Nekonečno

Nekonečno je kategorie lidského myšlení používaná k charakterizaci neomezených, neomezených, nevyčerpatelných objektů a jevů, pro které není možné určit hranice nebo kvantitativní měřítko [1] . Používá se na rozdíl od konečných, spočetných, majících limitu. Systematicky zkoumány v matematice , logice a filozofii , jsou také studovány otázky vnímání, postavení a povahy nekonečna v psychologii , teologii , fyzice

Historicky prvními problémy nekonečna jsou otázky konečnosti prostoru a času, počtu věcí na světě, složitější problémy - možnost nekonečného dělení kontinua , možnost operovat s nekonečnými objekty (tzv. problém aktuálního nekonečna ), povaha a chování nekonečně malých veličin - infinitesimála , přítomnost různých typů nekonečna a vztah mezi nimi [1] . Nejhlouběji se nekonečnu zabývala matematická teorie množin , ve které bylo vybudováno několik systémů měření různých typů nekonečných objektů, avšak bez dalších umělých omezení takové konstrukce způsobují četné paradoxy , způsoby k jejich překonání je hlavním směrem studia nekonečna moderními filozofy status množinových konstrukcí, jejich zobecnění a alternativy .

Základní pojmy

Potenciální a aktuální nekonečno

Nekonečno lze považovat za neohraničenost určitého procesu, např. když druhý Euklidův postulát prosazuje možnost pokračování libovolné přímky nekonečně a spojitě, znamená to, že proces může nepřetržitě pokračovat, ale existence takového nezávislého objekt jako nekonečná přímka z něj nevyplývá. Takové procesy a soubory objektů, které je popisují, jsou charakterizovány jako potenciální nekonečno (ve scholastice se používá termín „ synkategorematické nekonečno “), potenciálně nekonečné neznamená integrální nekonečné objekty a jevy, v každé fázi nekonečného procesu pouze konečné entity jsou uvažovány, to znamená, že jde pouze o částečnou negaci konečného [1] .

Alternativou je koncept aktuálního nekonečna (ve scholastice " kategorematické nekonečno "), což znamená považovat konečně neměřitelné předměty za dané, za reálně existující, ale zároveň za jednotné a integrální, se kterými je možné operovat [ 1] . V tomto duchu je skutečné nekonečno - jako přímá a úplná negace konečného - používáno mystiky k charakterizaci různých božských kategorií, dnešní matematici operují s vlastně nekonečnými množinami a vlastně nekonečně-dimenzionálními prostory . Představy o přípustnosti a obsahu aktuálního nekonečna ve filozofii, teologii, logice, matematice a přírodních vědách se po celou dobu projednávání problematiky výrazně měnily.

Kvalitativní a kvantitativní nekonečno

Kvalitativní nekonečno je kategorie, která určuje univerzální, nevyčerpatelnou, univerzální povahu spojení předmětů a jevů [2] , neboť kvalitativně nekonečné jsou v různých dobách považovány v různých filozofických školách, jako jsou kategorie Absolutno , Kosmos , Bůh , Mysl a další.

Kvantitativní nekonečno charakterizuje procesy a objekty, jejichž měření je nemožné konečnými veličinami, s kvantitativním nekonečnem operují matematici, studují např. vlastnosti nekonečných řad, nekonečněrozměrných prostorů, množin nekonečného počtu prvků; v logice a filozofii jsou zkoumány možnosti a omezení takové práce s kvantitativním nekonečnem.

Kontinuum

Continuum ( lat. kontinuum ) je forma nekonečna, odkazující na myšlenku kontinuity, celistvosti objektů ve smyslu možnosti jejich nekonečného dělení na jednotlivé části a potenciální nekonečnosti tohoto procesu. Kontinuita je protikladem k diskrétnosti , diskontinuitě, přítomnosti nedělitelných (atomárních) složek. Kontinuum představuje segmenty číselné osy ( kontinuum v teorii množin ), určitý typ ohraničených a oddělitelných prostorů, v jistém smyslu podobné segmentům číselné osy ( kontinuum v topologii ), na základě studia vlastností nekonečna dělitelnosti kontinua v matematice se zformoval pojem kontinuity . Otázky po ontologické povaze kontinua, postavení kontinua v přírodních vědách se od antiky odrážely v mnoha dílech filozofů [3] .

Infinitezimální

Infinitesimály jsou infinitesimály, které se objevují v potenciálně nekonečných procesech charakterizovaných postupným poklesem hodnot, zejména při dělení kontinua na jeho jednotlivé části, v klesajících číselných sekvencích, někdy v představě atomové struktury vesmíru nebo vědomí. Základem matematické analýzy se stal matematický popis infinitesimál vytvořený Newtonem a Leibnizem v infinitezimálním počtu [4] .

V matematice

Teorie čísel

Jedním z hlavních zdrojů raných myšlenek o nekonečnu byla přirozená čísla a potenciální nekonečno přirozených řad . Jeden z prvních netriviálních výsledků o nekonečnu v teorii čísel je považován za opačný důkaz nekonečnosti množiny prvočísel v Euklidových " Principech " [5] : pokud předpokládáme, že množina prvočísel je konečná, pak číslo rovné součtu jedničky a součinu všech čísel z této množiny není dělitelné žádné z nich, ale zároveň je buď samo prvočíslo, nebo je dělitelné nějakým prvočíslem, které není zahrnuto v originální sada; obojí je v rozporu s původní premisou. Číselně teoretický soud nekonečna představuje Galileův paradox : každé číslo může být spojeno s jeho druhou mocninou , to znamená, že existuje alespoň tolik čtverců jako všechna čísla, ale ne každé číslo může být odmocněno, to znamená, že čtverce jsou pouze částí množina všech čísel [6] .

V teorii čísel není vyžadováno použití jakékoli abstrakce skutečného nekonečna, nicméně mnoho jejích problémů je spojeno s formulací podmínek pro nekonečno, například od roku 2019 se objevují otázky o nekonečnosti množiny prvočísel modulo kterým daným celým číslem je primitivní odmocnina ( Artinova hypotéza ), nekonečno množiny prvočísel dvojčat , nekonečno pro libovolné sudé číslo množiny dvojic sousedních prvočísel, mezi nimiž se mu rovná rozdíl ( Polignacova hypotéza ), nekonečno sada dokonalých čísel .

Nekonečné řady

První důkaz o použití nekonečné řady se nachází v Archimédovi v kvadratuře paraboly, kde pro prokázání tvrzení o poměru 4:3 ploch segmentu uzavřeného mezi přímkou a parabolou a trojúhelník , který má stejnou základnu a stejnou výšku jako on, sečte nekonečnou řadu :

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{4^{n))}=1+{\frac {1}{4^{1))}+{\frac {1 }{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+\cdots ={4 \over 3}

a pak překontroluje výsledek metodou rozporu [7] .

