Otevřené matematické problémy

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 4. srpna 2022; kontroly vyžadují 4 úpravy .

Otevřené (nevyřešené) matematické problémy jsou problémy, které byly zvažovány matematiky , ale dosud nebyly vyřešeny. Často ve formě hypotéz , které jsou pravděpodobně pravdivé, ale je třeba je dokázat .

Ve vědeckém světě je populární praxe sestavování seznamů otevřených problémů, které jsou v tuto chvíli relevantní, známými vědci nebo organizacemi. Zejména pozoruhodné seznamy matematických problémů jsou:

Časem mohou být zveřejněné problémy z takového seznamu vyřešeny a ztratit tak svůj otevřený stav. Například většina Hilbertových problémů, které představil v roce 1900, je nyní tak či onak vyřešena.

Teorie čísel

Goldbachův problém . Lze každé sudé číslo větší než 2 vyjádřit jako součet dvou prvočísel ? [jeden]
Waringův problém . Hardyho funkce je nejmenší , takže rovnice je řešitelná pro . Hodnoty této funkce jsou známy pouze pro rovné 2 a 4. $G(n)$ $k$ $x_1^n+x_2^n + \dots + x_k^n = N$ $N\geqslant N_0(n)$ $n$
Existuje nekonečná množina dvojčísel ?
Bealova hypotéza . Je pravda, že pokud kde jsou přirozená čísla a , pak mají společného prvočíselného dělitele ? $A^x+B^y=C^z,$ $A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z$ $x,\;y,\;z>2$ $A,\;B,\;C$
Collatzova hypotéza (hypotéza ). $3n+1$
Erdősova hypotéza . Je pravda, že pokud se součet reciprokých čísel pro nějakou množinu přirozených čísel rozchází , pak v této množině lze najít libovolně dlouhé aritmetické posloupnosti ?
Van der Waerdenova čísla . Jaké je minimum pro jakékoli rozdělení množiny na dvě podmnožiny , alespoň jedna z nich bude obsahovat aritmetickou progresi délky 7? [2] $N$ $\{1,\;2,\;\ldots,\;N\}$
Existuje Eulerův box (box se všemi celočíselnými hranami a předními úhlopříčkami), jehož hlavní úhlopříčka má také celočíselnou délku ? [3]
Tři ze čtyř Pollockových hypotéz .

Geometrie

12 nevyřešených úloh z Wernickova seznamu o sestavení trojúhelníku ze tří označených singulárních bodů [4] .
V problému pohybu divanu nebyla prokázána maximalita nejlepšího odhadu zdola ( Gerverovy konstanty ).
Je možné na libovolné uzavřené Jordanově křivce v rovině najít 4 body, které jsou vrcholy nějakého čtverce? [5] [6]
Existuje konstanta taková, že každá množina bodů v rovině s plochou musí obsahovat vrcholy alespoň jednoho trojúhelníku o ploše 1? [7] $A$ $A$
Existuje v rovině hustá množina bodů, takže vzdálenost mezi každým dvěma body je racionální? [osm]
Existuje trojúhelník s celočíselnými stranami, mediány a plochou? [9] [10]
Existuje v rovině bod, jehož vzdálenost ke každému ze 4 vrcholů jednotkového čtverce je racionální? [10] [11]
Problém s 9 kruhy . Existuje 9 kruhů, které se každé dva protínají a střed každého kruhu leží mimo ostatní kruhy? (Doba provedení kontrolního algoritmu je příliš dlouhá).
Má nějaký konvexní mnohostěn vývoj bez vlastních průniků? [12]
Jsou uvedena kladná reálná čísla . Jaký je největší a nejmenší objem mnohostěnu, jehož čelní plochy se rovnají těmto číslům? $S_0,\;\ldots,\;S_n$
Kolikrát může objem nekonvexního mnohostěnu převýšit objem konvexního mnohostěnu složeného ze stejných ploch? [13]
Při jakém minimu může být jakékoli konvexní těleso jednotkového objemu umístěno uvnitř jakékoli trojúhelníkové objemové pyramidy [14] $PROTI$ $PROTI?$
Jaké je chromatické číslo -rozměrného euklidovského prostoru? Tento problém nebyl vyřešen ani u letadla. Jinými slovy, není známo, jaký je minimální počet barev potřebných k tomu, aby mohli obarvit rovinu tak, aby žádné dva body, které jsou v jednotkové vzdálenosti od sebe, nebyly namalovány stejnou barvou ( Nelson-Erdős-Hadwiger problém ) . $n$
Thomsonův problém . Jak umístit identicky nabité body na kouli tak, aby potenciální energie systému (tedy součet párových reciprokých vzdáleností mezi body) byla minimální (úloha je striktně řešena pouze pro ) [15] . Kolik rovnovážných stavů (lokálních extrémů) existuje pro soustavu bodů? $n$ $n=2,\;3,\;4,\;6,\;12$ $n$
Jak umístit body na kouli tak, aby nejmenší z párových vzdáleností mezi nimi byla maximální? [16] $n$
Pro každou dvojici přirozených čísel najděte nejmenší reálné číslo takové, že libovolnou množinu průměru jednotky v -rozměrném euklidovském prostoru lze rozdělit na podmnožiny o průměru nejvýše . Problém byl vyřešen pouze v několika speciálních případech [17] [18] . $(n,\;k)$ $d(n,\;k)$ $n$ $k$ $d(n,\;k)$
Jaká je plocha Mandelbrotovy množiny a kde se nachází její těžiště na úsečce? Existuje odhad 1,506 591 77 ± 0,000 000 08 [19] .
Úkol se šťastným koncem . V jakém minimu mezi body v rovině, z nichž žádné 3 neleží na stejné přímce, jsou vrcholy nějakého konvexního -gonu, a je pravda, že ? Řešení je známé pouze pro . Výsledek pro (který se ukázal být 17) byl získán v roce 2006 pomocí počítačové analýzy. $m$ $m$ $n$ ${\displaystyle m=1+2^{n-2))$ $n<7$ $n=6$
Jaký nejmenší počet dlaždic může obsahovat sadu dlaždic Van , které mohou obkládat rovinu pouze neperiodicky? Nejmenší známý výsledek je 11 [20] .
Existuje v jakékoli polygonální místnosti se zrcadlovými stěnami bod, kde je umístěn zdroj světla, ve kterém bude osvětlena celá místnost? [21]
Je možné umístit 8 bodů na rovinu tak, aby žádné 3 neležely na stejné přímce, žádné 4 neležely na stejné kružnici a vzdálenost mezi libovolnými 2 body byla celé číslo? Řešení pro 7 bodů bylo nalezeno v roce 2007 [22] [23] [24] .
Jaký je největší možný objem konvexního trupu prostorové křivky délky 1?
Bonnesen-Fennelova hypotéza . Které trojrozměrné těleso konstantní šířky má nejmenší objem? [25] [26] [27]
Má každý mnohoúhelník také mnohoúhelník, jehož všechny vrcholy jsou umístěny ve vzdálenosti menší než od odpovídajících vrcholů počátečního mnohoúhelníku a jehož všechny strany a úhlopříčky mají racionální délku? [28] $\epsilon > 0$ $\epsilon$

Problémy s balením

Jaký je největší počet neprotínajících se kružnic o jednotkovém poloměru, které lze umístit na kouli o poloměru ? [29] $R$
Jaká je strana nejmenšího čtverce, do kterého lze zabalit 2 jednotkové kruhy, z nichž jeden lze rozříznout podél tětivy na 2 segmenty? [třicet]
Jaké je nejméně husté pevné uspořádání stejných kružnic v rovině? [třicet]

Vícerozměrné prostory

Jaké je kontaktní číslo v euklidovských prostorech s rozměrem ? Tento problém byl vyřešen pouze pro (240) a (196 560) [31] [32] . $n>4$ $n=8$ $n=24$
Problém nejhustšího balení kuliček v -rozměrném euklidovském prostoru pro . Pro trojrozměrný prostor byl tento problém vyřešen v roce 1998: bylo prokázáno, že Keplerova hypotéza platí. Stávající důkaz je však extrémně rozsáhlý a obtížně ověřitelný [33] . Je také prokázáno, že pro a mřížky kromě kontaktního čísla realizují také nejhustší balení kuliček. $n$ $n>3$ $n=8$ $n=24$
Borsukova hypotéza . Je možné rozdělit libovolné těleso o konečném jednotkovém průměru v n-rozměrném euklidovském prostoru na ne více než část tak, aby průměr každé části byl menší než 1? Vyvráceno pro prostory dimenze větší než 64, prokázáno pro prostory dimenze menší než 4, pro 4 ≤ n ≤ 63 problém není vyřešen. $n+1$

Mechanika

Je možné pro každý pohyb čtyř bodů v prostoru zvolit takovou (případně neinerciální) vztažnou soustavu, aby se trajektorie všech čtyř bodů v ní ukázaly jako ploché konvexní křivky? [osm]
Je pravda, že pro dostatečně velký počet pohybujících se bodů se spletenými trajektoriemi (trajektorie se nazývají spletené, pokud neexistuje prostorový homeomorfismus , pod kterým spadají do neprotínajících se konvexních množin) v jakékoli vztažné soustavě, trajektorie alespoň dvou bodů se ukáže být zapletený?
V knize je umístěno dvanáct neřešených geometrických otázek souvisejících s problémy mechaniky [34] .

