Analýza (obor matematiky)

Analýza jako moderní odvětví matematiky je významnou součástí matematiky , která historicky vyrostla z klasické matematické analýzy , a kromě diferenciálního a integrálního počtu, zařazeného do klasické části, pokrývá i sekce jako teorie funkcí reálné a komplexní proměnné , teorie diferenciálních a integrálních rovnic , variační počet , harmonická analýza , funkcionální analýza , teorie dynamických systémů a ergodická teorie , globální analýza . Nestandardní analýza  je úsek na průsečíku matematické logiky a analýzy, využívající metody teorie modelů pro alternativní formalizaci, především klasických řezů.

Je považována za jednu ze tří hlavních oblastí matematiky spolu s algebrou a geometrií . Hlavním rozlišovacím znakem analýzy ve srovnání s jinými oblastmi je přítomnost funkcí proměnných jako předmětu studia. Současně, pokud jsou základní části analýzy v učebních plánech a materiálech často kombinovány s elementární algebrou (například existuje řada učebnic a kurzů nazvaných „Algebra a počátky analýzy“), moderní analýza z velké části využívá metody moderní geometrické řezy, především diferenciální geometrie a topologie .

Historie

Oddělte odnože „analýzy infinitesimál“, jako je teorie obyčejných diferenciálních rovnic ( Euler , Johann Bernoulli , D'Alembert ), variační počet (Euler, Lagrange ), teorie analytických funkcí (Lagrange, Cauchy , později Riemann ), začal se ještě více oddělovat v XVIII - první polovině XIX století. Za počátek formování analýzy jako samostatné moderní sekce jsou však považovány práce z poloviny 19. století o formalizaci klíčových pojmů klasické analýzy - reálné číslo , funkce , limita , integrál , především v díla Cauchyho a Bolzana a konečnou podobu získal v 70. až 80. letech 19. století v dílech Weierstrasse , Dedekinda a Cantora [1] . V tomto ohledu se zformovala teorie funkcí reálné proměnné a při vývoji metod práce s analytickými funkcemi teorie funkcí komplexní proměnné . Naivní teorie množin vytvořená Cantorem na konci 19. století dala impuls ke vzniku konceptů metrických a topologických prostorů, což výrazně změnilo celý soubor analytických nástrojů, zvýšilo úroveň abstrakce studovaných objektů a posunulo pozornost od reálných čísel k nenumerickým pojmům.

Na počátku 20. století, především silami francouzské matematické školy ( Jordánsko , Borel , Lebesgue , Baer ), vznikla teorie míry , díky níž došlo ke zobecnění pojmu integrálu a teorie funkcí byla také zkonstruována reálná proměnná . Na počátku 20. století se také začala formovat funkcionální analýza jako samostatná podsekce moderní analýzy, studující topologické vektorové prostory a jejich zobrazení . Termín "funkční analýza" zavedl Hadamard , označující odvětví variačního počtu vyvinutého na přelomu 19. a 20. století skupinou italských a francouzských matematiků (včetně Volterry , Artsely ). V roce 1900 publikoval Fredholm článek o integrálních rovnicích, který dal impuls jak k rozvoji teorie integrálních rovnic a obecné teorie integrace ( Lebesgue ), tak k vytvoření funkcionální analýzy [2] . V roce 1906 Hilbert nastínil spektrální teorii , ve stejném roce vyšla Fréchetova práce , ve které byly poprvé do analýzy zavedeny abstraktní metrické prostory [3] . V 10. - 20. letech 20. století byly upřesněny koncepty separability a obecné topologické metody byly poprvé aplikovány na analýzu ( Hausdorff ), byly zvládnuty funkční prostory a začalo se formování obecné teorie normovaných prostorů (Hilbert, Rees , Banach , Hahn ) . . V období 1929-1932 vznikla axiomatická teorie Hilbertových prostorů ( John von Neumann , Marshall Stone , Rees). V roce 1936 Sobolev formuloval koncept zobecněné funkce (později ve 40. letech 20. století nezávisle na něm došel k podobnému konceptu Laurent Schwartz ), který se rozšířil v mnoha částech analýzy a našel široké uplatnění v aplikacích (například Dirac funkce je zobecněná ). Ve 30.-50. letech 20. století byly ve funkcionální analýze získány významné výsledky pomocí obecných algebraických nástrojů ( vektorové svazy , operátorové algebry , Banachovy algebry ).