Ve 40. letech 14. století Swainshead poprvé našel součet nekonečné řady, která není jednoduchým klesajícím geometrickým postupem :

\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2^2} + \frac{3}{2^3 } + \frac{4}{2^4} +\cdots = 2

Také ve 14. století Oresme pracuje s nekonečnými řadami , pomocí jasných geometrických důkazů získává součty spíše netriviálních číselných řad, nachází (bez důkazu) vzorec pro součet nekonečné geometrické posloupnosti a dokazuje divergenci harmonická řada [7] .

V 16. století nalezl Tomáš pomocí výsledků Orema součty některých nekonečných průběhů tvořených složitými zákony [7] . V Indii byly v 15. století získány expanze goniometrických funkcí do nekonečných mocninných řad [7] , nejvýrazněji přispěl Madhava ze Sangamagramu [8] .

Mengoli v pojednání publikovaném v roce 1650 zavádí řadu důležitých vlastností řad, zavádí koncept zbytku řady, čímž implicitně považuje řady za integrální objekty, a také dokazuje divergenci zobecněné harmonické řady [9] . Mercator v roce 1668 objevil expanzi logaritmické funkce v mocninné řadě [10] a v roce 1667 Gregory - expanzi goniometrických funkcí a konečně Taylor , zobecňující výsledky Mercatora, Gregoryho a také Newtona , v roce 1715 ukazuje možnost rozšíření jakékoli analytické funkce v daném bodě do nekonečné řady , čímž se vytvoří možnost reprezentovat hodnoty rozsáhlé třídy funkcí nekonečnými součty.

Infinitezimální počet

Ačkoli metoda vyčerpání , známá již od starověku, a metoda nedělitelných , formulovaná Cavalierim v roce 1635, do určité míry využívají redukci na infinitesimály, první pokusy o algebraizaci operací s infinitesimálami učinili Wallis , Barrow a Gregory v polovině r. 17. století, V explicitní formě byla matematická abstrakce infinitesimálů vytvořena v 80. letech 17. století téměř současně Newtonem v jeho "metodě toků" (nekonečně malých přírůstků ) a Leibnizem (který definoval diferenciál ) [4] .

Striktní definice infinitesimál pomocí pojmů limita , konvergence a spojitost podali v 19. století Cauchy a Weierstrass , nejtradičnější v těchto definicích byla tzv. -formulace ( považuje se například za Cauchyho limitu funkce v bodě , pokud pro nějaký existuje taková, že pro jakýkoli splňuje podmínku , ). Novější definice infinitesimálů používají techniku sousedství — otevřené podmnožiny ( Heine ), které jsou přirozeně zobecněné v obecné topologii (která abstrahuje pojem otevřené množiny ). $\alpha$ $F$ $x_{0}$ $\varepsilon >0$ $\delta > 0$ $X$ $0 < \left| x - x_0 \vpravo| < \delta$ $\left| f \left( x \right) - \alpha \right| < \varepsilon$ $\mathbb {R}$

V Robinsonově nestandardní analýze (60. léta 20. století) jsou infinitesimály zavedeny jako druh zobecněných čísel, která nepřesahují pro žádné , třída všech takových čísel je aktualizována "monádou nuly" [11] . $1/n$ $n \in \mathbb N$ $\mu (0)$

Matematická analýza

V matematické analýze vytvořené na základě infinitezimálního počtu je také explicitně zavedena abstrakce nekonečně velkých veličin : symboly nekonečně vzdálených bodů a jsou přidány k množině reálných čísel ( je postavena rozšířená číselná osa ), která se používají k určení hraničních hodnot a konvergence. Je možné pracovat se symboly (zde je reálné číslo): $+\infty$ $-\infty$ ${\overline {\mathbb {R} }}=\{-\infty \}\cup \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ $\alpha$

\pm \infty +\alpha =\pm \infty

(+\infty )+(+\infty )=+\infty

(-\infty )+(-\infty )=-\infty

\pm \infty \cdot 1=\pm \infty

\pm \infty \cdot -1=\mp \infty

\pm \infty \cdot +\infty =\pm \infty

\pm \infty \cdot \alpha =\název operátora {sgn} \alpha \cdot \pm {\infty }\,(\alpha \neq 0)

\pm \infty {\big /}\alpha =\jméno operátora {sgn} \alpha \cdot \pm \infty \,(\alpha \neq 0)

\alpha {\big /}\pm \infty =0\,(\alpha \neq \pm \infty )

\left(\left\vert {\frac {\alpha }{0}}\right\vert =+\infty \right)\,(\alpha \neq 0)

\left(\left\vert {\frac {\pm \infty }{0))\right\vert =+\infty \right)

ovšem s určitými omezeními: v případě nejistých situací

\left(\pm \infty -\pm \infty \right),\ \left({\frac {\infty }{\infty ))\right),\ \left({\frac {0}{ 0}}\vpravo),\ \doleva(~0^{0}\vpravo),\ \doleva(1^{\infty }\vpravo),\ \doleva(\infty ^{0}\vpravo),\ (0\cdot \infty )

pravidla pro odhalování nejistot se uplatňují (například L'Hopitalovo pravidlo ) podle principu objasnění obsahu omezujícího výrazu, který vedl ke vzniku nekonečna, tedy v tomto smyslu se v analýze používají symboly jako zobecněná zkratka pro záznam omezujících výrazů, nikoli však jako plnohodnotný objekt (v některých didaktických materiálech se používá jeden bod v nekonečnu , nespojený relací řádu s reálnými čísly [12] ). $\pm \infty$ $\pm \infty$

V Robinsonově nestandardní analýze se za použití modelově teoretických prostředků aktualizují nekonečně velké a nekonečně malé veličiny a díky tomu výrazové prostředky a důkazové metody v nestandardní analýze v mnoha případech předčí klasické a řada bylo získáno nových výsledků, které bylo možné získat klasickou analýzou, ale nebyly detekovány kvůli nejasnosti [13] .