Algebra

Inverzní věta Galoisovy teorie . Pro jakoukoli konečnou grupu existuje algebraické číselné pole takové, které je rozšířením racionálního číselného pole a je izomorfní k . $H$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ $\mathbb {Q}$ $\mathrm{Gal}(\mathbf{F}/\mathbb{Q})$ $H$
Každá konečně daná grupa , jejíž každý prvek má konečný řád, je konečná. Pro konečně vygenerovanou skupinu (slabší stav) to neplatí [35] .
Existuje jednoduchá skupina , která není nekonečně superjednoduchá ? [36]
Je dobový prsten pole ?
Problém O. Yu Schmidta Existují nekvazicyklické skupiny , jejichž všechny vlastní podgrupy (jiné podskupiny než identitní skupina a celá skupina) jsou konečné? [37]
Problém L. S. Pontrjagina Nechť je efektivní tranzitivní bikompaktní grupa transformací prostoru homeomorfního na dimenzionální sféru. Existuje takové homeomorfní mapování prostoru na jednotkovou sféru euklidovsko - rozměrného prostoru, pod kterým grupa přechází do nějaké skupiny pohybů sféry ? [38] . $G$ $\Gamma$ $n$ $\Gamma$ $S^{n}$ $(n+1)$ $G$ $S^{n}$
Algebraické systémy Existují netriviální varianty grupoidů , kruhů a svazů a jaké podmínky jsou splněny v případě existence , dosažitelné na třídách všech grupoidů, všech kruhů nebo svazů? [39] .
Algebraické systémy Existují a jaké podmínky splňují v případě existence netriviální variety a kvazivariety pologrup s několika rozlišenými prvky, kruhy a svazy, dosažitelné na třídě všech takových pologrup [39] .
Existují v množině grup operace, které se liší od operací přímého a volného násobení a mají své základní vlastnosti? [40]
Bude mít množina všech neizomorfních abelovských grup dané mohutnosti mohutnost ? [41] $M$ ${2}^{M}$
AI Maltsevův problém Existuje spočetná grupa taková, že každá spočetná grupa je izomorfní k jedné z jejích podgrup? [42]
Problém nalezení všech hyperkomplexních systémů s dělením není zcela vyřešen [43] .
V knize je několik desítek nevyřešených algebraických problémů [44] .
Neexistuje úplný popis množiny platných vzorců pro algebraické systémy. Není známo, zda je množina uzavřena pod doplňkem v množině [45] $S$ $\omega$
Výroky o nevyřešených problémech v teorii nekonečných abelovských grup jsou uvedeny v knize [46] $padesáti$

Zápisník Kourovka

Jde o světově proslulou sbírku několika tisíc nevyřešených problémů z oblasti teorie grup . Vychází od roku 1965 s frekvencí 2-4 roky. Publikováno v ruštině a angličtině [47] [48] [49] .

Dněstrový zápisník

Jedná se o soubor několika stovek nevyřešených problémů v teorii prstenců a modulů [50] .

Sverdlovský zápisník

Jde o soubor nevyřešených problémů v teorii pologrup [51] [52] .

Erlagol Notebook

Je to soubor nevyřešených problémů z algebry a teorie modelů [53] .

Analýza

Riemannova hypotéza . Leží všechny netriviální nuly funkce zeta na přímce? [54] $\mathrm{Re}(z)=1/2$
Co je Millsova konstanta ? Stávající metody výpočtu spoléhají na dosud neprokázanou Riemannovu hypotézu.
Doposud není nic známo o normalitě čísel jako a ; není ani známo, která z číslic 0-9 se v desítkové reprezentaci čísla vyskytuje nekonečněkrát. $\pi$ $E$ $\pi$
Je každé iracionální algebraické číslo normální ? [55]
Je to normální číslo ? [56] $\ln 2$
Není známo jediné číslo, pro které by bylo dokázáno, že geometrický průměr členů jeho expanze na spojitý zlomek směřuje ke Khinchinově konstantě (kromě těch, které jsou uměle vytvořeny [57] ), i když bylo prokázáno, že téměř všechna reálná čísla mají tuto vlastnost. Předpokládá se, že tuto vlastnost by měla mít čísla , Euler-Mascheroniho konstanta , samotná Khinchinova konstanta a mnoho dalších matematických konstant . $\pi$
Do řady a [58] Obě řady mají sporadicky malé jmenovatele, ale první řada hypoteticky konverguje kolem 30,31 a druhá kolem 43. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \sin^2 n}$ $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3 \cos^2 n}?$

Otázky iracionality

Míra iracionality není známa pro žádné z následujících čísel: Euler-Mascheroniho konstanta , katalánská konstanta , Brunova konstanta , Millsova konstanta , Khinchinova konstanta , čísla Nikdo z nich ani neví, zda se jedná o racionální číslo, algebraické iracionální nebo transcendentální číslo [59 ] [60] [61] [62] [63] [64] . $\pi + e, \pi - e, \pi \cdot e, \frac{\pi}{e}, \pi ^ e, \pi ^{\sqrt 2}, \ln \pi, \pi ^ \pi , e^{\pi^2}, 2^e, e^e, e^{e^e}.$
Není známo, zda a jsou algebraicky nezávislé . $\pi$ $E$
Není známo, zda nebo jsou celá čísla v nějakém kladném celém čísle (viz tetrace ). Není ani známo, zda se jedná o celé číslo (toto číslo má více než 10 17 číslic celočíselné části a přímý výpočet je nemožný). ${^{n}\pi }$ ${^ne}$ $n$ ${^4\pi}=\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$
Není známo, zda to může být celé číslo, pokud je kladné celé číslo a je kladné racionální, ale ne celé číslo (ve zvláštních případech je odpověď záporná) [65] . ${^nq}$ $n$ $q$ $n=1,\,2,\,3$
Není známo, zda kladný kořen rovnice je algebraické nebo transcendentální číslo (ačkoli je známo, že je iracionální). ${^3 x}=2, \, x=1{,}476\;684\;33\teček$
Není známo, zda kladný kořen rovnice je racionální, algebraické iracionální nebo transcendentální číslo. Podobný problém pro tetraci jakékoli větší výšky z libovolného čísla většího než 1 je také otevřený. ${^4 x}=2, \, x=1{,}446\;601\;43\teček$
Přesná míra iracionality není známa pro každé z následujících iracionálních čísel: [66] . $\pi, \pi^2, \ln 2, \ln 3, \zeta(3)$
Není známo, zda je první Skewesovo číslo celé číslo. $e^{e^{e^{79}}}$
Jsou hodnoty Riemannovy zeta funkce transcendentální pro všechna přirozená čísla ? $\zeta(2n+1)$ $n$
Jsou hodnoty funkce gama transcendentální pro všechna celá čísla ? Je známo, že Γ(1/2), Γ(1/3), [67] Γ(1/4), [68] a Γ(1/6) jsou transcendentální. [68] $\Gamma(1/n)$ $n>1$
Jsou Feigenbaumovy konstanty transcendentní ?
Je Pellova konstanta transcendentní ? [69]
Je každý nekonečný neperiodický pokračující zlomek s omezenými členy transcendentální?
Existují T-čísla podle klasifikace K. Mahlera? [70] [71]
Seznam několika nevyřešených problémů souvisejících s Mahlerovou domněnkou lze nalézt v knize [72] .

Kombinatorika

Existence Hadamardovy matice řádu násobku 4.
Existence konečné projektivní roviny přirozeného řádu, která není mocninou prvočísla.
Erdős-Renyiho hypotéza . Jestliže je pevné celé číslo , pak for from . Zde je permanent matice , je množina všech — matic řádu c jedničky v každém řádku a každém sloupci [73] . $k$ $k\geqslant 3$ $\liminf (\mathrm{per}\,(A))^{\frac{1}{n)) > {1}$ $A$ $\Lambda_{n}^{k}$ $\mathrm{per}\,(A)$ $A$ $\Lambda_{n}^{k}$ $(0,\; 1)$ $n$ $k$
Ramseyho čísla pro případ jsou téměř neprozkoumaná [74] . $N(q_{1},q_{2},...,q_{t};r)$ $t>2$
Problém nalezení minima permanentu dvojnásobně stochastické matice nebyl v obecném případě vyřešen [75] .
Nejsou známy nezbytné a dostatečné podmínky, za kterých by existovala společná transverzálie pro tři rodiny podmnožin [76] .

Kombinatorická geometrie

Hadwigerova domněnka (kombinatorická geometrie) — může být jakékoli konvexní těleso v -rozměrném euklidovském prostoru pokryto menšími homotetickými tělesy? [77] $n$ $2^{n}$
Seznam nevyřešených problémů kombinatorické geometrie je v knize [78] . $17$
V knize je několik desítek nevyřešených problémů kombinatorické geometrie [79] .

