Lineární algebra

Lineární algebra je úsek algebry , který studuje objekty lineární povahy : vektorové (nebo lineární) prostory, lineární zobrazení , systémy lineárních rovnic , mezi hlavní nástroje používané v lineární algebře patří determinanty , matice , konjugace . Invariantní teorie a tenzorový počet jsou obvykle (zcela nebo částečně) také považovány za součásti lineární algebry [1] . Objekty jako kvadratické a bilineární formy , tenzory a operace jako tenzorový součin vycházejí přímo ze studia lineárních prostorů, ale jako takové patří do multilineární algebry .

Lineární algebra je zobecněna pomocí obecné algebry , zejména moderní definice lineárního (vektorového) prostoru se opírá pouze o abstraktní struktury a mnoho výsledků lineární algebry je zobecněno na libovolné moduly přes kruh . Metody lineární algebry jsou navíc široce používány v jiných částech obecné algebry, zejména se často používá taková technika, jako je redukce abstraktních struktur na lineární a jejich studium pomocí relativně jednoduchých a dobře vyvinutých prostředků lineární algebry, např. , je implementován v teorii grupových reprezentací . Funkcionální analýza vznikla jako aplikace metod matematické analýzy a lineární algebry na nekonečněrozměrné lineární prostory a je z velké části založena na metodách lineární algebry a v jejích dalších zobecněních. Lineární algebra také našla široké uplatnění v mnoha aplikacích (včetně lineárního programování , ekonometrie ) a přírodních věd (například kvantová mechanika ).

Historie

První prvky lineární algebry vycházely z praktických výpočetních úloh kolem řešení lineárních rovnic , zejména takové aritmetické triky jako trojité pravidlo a pravidlo nepravdivých pozic byly formulovány již ve starověku. V Euklidových prvcích se objevují dvě teorie „lineárního“ charakteru: teorie velikosti a teorie celých čísel. Přístupy k řešení soustav lineárních rovnic blízké moderním maticovým metodám se nacházejí u Babyloňanů (systémy dvou rovnic se dvěma proměnnými) a starých Číňanů (v „ Mathematics in Nine Books “, až tři rovnice se třemi proměnnými) [2] . Po dosažení jistoty s hlavními otázkami hledání řešení soustav lineárních rovnic však k rozvoji sekce prakticky nedošlo a ještě na konci 18. - začátku 19. století se věřilo, že neexistují více problémů s rovnicemi prvního stupně, navíc soustavy lineárních rovnic s řadou proměnných, které se liší od číselných rovnic nebo s lineárně závislými koeficienty na levé straně, byly jednoduše považovány za nesprávné [3] .

Metody, které vytvořily lineární algebru jako nezávislou větev matematiky, mají kořeny v jiných větvích. Fermat ve 30. letech 17. století poté, co vytvořil klasifikaci rovinných křivek, zavedl do matematiky princip dimenze (klíč pro lineární algebru) a rozdělil problémy analytické geometrie podle počtu neznámých (s jednou neznámou - nalezení bodu , s dva - křivka nebo geometrické místo na rovině, se třemi plochami ). Euler vytvořil klasifikaci křivek podle řádů, čímž upozornil na lineární povahu transformací souřadnic a zavedl pojem afinní transformace (a samotné slovo „afinita“) [4] .

První zavedení pojmu determinantu pro účely řešení soustav lineárních rovnic je připisováno Leibnizovi ( 1678 [5] nebo 1693 [6] ), tyto práce však nebyly publikovány. Také, determinant je nalezený v pracích Seki Takakazu v 1683 , ve kterém on zobecnil metodu pro řešení soustav lineárních rovnic ze starověké čínské "Matematika v devíti knihách" na rovnice s neznámými [7] . Maclaurin , který ve skutečnosti používá nejjednodušší determinanty v pojednání publikovaném v roce 1748 , dává řešení systémů dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými a tří rovnic se třemi neznámými [8] . Cramer a Bezout ve své práci na problému nalezení rovinné křivky procházející daným bodem tento koncept opět zkonstruovali ( Cramerovo pravidlo bylo formulováno v roce 1750 ), Vandermonde a Lagrange uvedli induktivní definici pro případy [9] a Cauchy uvedl integrální definice a konečné vlastnosti determinantů ( 1815 ) a Jacobi (40. léta 19. století) [3] . Gauss (asi 1800) formalizoval pro řešení těchto problémů metodu postupné eliminace proměnných , která vešla ve známost pod jeho jménem [10] (i když v podstatě se tato metoda používala k řešení soustav lineárních rovnic již od starověku [4] ). $n$ $n$ $n>3$