Projektivní geometrie

Důležité pro aktualizaci konceptu nekonečna v matematice bylo vytvoření projektivní geometrie Ponceletem v roce 1822 , jejíž jednou z klíčových myšlenek je skládání nekonečně vzdáleného do „ideálních bodů“ a „ideálních čar“ při promítání. Abychom tedy změnili nekonečnou rovinu v euklidovském prostoru na projektivní rovinu , je nutné přidat ideální bod pro každou třídu rovnoběžných čar a všechny tyto ideální body (a pouze ony) se zhroutí do ideální přímky . Skutečnou projektivní přímkou v těchto konstrukcích je prodloužení číselné osy o ideální bod ( ). $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb{R} P^{2}$ $\RP^1 = \R \cup \{ \infty \}$

Stejně jako v analýze lze v projektivní geometrii pracovat s výsledným nekonečnem (v projektivní geometrii na rozdíl od analýzy nemá nekonečno žádné znaménko, ): $\alpha \in \mathbb{R}$

\infty \pm \alpha = \infty

\infty \cdot \alpha = \infty, \, \alpha \ne 0

\infty \cdot \infty = \infty

\alpha \big / \infty = 0

\infty \big / \alpha = \infty

\alpha \big / 0 = \infty, \, \alpha \ne 0

ale výrazy nejsou definovány. $\infty + \infty, \, \infty - \infty, \, \infty \cdot 0, \, \infty / \infty, \, 0 / 0$

Při vytváření geometrické interpretace komplexních čísel použil Riemann v roce 1851 prostředky projektivní geometrie a postavil projektivní prostor pro komplexní rovinu - komplexní zobecnění numerické projektivní čáry, známé jako Riemannova koule : póly koule jsou body. a , a stereografická projekce (s vyraženým bodem ) ji převede do komplexní roviny . Na rozdíl od skutečné analýzy, kde se používá znaménkové nekonečno, se v komplexní analýze používá projektivní forma nekonečna ( ). $\mathbb {C}$ $\mathbb {C} P^{1}$ $0$ $\infty$ $\infty$ ${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \))$

Teorie množin

Hlavní příspěvek ke konceptu nekonečna v matematice přinesla teorie množin : myšlenka skutečného nekonečna a různé druhy nekonečna zabírají podstatnou část této teorie.

Pro měření různých typů nekonečna v teorii množin se zavádí pojem mocniny (kardinální číslo), který se shoduje s počtem prvků pro konečné množiny a pro nekonečné množiny pomocí principu bijekce : pokud je možné stanovit jedno- korespondence mezi množinami, pak jsou ekvivalentní. Ukazuje se tedy, že množina přirozených čísel je ekvivalentní množinám celých čísel ( ), dokonce i přirozených čísel, všech racionálních čísel ( ) a segment číselné osy ( , kontinuum ) je v bijektivní korespondence s celou číselnou řadou ( ), stejně jako s -rozměrným euklidovským prostorem ( ). Mohutnost množiny přirozených čísel a ekvivalentních ( spočetných množin ) označujeme a mohutnost kontinua je . Dále je zjištěno, že mezi množinou všech podmnožin přirozených čísel ( ) a kontinuem existuje korespondence jedna ku jedné, tedy , a že spočetná množina je ze všech nekonečných množin nejméně výkonná. Podle hypotézy kontinua mezi a neexistují žádné mezimocniny ( ), navíc, jak ukázal Cohen v roce 1962 , ani ona, ani její negace nejsou v základní axiomatice teorie množin neprokazatelné . Zobecněná hypotéza kontinua předpokládá, že všechna kardinální čísla se řídí vztahem , jinými slovy, všechna možná nekonečná kardinální čísla přesně reprezentují sílu postupného nabírání booleanu množiny přirozených čísel: [14] . $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb I = [0,1]$ $\mathbb {R}$ $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\aleph_0$ $\mathfrak c$ $2^{\mathbb{N} }$ $\mathfrak c = 2^{\aleph_0}$ $\aleph_0$ $\mathfrak c$ $\mathfrak c = \aleph_1$ $2^{\aleph _{\alpha }}=\aleph _{\alpha +1}$ $\#\mathbb{N} ,\#{\mathcal P}(\mathbb{N} ),\#{\mathcal P}({\mathcal P}(\mathbb{N} )),\tečky$

Dalším typem nekonečna zavedeným teorií množin jsou ordinální čísla (ordinály), spolu se souvisejícím principem transfinitní indukce vyvolaly největší diskusi mezi matematiky, logiky a filozofy. Jestliže základní čísla charakterizují třídu ekvivalence s ohledem na korespondenci jedna ku jedné, pak ordinální číslo vyvstává jako charakteristika třídy ekvivalence nad dobře uspořádanými množinami , s ohledem na bijektivní korespondence, které zachovávají vztah plného řádu. U konečných množin se ordinální a kardinální shodují, ale u nekonečných množin tomu tak vždy není, všechny množiny stejného ordinálního čísla jsou ekvivalentní, ale v obecném případě to neplatí. Ordinály jsou konstruovány tak, aby důsledně pokračovaly v přirozené řadě za nekonečnem [15] :

0 = \varnonic

1 = \varnothing \cup \{0\} = \{\varnothing \}

, …

n+1 = n \pohár \{n\}

poté, co považujeme množinu všech konečných ordinálních čísel za , je zavedena aritmetika ordinálních čísel na základě operací sčítání uspořádaných množin (zavedením řádu přes samostatný svazek postupně přes prvky prvního sčítance množiny , pak druhý) a součin (přes kartézský součin dobře uspořádaných množin pomocí lexikografického řádu ) a proces pokračuje: $\omega$

\omega + 1 = \omega \cup \{ \omega \}

\omega + 2 = (\omega + 1) \cup \{ \omega + 1 \}

, …

\omega \cdot 2 = \omega + \omega

\omega \cdot 2 + 1

, …

Next je postaven , pak - , pak - čísla : $\omega ^2 = \omega \cdot \omega$ $\omega ^3, \dots, \omega ^\omega, \dots, \omega^{\omega^\omega}, \cdots,$ $\varepsilon_{0}$

\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot)))) = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega ^{\omega)), \omega^{\omega^{\omega^\omega)), \tečky \}

Je dokázáno, že množina všech spočetných řadových čísel (all a ) má mohutnost , která následuje po mohutnosti spočetné množiny , pak jsou sestrojeny ordinály vyššího řádu. Transfinitní indukce je zobecněním principu matematické indukce , která umožňuje dokázat tvrzení o jakékoli dobře uspořádané množině pomocí myšlenky pořadových čísel. Burali-Fortiho paradox ukazuje, že množina všech ordinálních čísel je nekonzistentní, ale v mnoha axiomatizacích teorie množin je konstrukce takové množiny zakázána. $\omega$ $\varepsilon$ $\aleph_1$ $\aleph_0$

Nekonečně-rozměrné prostory

Fraktální geometrie

Ve fyzice

Ve fyzice je pojem nekonečna spojen s rozsahem uvažovaných jevů a dostupnou přesností měření. Nekonečno je v obecném případě chápáno jako taková hodnota uvažované veličiny, kterou lze na zvolené škále jevů považovat za tak velkou, že případné dopady v rámci uvažovaného systému nepovedou k jejím významným změnám. . Hodnota veličiny, která je na jedné stupnici nekonečná, však může být konečná a na jiné dokonce nekonečně malá. Příkladem je hmotnost Země . Když vezmeme v úvahu oběžné dráhy umělých satelitů , lze ji považovat za nekonečně velkou. Vzhledem k orbitálnímu pohybu Země kolem Slunce bude hmotnost naší planety nekonečně malá.