Teorie grafů

Cazzetta-Haggvistova domněnka je , že orientovaný graf svrcholy, z nichž každý vrchol má alespoňhrany, nemá uzavřený obrys delší než [80] . $n$ $m$ $\left\lceil \frac{n}{m}\right\rceil$
Hadwigerova domněnka (teorie grafů) — každý -chromatický graf je kontrahovatelný na úplný graf [81] . $n$ $K_n$
Ulamská domněnka : [82]
- a) každý graf s více než dvěma vrcholy je jednoznačně určen sadou grafů, kde každý graf ze sady je získán odstraněním jednoho z vrcholů původního grafu;
- b) každý graf s více než třemi vrcholy je jednoznačně určen sadou grafů, kde každý graf ze sady získáme odstraněním jednoho z vrcholů původního grafu.
Harariho domněnka (slabá forma Ulamovy domněnky) – pokud má graf více než tři hrany, pak jej lze jednoznačně obnovit z podgrafů získaných odstraněním jedné hrany [82] .
V libovolném kubickém grafu lze vybrat 6 1-faktorů tak, aby každá hrana patřila právě dvěma z nich.
Ramachandranova domněnka - každý digraf je -rekonstruovatelný [83] . $N$
Dohady navrácení — jestliže jsou dány třídy izomorfismu všech primárních podgrafů nějakého grafu, pak třída izomorfismu tohoto grafu je jednoznačně určena pro . $k$ $k \geqslant 3$
Conwayova domněnka trekle - v jakékoli trekle (síť, ve které mají každé dvě hrany společný bod) je počet čar menší nebo roven počtu bodů [85] .
Ringel-Kotzigova hypotéza říká , že všechny stromy jsou půvabné .
Dohad o pokrytí dvojitým cyklem – pro jakýkoli bezmůstkový graf existuje řada jednoduchých cyklů, které pokrývají každý okraj grafu přesně dvakrát.
Koenigův problém – jaké podmínky jsou nutné a postačující, aby permutační grupa daná na množině měla graf s množinou vrcholů takový, že [86] $PROTI$ $\Gamma$ $G$ $PROTI$ $AutG=\Gamma$
Velké množství nevyřešených problémů teorie grafů lze nalézt v článku [87] .
Barnettova domněnka - jakýkoli bikubický polyedrický graf je hamiltonovský .

Teorie uzlů

Existuje netriviální uzel, jehož Jonesův polynom je stejný jako u triviálního uzlu ?
Jaký je počet jednoduchých uzlů s dvojitými body ? Je tato sekvence přísně rostoucí? [88] Hodnoty pro jsou dány sekvencí A002863 v OEIS . $n$ $n>19$ $n<20$

Teorie algoritmů

Otázky algoritmické řešitelnosti

Analoga Hilbertova 10. problému pro rovnice stupně 3: existuje algoritmus , který umožňuje, za předpokladu jakékoli diofantické rovnice stupně 3, určit, zda má řešení?
Analog Hilbertova 10. problému pro rovnice v racionálních číslech . Jak z libovolné diofantické rovnice zjistit, zda je řešitelná v racionálních (ne nutně celých) číslech a zda ji lze vůbec znát (tj. je možný odpovídající algoritmus)? [89] [90] [91]
Algoritmická řešitelnost problému s umírající maticí pro matice řádu 2. Existuje algoritmus, který umožňuje pro danou konečnou množinu čtvercových matic určit, zda v některých existuje součin všech nebo některých z těchto matic (případně s opakováním) řádu, což dává nulovou matici [92] . $2\krát 2$
Rozšíření třídy výrazů, pro které je znám algoritmus, který určuje, zda je výraz roven nule ( Constant problem ). Pro které třídy výrazů je tento problém algoritmicky neřešitelný?
Existuje algoritmus, který vám umožní zjistit z celočíselné matice, zda existuje její stupeň, který má v pravém horním rohu nulu? [91]
Otázka rovnosti dvou prvků dobového prstenu . Existuje algoritmus, který umožňuje za daných dvou polynomických systémů nerovností pro konečný počet proměnných s racionálními koeficienty určit, zda je plocha jimi ohraničená v ? ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n))$

Teorie výpočetní složitosti

P=NP ?
VP = VNP ? [93]
Je problém izomorfismu grafu úplný ? [94] $\mathrm {NP}$
Patří problém hledání prvočinitele přirozeného čísla do třídy P ?
Patří problém rozpoznání triviálního uzlu do třídy P?
Určete přesnou dolní mez složitosti algoritmu násobení celých čísel. Algoritmus Martina Fuhrera má ze známých algoritmů nejmenší složitost , spouští se v , kde je iterovaný logaritmus . $n \log n\,2^{O(\log^* n)}$ $\log^*$
Určete přesnou dolní mez složitosti algoritmu násobení matic. Algoritmus Coppersmith-Winograd má ze známých algoritmů nejmenší složitost , běží v [95] Exponent však musí být alespoň 2 (protože matice velikosti má hodnoty uvnitř a všechny je třeba přečíst alespoň jednou, aby vypočítat přesný výsledek). $O(n^{2{,}3728639}).$ $n\krát n$ $n^{2}$
Netriviální dolní a horní hranice pro algebraickou složitost částečných součtů expanzí funkcí v řadě jsou neznámé a [96] $e^{x}\sim 1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+\ldots +{\frac {x^{n}}{n!)}}$ $\ln(1-x)\sim -x-{\frac {x^{2}}{2}}-\ldots -{\frac {x^{n}}{n}}$
Je možné dokázat dolní mez algebraické složitosti pro jakýkoli konkrétní nekonečný polynom? [96]

Další problémy v teorii algoritmů

The pilent bobr problem[97] . Kolik tahů vydrží (necyklický) Turingův stroj sestavy a abecedouna pásce s nulou? Kolik nenulových znaků vytiskne? Je známo, že neexistuje žádný algoritmus (a tedy ani rekurzivně axiomatizovatelná formální teorie), který by dokázal vyřešit tento problém pro všechny, že obě funkce rostou rychleji než jakákoli vyčíslitelná funkce a zatím jsou známy pouze hodnoty pro [98] . $n$ ${\displaystyle \{0,\;1,\;2,\;...,\;m\))$ $n$ $n<5$
Existuje algoritmus, který rozpozná, pro kterékoli dvě 3-variety dané jejich triangulacemi, zda jsou homeomorfní? [91]
Existuje algoritmus, který na základě libovolné pozice hry „Život“ rozpozná, zda „vymře“ (zda se všechny buňky nakonec vyprázdní)? [91]
Existuje věta o úplnosti pro Muchnikovu mřížku? [91]
Existuje algoritmus, který určuje rozhoditelnost a aritmetiku množiny realizovatelných a množiny nevyvratitelných výrokových formulí? [91]
Existují v běžných algebraických systémech algebraicky správné hromadné problémy různé složitosti? [91]
Existuje algebraický systém, pro který se jednotná ekvivalence liší od ekvivalence programu nebo ekvivalence programu od ekvivalence problému? [91]
V knize [99] je formulováno osm nevyřešených problémů v teorii algoritmů .

Axiomatická teorie množin

V současnosti je nejrozšířenější axiomatickou teorií množin ZFC – Zermelo-Fraenkelova teorie s axiomem výběru. Otázka konzistence této teorie (a tím spíše existence jejího modelu) zůstává nevyřešena.
Problém Skolem . Uvažujme množinu funkcí jedné přirozené proměnné sestavenou z členů a uzavřenou pod sčítání , násobení a umocňování . U funkcí z této množiny napíšeme , zda je splněno pro všechny dostatečně velké . Je známo, že relace zcela uspořádává množinu . Jaké pořadové číslo odpovídá tomuto uspořádání? (Je známo, že není menší a není větší než první kritický ordinál (Cantorův ordinál) ) [ 100 ] [ 101 ] tetrace , byla vyřešena v roce 2010) [102] [103] . $S$ $n$ $1, n$ $f,\;např$ $f \preccurlyeq g$ $f(n) \leqslant g(n)$ $n$ $\preccurlyeq$ $S$ $\varepsilon_{0}$ ${\displaystyle \zeta _{0}=\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\cdot _{\cdot _{\cdot ))))))$
Existuje lineárně uspořádaná množina s ordinálním typem , která splňuje podmínky a ? [104] $\alpha$ $\alpha\neq\alpha^2$ $\alpha=\alpha^3$
V Zermelo-Fraenkelově teorii množin není bez axiomu výběru známo, zda existují velké regulární kardinály [ 105] . $\aleph_{\alpha}$ $\aleph_{0}$
Problém singulárních kardinálů . Pro jaké funkce existuje Zermelo-Fraenkelův model , ve kterém pro všechny kardinály [106] . $G(k)$ $k^{cf(k)} = G(k)$ $k$
Je pravda, že pokud je systém Zermelo-Fraenkelových axiomů spolu s axiomem volby konzistentní, pak je konzistentní systém Zermelo-Fraenkelových axiomů, princip závislé volby a každá množina reálných čísel je Lebesgueova měřitelná množina? [107]
Nepovede předpoklad existence takových kardinálních čísel k rozporu , že kartézský součin m-kompaktních prostorů je vždy m-kompaktní. Není také známo, zda by se nejmenší z těchto čísel shodovalo s nejmenším měřitelným číslem nebo ne [108] . $\mathfrak{m} > \aleph_{0}$
K problému kontinua jsou pouze Godelova věta (hypotézu kontinua nelze vyvrátit na základě axiomů aritmetiky a teorie množin) a Cohenova věta (hypotézu kontinua nelze dokázat na základě axiomů aritmetiky a teorie množin). známý. Neexistuje žádná úplná teorie o problému kontinua. [109]
Problém kontinua je rozhodnutelný v jazyce teorie množin druhého řádu, ale jeho řešení tam není známé. [109]
Neznámý důkaz konzistence euklidovské geometrie [110]
Neznámý důkaz konzistence soustavy reálných čísel [111]
Existují měřitelná kardinální čísla? [112]