D'Alembert , Lagrange a Euler , pracující na teorii diferenciálních rovnic , v té či oné formě identifikovali třídu lineárních homogenních rovnic a prokázali skutečnost, že obecné řešení takové rovnice řádu je lineární kombinací konkrétních řešení (nicméně , nezaznamenali nutnost lineární nezávislosti řešení ) [11] . Na základě pozorování, že množina hodnot celočíselné funkce se nemění od toho, co je u konce a je provedena lineární substituce (s celočíselnými koeficienty a determinantem rovným 1), Lagrange v roce 1769 rozvíjí teorii reprezentace celých čísel pomocí kvadratické formy a v roce 1770 zobecňuje teorii na algebraické formy . Gauss rozvinul Lagrangeovu teorii, zvažující otázky ekvivalence forem, a zavedl řadu konceptů souvisejících s lineárními substitucemi, z nichž nejdůležitější byl koncept konjugované (transponované) substituce [12] . Od té doby jsou aritmetická a algebraická studia kvadratických a příbuzných bilineárních forem nezbytnou součástí předmětu lineární algebry [13] . $n$ $n$ $f(x,y)$ $X$ $y$

Dalším zdrojem přístupů k lineární algebře byla projektivní geometrie , s jejímž vytvářením započal Desargues v 17. století a významně se rozvinula v dílech Mongeových na konci 18. století a později v dílech Ponceleta , Brianchona a Challa od počátku do poloviny 19. století. V té době byly hlavním předmětem studia projektivní geometrie kuželosečky a kvadriky , což jsou v podstatě kvadratické formy. Mongem zavedený koncept duality projektivních prostorů je navíc jedním z aspektů duality v lineárních prostorech (tohoto spojení si však všiml až na konci 19. století Pinkerle ) [14] .

Ale hlavním základem lineární algebry byl vektorový počet , který se ve skutečnosti připojil k části, kterou nastínil Gauss ve svých dílech o geometrické interpretaci komplexních čísel ( 1831 ) a získal svou konečnou podobu v dílech Möbia , Grassmanna a Hamiltona v r. 40. - 50. léta 19. století. Hamilton tedy v roce 1843 objevuje kvaterniony , čtyřrozměrnou analogii komplexních čísel, a dává jim geometrickou interpretaci analogií s Gaussiánem (Hamilton mimo jiné patří k zavedení termínu „vektor“). Fyzici Hamiltonovy školy, z nichž Maxwell byl nejvýznamnější , pečlivě vypracovali to, co nyní souvisí s vektorovou algebrou v trojrozměrném euklidovském prostoru: koncepty skalárních , vektorových a smíšených produktů vektorů, operátor nabla [15]. byly zavedeny , formovala se symbolika, která vstoupila do tradice, od té doby také vektory pronikají do školních programů. Přitom pro Hamiltonovu školu nebyly ústředním pojmem vektory, ale čtveřice a definice lineární algebry byly dány z hlediska násobení čtveřicemi.

Paralelně s tím se v Evropě rozvíjela také lineární algebra. V roce 1844 Grassmann staví koncept externí algebry popisující podprostory lineárního prostoru [16] . Jeho díla byla dlouhou dobu nezaslouženě přehlížena: jazyk adekvátní fyzickému obrazu světa byl považován za jazyk čtveřice. Takže Tat , vůdce „kvaternionistické“ školy, považoval Gibbsovu kritiku za směšnou , naznačující, že jazyk čtveřic není vhodný pro popis prostorů o dimenzích vyšších než čtyři, protože časoprostor je čtyřrozměrný; zatímco pro Gibbse to bylo extrémně důležité, protože fázové prostory ve statistické mechanice, kterou vyvinul, mají velmi velký rozměr (řádově Avogadro číslo ). Následně byla potvrzena správnost Gibbse, jehož myšlenky rozvinul Heaviside : hlavním jazykem se stal jazyk vektorového počtu a rozšířené používání čtveřic zůstalo historickou kuriozitou. Syntézu myšlenek Grassmanna a Hamiltona provedl v 70. letech 19. století Clifford : koncept Cliffordovy algebry , který zavedl, zahrnuje jak speciální případy jak kvaternionové algebry, tak externí algebry.