Se zvýšením dostupné přesnosti měření se nekonečná množství mohou stát konečnými. Například relativistické efekty , dokonce i při kosmických rychlostech , jsou příliš malé v systému přesnosti poskytovaného mechanickými nebo elektronickými hodinami. Při použití atomových hodin , například v systémech satelitní navigace , je však třeba tyto vlivy vzít v úvahu. Poloměr Země, který je při stavbě relativně malých objektů považován za nekonečný a povrch je plochý, je však třeba vzít v úvahu při budování radioreléových stanic pracujících s velmi úzkým paprskem (jednotky, zlomky stupně) .

V programování

Strojové nekonečno je konstrukce pro reprezentaci nekonečných číselných hodnot v programovacích jazycích a systémech a operacích s nimi. Standardní aritmetika s pohyblivou řádovou čárkou ( IEEE 754-2008 ) obsahuje speciální hodnoty pro +∞ a −∞ : exponent jsou všechny jedničky (11…11), mantisa jsou všechny nuly (00…00). Kladné nekonečno je větší než jakékoli konečné číslo, záporné nekonečno je menší než jakékoli. Operace s nekonečnem jsou definovány konkrétně: (+∞) + x = +∞, +∞ + (+∞) = +∞, +∞ − ∞ = NaN , log (+∞) = +∞, sin (+∞) = NaN a tak dále.

Řada programovacích jazyků umožňuje pracovat s potenciálně nekonečnými datovými strukturami ; například v Haskell můžete deklarovat nekonečný seznam a manipulovat s ním:

nat = [ 0 .. ] -- seznam všech přirozených čísel sudá = mapa ( * 2 ) nat -- seznam všech sudých přirozených čísel fstevens = vzít 10 sudých -- prvních deset sudých čísel

, zatímco běhové prostředí vyhodnotí pouze ty prvky nekonečné struktury, pro které je požadován okamžitý výstup (pomocí strategie líného hodnocení a aplikace rekurze ).

Zvláštním projevem nekonečna v programování ve smyslu potenciální věčnosti procesu provádění je nekonečná smyčka : technika jejich aplikace je využívána jak vědomě (pro možnost přerušení programu pouze vnějšími vlivy), tak dochází např. chyba (absence nebo nemožnost podmínky pro opuštění smyčky: „program se zasekl“) .

V logice

Aporia Zeno

Zenónovy aporie - řada aporií , připisovaných Zenónovi z Eley (druhá polovina 5. století př. n. l.) a přežila především v podání Aristotela , jsou jedním z prvních příkladů logických obtíží při práci s nekonečnými předměty (ačkoli především s problémy diskrétních a spojitých ). Aporie jsou formulovány tak, že mnohé z nich jsou předmětem diskusí a interpretací po celou dobu existence logiky včetně moderny [16] a jsou považovány za první formulaci problému využití nekonečna ve vědeckém kontextu [17] . Aporia „ Achilles a želva “ demonstruje obtížnost sčítání nekonečně malých hodnot a tato antinomie není tak jednoduchá, jak se někdy vykládá: jak poznamenávají Hilbert a Bernays v Základech matematiky, aby se vyřešil paradox, je nutné aktualizovat nekonečný sled událostí takovým způsobem, aby je bylo možné přijmout, je stále dokončeno [18] . " Dichotomie ", i když ji lze vyřešit konceptem limity konvergentní posloupnosti , ale pro ni Weil nabízí moderní výklad: je-li počítač navržen tak, aby první operaci provedl za 0,5 minuty, druhá za 0,25 min, třetí za 0,125 min a tak dále, za minutu pak mohla přepočítat celou přirozenou řadu [19] . $1/2 + 1/4 + 1/8 + \tečky$

Paradoxy teorie množin

Ve filozofii

Starověká indická filozofie

V " Isha Upanishad ", datovaném do 4.-3. století př. n. l., se nalézá myšlenka, že přidáním nebo odebráním části z nekonečného objektu zůstane nekonečný [20] . V džinistickém pojednání Surya Prajnapti Sutra ( anglicky Sūryaprajñapti ), datovaném do 400 let před naším letopočtem. E. , všechny veličiny jsou rozděleny do tří kategorií a tří podkategorií - spočetné (malé, střední a velké), nespočítatelné ("téměř nespočítatelné", "skutečně nespočítatelné" a "nespočetné nespočítatelné") a nekonečné ("téměř nekonečno", "skutečně nekonečno" a "nekonečně nekonečno") [21] , bylo toto rozdělení zřejmě prvním pokusem nejen rozlišit mezi typy nekonečna, ale také změřit vztah mezi nimi a představu oddělování podkategorií nekonečných veličin a jejich řazení se blíží konceptu Cantorových transfinitních čísel .

Starověká řecká filozofie

U starověkých řeckých filozofů se nekonečno obvykle jeví jako něco nezformovaného, nedokonalého, blízkého chaosu nebo s ním dokonce ztotožněného [22] , takže v pythagorejském seznamu protikladů je nekonečno přiřazeno straně zla. Mezi starověkými řeckými filozofy, kteří pozitivně používají kategorii nekonečna, vyniká Anaximander , který zavádí kosmologický princip jako nekonečnou schránku - apeiron ( řecky ἄπειρον ), a atomisté ( Demokritos , Leucippus ), podle nichž existuje nekonečný počet světů tvořených z nekonečného počtu atomů obsažených v nekonečném prázdném prostoru [23] . Atomistický koncept se zároveň postavil proti kontinualistickému přístupu, ve kterém byly prostor a čas považovány za nekonečně dělitelné, zatímco atomisté postulovali primární nedělitelné prvky a Zenónovy aporie měly ukázat logickou nekonzistenci obou přístupů [24]. .