Teorie důkazů

Jaký je nejkratší nerozhodnutelný výrok v Peanově aritmetice ? [113] Nerozhodnutelné tvrzení teorie je tvrzení, které nelze v dané teorii ani dokázat, ani vyvrátit. Důkazy Gödelových teorémů demonstrují, jak mohou být taková tvrzení učiněna, ale výsledná tvrzení jsou značné velikosti, jsou-li psána formálním jazykem aritmetiky.
Formulace šesti nevyřešených problémů teorie důkazů lze nalézt v knize [114]

Výpočetní matematika

Určete mezní úroveň aproximace -stupňové metody Runge-Kutta (jednostupňová = Eulerova metoda = , dvoustupňová = modifikovaná Eulerova metoda = , čtyřstupňová = klasická Runge-Kutta metoda = , pětistupňová = Felbergova metoda = také ). $n$ $Ach)$ $O(h^2)$ $O(h^4)$ $O(h^4)$

Diferenciální rovnice

Přesné řešení van der Polovy rovnice (aka van der Polův oscilátor) není známo: [115] [116]

\ddot x - \lambda (1-x^2)\dot x + \omega ^2 x = 0

Přesné řešení Mathieuovy rovnice není známo [117]

\ddot x + \omega^{2} x = - \mu x \cos 2t

Ablowitz-Ramani-Segurova hypotéza. Všechny obyčejné diferenciální rovnice odvozené z plně integrovatelných parciálních diferenciálních rovnic mají Painlevého vlastnost (poloha libovolné algebraické, logaritmické nebo esenciální singularity řešení rovnice nezávisí na počátečních podmínkách, na libovolné integraci závisí pouze poloha pólů konstanty) [118] .
Má Liouvilleův integrovatelný Hamiltonův systém ekvivalentní formulaci z hlediska Laxova páru, a pokud ano, jak jej zkonstruovat? [119]
Obecná teorie parciálních diferenciálních rovnic smíšeného typu neexistuje [120] .

Teorie pravděpodobnosti

Nezbytné a postačující podmínky pro příslušnost nekonečně dělitelného distribučního zákona náhodné veličiny v jednorozměrných a vícerozměrných případech do třídy zákonů, které nemají nerozložitelné složky, nejsou známy [121] .
Přesný analytický vzorec pro pravděpodobnostní rozložení ploch obrazců určených náhodnými přímkami v rovině není znám [122] .
Cantelliho problém : nechťabýt nezávislé náhodné proměnné s normálním rozdělením. je měřitelná nezáporná funkce. Je známo, že náhodná veličinamá normální rozdělení. Vyplývá z toho, že jetéměř všude konstantní? [123] $\xi$ $\eta$ $N(0,1)$ $f(x)$ $\xi +f(\xi )\eta$ $f(x)$
Vícerozměrné zobecnění Titchmarsh-Polyiho teorému [124] není známo .

Rovnice matematické fyziky

Neexistuje žádné přesné matematické zdůvodnění pro metodu integrace cest v kvantové teorii pole [125] [126] .
Cestovní integrály lze vypočítat pouze pro případ Gaussových kvadratur. V obecném případě je metoda pro výpočet dráhových integrálů neznámá [127] [126] .
Přesné řešení Schrödingerovy rovnice pro mnohoelektronové atomy není známo [128] .
V kvantové mechanice je při řešení problému rozptylu dvou paprsků jednou překážkou průřez rozptylu nekonečně velký [129]
Navier-Stokesovy rovnice . Existuje hladké řešení Navier-Stokesovy rovnice v trojrozměrném případě, počínaje daným časem? [130]
Eulerova rovnice . Existuje hladké řešení Eulerovy rovnice v trojrozměrném případě, počínaje daným časovým okamžikem? [131]
V hydrodynamice existují stovky nevyřešených problémů [132] .
Neexistuje žádná úplná teorie vysvětlující vznik a vývoj magnetického pole Země [133] .
Jorgensova domněnka Nechť je otevřená množina, jejíž doplněk má míru nula. Nechť a být spojitý na a nechť je Schrödingerův operátor ohraničený zdola a být v podstatě samoadjunkcí na . If , then je také v podstatě samoadjungované na [134] [135] . $M \subset R^{n}$ $PROTI$ $W$ $M$ $-\Delta+V$ $C_{0}^{\infty} (M)$ $W \geqslant V$ $-\Delta+W$ $C_{0}^{\infty} (M)$
Je možné zobecnit systém Haag-Kastlerových axiomů použitím principu obecné kovariance namísto principu invariance vzhledem k Poincarého grupe ? [126]
Kvantování Yang-Millsových polí [136] .
Přesný vzorec pro výpočet Madelungovy konstanty není znám [137] .
Přesné řešení Isingovy úlohy v trojrozměrném případě není známo [138] .
Přesné vzorce pro odpudivou sílu mezi atomovými zbytky v iontovém krystalu nejsou známy [139] .
Důkaz principu vesmírné cenzury není znám , stejně jako přesná formulace podmínek, za kterých je naplňována [140] .
Neexistuje žádná úplná a úplná teorie magnetosféry černých děr [141] .
Není znám přesný vzorec pro výpočet počtu různých stavů systému, jehož kolaps vede ke vzniku černé díry s danou hmotností, momentem hybnosti a nábojem [142] .
Důkaz v obecném případě "bezvlasé věty" pro černou díru není znám [143] .
Obecná teorie správných okrajových podmínek pro zobecněné diferenciální operátory s proměnnými koeficienty neexistuje [144] .
Není znám žádný obecný důkaz, že řada poruchových teorií pro elektrony ve vodivostním pásu kovů konverguje [145] .
Není možné uspokojivě vypočítat efektivní hmotnost elektronů pohybujících se v magnetickém poli v kovech po Fermiho povrchu [146] a pro elektronovou tepelnou kapacitu [147] .
Není známa žádná metoda pro výpočet strukturálních faktorů pro tekuté kovy [148] .
Existují parciální diferenciální rovnice odlišné od obyčejné vlnové rovnice, ale jejichž řešení splňují Huygensův princip? [149]
Základní problém axiomatické kvantové teorie pole . Neexistuje žádná známá teorie, která by splňovala všechny axiomy axiomatické kvantové teorie pole a popisovala interagující pole a netriviální matici rozptylu [150] .
Popis třídy zobecněných funkcí splňujících podmínku pro dvoubodovou Whitemanovu funkci [151] : není znám . $F_{4}$ $\int \int \int f(x_{2},x_{1})f(x_{3},x_{4})F_{4}(x_{1}-x_{2},x_{ 2}-x_{3},x_{3}-x_{4})\prod _{i=1}^{4}d^{4}x_{i}\geqslant 0$
Důkaz ergodické hypotézy pro libovolné dynamické systémy není znám [152] .
Řešení problému shody řešení Boltzmannovy rovnice na obou stranách rázové vrstvy podle Chapman-Enskogovy teorie [153] není známo .
Dosud nebyly nalezeny potřebné a dostatečné podmínky pro stabilitu rovnováhy konzervativního systému [154] .
Není znám žádný způsob, jak konzistentně provádět renormalizační proceduru založenou na invariantní regularizaci v operátorském přístupu ke kvantizaci gravitačního pole [155] .

Teorie her

Obecná matematická teorie her hraných na prostoru funkcí neexistuje (protože síla množiny reálných funkcí výrazně převyšuje sílu kontinua) [156] .
Obecná matematická teorie pseudoher (konfliktních situací, které nejsou hrami) neexistuje [156] .
Obecná matematická teorie nekooperativních her osob pro [156] neexistuje . $n$ $n > 2$
Formulace neřešených problémů teorie her lze nalézt v knize [157] . $osm$
Nebyl vyřešen problém konstrukce učebních algoritmů pro řešení her, kdy prvky výplatní matice nejsou konstantní, ale jsou náhodné proměnné, nebo neznámé (slepá hra) [158] .

Teorie reprezentace skupin

Langlandsova hypotéza . Jakákoli neredukovatelná reprezentace reálné semiprosté Lieovy grupy , která se objeví v diskrétní části rozkladu regulární reprezentace, je realizována v prostoru — cohomologie vhodného svazku na prostoru , kde je kompaktní Cartanova podgrupa v [159] . $G$ $L^{2}$ $X = G/H$ $H$ $G$

Obecná topologie

Dowkerův problém . Určete, zda je každý normální Hausdorffův prostor spočetně parakompaktní [ 160] .
Seznam nevyřešených problémů v topologii teorie množin lze nalézt v [161] . $13$
Mohutnost množin komplementárních k -množinám není známa ani v jednorozměrném případě [162] . $A$
Platí hlavní věta teorie rozměrů pro kompaktní prostory : indukční rozměr (rozměr podle Urysohna) je roven rozměru definovanému pomocí krytů ? [163]
Mengerova domněnka Uvažujme třídu všech podmnožin nějakého euklidovského prostoru nebo třídu všech oddělitelných metrických prostorů . Není známo, zda je splněna podmínka pro kohomologické dimenze: pro každou existuje taková kompaktní množina , že , kde . [164] $R^{n}$ $Q$ $X\in Q$ ${\bar {X}}\in Q$ $d({\bar {X)))=d(X)$ $d(X)=dim_{G}X$
V knize je několik desítek nevyřešených otázek o teorii retraktů [165] .
Několik nevyřešených problémů ve čtyřrozměrné topologii lze nalézt v knize [166] .