Pojem matice zavedl Sylvester v roce 1850 [17] [18] . Cayley podrobně rozvinul maticový počet a vydal Memoir o teorii matic v roce 1858 , je zásadní , že Cayley považuje matice za zápis pro lineární substituce [16] . Konkrétně v této práci Cayley zavádí sčítání a násobení matic, inverzi matic , uvažuje charakteristické polynomy matic a formuluje a dokazuje pro případy 2×2 a 3×3 tvrzení, že charakteristický polynom čtverce matice zmizí (známá jako Hamilton–Cayleyova věta , protože případ 4×4 dokázal Hamilton pomocí čtveřic), důkaz pro obecný případ je způsoben Frobeniusem ( 1898 ). Systémy lineárních rovnic ve formě matice-vektor se poprvé zjevně objevily v dílech Laguerra ( 1867 ). Maticové grupy spojené s neeuklidovskými geometriemi se objevily v Killingově práci v 80. letech 19. století, spolu s Lieovou dřívější prací se staly základem teorie Lieových grup a algeber . Na přelomu století byla tato teorie obohacena Engelem a Cartanem , kteří dali klasifikaci polojednoduchých Lieových algeber a na cestě objevili vektorový součin v sedmirozměrném prostoru .

Teorie invariantů v klasické verzi – nauka o vlastnostech algebraických forem , které jsou zachovány při lineárních transformacích, se formovala od 40. let 19. století v dílech Cayleyho, Hermita a Sylvestra (známého jako „invariantní trojice“, francouzsky la trinité invariantive ), má se za [19] , že právě teorie invariantů vede k vytvoření principů pro řešení libovolných soustav lineárních rovnic. Zejména Hermit[ objasnit ] formuloval a vyřešil v konkrétním případě problém nalezení soustavy lineárních diofantických rovnic, řešení v obecném případě našel Smith , jehož výsledek zůstal bez povšimnutí, dokud jej v roce 1878 neobjevil Frobenius [19] . Konečná podoba výsledků na soustavách lineárních rovnic s libovolnými číselnými koeficienty byla získána v pracích organizovaných Kroneckerem , na kterých se podíleli Weierstrass , Frobenius a skupina německých vědců, zvláštní pozornost byla věnována přesnosti a přesnosti formulací . Zejména determinant v průběhu přednášek Kronecker - Weierstrass byl představen jako multilineární znaménko-alternující funkce vektorů -rozměrného prostoru, normalizovaná tak, že nabývá hodnoty 1 pro matici identity; navíc je tato definice ekvivalentní s definicí vyplývající z Grassmannova počtu [19] [20] . Frobenius v roce 1877 zavedl koncept matice rank , na jehož základě v následujících letech několik vědců najednou dokázalo tvrzení, že řešitelnost systému lineárních rovnic je ekvivalentní shodě řad jeho hlavní a rozšířené matice, známý v ruských a polských zdrojích jako Kronecker-Capelliho teorém , ve francouzštině - teorém Rouche ( fr. Eugène Rouché ) - Fontenay ( fr. Georges Fontené ), v němčině a španělštině - Rouche-Frobeniova věta, v italštině a angličtině - Rouche-Capelliho věta . $n$ $n$

V roce 1888 Peano na základě Grassmannovy kalkulace poprvé explicitně formuloval axiomy lineárního prostoru (vektorové prostory nad polem reálných čísel, včetně nekonečně-dimenzionálních) a použil notaci, která zůstala v provozu ve 20.-21. století [21] . Toeplitz na počátku 1910 zjistil, že použitím axiomatizace lineárního prostoru k prokázání základních teorémů lineární algebry není třeba se uchylovat ke konceptu determinantu, který umožňuje rozšířit jejich výsledky na případ nekonečného čísla. rozměrů [21] . Axiomatickou definici vektorového a euklidovského prostoru poprvé jasně formulovali na počátku 20. století téměř současně Weil a von Neumann na základě požadavků kvantové mechaniky [22] .

Tenzorový počet , vyvinutý v 90. letech 19. století Ricci a Levi-Civita , tvořil jeho algebraickou část hlavní obsah multilineární algebry. Zvláštní pozornost byla věnována této podsekci v letech 1910-1930 kvůli rozsáhlému použití tenzorů Einsteinem a Hilbertem v matematickém popisu obecné teorie relativity .

V roce 1922 Banach , který studoval kompletní normované lineární prostory, které se staly známými po jeho práci jako Banach , zjistil, že v konečném případě vznikají lineární prostory, které nejsou izomorfní k jejich duálu [21] , a v tomto ohledu v prvním případě poloviny 20. století, metody a výsledky lineární algebry obohatily funkcionální analýzu a vytvořily její hlavní předmět v moderním smyslu - studium topologických lineárních prostorů [23] . Také ve dvacátých a padesátých letech se rozšířil směr linearizace obecné algebry, takže když Artin rozvinul Dedekindův výsledek o lineární nezávislosti jakéhokoli automorfismu pole , linearizuje Galoisovu teorii a v 50. letech 20. století především v dílech Jacobson , tyto výsledky jsou zobecněny na libovolná rozšíření těles [24] ; díky těmto konstrukcím je možné aplikovat nástroje a úspěchy dobře prostudované lineární algebry ve velmi abstraktních částech obecné algebry .