Dominantním názorem ve starověké řecké filozofii však bylo popírání skutečné nekonečnosti, nejcharakterističtější odraz těchto názorů předkládá Aristoteles ve „ Fyzice “, kde popírá nekonečnost vesmíru, nekonečnost sledu příčin, když mluví o možnost nekonečného nárůstu přirozené řady a nekonečna dělení úsečky na malé složky pouze jako o potenciálním nekonečnu . Aristoteles také patří do klasifikace nekonečna na rozsáhlé - vznikající neomezeným přidáváním objektů do celku a intenzivní - objevující se neomezeným prohlubováním do struktury objektu [25] Antické geometry, zejména Euklides , stojí také na pozice popírání skutečného nekonečna a operování pouze s potenciálním nekonečnem v " Principech " druhý postulát prosazuje možnost libovolně dlouhého prodloužení přímky, ale samotné přímky a roviny jsou považovány za konečné, i když téměř nekonečně "velké" “ [1] .

V dílech novoplatoniků , především Plotina , se v souvislosti s pronikáním myšlenek východní mystiky a z velké části pod vlivem děl Filóna Alexandrijského , který podal helénistický výklad křesťanského Boha , utváří představa o aktuální nekonečnost Mysli jako nekonečně mocná a sjednocená a potenciální nekonečnost bezbřehé hmoty [26] .

Evropská středověká filozofie

V raně křesťanské a raně středověké filozofii ( Origenés , Augustin , Albert Veliký , Tomáš Akvinský ) Aristoteles zdědil od Aristotela popření skutečného nekonečna ve světě, zatímco v té či oné podobě uznával pro křesťanského Boha skutečné nekonečno [1 ] .

V dílech scholastiky 13.-14. století ( Vilém ze Sherwoodu , Haytsbury , Gregory z Rimini ) je jasně naznačen rozdíl mezi pojmy potenciální a aktuální nekonečno (v raných spisech se potenciální a aktuální nekonečno nazývá synkategorematické a kategorematická nekonečna), ale postuluje se vztah ke skutečně nekonečnému jako božskému [1] nebo úplné popření skutečného nekonečna ( lat. infinitum actu non datur ). Ockham však již upozorňuje na možnost uznat existenci kontinua a jeho částí jako skutečně existující při zachování vlastností nekonečna za nimi – možnost nekonečného dělení na jednotlivé části [27] , a Swainshead , na podporu tzv. jeho úvaha o nekonečné dělitelnosti kontinua matematicky dokazuje tvrzení o součtu nekonečné číselné řady [28] . Orem , rozvíjející Swinsheadovy konstrukce, staví systém geometrických důkazů konvergence nekonečných řad, staví příklad plochého obrazce, nekonečného rozsahu, ale s konečnou plochou [7] .

Mikuláš Kusánský v 15. století vytváří doktrínu „absolutního maxima“, které považuje za nekonečnou míru všech konečných věcí, čímž dává myšlenku, která se vůbec neshoduje s antikou: vše konečné je považováno za omezení. skutečně existujícího božského nekonečna ( latinsky possesst ), na rozdíl od převládající představy o existenci konečných věcí a potenciálu nekonečna [29] .

Filosofie moderní doby

Myšlenky Mikuláše Kusánského rozvíjí Spinoza , podle kterého věci přijímají své bytí v nekonečné božské substanci prostřednictvím sebeurčení prostřednictvím negace [30] . Z těchto myšlenek pochází v 16.–17. století uznání myšlenky nekonečna vesmíru , která vznikla díky heliocentrickému systému Koperníka , osvícenskému dílu Bruna , studiím Keplera a Galilea [31]. [1] . Kepler a Galileo začínají v matematické praxi používat metody nekonečna, takže Kepler, opírající se o myšlenky Mikuláše Kusánského, aproximuje kružnici pravidelným mnohoúhelníkem s počtem stran tíhnoucím k nekonečnu [32] , a Galileo platí pozornost na shodu mezi čísly a jejich čtverci , poznamenává nemožnost aplikace teze "celek je větší než část" na nekonečné objekty [6] .

Významnou roli v pojetí povahy spojitého a podstaty kontinua vnesl student Galilea Cavalieriho , který v pojednání „Geometrie, vyjádřená novým způsobem pomocí nedělitelného spojitého“ ( 1635 ) ploché obrazce považovali za nekonečné sady segmentů, které je vyplňují, a objemová tělesa za sestávající z nekonečného počtu rovnoběžných plochých obrazců pomocí takových metafor: čára je tvořena tečkami, jako náhrdelník z perel, plochá postava je tvořena čarami, stejně jako látka je vyrobena z nití, tělo je vyrobeno z rovin, jako kniha stránek; pomocí této „ metody nedělitelných “ Cavalieri získal významné matematické výsledky [33] .

Descartes argumentuje nemožností poznání Boha z existence jím stvořeného světa nesouměřitelností konečného a skutečně nekonečného, jehož nepochopitelnost je podle jeho názoru obsažena v samotné formální definici nekonečna [34] . V souladu s tím Descartes uznává pouze všemohoucího Boha jako skutečně nekonečného a takové projevy nekonečna považuje za „nekonečnost lidské vůle“ za projevy božského obrazu v lidské bytosti [1] .

Nejdůslednějším zastáncem existence skutečného nekonečna byl Leibniz , v „ monadologii “ důsledně zastává myšlenku nekonečnosti monád ve vesmíru, v každé jeho části, vyjádřené ve formě hmoty, způsobující stabilitu tyto části zákonem předem stanovené harmonie a zvláštními principy podřízenosti monád, přičemž monády zase považují za vesmír nekonečný v prostoru a čase [1] . Tyto myšlenky Leibnize se odrážely v jeho základních dílech o infinitezimálním počtu, reprezentujícím infinitesimály jako monády . Diferenciální počet vytvořený Newtonem a Leibnizem , který jasně aktualizoval infinitesimály , způsobil širokou a zdlouhavou diskusi mezi filozofy 17.-18. z Gulliver's Travels by Swift a " Micromegas " od Voltaira [35] .

Kant , v Kritika čistého důvodu , popírá možnost zvažovat jak nekonečná čísla tak nekonečné velikosti; Na základě analýzy antinomií čistého rozumu Kant necharakterizuje svět ani jako konečný, ani jako nekonečný, ale jako „neurčitý“ [1] .

Hegel rozvíjí myšlenku nejužšího spojení, téměř identity, nekonečného a absolutního [36] , zvláště považuje „špatné nekonečno“ za negaci konečnosti a zavádí „pravé nekonečno“ jako dialektické překonání antagonismu; Podle Hegela je skutečně nekonečný pouze Absolutní duch [1] . Filozofie dialektického materialismu zdůrazňuje myšlenku nekonečna jako dialektického procesu [37] [38] , samotný pojem nekonečna v něm má různé významy: nejjednodušší, praktické nekonečno; nekonečnost jako absolutnost, univerzálnost, úplnost; nekonečnost intelektuálního světa; skutečné nekonečno. Nekonečno prostoru a času považuje Engels za příklad „zlého nekonečna“.