Lineární algebra

Fréchetův problém o maximu determinantu Najděte maximum determinantu , kde jsou si všichni rovni . Jsou známy pouze odhady [167] . $\Delta _{n}=\det \|\varepsilon _{ij}\|\ (i,\;j=1,\;2,\;\ldots ,\;n),$ $\varepsilon_{ij}$ $\pm 1$ ${\sqrt {n!)}}\leqslant \max \mid \Delta _{n}\mid \leqslant n^{\frac {n}{2}}$

Teorie náhodných procesů

Problém stanovení zákona rozdělení počtu emisí náhodného procesu v obecném případě nemá úplné a kompaktní řešení [168] . $p(n,\;T)$
Problém určení zákona rozdělení absolutních maxim náhodného procesu byl vyřešen pouze pro Markovovy procesy. Pro ostatní procesy je přesné řešení neznámé [169] .
Nechte částici putovat prostorem : opustí ji a v diskrétních okamžicích provede jediný skok s pravděpodobností do jednoho ze sousedních bodů. Jaká je pravděpodobnost, že po krocích se trajektorie částice nikdy neprotne? Jaká je očekávaná vzdálenost konce neprotínající se trajektorie od počátku? [170] ${\displaystyle Z^{n))$ $0$ $1,2,...$ ${\displaystyle p={\frac {1}{2^{n))))$ $2^{n}$ $k$
Kolmogorovův problém : Existuje rodina (obecně komplexních) integrovatelných funkcí. Jaké podmínky (efektivně ověřitelné) musí být kladeny na tyto funkce, aby pro nějaké náhodné pole na nebo na těchto funkcích byly spektrální hustoty t. řádu, ? [171] $f_{j}(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{j-1}),j\in \left\{2,3,... ,k\vpravo\}$ ${\displaystyle \xi (t)\in D^{(k)))$ $t\in R^{n},\lambda _{j}\in R^{n},i={\bar {1,j-1))$ $t\in Z^{n},\lambda _{i}\in \left[-\pi ,\pi \right],i={\bar {1,j-1))$ $j$ ${\displaystyle j\in \left\{2,3,...,k\right\))$

Funkční analýza

Seznam 22 nevyřešených problémů v teorii operátorů v Banachově prostoru lze nalézt v knize [172] .
Seznam 6 nevyřešených problémů v teorii eliptických operátorů v komplexních analytických varietách je v knize [173] .
Má každý Banachův prostor nekonečně-dimenzionální podprostor s bezpodmínečným základem? [174]
Kniha formuluje nevyřešené problémy funkční analýzy [175] . $30$
Je možné zobecnit Cauchyho-Kovalevskou větu na rovnice v parciálních funkčních derivacích ? [176]

Teorie dynamických systémů

Není známo, zda systém dvou nebo více tuhých kulečníkových koulí je K-flow za nesingulárních interakcí [177] .
Existuje univerzální scénář pro přechod dynamických systémů do chaosu? [178]
Je možné popsat proces komplikování chaosu z hlediska bifurkací? [178]

Riemannovská geometrie

Hopfův problém ExistujeRiemannova metrika pozitivní křivosti na diferencovatelné varietě? [179] . $S^{2} \times S^{2}$

Operační výzkum

Neexistuje žádná kombinatorická metoda pro řešení problémů celočíselného lineárního programování s polynomiálním (na rozdíl od exponenciálního) odhadu nákladů? [180] .
Neexistuje obecná teorie algoritmických optimalizačních metod, která by umožňovala zajistit akceleraci konvergence a volbu iteračního kroku v obecném případě vícekrokových algoritmů [181] .
Podmínky pro konvergenci téměř jistě k doméně pro vícekrokové adaptační a učící algoritmy nejsou známy [182] .
Pravidla pro určení okamžiku stanovení stacionarity adaptačního a učícího algoritmu nejsou známa [182] .
Odhady závislosti přesnosti aproximace na počtu funkcí a odhady doby učení pro rozpoznávací algoritmy nejsou známy [183] .
Neexistují žádné obecné metody pro získání nezkreslených odhadů pro dané kritérium optimality v identifikačních problémech [184] .
Obecná pravidla pro volbu systému funkcí v problémech filtrování nejsou známa [185] .
Vztah mezi rychlostí změny vnějších vlivů a dobou trvání procesu adaptace filtru nebyl studován [185] .
Nejsou známy žádné způsoby, jak využít apriorní informace o distribucích náhodných proměnných k sestavení adaptivních filtrů [185] .
Není znám žádný způsob, jak aplikovat adaptivní přístup na zrychlené testování spolehlivosti [186] .
Neexistuje žádná obecná teorie plánování sítě využívající adaptivní přístup s nedostatečnými apriorními informacemi [187] .
Je možné implementovat libovolné pravděpodobnostně-operátorské opatření pomocí nějakého fyzického zařízení? [188]
Metody řešení optimalizačních rovnic kvantové teorie rozhodování a odhadu nejsou známy [189] .
Jak závisí přesnost odhadů na počtu pozorování v teorii kvantového odhadu? [189]
Seznam nevyřešených problémů v teorii adaptivních a učících se systémů je v článku [190] $dvacet$

Algebraická geometrie

Seznam osmi nevyřešených problémů algebraické geometrie lze nalézt v knize [191] .
Birch-Swinnerton-Dyerova hypotéza . Za jakých podmínek mají diofantické rovnice ve formě algebraických rovnic řešení v celých a racionálních číslech? [192]
Hodgeova hypotéza . Na jakékoli nedegenerované projektivní komplexní algebraické rozmanitosti je jakákoli Hodgeova třída racionální lineární kombinací tříd algebraických cyklů [193] .

Teorie automatů

Je možné matematicky formalizovat schopnost samoreprodukce plástových struktur? [194]
Není znám způsob, jak určit, jak složitý musí být systém (např. molekula), tvořený částmi, aby byl schopen sebereplikace a evoluce s komplikací potomstva? [194]
Může mít voštinová struktura samoreprodukující se konfigurace, ale ne vymazatelné konfigurace? [195]
Jak mohou být stroje vyrobeny tak, aby se nereprodukovaly postupně, ale paralelně? [195]

Variační počet

Výroky o více nevyřešených problémech variačního počtu, souvisejících s variacemi množin a funkcí, jsou uvedeny v knize [196] . $dvacet$

Vícerozměrná komplexní analýza

Výčet nevyřešených problémů vícerozměrné komplexní analýzy je v knize [197] . $9$

Optimální ovládání

Podrobnou diskuzi o nevyřešených problémech teorie optimálního řízení lze nalézt v knize [198] . $12$
Seznam nevyřešených problémů optimálního řízení singulárních systémů s distribuovanými parametry je v knize [199] . $80$

