Eulerova věta pro mnohostěny

Eulerův teorém pro mnohostěny  je věta, která zakládá vztah mezi počtem vrcholů, hran a ploch pro mnohostěny , které jsou topologicky ekvivalentní kouli .

Formulace

Nechť  je počet vrcholů konvexního mnohostěnu,  počet jeho hran a  počet ploch. Pak rovnost

Příklady pravidelných mnohostěnů :

Historie

V roce 1620 René Descartes ukázal, že součet úhlů všech ploch mnohostěnu je roven a zároveň . To přímo implikuje tvrzení teorému.

V roce 1750 Leonhard Euler prokázal totožnost konvexních mnohostěnů. Eulerova věta položila základ novému odvětví matematiky – topologii . Přesnější důkaz podal Cauchy v roce 1811.

Dlouho se věřilo, že Eulerův vztah platí pro jakýkoli mnohostěn. První protipříklad uvedl Simon Lhuillier v roce 1812; při zkoumání sbírky minerálů upozornil na průhledný krystal živce , uvnitř kterého byl černý krychlový krystal sulfidu olovnatého . Luillier si uvědomil, že krychle s krychlovou dutinou uvnitř se neřídí Eulerovým vzorcem. Později byly objeveny další protipříklady (například dva čtyřstěny přilepené podél hrany nebo mající společný vrchol) a formulace věty byla upřesněna: platí pro mnohostěny topologicky ekvivalentní kouli [1] .

Zobecnění

• Eulerova charakteristika zobecňuje Eulerův vzorec na mnohostěny s libovolným počtem děr a dokonce ve složitější formě na topologické prostory .
• Eulerův vzorec pro souvislý rovinný graf má stejnou formu, ale platí pro jakékoli rovinné grafy, nejen pro ty, které mohou být polyhedrálními strukturami ve 3D prostoru.

Viz také

• Seznam objektů pojmenovaných po Leonhardu Eulerovi

Poznámky

1. ↑ Lakatos I. Důkazy a vyvrácení. Jak se dokazují věty? - M .: Nauka, 1967.