V polovině 20. století se oblasti jako teorie dynamických systémů a ergodická teorie ( George Birkhoff , Kolmogorov , von Neumann) vyvíjely samostatně, výsledky harmonické analýzy byly výrazně zobecněny použitím obecných algebraických prostředků - topologických grup a reprezentace ( Weil , Peter , Pontryagin ). Počínaje 40. - 50. léty našly metody funkcionální analýzy uplatnění v aplikovaných oblastech, zejména v dílech Kantoroviče z 30. - 40. let 20. století byly nástroje funkcionální analýzy využívány ve výpočetní matematice a ekonomii ( lineární programování ). V 50. letech 20. století byla v dílech Pontryagina a studentů vytvořena teorie optimálního řízení při vývoji metod variačního počtu .

Počínaje druhou polovinou 20. století, s rozvojem diferenciální topologie , se k analýze na varietách připojil nový směr , nazývaný "globální analýza" , který se ve skutečnosti začal formovat dříve, ve 20. letech 20. století, v rámci Morseovy teorie jako zobecnění variačního počtu (nazývaného Morse „variační počet obecně“, anglicky variační počet ve velkém ). Tato oblast zahrnuje takové oblasti, které vznikly ve vývoji teorie bifurkací dynamických systémů ( Andronov ), jako je teorie singularit ( Whitney , 1955 ) a teorie katastrof ( Tom , 1959 a Mather , 1965 ), které se rozvíjely v r. 70. léta v dílech Ziemana a Arnolda .  

Na počátku 60. let vytvořil Robinson nestandardní analýzu  – alternativní formalizaci jak klasických, tak příbuzných oblastí analýzy pomocí nástrojů teorie modelů . Jestliže byla nestandardní analýza zprvu považována pouze za logickou techniku ​​pro zdůvodnění konceptů špatně formalizovaných v klasických sekcích (především nekonečně velkých a nekonečně malých množství ), pak s rozvojem na konci 70. let Nelsona ( anglicky Edward Nelson ) teorie vnitřních množin a následných zobecnění se ukázalo, že konstrukce nestandardní analýzy jsou použitelné téměř ve všech odvětvích matematiky, jak je přirozeně vlastní všem matematickým objektům [4] . Navíc, vzhledem k expresivitě jazyka nestandardní analýzy, její prostředky odhalily výsledky, které nebyly nalezeny v klasické analýze, ale zároveň je v zásadě bylo možné získat standardními, klasickými prostředky [5] . Také v 70. - 80. letech 20. století se ve vývoji vnucovací metody (vytvořené Cohenem k prokázání nerozhodnutelnosti hypotézy kontinua v ZFC ), v dílech Solovaye , Scotta a Vopěnky ( česky Petr Vopěnka ), teorie tzv. Byly vyvinuty booleovské oceňované modely , na jejichž základě se zformovala nezávislá větev nestandardní analýzy - Booleovská hodnotová analýza [6] .  

Klasická matematická analýza

Klasická matematická analýza - část, která vlastně zcela odpovídá historické " analýze infinitezimálů ", se skládá ze dvou hlavních složek: diferenciálního a integrálního počtu. Hlavními pojmy jsou limita funkce , diferenciál , derivace , integrál , hlavními výsledky jsou Newton-Leibnizův vzorec , který spojuje určitý integrál a primitivní derivaci , a Taylorova řada je řadový  rozvoj nekonečně diferencovatelné funkce v okolí bodu.