Nejvýznamnějším dílem 19. století o nekonečnu, více filozofickým [39] než matematickým, byla Bolzanova monografie Paradoxy of the Infinite (vydaná v roce 1851, po autorově smrti) [1] , ve které byly nekonečné množiny čísla jsou systematicky studována, logické a matematické argumenty jsou uvedeny ve prospěch zvažování skutečného nekonečna a je navržena sada nástrojů pro studium rodů nekonečna pomocí konceptu korespondence jedna ku jedné [39] .

Na ideologickém základě Bolzanova díla, vytvořeného na konci 19. století v dílech Cantorových za významné účasti Dedekinda , byla poprvé použita teorie množin (samotný termín „množina“ je německy menge , od Bolzana jako označení pro skutečně nekonečný objekt), totiž v teorii množin byl poprvé motivován poměr různých typů nekonečna, zejména pomocí pojmu moc , poměr mezi počtem prvky přirozené řady (spočetná množina, v Cantorově zápisu) a počet bodů kontinua ( ), byl formulován princip transfinitní indukce . Zároveň se Kantor pokusil své konstrukce odůvodnit i filozoficky, když vedle transfinitních čísel, pochopitelných vědomím, zavedl i nepochopitelné „nekonečno v Bohu“ [40] . Zvláštní roli v chápání nekonečna v rámci práce na vytvoření teorie množin sehrála definice nekonečné množiny v Dedekindově knize "Co jsou čísla a k čemu slouží?" [41] jako jedna ku jedné s částí sebe sama, zatímco všechny předchozí definice nekonečna byly záporné [42] . Na konci 19. století (především díky organizované sérii zpráv na Prvním mezinárodním kongresu matematiků v roce 1897) byla teorie množin široce uznávána a uplatňována v praxi mezi matematiky, ale mezi teology a filozofy, představy o skutečném nekonečnu a kvantitativní rozdíly mezi jeho typy vyvolaly vážnou diskusi [42] . $\aleph_0$ $\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}$

Současná filozofie

Ve filozofii 20. století je hlavní obsah výzkumu otázek souvisejících s nekonečnem úzce spojen se základy matematiky a především s problémy teorie množin [43] .

Russell , v systému, který spolu s Whiteheadem vybudoval v Principia Mathematica , aby překonal paradoxy teorie množin , postuloval existenci nekonečna zavedením axiomu nekonečna , navíc v něm není dovoleno Při odvozování nekonečna od jiných apriorních pojmů není pojem nekonečna považován za čistě analyticky odvoditelný z principu nepřipuštění rozporů. Russell také nepovažoval za možné najít aposteriorní ospravedlnění pro nekonečno, založené na zdravém rozumu a zkušenostech, zvláště když poznamenal, že neexistují žádné důvody pro víru v nekonečnost prostoru, nekonečno času nebo nekonečnou dělitelnost objektů. Nekonečno je tedy podle Russella hypotetický imperativ , který lze nebo nelze použít v různých systémech, ale který nelze doložit ani vyvrátit [44] .

Implementací programu k překonání paradoxů teorie množin vytvořili Hilbert a Bernays principy označené jako „Hilbertův finitismus“, podle nichž jsou výroky o vlastnostech formulované pro všechny prvky nekonečné množiny možné pouze tehdy, pokud jsou reprodukovatelné pro každý konkrétní prvek, zatímco neomezující možnou abstrakci nekonečna, včetně transfinitní indukce . Wittgenstein , který nejradikálněji rozvinul koncept finitismu v analytické filozofii , považoval za možné považovat nekonečno pouze za záznam rekurzivního procesu a zásadně odmítl možnost uvažovat o různých třídách nekonečna [45] .

Ve školách vycházejících z novokantovství a fenomenologie se také zkoumaly otázky nekonečna, např. Cassirer v diskusi s Heideggerem („Davoská diskuse“, 1929) zavádí imanentní nekonečno , které vzniká jako objektivizace sféry. zkušeností [46] , v 50.-60. letech programové práce věnované nekonečnu napsali Koyre a Levinas [47] .

Indukce

Indukce je klasická logická metoda, která umožňuje přejít od konkrétních výroků k univerzálním výrokům, včetně výroků týkajících se nekonečné množiny objektů. Indukce s ohledem na přirozené řady bez jakékoli formalizace je zaznamenána dokonce i u Prokla a Euklida , zatímco povědomí o ní jako o metodě matematické indukce je připisováno Pascalovi a Gersonidovi [48] . V moderní notaci je matematická indukce sylogismus:

P(1),\forall n\in \mathbb {N} (P(n)\arrowarrow P(n+1))\vdash \forall n\in \mathbb {N} (P(n))

tedy odvození vlastnosti pro celou množinu přirozených čísel od skutečnosti jejího splnění pro jednotu a odvození pro každé následující číslo na základě splnění vlastnosti pro předchozí. $P$

Metoda matematické indukce je považována za spolehlivou, lze ji však rozšířit pouze na spočetné dobře uspořádané množiny. Pokusem rozšířit indukci na libovolné dobře uspořádané množiny bylo vytvoření Cantorovy metody transfinitní indukce v rámci teorie množin , využívající myšlenku transfinitních (ordinálních) čísel.

V intuicionistické logice se barová indukce [49] používá k aplikaci induktivního uvažování na nespočetné kolekce (popsané v intuicionismu jako toky ) .

Symboly

Symbol nekonečna se poprvé objevil v pojednání „O kuželosečkách“ ( latinsky De sectionibus conicis , strana 5) [50] [51] [52] publikovaném v roce 1655 anglickým matematikem Johnem Wallisem . Předpokládá se, že symbol má starověký původ a je spojován s ouroborosem – hadem kousajícím se do vlastního ocasu [53] ; podobné symboly byly nalezeny mezi tibetskými skalními rytinami. V Unicode je nekonečno reprezentováno symbolem ∞ (U+221E). $\infty$

Symboly nekonečna používané pro základní čísla jsou založeny na prvním písmenu hebrejské abecedy , aleph , s dolním indexem. Viz Hierarchie Alephs . Systém aleph byl představen Cantorem v roce 1893 , věřit, že všechny řecké a latinské znaky jsou již obsazeny a hebrejský aleph je také symbolem čísla 1; zatímco hebrejská abeceda byla v té době dostupná v sadách v mnoha tiskárnách v Německu [54] . V Unicode se aleph zapisuje jako א (U+05D0). $\aleph_0, \aleph_1, \tečky$