Viz také

skotská kniha

Poznámky

↑ Stuart, 2015 , str. 37.
↑ Weisstein , Eric W. Van der Waerden číslo na Wolfram MathWorld .
↑ Stuart, 2015 , str. 406.
↑ S.A. Belyaev "Obnovení trojúhelníku z daných bodů"
↑ Nevyřešený problém 26: Najdeme na jednoduché uzavřené křivce v rovině vždy čtyři body, které jsou vrcholy čtverce? Archivováno 17. května 2011 na Wayback Machine Nevyřešený problém týdne Archivováno 25. července 2011 na Wayback Machine . MathPro Press.
↑ Weisstein, Eric W. Square Inscribe na webu Wolfram MathWorld .
↑ Nevyřešený problém 33: Existuje konstanta A, že každá množina v rovině oblasti A musí obsahovat vrcholy trojúhelníku s oblastí 1? Archivováno 17. května 2011 na Wayback Machine Nevyřešený problém týdne Archivováno 25. července 2011 na Wayback Machine . MathPro Press.
↑ 1 2 Ulam S. Kapitola III // Nevyřešené matematické problémy. - Věda, 1964.
↑ Nevyřešený problém 22: Existuje trojúhelník s celočíselnými stranami, mediány a plochou? Archivováno 17. května 2011 na Wayback Machine Nevyřešený problém týdne Archivováno 25. července 2011 na Wayback Machine . MathPro Press.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Rational Distance Problem (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
↑ Nevyřešený problém 13: Existuje v rovině bod, který je v racionální vzdálenosti od každého ze čtyř rohů jednotkového čtverce? Archivováno 17. května 2011 na Wayback Machine Nevyřešený problém týdne Archivováno 25. července 2011 na Wayback Machine . MathPro Press.
↑ Weisstein, Eric W. Shephard 's Conjecture na webu Wolfram MathWorld .
↑ Úžasné objemy mnohostěnů . Získáno 20. prosince 2008. Archivováno z originálu 29. prosince 2008. (neurčitý)
↑ Weisstein, Eric W. Tetrahedron Circumgging na webu Wolfram MathWorld .
↑ Thomsonův problém . Získáno 19. prosince 2008. Archivováno z originálu 20. května 2009. (neurčitý)
↑ Nevyřešený problém 23: Jak byste měli lokalizovat 13 měst na kulové planetě tak, aby minimální vzdálenost mezi kterýmikoli dvěma z nich byla co největší? Archivováno 17. května 2011 na Wayback Machine Nevyřešený problém týdne Archivováno 25. července 2011 na Wayback Machine . MathPro Press.
↑ Rozložení 2-koule na domény nejmenšího možného průměru (downlink)
↑ AlonDiskrétní matematika: metody a výzvy 14. března 2022 na Wayback Machine
↑ Pixel Counting, Mu-Ency at MROB . Získáno 21. prosince 2008. Archivováno z originálu 10. srpna 2019. (neurčitý)
↑ Jeandel, Emmanuel & Rao, Michael (2015), Neperiodická sada 11 dlaždic Wang, CoRR . (Neperiodická sada 11 dlaždic se 4 zobrazenými barvami.)}
↑ Weisstein, Eric W. Illumination Problem na webu Wolfram MathWorld .
↑ Celočíselné vzdálenosti . Získáno 8. září 2010. Archivováno z originálu 18. listopadu 2010. (neurčitý)
↑ Tobias Kreisel, Sascha Kurz, Existují integrální sedmiúhelníky, žádné tři body na přímce, žádné čtyři na kruhu Archivováno 11. června 2007 na Wayback Machine
↑ Erich Friedman, Nevyřešené problémy v rovinné geometrii Archivováno 13. června 2010 na Wayback Machine
↑ Bonnesen T., Fenchel W. Theorie der konvexen Körper. - Berlin : Verlag von Julius Springer, 1934. - S. 127-139. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 3, Heft 1). (Němec)
↑ Kawohl B. Konvexní sady konstantní šířky // Oberwolfach Reports. - Curych : European Mathematical Society Publishing House, 2009. - Vol. 6 , č. 1 . - S. 390-393 .
↑ Anciaux H., Guilfoyle B. O trojrozměrném Blaschke-Lebesgueově problému // Proceedings of the American Mathematical Society. - Providence : American Mathematical Society , 2011. - Sv. 139 , č.p. 5 . - S. 1831-1839 . — ISSN 0002-9939 . - doi : 10.1090/S0002-9939-2010-10588-9 . arXiv : 0906.3217
↑ Dorogovtsev, 1983 , s. 96.
↑ Balení stejných kruhů na kouli . Datum přístupu: 22. prosince 2008. Archivováno z originálu 20. května 2009. (neurčitý)
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Circle Packing na webu Wolfram MathWorld .
↑ Kontaktní číslo . Získáno 20. prosince 2008. Archivováno z originálu 13. března 2012. (neurčitý)
↑ Weisstein, Eric W. Kontaktní číslo na webu Wolfram MathWorld .
↑ Weisstein, Eric W. Kepler's Conjecture at Wolfram MathWorld .
↑ Kovalev M.D. Geometrické otázky kinematiky a statiky. - Moskva : Lenand, 2019. - 249 s.
↑ R. Grigorchuk, I. Pak Skupiny středního růstu: Úvod pro začátečníky na arXiv
↑ Sharipov, RA (2009), Transfinitní normální a kompoziční řada grup, arΧiv : 0908.2257 [math.GR].
↑ Kargapolov M. I., Merzljakov Yu. I. Základy teorie grup. - M.: Nauka, 1972. - S. 30.
↑ L.S. Pontryagin. Spojité skupiny. - Nauka, 1972. - 349 s.
↑ 1 2 A.I. Malcev. Algebraické systémy. - Nauka, 1970. - 299 s.
↑ Kurosh, Teorie grup, 1967 , str. 424.
↑ Kurosh, Teorie grup, 1967 , str. 426.
↑ Kurosh, Teorie grup, 1967 , str. 429.
↑ Hyperkomplexní čísla, 1973 , str. čtyři.
↑ Volné kroužky a jejich spojení, 1975 .
↑ Ershov, 1987 , s. 110.
↑ Fuchs, 1974 , str. 47, 88, 116, 134, 158, 159, 186, 210, 242, 243, 292, 318.
↑ Kourovskaya notebook (neřešené problémy teorie grup) / Editoři: M. I. Kargapolov (vedoucí redaktor), Yu. I. Merzljakov, V. N. Remeslennikov. - 4. vyd. - Novosibirsk: Ústav matematiky sibiřské pobočky Akademie věd SSSR, 1973.
↑ Nevyřešené problémy v teorii grup. Kourovskaya notebook / Comp. V. D. Mazurov, E. I. Khukhro. - 18. vyd., dodat. - Novosibirsk: Ústav matematiky sibiřské pobočky Ruské akademie věd, 2014. - 253 s.
↑ Nevyřešené problémy v teorii grup. Kourovskaya notebook / Comp. V. D. Mazurov, E. I. Khukhro. - 19. vyd., dodat. - Novosibirsk: Ústav matematiky sibiřské pobočky Ruské akademie věd, 2018. - 248 s.
↑ Zápisník Dněstr. Neřešené problémy z teorie kroužků a modulů / Komp. V. T. Filippov, V. K. Charčenko, I. P. Šestakov. - 4. vyd. - Novosibirsk : Ústav matematiky SB RAS , 1993. - 73 s.
↑ Sverdlovský zápisník: So. nevyřešené problémy v teorii pologrup. - Sverdlovsk : Ural State University , 1979. - 41 s.
↑ Sverdlovský zápisník: So. nevyřešené problémy v teorii pologrup. - Sverdlovsk : Uralská státní univerzita , 1989.
↑ Erlagolův zápisník. Vybrané otevřené otázky z algebry a teorie modelů, položené účastníky konference škol Erlagol / Comp. A. G. Pinus, E. N. Porošenko, S. V. Sudoplatov. - Novosibirsk: Novosibirská státní technická univerzita, 2018. - 40 s. — ISBN 978-5-7782-3548-9 . Archivováno 5. července 2018 na Wayback Machine
↑ Stuart, 2015 , str. 225.
↑ Scalable Uncertainty Management: 9th International Conference, SUM 2015, Québec City, QC, Canada, September 16-18, 2015. Proceedings . — Springer, 2015-09-15. - S. 5. - 427 s.
↑ Weisstein, Eric W. Přirozený logaritmus 2 na webu Wolfram MathWorld .
↑ Thomas Wieting. A Khinchin Sequence (anglicky) // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2007-11-30. — Sv. 136 , iss. 03 . — S. 815–825 . — ISSN 0002-9939 . - doi : 10.1090/S0002-9939-07-09202-7 .
↑ Weisstein, Eric W. Flint Hills Series na webu Wolfram MathWorld .
↑ Weisstein, Eric W. Irrational number (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
↑ Weisstein, Eric W. Pi na webu Wolfram MathWorld .
↑ Weisstein, Eric W. e na webu Wolfram MathWorld .
↑ Některé nevyřešené problémy v teorii čísel . Získáno 12. prosince 2011. Archivováno z originálu 19. července 2010. (neurčitý)
↑ Weisstein, Eric W. Transcendentální číslo (anglicky) na webu Wolfram MathWorld .
↑ Úvod do metod iracionality a transcendence . Získáno 12. prosince 2011. Archivováno z originálu 17. května 2013. (neurčitý)
↑ Marshall, Ash J. a Tan, Yiren , „Racionální číslo tvaru a a s iracionálním “, Mathematical Gazette 96, březen 2012, str. 106-109. . Získáno 28. dubna 2013. Archivováno z originálu 6. května 2014. (neurčitý)
↑ Weisstein, Eric W. Measure.html Míra iracionality ve Wolfram MathWorld .
↑ Le Lionnais, F. Les nombres remarquables ( ISBN 2-7056-1407-9 ). Paris: Hermann, str. 46, 1979. via Wolfram Mathworld, Transcendental Number Archivováno 13. listopadu 2014 na Wayback Machine
↑ 1 2 Chudnovsky, GV Příspěvky k teorii transcendentálních čísel . - Providence, RI: American Mathematical Society , 1984. - ISBN 0-8218-1500-8 . přes Wolfram Mathworld, Transcendental Number Archivováno 13. listopadu 2014 na Wayback Machine