Pod pojmem "matematická analýza" se obvykle rozumí tento klasický oddíl, přičemž se používá zejména v učebních plánech a materiálech. Studium základů analýzy je přitom zahrnuto ve většině středoškolských vzdělávacích programů a víceméně úplné studium předmětu je zahrnuto v programech prvních ročníků vysokých škol pro širokou škálu specializací, vč. mnoho humanitních oborů. V anglo-americké vzdělávací tradici se termín „počet“ ( anglicky  kalkulus ) používá k označení klasické matematické analýzy .

Teorie funkcí reálné proměnné

Teorie funkcí reálné proměnné (někdy nazývaná stručně - teorie funkcí ) vznikla jako výsledek formalizace pojmů reálného čísla a funkce [7] : pokud v klasických částech analýzy vznikají pouze funkce v konkrétních problémech byly uvažovány přirozeným způsobem, pak v teorii funkcí se předmětem studia stávají funkce samotné, zkoumá se jejich chování, korelace jejich vlastností. Jedním z výsledků ilustrujících specifika teorie funkcí reálné proměnné [8]  je skutečnost, že spojitá funkce nemusí mít derivaci v žádném bodě (navíc podle dřívějších představ klasické matematické analýzy diferencovatelnost všech spojité funkce nebyly zpochybněny).

Hlavní směry teorie funkcí reálné proměnné [9] :

Teorie funkcí komplexní proměnné

Předmětem studia teorie funkcí komplexní proměnné jsou numerické funkce definované na komplexní rovině nebo komplexním euklidovském prostoru , přičemž nejdůkladněji prostudovány jsou analytické funkce , které hrají důležitou spojovací roli pro téměř všechna odvětví matematické analýzy. Zejména koncept analytické funkce byl zobecněn pro libovolné Banachovy prostory , takže mnoho výsledků teorie funkcí komplexní proměnné bylo zobecněno ve funkcionální analýze.

Funkční analýza

Funkcionální analýza jako sekce je charakterizována přítomností jako předmětu studia topologických vektorových prostorů a jejich zobrazení s různými algebraickými a topologickými podmínkami, které jsou na ně kladeny [11] . Funkční prostory hrají ústřední roli ve funkcionální analýze, klasickým příkladem jsou prostory všech měřitelných funkcí , jejichž tý stupeň je integrovatelný; navíc je to již  nekonečněrozměrný prostor ( Hilbertův prostor ) a prostory nekonečných dimenzí jsou funkční analýze vlastní do té míry, že někdy je celý úsek definován jako součást matematiky, která studuje nekonečněrozměrné prostory a jejich zobrazení [12] . Nejdůležitější formou prostorů v klasických sekcích funkcionální analýzy jsou Banachovy prostory  - normované vektorové prostory, kompletní v metrice generované normou: značná část prostorů zajímavých v praxi je taková, mezi nimi všechny Hilbertovy prostory, prostory , Hardy prostory , Sobolevovy prostory . Důležitou roli ve funkcionální analýze hrají algebraické struktury, kterými jsou Banachovy prostory - Banachovy svazy a Banachovy algebry (včetně --algeber , von Neumannových algeber ).

Teorie operátorů , která studuje ohraničené lineární operátory  , je hlavní podsekcí funkcionální analýzy, včetně spektrální teorie , teorií různých tříd operátorů (zejména kompaktních , Fredholmových , uzavřených operátorů), teorie operátorů na speciálních normovaných prostorech (na Hilbertovi prostory - samoadjungované , normální , unitární , kladné operátory, na funkčních prostorech - diferenciální , pseudodiferenciální , integrální a pseudointegrální operátory a další), teorie invariantních podprostorů , teorie tříd operátorů - operátorové algebry , operátor pologrupy a další.

Variační počet

Hlavním předmětem studia variačního počtu jsou variace funkcionálů , s jejichž pomocí se řeší extrémní problémy v závislosti na volbě jedné nebo více proměnných funkcí. Typickým variačním problémem je najít funkci, která splňuje podmínku stacionarity pro nějaký daný funkcionál, tedy funkci, jejíž infinitezimální poruchy nezpůsobí změnu funkcionálu, alespoň v prvním řádu malosti. Klasický variační počet měl velký instrumentální vliv na mnoho odvětví fyziky ( variační principy mechaniky našly široké uplatnění také v elektrodynamice , kvantové mechanice ). Teorie optimálního řízení  je aplikací metod variačního počtu pro mnohem širší třídu problémů: určování nejlepších parametrů systémů za podmínek, kdy i parametry řízení mohou nabývat hraničních hodnot.

