Rovnoběžnostěn

Rovnoběžník je konvexní mnohostěn , jehož paralelním překládáním lze prostor vydláždit , to znamená pokrýt euklidovský prostor tak, aby mnohostěny nevstupovaly do sebe a nezanechávaly mezi sebou mezery [1] .

Příklady a vlastnosti

• Paralelehedry jsou například oblasti Dirichletových-Voronoiových mřížek v euklidovském prostoru.
• V rovině jsou dva typy rovnoběžnostěnců: rovnoběžníky a středově symetrické šestiúhelníky.
• V trojrozměrném prostoru existuje přesně pět topologických typů rovnoběžnostěnů: krychle , šestiúhelníkový hranol , kosočtvercový dvanáctistěn , protáhlý dvanáctistěn (viz obrázek) a komolý osmistěn .

• Všechny rovnoběžnostěny (jakéhokoli rozměru) jsou středově symetrické mnohostěny. Všechny fasety rovnoběžnostěnu jsou také středově symetrické.
• Ve dvourozměrných a trojrozměrných případech jsou všechny rovnoběžnostedry zonohedry . Naopak každý zonohedr, který má jeden z popsaných topologických typů, je rovnoběžník.
• Ani ve čtyřrozměrném prostoru nejsou všechny rovnoběžnostedry zonohedry.

Historie

Počátek teorie rovnoběžek byl položen v 19. století prací Fedorova a Minkowského . Pozoruhodný příspěvek k tomu učinil Voronoi , který dokázal, že každý primitivní rovnoběžnostěn je afinně ekvivalentní DV-doméně nějaké mřížky. Ve 20. století vyvinuli teorii rovnoběžnostěnů Delaunay , B. A. Venkov, Ryshkov , P. Macmallen a další.

V poslední době se studium všech mřížkových rovnoběžnostěnců redukuje na studium tzv. kořenových rovnoběžnostěnů, které určitým způsobem tvoří základ rovnoběžnostěnců. Větu o reprezentaci libovolného mřížkového rovnoběžnostěnu jako Minkowského součtu konečného počtu kořenových rovnoběžnostěnů formuloval S.S. Ryshkov. Podrobný důkaz této věty je uveden ve společném článku S. S. Ryshkova a E. A. Bolshakové.

Poznámky

1. ↑ Aleksandrov, 1950 , str. 321.

Literatura

• PEKLO. Alexandrov. Konvexní mnohostěny. - Moskva, Leningrad: Státní nakladatelství technické a teoretické literatury , 1950.