↑ Weisstein, konstanta Erica W. Pella na webu Wolfram MathWorld .
↑ Sprindzhuk V. G. Důkaz Mahlerovy domněnky o míře množiny S-čísel // Izv. Akademie věd SSSR, s.r. rohož. - 1965. - V. 29, č. 2. - S. 379-436. - URL: http://mi.mathnet.ru/izv2913
↑ Sprindzhuk, 1967 , s. osm.
↑ Sprindzhuk, 1967 , s. 150-154.
↑ Norek H. Trvalky. — M .: Mir, 1982. — 211 s.
↑ Rybnikov, 1972 , s. 96.
↑ Rybnikov, 1972 , s. 110.
↑ Kapitonova, 2004 , str. 530.
↑ Boltyansky, 1965 , str. 47.
↑ Boltyansky, 1965 , str. 83.
↑ Grünbaum, 1971 , s. 6.
↑ Caccetta-Häggkvist Conjecture (1978) . Získáno 10. července 2011. Archivováno z originálu dne 7. června 2011. (neurčitý)
↑ Přednášky o teorii grafů, 1990 , s. 264.
↑ 1 2 Přednášky o teorii grafů, 1990 , str. osmnáct.
↑ Přednášky o teorii grafů, 1990 , s. 286.
↑ Teorie grafů, 1988 , s. 154.
↑ Stuart, 2015 , str. 407.
↑ Přednášky o teorii grafů, 1990 , s. 47.
↑ V. G. Vizing Některé nevyřešené problémy v teorii grafů // Uspekhi Mat . Nauk , 23:6(144) (1968), 117–134; Ruská matematika. Surveys, 23:6 (1968), 125–141
↑ Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-3678-1
↑ Yuri Matiyasevich, Hilbertův desátý problém: Co bylo uděláno a co je třeba udělat Archivováno 13. června 2010 na Wayback Machine
↑ Matiyasevich Yu.V. Hilbertův desátý problém. - Věda, 1993.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Uspensky V. A. , Semjonov A. L. Teorie algoritmů: hlavní objevy a aplikace. - Věda, 1987.
↑ Kdy je dvojice matic smrtelná? . Získáno 6. května 2010. Archivováno z originálu 8. prosince 2015. (neurčitý)
↑ Razborov, 2016 , str. 24.
↑ Weisstein, Eric W. Graf isomorphism at Wolfram MathWorld .
↑ „I když se někomu podaří prokázat jednu z domněnek – a tím prokázat, že ω = 2 – je nepravděpodobné, že by byl přístup k produktu věnců použitelný na velké maticové problémy, které v praxi vznikají. (…) vstupní matice musí být astronomicky velké, aby byl zřejmý rozdíl v čase.“ Le Gall, François (2014), Síly tenzorů a rychlé násobení matic, sborník příspěvků z 39. mezinárodního sympozia o symbolickém a algebraickém počítání ( ISSAC 2014)
↑ 1 2 Parsování, 2016 , str. 9.
↑ I. V. Abramov. Teorie automatů, jazyků a výpočtů. - M. , 2003.
↑ OEIS sekvence A028444 _
↑ Ebbinhouse, 1972 , s. 245-247.
↑ Transfinitní ordinály a jejich zápisy . Datum přístupu: 4. září 2010. Archivováno z originálu 17. listopadu 2010. (neurčitý)
↑ Údržba webu . Získáno 14. února 2011. Archivováno z originálu 21. září 2015. (neurčitý)
↑ Skolem + Tetration je dobře uspořádaný (downlink)
↑ Ordinál Skolem + Tetration is τ0 (downlink)
↑ Václav Sierpinski . Kardinální a řadové číslovky. - Varšava : Polish Scientific Publishers, 1965. (anglicky)
↑ Teorie množin a metoda vnucování, 1973 , str. 17.
↑ Teorie množin a metoda vnucování, 1973 , str. 66.
↑ Teorie množin a metoda vnucování, 1973 , str. 81.
↑ Teorie množin, 1970 , str. 324.
↑ 1 2 Yu. I. Manin , Problém kontinua // Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderní prob. mat., 5, VINITI, M., 1975, 5-72
↑ Stoll, 1968 , str. 156.
↑ Stoll, 1968 , str. 157.
↑ Obecná algebra, 1990 , str. 35.
↑ WolframScience Conference NKS2006 . Získáno 7. září 2010. Archivováno z originálu 17. června 2010. (neurčitý)
↑ Kreisel, 1981 , s. 54, 59, 60, 82.
↑ Tabor M. Chaos a integrovatelnost v nelineární dynamice. - za z angličtiny. - M .: "Editorial URSS", 2001. - 320 s. - střelnice 1000 kopií — ISBN 5-8360-0192-8 . - ch. 1 "Dynamika diferenciálních rovnic", 1.4 "Analýza lineární stability", 1.4d "Mezní cykly". - S. 29
↑ Metoda průměrování v aplikovaných problémech, 1986 , str. 68.
↑ Metoda průměrování v aplikovaných problémech, 1986 , str. 74.
↑ Solitons v matematice a fyzice, 1989 , s. 181.
↑ Solitons v matematice a fyzice, 1989 , s. 310.
↑ Trikomi, 1947 , str. jedenáct.
↑ Yu.V. Linnik , I. V. Ostrovsky, Expanze náhodných veličin a vektorů. - M .: Nauka, 1972. - 479 stran - kap. X. Nevyřešené problémy
↑ Geometrické pravděpodobnosti, 1972 , s. 66.
↑ Dorogovtsev, 1983 , s. 100.
↑ Dorogovtsev, 1983 , s. 103.
↑ Kostrikin A.I. , Manin Yu.I. Lineární algebra a geometrie. - Petrohrad: Lan, 2008. - S. 304. - ISBN 978-5-8114-0612-8 .
↑ 1 2 3 F. J. Dyson , Promarněné příležitosti , Uspekhi Mat . Nauk , 35:1(211) (1980), 171-191
↑ Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Úvod do teorie kvantovaných polí. - M .: Nauka, 1973. - S. 322.
↑ G. Bethe . Kvantová mechanika. - M .: Mir, 1965. - str. 12.
↑ Prigogine I. , Stengers I. Čas, chaos, kvantum. K vyřešení paradoxu času. - M .: Editorial URSS, 2003. - s. 114, - ISBN 5-354-00268-0 .
↑ Stuart, 2015 , str. 308.
↑ Stuart, 2015 , str. 315.
↑ Betyaev S. K. Hydrodynamika: problémy a paradoxy Archivní kopie ze dne 16. října 2013 na Wayback Machine // UFN , vol. 165, 1995, č. 3, s. 299-330
↑ Vnitřní struktura Země a planet, 1978 , str. 80.
↑ Metody moderní matematické fyziky, 1978 , str. díl 2, str. 370.
↑ Schrödingerovy operátory s aplikacemi pro kvantovou mechaniku a globální geometrii, 1990 , str. 9.
↑ Stuart, 2015 , str. 348.
↑ Ziman, 1974 , str. 55.
↑ Ziman, 1974 , str. 403.
↑ Ziman, 1974 , str. 152.
↑ Novikov, 1986 , str. 99.
↑ Novikov, 1986 , str. 151.
↑ Novikov, 1986 , str. 267.
↑ Novikov, 1986 , str. 132.
↑ Michlin, 1968 , s. 553.
↑ Harrison, 1968 , s. dvacet.
↑ Harrison, 1968 , s. 144.
↑ Harrison, 1968 , s. 150.
↑ Harrison, 1968 , s. 177.
↑ Mostepaněnko, 1966 , s. 86.
↑ Bogolyubov, 1969 , s. 176,213.
↑ Bogolyubov, 1969 , s. 190.
↑ Cercignani, 1978 , s. 40.
↑ Cercignani, 1978 , s. 291.
↑ Aizerman, 1980 , str. 228.
↑ Konoplyová, 1980 , s. 218.
↑ 1 2 3 McKinsey J. Úvod do teorie her. - M.: Fizmatlit, 1960. - S. 224
↑ Významy pro neatomové hry, 1977 , s. 19, 62, 141, 153, 182, 271, 272, 274.
↑ Adaptace a učení v automatických systémech, 1968 , str. 318.
↑ Kirillov A. A. Prvky teorie reprezentace. — M.: Nauka, 1978. — S. 227
↑ Kelly J. L. Obecná topologie. - M.: Nauka, 1968. - S. 232.
↑ Malykhin V. I. Topologie a vnucování // Uspekhi Mat . - 1983. - T. 38. - č. 1 (229). - S. 69-118.
↑ Alexandrov P. S. Úvod do teorie množin a obecné topologie. - M.: Nauka, 1977. - S. 219.
↑ Gurevič, 1948 , str. čtrnáct.
↑ Kuzminov V.I. Homologická teorie dimenze // Uspekhi Mat . - 1968. - V. 23, č. 5. - S. 5. - URL: http://mi.mathnet.ru/umn5668
↑ Borsuk, 1971 , str. 257-277.
↑ Mandelbaum, 1981 , s. 82,178,202,255,263,266.
↑ Dorogovtsev, 1983 , s. 98.
↑ Emise náhodných procesů, 1970 , s. 243.
↑ Emise náhodných procesů, 1970 , s. 280.
↑ Dorogovtsev, 1983 , s. 99.
↑ Dorogovtsev, 1983 , s. 107.
↑ Teorie operátorů, 1977 , s. 272.
↑ Schwartz, 1964 , str. 177.
↑ Kerin S. G. Funkční analýza. - M., Nauka , 1972. - str. 70
↑ Lyons, 1971 , s. 130-132,255-256,340-341.
↑ Levy, 1967 , str. 172.
↑ Od stávajícího ke vznikajícímu, 2006 , str. 57.
↑ 1 2 Nelineární dynamika a chaos, 2011 , str. 151.
↑ Gromol D., Klingenberg V., Meyer V. Riemannovská geometrie obecně. - M.: Mir, 1971. - S. 282.
↑ vyd. Moiseev N. N. Současný stav teorie operačního výzkumu. - M.: Nauka, 1979. - S. 289.
↑ Adaptace a učení v automatických systémech, 1968 , str. 55.
↑ 1 2 Adaptace a učení v automatických systémech, 1968 , s. 90.
↑ Adaptace a učení v automatických systémech, 1968 , str. 135.
↑ Adaptace a učení v automatických systémech, 1968 , str. 165.
↑ 1 2 3 Adaptace a učení v automatických systémech, 1968 , str. 198.
↑ Adaptace a učení v automatických systémech, 1968 , str. 257.
↑ Adaptace a učení v automatických systémech, 1968 , str. 278.
↑ Helstrom, 1979 , str. 325.
↑ 1 2 Helstrom, 1979 , str. 326.
↑ Tsypkin Ya. Z. Adaptace, učení a samoučení v automatických systémech // Automatizace a telemechanika . - 1966. - č. 1. - S. 23-61. — ISSN 0005-2310. — URL: http://mi.mathnet.ru/at10991
↑ Úvod do teorie schémat a kvantových grup, 2012 , str. 246.
↑ Stuart, 2015 , str. 360.
↑ Stuart, 2015 , str. 367.
↑ 1 2 Bellman, 1966 , str. 56.
↑ 1 2 Bellman, 1966 , str. 57.
↑ Ivanov, 1975 , str. 59, 112, 190, 245, 270.
↑ Griffiths, 1976 , s. 8, 10, 42, 54, 66, 79, 80, 85, 88.
↑ Moiseev, 1975 , str. 89, 115, 147, 192, 208, 268, 278, 303, 304, 365, 398, 446.
↑ Lyons, 1987 , s. 152, 257, 334, 357.