Od druhé poloviny 20. století, s nástupem počítačů , rozvojem metod výpočetní matematiky a počítačové algebry , v rámci lineární algebry se rychle rozvíjí výpočetní směr - hledání metod a algoritmů, které poskytují efektivní řešení úloh lineární algebry pomocí výpočetní techniky, vznikla samostatná sekce výpočetní lineární algebry ( anglicky numerical linear algebra ) a řešení úloh lineární algebry se stalo jednou z důležitých praktických součástí používání počítačů. Mezi práce, které iniciovaly vývoj tohoto směru, bylo vytvoření Turingova algoritmu pro LU-dekompozici čtvercové matice na horní a dolní trojúhelníkovou ( 1948 ) [25] . Je příznačné, že za hlavní ukazatel výkonnosti výpočtů s plovoucí desetinnou čárkou, a to i pro klastrové systémy , jsou považovány výsledky testů Linpack , ve kterých musí výpočetní systémy řešit složité systémy lineárních rovnic pomocí LU rozkladu . V 50. - 60. letech 20. století publikovali významné studie v oblasti výpočetní lineární algebry Faddeev a Wikinson , významné výsledky v 70. - 2000 letech získali Marchuk , Samarsky , Godunov , Golub ( eng. Gene H. Golub ), Axelson [ 26] .

Základní návrhy

Matice a determinanty

Matice je matematický objekt zapsaný v obdélníkové tabulce velikostí, v jejíchž buňkách jsou prvky libovolného předem zvoleného (hlavního) pole (v nejobecnějším případě asociativní kruh [27] ) - tyto mohou být celá čísla , reálná nebo komplexní čísla, vektory , racionální funkce — v závislosti na aplikacích a úkolech: $m\krát n$

\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn } \end{pmatrix}

Pro matice se také používá zkrácený zápis , ale obvykle se s maticemi pracuje jako s jednotlivými objekty: sčítání a násobení jsou definovány nad maticemi a matici lze také násobit skalárem - prvkem hlavního pole, s ohledem na tyto operace tvoří vektorový prostor nad hlavním polem (nebo v nejobecnějším případě modul nad kruhem ). Další operace s maticemi jsou transpozice (nahrazení řádků sloupci) a pseudo -inverze (zobecnění inverze čtvercové matice ). Matice velikosti a se nazývají řádkový vektor a sloupcový vektor. $(a_{ij})$ $1 \krát n$ $m\krát 1$

Matice se stejným počtem řádků a sloupců se nazývá čtvercová , v závislosti na obsahu mohou být diagonální (všechny prvky jsou nuly hlavního pole, kromě diagonálních: ), jednoduchá (všechny diagonální prvky se rovnají jednomu z hlavních pole a zbytek je nula), symetrický (všechny prvky jsou symetrické podle hlavní úhlopříčky: ), šikmo symetrický ( ), trojúhelníkový (všechny prvky nad nebo pod hlavní úhlopříčkou jsou rovny nule), ortogonální . Mezi čtvercovými maticemi je vztah podobnosti ( ), kde je matice inverzní k , vlastnosti matic jako pořadí (maximální počet lineárně nezávislých řádků nebo sloupců) a charakteristický polynom invariantní s ohledem na podobnost [28] . Shodné pro podobné pravoúhlé matice jsou také takové charakteristiky, jako je stopa (se součtem prvků hlavní diagonály) a determinant. $i \neq j \Rightarrow a_{ij} = 0$ $a_{ij} = a_{ji}$ $a_{ij} = - a_{ji}$ $A \sim B \Leftrightarrow \exists P (A = P^{-1} \cdot B \cdot P$ $P^{-1}$ $P$

Determinant je polynom , který zvláštním způsobem kombinuje prvky čtvercové matice charakterizující invertibilitu matice. Přesněji řečeno, determinant matice zmizí tehdy a pouze tehdy, když matice není invertibilní. Stejná podmínka je ekvivalentní skutečnosti, že matice má lineárně závislé řádky nebo sloupce. Čtvercové matice, jejichž determinant je roven nule, se nazývají degenerované , pokud je determinant jiný než nula, pak se matice nazývá nedegenerovaná . Determinant lze využít při řešení soustav lineárních rovnic. Na jeho základě jsou zavedeny pojmy moll , doplňkový moll , algebraický doplněk [29] .

