ Dějiny matematiky, díl III, 1972 , str. 52-56.
↑ Dějiny matematiky, díl III, 1972 , str. 61-66.
↑ Boethius. I, 1 // Základy aritmetiky .
↑ Přibližný základní vzdělávací program vzdělávací instituce. Základní škola (nedostupný odkaz) . Federální státní vzdělávací standard. Získáno 5. prosince 2012. Archivováno z originálu 7. prosince 2012. (neurčitý)
↑ Přibližný základní vzdělávací program vzdělávací instituce. ZŠ / komp. E. S. Savinov. - 4. - M . : Vzdělávání, 2013. - S. 32-35. — 223 s. — ISBN 9785090264167 . Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Datum přístupu: 6. prosince 2012. Archivováno z originálu 24. srpna 2013. (neurčitý)
↑ Klein, 1987 , str. 20-23.
↑ Depman, 1965 , str. 1-3, 103-109.
↑ Klein, 1987 , str. 37.
↑ Přibližné programy pro akademické předměty. Matematika (nepřístupný odkaz) . Federální státní vzdělávací standard. Získáno 5. prosince 2012. Archivováno z originálu 7. prosince 2012. (neurčitý)
↑ Gramotnost, matematické schopnosti a dovednosti v řešení problémů v technologicky vyspělé společnosti (nepřístupný odkaz) . National Research University High School of Economics. Získáno 5. prosince 2012. Archivováno z originálu 7. prosince 2012. (neurčitý)
↑ Defining Quality in Education (anglicky) (nepřístupný odkaz) . UNICEF . Získáno 5. prosince 2012. Archivováno z originálu 15. října 2012.
↑ Vzdělávání pro všechny cíle . UNESCO . Získáno 5. prosince 2012. Archivováno z originálu 7. prosince 2012.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 157.
↑ Depman, 1965 , str. 199-203.
↑ Depman, 1965 , str. 305.
↑ Depman, 1965 , str. 306.
↑ Svobodná umění . Encyklopedie Britannica. Získáno 20. března 2012. Archivováno z originálu dne 27. května 2012. (neurčitý) (Angličtina)
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 259-260.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 67.
↑ Dějiny matematiky, díl I, 1970 , str. 88-89.
↑ Sedm svobodných umění (nepřístupný odkaz) . Simbolárium. Získáno 20. března 2012. Archivováno z originálu dne 27. května 2012. (neurčitý)
↑ Menninger, 2011 , str. 176-179.
↑ Aritmetika, 1951 , str. 49.
↑ Menninger, 2011 , str. 82.

Literatura

Arnold IV Teoretická aritmetika. - M . : Státní vzdělávací a pedagogické nakladatelství, 1938. - 481 s.
Depman I. Ya. Historie aritmetiky . - M . : Vzdělávání, 1965. - 400 s.
Klein F. Elementární matematika z vyššího úhlu pohledu. - M .: Nauka, 1987. - T. I: Aritmetika. Algebra. Analýza. — 432 s.
Knut D. E. Aritmetika // Umění programování. - M. - T. II. — 830 s.
Menninger K. Historie čísel. Čísla, symboly, slova. - M. : ZAO Tsentrpoligraf, 2011. - 543 s. — ISBN 9785952449787 .
Nechaev V. I. Numerické soustavy. - M . : Vzdělávání, 1975. - 199 s.
Pontryagin L. S. Zobecnění čísel . — M .: Nauka, 1986. — 120 s. - ( Knihovna "Quantum" ).
Serre J.-P. Kurz aritmetiky / per. z francouzštiny A. I. Skopin, ed. A. V. Malysheva. - M .: Mir, 1972. - 184 s.
Historie matematiky: ve 3 svazcích / editoval A.P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970. - T. I: Od starověku do počátku Nového věku.
Historie matematiky: ve 3 svazcích / editoval A. P. Juškevič. - M . : Nauka, 1970. - T. II: Matematika 17. století.
Historie matematiky: ve 3 svazcích / editoval A. P. Juškevič. - M. : Nauka, 1972. - T. III: Matematika XVIII století.
Encyklopedie elementární matematiky. Kniha jedna. Aritmetika / editovali P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich a A. Ya. Khinchin. - M. - L .: Státní nakladatelství technické a teoretické literatury, 1951. - 448 s.
Avigad, Jeremy. Teorie čísel a elementární aritmetika // Philosophia Mathematica. - 2003. - Sv. 11, č. 3 . - S. 257-284. (Angličtina)
Boyer CB, Merzbach UC Historie matematiky . — John Wiley & Sons, 2010. — 640 s. (Angličtina)

Odkazy

Aritmetika na mathworld.wolfram.com _

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velká Katalánština Skvělý norský Velký Rus Velký Ukrajinec Brockhaus a Efron okolo světa Malý Brockhaus a Efron Britannica (online) Treccani Moderní Ukrajina
V bibliografických katalozích	GND : 4002919-0 J9U : 987007294694905171 LCCN : sh85007163 NDL : 00570203 NKC : ph118605

Odvětví matematiky

Portál "Věda"

Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky

Teorie čísel ( aritmetika )

Algebra
Elementární algebra	Řešení rovnice
Lineární algebra	Vektorový počet matrice Tenzorový počet Multilineární algebra
Obecná algebra	Komutativní algebra Teorie reprezentace Diferenciální algebra Homologická algebra Univerzální algebra Teorie kategorií

Analýza
Klasická analýza	Diferenciální počet Integrální počet
Teorie funkcí	Harmonická analýza Kvaternionová analýza Komplexní analýza teorie míry Teorie funkcí reálné proměnné funkční analýza Variační počet
Diferenciální a integrální rovnice	Dynamické systémy a ergodická teorie Diferenciální rovnice obyčejný v parciálních derivacích Integrální rovnice
Vektorová analýza Globální analýza Teorie katastrofy Vlastní analýza Hladká infinitezimální analýza

Geometrie a topologie
Geometrie	Algebraická geometrie Analytická geometrie Euklidovská geometrie Neeuklidovská geometrie Planimetrie Stereometrie
Topologie	Obecná topologie Algebraická topologie Diferenciální geometrie a topologie

Diskrétní matematika
Kombinatorika teorie grafů

Aplikovaná matematika
Matematická fyzika Matematická chemie matematická biologie Matematické statistiky Matematické modelování Teorie algoritmů Numerické metody matematická ekonomie finanční matematika Teorie pravděpodobnosti Operační výzkum Herní teorie

Portál "Matematika"
Kategorie "Matematika"

Sedm svobodných umění
Trivium Gramatika Rétorika Dialektika ( logika ) kvadrivium Aritmetický Geometrie Astronomie Hudba