Literatura

Yeh T. Teorie množin a metoda vnucování. - M .: Mir, 1973. - 147 s.
Tichonov V.I. Emise náhodných procesů. — M. : Nauka, 1970. — 392 s.
vyd. Akilov GP Teorie operátorů ve funkčních prostorech. - Novosibirsk: Nauka, 1977. - 392 s.
Auman R., Shepley L. Významy pro neatomové hry. — M .: Mir, 1977. — 357 s.
Grebenikov EA Metoda průměrování v aplikovaných úlohách. — M .: Nauka, 1986. — 256 s.
Prigogine I. Od existujícího ke vznikajícímu. - M .: KomKniga, 2006. - 296 s.
Kurosh A.G. Teorie skupin. - 3. vyd. - M. : Nauka, 1967. - 638 s.
Zharkov VN Vnitřní struktura Země a planet. — M .: Nauka, 1978. — 192 s.
Newell A. Solitons v matematice a fyzice. — M .: Mir, 1989. — 326 s. — ISBN 5-03-001118-8 .
Tsypkin Ya. Z. Adaptace a učení v automatických systémech. - M. : Nauka, 1968. - 400 s.
Kuratovský K. , Mostovský A. Teorie množin. - M .: Mir, 1970. - 413 s.
Ulam S. Nevyřešené matematické problémy. — M .: Nauka, 1964. — 168 s.
Manin Yu. I. Úvod do teorie schémat a kvantových grup. - M. : MTSNMO, 2012. - 256 s.
Kantor I. L., Solodovnikov A. S. Hyperkomplexní čísla. - M. : Nauka, 1973. - 143 s.
Emelichev V. A., Melnikov O. I., Sarvanov V. I., Tyshkevich R. I. Přednášky o teorii grafů. - M. : Nauka, 1990. - 384 s. — ISBN 5-02-013992-0 .
Zikon H., Froese R., Kirsch W., Simon B. Schrödinger operátory s aplikacemi pro kvantovou mechaniku a globální geometrii. — M .: Mir, 1990. — 408 s. — ISBN 5-03-001422-5 .
Číst M., Simon B. Metody moderní matematické fyziky, ve 4 svazcích - M .: Mir, 1978. - 1000 s.
Tatt W. Teorie grafů. — M .: Mir, 1988. — 424 s.

Kendall M., Moran P. Geometrické pravděpodobnosti. - M .: Nauka, 1972. - 192 s.
Kon P. Volné kroužky a jejich spojení. - M .: Mir, 1975. - 420 s.
Ershov Yu.L. , Palyutin E.A. Matematická logika. — M .: Nauka, 1987. — 336 s.
Ian Stewart . Největší matematické problémy. — M. : Alpina literatura faktu, 2015. — 460 s. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Ziman J. Principy teorie tuhých těles. - M .: Mir, 1974. - 472 s.
Helstrom K. Kvantová teorie testování a odhadování hypotéz. — M .: Mir, 1979. — 344 s.
Novikov I. D. , Frolov V. P. Fyzika černých děr. — M .: Nauka, 1986. — 328 s.
Mikhlin S. G. Kurz matematické fyziky. — M .: Nauka, 1968. — 575 s.
Harrison W. Pseudopotenciály v teorii kovů. - M .: Mir, 1968. - 366 s.
Bellman R. Matematické problémy v biologii. — M .: Mir, 1966. — 277 s.
V. G. Boltyansky , I. Ts. Gokhberg . Věty a problémy kombinatorické geometrie . — M .: Nauka, 1965. — 107 s.
Tricomi Francesco . O lineárních rovnicích smíšeného typu. - M. : OGIZ GITTL, 1947. - 190 s.
Ivanov L. D. Variace množin a funkcí. - M. : Nauka, 1975. - 352 s.
Mostepanenko A. M., Mostepanenko M. V. Čtyřrozměrnost prostoru a času. - L .: Nauka, 1966. - 189 s.
Gurevich V., Volman R. Teorie rozměrů. - L . : IL, 1948. - 231 s.
Sady Stoll R. R. Logika. axiomatických teorií. - M . : Vzdělávání, 1968. - 231 s.
Bogolyubov N. N. , Logunov A. A. , Todorov I. T. Základy axiomatického přístupu v kvantové teorii pole. — M .: Nauka, 1969. — 424 s.
Borsuk K. Teorie retraktů. — M .: Mir, 1971. — 291 s.
Mandelbaum R. Čtyřrozměrná topologie. — M .: Mir, 1981. — 286 s.
Sprindzhuk VG Mahlerův problém v metrické teorii čísel. - Minsk: Věda a technika, 1967. - 184 s.
Griffiths F., teorie krále J. Nevanlinny a holomorfní zobrazení algebraických variet. — M .: Mir, 1976. — 95 s.
Moiseev NN Základy teorie optimálních systémů. — M .: Nauka, 1975. — 526 s.
Cherchinyani K. Teorie a aplikace Boltzmannovy rovnice. — M .: Mir, 1978. — 495 s.
Schwartz L. Komplexní rozdělovače. Eliptické rovnice. - M .: Mir, 1964. - 212 s.
Kreizel G. Studium teorie důkazů. — M .: Mir, 1981. — 289 s.
Razborov A. A. Algebraická složitost. — M .: MTsNMO , 2016. — 32 s. - ISBN 978-5-4439-1032-1 .
Grunbaum B. Etudy o kombinatorické geometrii a teorii konvexních těles. — M .: Nauka, 1971. — 93 s.
Brudno A. L. Teorie funkcí reálné proměnné. - M. : Nauka, 1971. - 119 s.
Malinetsky G. G. , Potapov A. B. Nelineární dynamika a chaos: základní pojmy. - M. : Librokom, 2011. - 240 s. - ISBN 978-5-397-01583-7 .
Lions Zh. L. Management singulárních distribuovaných systémů. — M .: Nauka, 1987. — 368 s.
vyd. Skornyakov L. A. Obecná algebra T. 1. - M. : Nauka, 1990. - 592 s.
Ebbinhaus GD, Jacobs K., Man FK, Hermes G. Turingovy stroje a rekurzivní funkce. — M .: Mir, 1972. — 262 s.
Rybnikov K. A. Úvod do kombinatorické analýzy. - Moskevská státní univerzita, 1972.
Kapitonova Yu. V., Krivoy S. L., Letichevsky A. A. Přednášky o diskrétní matematice. - SPb., BHV-Petersburg, 2004. - 624 s. - 3000 výtisků. — ISBN 5-94157-546-7 .
vyd. Dorogovtsev A. Ya. Matematika dnes. - Kyjev, škola Vishcha, 1983. - 192 s. - 3000 výtisků.
Aizerman M.A. Klasická mechanika. - Nauka, 1980. - 367 s.
Konopleva N. P. , Popov V. N. Měřicí pole. - Atomizdat, 1980. - 240 s.
Fuchs L. Nekonečné abelovské grupy. - Svět, 1974.
Lions J.L. , Magenes E. Nehomogenní okrajové problémy a jejich aplikace. - M .: Mir , 1971. - 386 s.
Levy P. Konkrétní problémy funkcionální analýzy. — M .: Nauka , 1967. — 509 s.

Odkazy

Otevřete Problémovou zahradu
Otevřené otázky: Matematika
Projekt Otevřené problémy
Otevřete Matematické úlohy v adresáři Google
Videoklipy o nevyřešených matematických problémech
Nevyřešené problémy v teorii čísel, logice a kryptografii

Neřešené problémy disciplínou
Astronomie Biologie Chemie Informatika Lingvistika Matematika Ekonomika Neurobiologie Fyzika Statistika Filozofie vědy o Zemi Teorie informace Lék