Vektory

Pojem vektor (samotný termín „vektor“ zavedl W. Hamilton ) původně vznikl jako geometrická abstrakce pro objekty charakterizované jak velikostí, tak směrem, jako je rychlost , moment síly , síla elektrického pole , magnetizace . Na počátku 20. století se původní interpretace vektorů (stále používaných v elementární matematice) jako „řízených segmentů“ změnila na axiomatiku vektorového prostoru se dvěma operacemi : sčítání vektorů a násobení vektoru čísly (obecněji, prvky pole ). Kromě toho se často zavádějí různé typy vektorového produktu: skalární , vektor , smíšený , pseudoskalární , dvojitý vektor .

Klíčovou roli v lineární algebře hraje koncept lineární nezávislosti vektorů, který je základem definic báze a dimenze vektorového prostoruː číslo se nazývá dimenze vektorového prostoru, pokud obsahuje lineárně nezávislé vektory a libovolné vektory tento prostor je lineárně závislý. Takový vektorový prostor se nazývá -rozměrný a kterýkoli z jeho vektorů je reprezentován uspořádanou sekvencí čísel (jedinečně určenou výběrem nějaké báze). Vektory tedy mohou být zapsány jako matice velikosti nebo - sloupcové vektory a řádkové vektory a všechny operace vektorové algebry mohou být redukovány na maticovou algebruː, například sčítání vektorů je stejné jako sčítání matic a vektorové násobení vektorů může být vyjádřen jako součin šikmo symetrické matice vytvořené z prvního faktoru a sloupcového vektoru představujícího druhý faktor. $n$ $n$ $k>n$ $n$ $n$ $1 \krát n$ $n krát 1$

Tenzory

Tenzory vznikly jako přirozený vývoj představ o objektech lineární algebry: je-li skalár v -dimenzionální reprezentován objektem nulové dimenze (skládajícím se pouze z jednoho prvku pole ), vektor je jednorozměrné pole (matice size ), lineární transformace je dvourozměrná matice , pak může být tenzor reprezentován jako vícerozměrné pole prvků pole velikosti (počet rozměrů pole se nazývá valence tenzoru ) a skaláry, vektory, lineární operátory se ukázaly být speciálními případy tenzoru (s valencemi 0, 1 a 2). Další zobecnění použité v pojmu tenzor je převzato z možnosti reprezentovat lineární funkcionál jako covektor a z myšlenky duality mezi prostorem a jeho konjugací , prostorem jeho lineárních funkcionálů; při použití této možnosti je tenzor valence považován za právě kontravariantní , tedy uvažovaný odpovídajícími složkami v „obyčejné“ bázi, a jednou kovariantní , tedy se složkami v duálním prostoru ( , „tensor pořadí “). $n$ $1 \krát n$ $n \times n \times \cdots \times n$ $r$ $l$ $k$ $r=k+l$ $(l, k)$

V algebře tenzoru jsou zavedeny a studovány lineární operace na tenzorech, jako je násobení skalárem, sčítání, konvoluce . Zvláštní roli hraje operace tenzorového součinu ( ), jehož zobecnění na lineární prostory umožnilo zobecnit definici tenzoru: považovat hodnostní tenzor v lineárním prostoru za prvek tenzorového součinu instance a instance jejího konjugátu : $\otimes$ $(l, k)$ $PROTI$ $k$ $PROTI$ $l$ $V^*$

\begin{matrix} \underbrace{ V \otimes \ldots \otimes V} & \otimes & \underbrace{ V^* \otimes \ldots \otimes V^*} \\ k & & l \end{matrix}

Kvadratické a bilineární formy

Algebraické formy ( homogenní polynomy na vektorových prostorech dané homogenními polynomy ve vektorových souřadnicích) patří do multilineární algebry , ale v čistě lineární algebře jsou důležité i kvadratické, bilineární formy a některé speciální druhy forem ( seskvilineární , Hermitovská ). Význam bilineárních a kvadratických forem spočívá v tom, že jsou vyjádřeny maticemi, stejně jako lineární operátory. Nejpodrobněji byly studovány vlastnosti symetrických a šikmo symetrických bilineárních forem . $(B(x,y)=B(y,x))$ $(B(x,y)= - B(y,x))$