Poznámky

↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 NFE, 2010 .
↑ Nekonečno ve filozofii / I. S. Alekseev // Bari - náramek. - M . : Sovětská encyklopedie, 1970. - ( Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / šéfredaktor A. M. Prochorov ; 1969-1978, sv. 3).
↑ Katasonov V. N. Kontinuita a diskontinuita // New Philosophical Encyclopedia. — 2. vyd., opraveno. a další .. - M . : Thought, 2010. - T. 2. - 2816 s. - 5000 výtisků. - ISBN 978-5-244-01115-9 .
↑ 1 2 Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , str. 10-13.
↑ Kniha IX, prohlášení 20
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , str. 39.
↑ 1 2 3 4 5 Paplauskas A. B. Přednewtonské období vývoje nekonečných řad. I // Yushkevich A.P. (odpovědný redaktor) Historický a matematický výzkum . - M .: Nauka , 1973. -T. XVIII . - S. 104-131 . (Ruština)
↑ Dani SG Staroindická matematika - Konspekt // Rezonance. - 2012. - T. 17 , č. 3 . - S. 236-246 .
↑ Paplauskas A. B. Přednewtonské období vývoje nekonečných řad. II. Pietro Mengoli // Yushkevich A.P. (šéfredaktor) Historický a matematický výzkum. - M .: Nauka, 1974. - T. XIX . - S. 143-157 . (Ruština)
↑ Paplauskas A. B. Přednewtonské období vývoje nekonečných řad. III // Yushkevich A.P. (odpovědný redaktor) Historický a matematický výzkum. - M .: Nauka, 1975. - T. XX . - S. 257-281 . (Ruština)
↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , str. 26.
↑ Kudryavtsev L. D. Krátký kurz matematické analýzy. - 3. vyd. revidováno .. - M . : Fizmatlit, 2005. - T. 1. - S. 19. - 400 s. — ISBN 5-9221-0184-6 .
↑ Nekonečno - článek z Encyklopedie matematiky . Dragalin A. G. S pomocí N. a. byla zjištěna řada nových skutečností. Mnoho klasických. důkazy znatelně prospívají v jasnosti, když jsou prezentovány metodami nestandardní analýzy
↑ Někdy se pro nekonečná kardinální čísla představující sílu postupného přebírání booleovských hodnot z počitatelné množiny používá zápis sázek (z druhého písmene hebrejské abecedy - sázka ), v těchto zápisech je hypotéza zobecněného kontinua formulována jako $\aleph_\alpha = \beth_\alpha$
↑ Von Neumann navrhl takové definiční schéma ve dvacátých letech 20. století, Kantor zpočátku používal jinou metodu
↑ Yanovskaya S.A. Překonala moderní věda obtíže známé jako „Zenoovy aporie“? // Problémy logiky / Tavanets P.V. - M. , 1963. - S. 116-136 .
↑ Gaidenko P. P. Evoluce pojetí vědy (vznik a vývoj prvních vědeckých programů). Eleatická škola a první tvrzení o problému nekonečna . — M .: Nauka, 1980.
↑ Hilbert D. , Bernays P. Základy matematiky. - M. : Nauka, 1979. - T. 1. Logický počet a formalizace aritmetiky. - S. 40. - 558 s.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , s. 236-238.
↑ Srb. पूर्णमदः पूर्णमिदं पूर्णात् पूर्णमुदच्यते पूर्णस्णमेवावशिष्यते पूर्णमेवावशिष्यते पूर्णमेवावशिष्यते पूर्णमेवावशिष्यते - „Dokončete to, dokončit. Z plného se bere plné. Kompletní kompletní přichází, kompletní pouze zůstává, “Syrkinův překlad
↑ Joseph, GG Hřeben páva. Mimoevropské kořeny matematiky . — 3. - Princeton : Princeton University Press , 2011. - S. 349-355 . — 562 s. - ISBN 978-0-691-13526-7 .
↑ NFE, 2010 , Starověké myšlení v zásadě považuje nekonečno za neformované, jako nestalo se, a proto je nedokonalé <...> Bytí ve starověkém myšlení je spojeno s kategorií míry a limity. Nekonečno se jeví jako neohraničené, bezbřehé, téměř neexistující – μὴὄν, a proto je něco blízkého chaosu a někdy je s ním ztotožňováno.
↑ NFE, 2010 , ... v antické filozofii byli myslitelé, kteří kategorii nekonečna používají pozitivněji. Předně k nim patří Anaximander, u něhož je apeiron hlavním principem kosmologie <...> navíc je zde třeba jmenovat atomisty Leucippa a Demokrita, u nichž nekonečný prázdný prostor obsahuje nekonečné množství atomů tvoří nekonečné množství světů.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , s. 236.
↑ Vilenkin, 1983 , str. 14-15.
↑ NFE, 2010 , Mysl Plotinus ji již nazývá nekonečnou v následujících smyslech: ve smyslu její nekonečné síly, její jednoty a její soběstačnosti. Vše, co existuje, je tedy mezi dvěma nekonečny: skutečnou nekonečností Mysli a potenciální nekonečností meonální hmoty, bez hranic a formy a přijímající své definice pouze prostřednictvím „odrazů“ dokonalostí vyššího bytí.
↑ lat. Sed omne continuum est Actualiter existuje. Igitur quaelibet pars sua est vere existuje in rerum natura. Sed partes continui sunt infinitae quia non tot quin plures, igitur partes infinitae sunt Actualiter existentes - „Ale každé kontinuum ve skutečnosti existuje. Proto její části existují i v přírodě. Ale části kontinua jsou nekonečné, protože se nedá říct, kolik jich je, a proto ty nekonečné části skutečně existují.
↑ Bogolyubov A. N. Matematika. Mechanika. Životopisný průvodce. - Kyjev: Naukova Dumka, 1983. - 639 s.
↑ NFE, 2010 , ... pro Kuzants naopak jakákoli konečná věc působí jako potenciální omezení vlastně nekonečné božské možnosti - bytí (possest).
↑ NFE, 2010 , ... Podobně se v rámci Spinozova panteismu ukazuje, že omnis determinatio est negatio (každá definice je negací): věci nedostávají svou existenci limitem, nikoli omezením beztvaré hmoty. , ale právě ze základní nekonečné božské substance, uvnitř níž sebeurčení působí jako částečná negace.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , s. 43-44.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , s. 43-45.
↑ Daan-Dalmedico, Peiffer 1986 , s. 249.
↑ Gartsev M. A. Problém absolutní svobody u Descarta // Logos . - 1996. - č. 8 . Archivováno z originálu 24. listopadu 2015.
↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , str. 13-14.
↑ „Nekonečno ve svém jednoduchém pojetí lze především považovat za novou definici absolutna...“ Hegel G. W. F. Science of Logic. // Práce, sv. V. - M.: Gosizdat, 1927. - S. 136.
↑ „Když už mluvíme o nekonečně velkém a nekonečně malém, matematika zavádí takový kvalitativní rozdíl, který má dokonce charakter nepřekonatelné kvalitativní opozice...“ Marx K. , Engels F. Dialektika přírody // Soch., sv. 20 - M.: Politizdat, 1956 - S. 574.
↑ „Nekonečno je rozpor a je plné rozporů... Právě proto, že nekonečno je rozpor, je to nekonečný proces odvíjející se donekonečna v čase a prostoru. Zničení tohoto rozporu by znamenalo konec nekonečna." Marx K. , Engels F. Anti-Dühring // Soch., sv. 20. - M.: Politizdat, 1956. - S. 51.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , str. 39-40.
↑ NFE, 2010 , Cantor, tvůrce teorie množin, se také pokusil dát teologickou aplikaci svým konstrukcím s aktuálním nekonečnem (Kantor obecně považoval teorii množin za související s metafyzikou stejně jako s matematikou). Rozlišoval tři typy nekonečného: nekonečné v Bohu ("v mysli Boha") - Absolutní, ve stvořeném světě - Transfinite, v lidské mysli - transfinitní čísla (ordinály).
↑ Dedekind, R. Was sind und was sollen die Zahlen? . - Braunschweig: Drud und Berlag von Friedrich Bieweg, 1893. - 60 s.
↑ 1 2 F. A. Medveděv . Vývoj teorie množin v 19. století. - M .: Nauka, 1965. - S. 133-137, 144-157. — 232 s. - 2500 výtisků.
↑ NFE, 2010 , Ve 20. století. filozofické diskuse kolem problémů nekonečna korelují s teorií množin a problémem základů matematiky.
↑ Surovtsev V. A. B. Russell o nekonečnu // Bulletin Tomské státní univerzity. Filozofie. Sociologie. Politická věda. - 2010. - T. 12 , č. 4 . - S. 135-145 .
↑ Rodych, V. Wittgensteinova filozofie matematiky . Stanfordská encyklopedie filozofie . Stanford University Press (21. září 2011). Získáno 25. května 2013. Archivováno z originálu 25. května 2013.
↑ Diskuse Weinmeistera A. V. Davose mezi Cassirerem a Heideggerem // Bulletin Orenburgské státní univerzity. - 2007. - č. 2 .
↑ Yampolskaya A. V. Myšlenka nekonečna v Levinas a Koire // Otázky filozofie . - 2009. - č. č. 8 . - S. 125-134 . (Ruština)
↑ Nachum L. Rabinovih. Rabi Levi ben Gershom a počátky matematické indukce // Archiv pro historii exaktních věd. - 1970. - Vydání. 6 . - S. 237-248 .
↑ Nekonečno - článek z Encyklopedie matematiky . Dragalin A.G.
↑ De sectionibus conicis Archivováno 2. ledna 2014 na Wayback Machine
↑ Scott, Joseph Frederick (1981), The matematické práce Johna Wallise, DD, FRS, (1616-1703) (2 ed.), AMS Bookstore, s. 24, ISBN 0-828-40314-7 , < https://books.google.com/books?id=XX9PKytw8g8C > Archivováno 25. září 2014 na Wayback Machine , Kapitola 1, strana 24 Archivováno 18. listopadu 2016 na Wayback Stroj
↑ Martin-Löf, Per & Mints, GE (1990), COLOG-88: International Conference on Computer Logic Tallinn, SSSR, 12.–16. prosince 1988: sborník , Springer, s. 147, ISBN 3-540-52335-9 , < https://books.google.com/books?id=nfnGohZvXDQC > Archivováno 1. října 2014 na Wayback Machine , strana 147 Archivováno 2. října 2014 na Wayback Machine
↑ Robertson, Robin; Hřebeny, Allane. The Uroboros // Indra's Net: Alchymie a teorie chaosu jako modely transformace. — Quest Books, 2009. — ISBN 978-0-8356-0862-6
↑ Dauben J. Georg Cantor a zrození transfinitní teorie množin . Scientific American , ruské vydání, č. 8 (srpen), s. 76–86 (1. července 1983). Získáno 5. 5. 2013. Archivováno z originálu 10. 5. 2013. (Ruština)