Vektorové mezery

Všechny matematické struktury studované v lineární algebře - vektory, tenzory, matice, algebraické formy i operace s nimi jsou univerzalizovány v obecné algebraické koncepci vektorového (lineárního) prostoru. Vektorový prostor je definován jako algebra nad libovolnou množinou prvků , nazývaných vektory , a libovolným polem , jehož prvky se nazývají skaláry , navíc vektory s operací sčítání vektorů tvoří abelovskou grupu a operace násobení vektorů pomocí skalár je definován: tak, že následující vlastnosti ( ): $\langle V, \mathfrak F, +, \cdot \rangle$ $PROTI$ $\mathfrak F$ $\langle V, + \rangle$ $\cdot : \mathfrak F \times V \to V$ $1, \alpha, \beta \in \mathfrak F, \, \mathbf v, \mathbf u \in V$

1 \cdot \mathbf v = \mathbf v

\alpha \cdot (\mathbf v + \mathbf u) = \alpha \cdot \mathbf v + \alpha \cdot \mathbf u

(\alpha + \beta) \cdot \mathbf v = \alpha \cdot \mathbf v + \beta \cdot \mathbf v

(\alpha \beta) \cdot \mathbf v = \alpha \cdot (\beta \cdot \mathbf v)

Za obor je někdy speciálně uvažován obor reálných čísel (pak se hovoří o reálném vektorovém prostoru) nebo obor komplexních čísel (komplexní vektorový prostor) s obvyklými operacemi sčítání a násobení, zejména v teorii konvexních množin je mnoho výsledků formulováno specificky pro reálné nebo komplexní vektorové prostory [30] . Ale značná část tvrzení a většina konstrukcí platí pro libovolná pole, navíc mnoho výsledků lineární algebry získaných pro vektorové prostory bylo ve 20. století zobecněno na unitární moduly nad nekomutativními dělícími kruhy a dokonce na libovolné moduly nad kroužky nebo moduly s určitými omezeními.

Lineární kombinace vektorů jsou tvarsoučty,konečnými $\alpha_1 \mathbf v_1 + \dots + \alpha_n \mathbf v_n$

Další zobecnění vektorových prostorů, jako je jejich vybavování seminormami , normami , metrikami , topologiemi , jsou studována ve funkcionální analýze .

Lineární zobrazení

Stejně jako teorie jiných algebraických struktur, lineární algebra studuje mapování mezi vektorovými prostory, které zachovávají strukturu vektorového prostoru. Lineární zobrazení (lineární transformace, lineární operátor) libovolných vektorových prostorů nad jedním polem je zobrazení, které zachovává linearitu: $L: V až U$

L(\mathbf v_1 + \mathbf v_2) = L(\mathbf v_1) + L(\mathbf v_2)

L (\alpha \cdot \mathbf v) = \alpha \cdot L (\mathbf v)

Když existuje mapování jedna ku jedné mezi dvěma vektorovými prostory, které je lineární, pak se o těchto prostorech říká , že jsou izomorfní ; mnoho vlastností vektorových prostorů je zachováno pod izomorfními transformacemi (jsou invariantní pod izomorfismem).

Přes třídu všech lineárních zobrazení daných vektorových prostorů lze definovat strukturu vektorového prostoru. Lineární zobrazení konečnorozměrných vektorových prostorů lze zapsat v maticové formě a jejich vlastnosti jsou již studovány pomocí matic .

Vlastní vektory a vlastní čísla

Obecně platí, že působení lineárních zobrazení může být poměrně složité. Důležitým a společným úkolem je najít takový základ vektorového prostoru , ve kterém má matice daného lineárního zobrazení nejjednodušší tvar. Při řešení tohoto problému hrají klíčovou roli invariantní podprostory lineárního zobrazení , tedy podprostory, jejichž obraz je při mapování vložen do sebe . Pokud jsou nalezeny invariantní podprostory nenulové dimenze (tj. ), jejichž přímým součtem je celý prostor , pak má mapovací matice blokově diagonální tvar s bloky řádů , , na hlavní diagonále, pokud zvolíme základ sestávající z skupiny vektorů, kde -tá skupina je základem v podprostoru . $PROTI$ $L: V$ $L$ $L$ $W_1, \ldots, W_k$ $L(W_i)\podmnožina W_i$ $PROTI$ $L$ $n_1, \ldots, n_k$ $n_i = \dim W_i$ $k$ $i$ $W_i$