Literatura

N. Bourbaki . Základy matematiky. Logika. Teorie množin // Eseje o dějinách matematiky / I. G. Bashmakova (přeloženo z francouzštiny). - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1963. - S. 37-53. — 292 s. — (Prvky matematiky).
Vilenkin N. Ya. Při hledání nekonečna. — M .: Nauka, 1983.
Gordon E. I., Kusraev A. G., Kutateladze S. S. Infinitesimální analýza: vybraná témata. — M .: Nauka, 2011. — 398 s. - ISBN 978-5-02-036137-9 .
Gracien, Enrique. Otevírání bez hranic. Nekonečno v matematice. — M. : De Agostini, 2014. — 144 s. — (Svět matematiky: ve 45 svazcích, svazek 18). — ISBN 978-5-9774-0713-7 .
Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Cesty a labyrinty. Eseje o dějinách matematiky = Routes et dédales / Z francouzštiny přeložila A. A. Bryadinskaya, upravila I. G. Bashmakova. - M .: Mir, 1986. - S. 394-402. — 432 s. — (Moderní matematika. Populární řada). — 50 000 výtisků.
Infinity / Katasonov V. N. // "Banketová kampaň" 1904 - Big Irgiz. - M . : Velká ruská encyklopedie, 2005. - S. 413-415. - ( Velká ruská encyklopedie : [ve 35 svazcích] / šéfredaktor Yu. S. Osipov ; 2004-2017, sv. 3). — ISBN 5-85270-331-1 .
Katasonov VN Infinite // Nová filozofická encyklopedie / Filosofický ústav RAS ; Národní společensko-vědní fond; Předchozí vědecky vyd. rada V. S. Stepin , místopředsedové: A. A. Guseynov , G. Yu. Semigin , účetní. tajný A. P. Ogurtsov . — 2. vyd., opraveno. a přidat. - M .: Myšlenka , 2010. - ISBN 978-5-244-01115-9 .
Kline M. Matematika. Ztráta jistoty. — M .: Mir , 1984. — 446 s.

Slovníky a encyklopedie	Velký Rus Brockhaus a Efron Ortodoxní Britannica (online) Universalis
V bibliografických katalozích	NDL : 00576691