Nejjednodušším případem invariantního podprostoru je jednorozměrný invariantní podprostor , který lze specifikovat pomocí jednoho (jakéhokoli) nenulového vektoru . V tomto případě má podmínka vnoření obrazu podprostoru do sebe podobu s nějakým číslem ; taková konstrukce vede k definici vlastního vektoru a vlastní hodnoty: jestliže pro nějaký vektor a číslo platí rovnost , pak se nazývá vlastní hodnota zobrazení a vektor se nazývá jeho vlastní vektor . Vlastní hodnoty lineárního zobrazení jsou jednoznačně definovány a vlastní vektory jsou definovány až do proporcionality, tedy až do násobení libovolným nenulovým číslem. $W$ $x \ ve W$ $L(x) {=} \lambda x$ $\lambda$ $x\neq 0$ $\lambda$ $L(x) {=} \lambda x$ $\lambda$ $L$ $X$

Pokud má zobrazení množinu lineárně nezávislých vlastních vektorů, jejichž počet se rovná rozměru prostoru , mohou tvořit bázi (nazývanou vlastní báze daného zobrazení), ve které je matice zobrazení diagonální, s vlastní čísla na hlavní diagonále. Říká se, že taková lineární zobrazení jsou diagonalizovatelná . Postačující (ale ne nezbytnou) podmínkou pro diagonalizaci je přítomnost odlišných vlastních čísel. $n$ $n$ $PROTI$ $n$

Jordan normální tvar

Aplikace

Řešení soustav lineárních algebraických rovnic

Soustava m lineárních algebraických rovnic s n neznámými je soustava rovnic tvaru

\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}

Může být reprezentován ve formě matice jako:

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

nebo:

sekera = b

Teorie reprezentace

Lineární programování

Ekonometrie

Kvantová mechanika

Poznámky

↑ Lineární algebra / P. S. Aleksandrov // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
↑ Kleiner, 2007 , Asi před 4000 lety věděli Babyloňané, jak vyřešit systém dvou lineárních rovnic o dvou neznámých (systém 2 × 2). Ve svých slavných devíti kapitolách matematického umění Číňané vyřešili systémy 3 × 3 tak, že pracovali pouze se svými (numerickými) koeficienty. Jednalo se o prototypy maticových metod, ne nepodobné „eliminačním metodám“ zavedeným Gaussem a dalšími, str. 79.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , str. 74.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , str. 75.
↑ Prasolov, 1996 , s. 9.
↑ Kleiner, 2007 , s. 80.
↑ Prasolov, 1996 , s. deset.
↑ Kleiner, 2007 , První publikací, která obsahovala některé elementární informace o determinantech, byl Maclaurinův Treatise of Algebra, ve kterém byly použity k řešení systémů 2 × 2 a 3 × 3, str. 81.
↑ Daan-Dalmedico, 1986 , s. 394.
↑ Kleiner, 2007 , s. 79.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 75-76.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 76.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 76-77, 134-137.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 77-78.
↑ Daan-Dalmedico, 1986 , s. 402.
↑ 1 2 Bourbaki, 1963 , str. 80.
↑ Z lat. matice – „hlavní příčina“. Mnoho zdrojů se domnívá, že tento termín zavedl Sylvester v roce 1848, ale ten rok nevydal žádnou práci, viz JJ Sylvester. The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester / HF Baker. - Cambridge : Cambridge University Press, 1904 , zatímco v práci z roku 1850 JJ Sylvester. Dodatky k článkům v zářijovém čísle tohoto časopisu „O nové třídě teorémů“ a Pascalově teorému // The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. — Sv. XXXVII . - str. 363-370 . : "...To samo o sobě nebude představovat determinant, ale je to jakoby Matrix, ze které můžeme vytvořit různé systémy determinantů..."
↑ Kleiner, 2007 , … termín „matrix“ vytvořil Sylvester v roce 1850, str. 82.
↑ 1 2 3 Bourbaki, 1963 , str. 82.
↑ Kleiner, 2007 , s. 81.
↑ 1 2 3 Bourbaki, 1963 , str. 84.
↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie . - Moskva: Fizmatlit, 2009. - S. 511 . - 1000 výtisků. - ISBN 978-5-9221-1139-3 .
↑ Dunford N., Schwartz J. Předmluva ( A. G. Kostyuchenko , vědecký redaktor) // Lineární operátory. - M . : Zahraniční literatura , 1962. - S. 5-6. Ve funkční analýze však existuje několik velkých „tradičních“ směrů, které dodnes do značné míry určují její tvář. Mezi nimi je teorie lineárních operátorů, která je někdy nazývána páteří funkcionální analýzy.
↑ Bourbaki, 1963 , s. 85.
↑ Poole, D. Lineární algebra: Moderní úvod . — 2. vydání. - Belmont : Brooks/Cole, 2006. - P. [ 179 ] (sl. 1). — 714 s. — ISBN 0-534-99845-3 .
↑ Ilyin V.P. Lineární algebra: od Gausse k superpočítačům budoucnosti (angl.) . Nature , 1999, č. 6 (1. června 1999). Staženo 2. 5. 2013. Archivováno z originálu 10. 5. 2013.
↑ Maltsev, 1970 , s. 12.
↑ Maltsev, 1970 , s. 55-59.
↑ Prasolov, 1996 , s. 9-29.
↑ Vektorový prostor - článek z Encyklopedie matematiky . Kadets M.I.

Literatura

Bourbaki . Lineární a multilineární algebra // Eseje o historii matematiky / I. G. Bashmakova (přeloženo z francouzštiny). - M . : Nakladatelství zahraniční literatury, 1963. - S. 73-86. — 292 s. — (Prvky matematiky).
Gantmakher F. R. teorie matice. — M.: Nauka, 1966.
Gel'fand I.M. Přednášky o lineární algebře . - 5., opraveno. - M . : Dobrosvet, MTSNMO , 1998. - 320 s. - 5000 výtisků. kopírovat. — ISBN 5-7913-0015-8 .
Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Lineární struktury // Cesty a labyrinty. Eseje o dějinách matematiky = Routes et dédales / Z francouzštiny přeložila A. A. Bryadinskaya, upravila I. G. Bashmakova. - M .: Mir, 1986. - S. 394-402. — 432 s. — (Moderní matematika. Populární řada). — 50 000 výtisků.
Izrael Kleiner. Historie lineární algebry // Historie abstraktní algebry . - Boston : Birkhäuser, 2007. - S. 79-89 . — 168p. — ISBN 978-0-8176-4684-4 . - doi : 10.1007/978-0-8176-4685-1_5 .
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Lineární algebra a geometrie. — M .: Nauka , 1986. — 304 s.
Maltsev AI Základy lineární algebry. - 3. — M .: Nauka , 1970. — 400 s.
Postnikov M. M. Lineární algebra (Přednášky o geometrii. II. semestr). - 2. — M .: Nauka , 1986. — 400 s.
Prasolov VV Úlohy a věty lineární algebry. — M .: Nauka, 1996. — 304 s. - (Fizmatlit). - ISBN 5-02-014727-3 .
Streng G. Lineární algebra a její aplikace. — M .: Mir , 1980. — 454 s.
Faddeev D. K. Přednášky o algebře. - 5. - Petrohrad. : Lan , 2007. - 416 s.
Halmos P. Konečné-dimenzionální vektorové prostory. — M .: Fizmatgiz , 1963. — 263 s.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Lineární algebra a geometrie. — M .: Fizmatlit , 2009. — 511 s.

Slovníky a encyklopedie

V bibliografických katalozích
BNE : XX527736 BNF : 11937509n GND : 4035811-2 J9U : 987007293931805171 LCCN : sh85003441 LNB : 000082525 NDL : 00570681 NKC : ph122353

Odvětví matematiky

Portál "Věda"

Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky

Teorie čísel ( aritmetika )

Algebra
Elementární algebra	Řešení rovnice
Lineární algebra	Vektorový počet matrice Tenzorový počet Multilineární algebra
Obecná algebra	Komutativní algebra Teorie reprezentace Diferenciální algebra Homologická algebra Univerzální algebra Teorie kategorií

Analýza
Klasická analýza	Diferenciální počet Integrální počet
Teorie funkcí	Harmonická analýza Kvaternionová analýza Komplexní analýza teorie míry Teorie funkcí reálné proměnné funkční analýza Variační počet
Diferenciální a integrální rovnice	Dynamické systémy a ergodická teorie Diferenciální rovnice obyčejný v parciálních derivacích Integrální rovnice
Vektorová analýza Globální analýza Teorie katastrofy Vlastní analýza Hladká infinitezimální analýza

Geometrie a topologie
Geometrie	Algebraická geometrie Analytická geometrie Euklidovská geometrie Neeuklidovská geometrie Planimetrie Stereometrie
Topologie	Obecná topologie Algebraická topologie Diferenciální geometrie a topologie

Diskrétní matematika
Kombinatorika teorie grafů

Aplikovaná matematika
Matematická fyzika Matematická chemie matematická biologie Matematické statistiky Matematické modelování Teorie algoritmů Numerické metody matematická ekonomie finanční matematika Teorie pravděpodobnosti Operační výzkum Herní teorie

Portál "Matematika"
Kategorie "Matematika"