Harmonická analýza

Hlavním principem harmonické analýzy je redukce analytických problémů na studium nástrojů pro harmonické funkce a jejich zobecnění. Klasická harmonická analýza zahrnuje jako hlavní prostředek teorie goniometrických řad Fourierovy transformace , téměř periodické funkce , Dirichletovy řady [13] .

V abstraktní harmonické analýze jsou klasické metody zobecněny na abstraktní struktury pomocí pojmů, jako je Haarova míra a skupinové reprezentace [14] . Nejdůležitějším výsledkem komutativní harmonické analýzy je Pontryaginův teorém duality , díky kterému jsou téměř všechny klasické výsledky harmonické analýzy popsány relativně jednoduchými obecnými algebraickými prostředky. Dalším vývojem teorie je nekomutativní harmonická analýza, která má důležité aplikace v kvantové mechanice .

Diferenciální a integrální rovnice

V souvislosti s diferenciálními rovnicemi se v analýze rozlišují dva hlavní směry - teorie obyčejných diferenciálních rovnic a teorie parciálních diferenciálních rovnic (ve vzdělávacích materiálech a některých klasifikacích se objevují jako "rovnice matematické fyziky", protože studium takové třídy rovnic je hlavním obsahem matematické fyziky ).

V teorii integrálních rovnic kromě klasických metod řešení existují oblasti jako Fredholmova teorie , která měla významný vliv na vznik funkcionální analýzy jako samostatné sekce, zejména přispěla ke vzniku tzv. koncept Hilbertova prostoru .

Teorie dynamických systémů a ergodická teorie

Z hlavních oblastí studia diferenciálních rovnic vynikaly jako samostatné sekce teorie dynamických systémů , která studuje vývoj mechanických systémů v čase , a ergodická teorie , zaměřená na zdůvodnění statistické fyziky . Navzdory aplikované povaze problémů tyto oddíly zahrnují širokou škálu pojmů a metod obecného matematického významu, zejména jsou to pojmy stability a ergodicity .

Globální analýza

Globální analýza  je odvětví analýzy, které studuje funkce a diferenciální rovnice na varietách a vektorových svazcích [15] ; někdy je tento směr označován jako „analýza na manifoldech“.

Jednou z prvních oblastí globální analýzy je Morseova teorie a její aplikace na problémy geodesics na Riemannových varietách ; směr byl nazýván "počet variací obecně". Hlavními výsledky jsou Morseovo lemma , které popisuje chování hladkých funkcí na hladkých varietách v nedegenerovaných singulárních bodech a takový homotopický invariant jako Lyusternik-Shnirelmanova kategorie . Mnoho konstrukcí a tvrzení je zobecněno na případ nekonečněrozměrných variet ( Hilbertovy variety , Banachovy variety ). Výsledky získané v rámci globální analýzy singulárních bodů našly široké uplatnění pro řešení čistě topologických problémů, jako je například Bottův teorém o periodicitě , který z velké části posloužil jako základ pro samostatnou sekci matematiky - teorie , stejně jako teorém o -cobordismu , jehož důsledkem je naplnění Poincarého domněnky pro rozměry větší než 4.

Dalším hlavním blokem oblastí globální analýzy, která byla široce používána ve fyzice a ekonomii, je teorie singularit , teorie bifurkací a teorie katastrof ; hlavním směrem výzkumu v tomto bloku je klasifikace chování diferenciálních rovnic nebo funkcí v blízkosti kritických bodů a identifikace charakteristických znaků odpovídajících tříd.

Nestandardní analýza

Nestandardní analýza je formalizace klíčových pojmů analýzy pomocí matematické logiky , hlavní myšlenkou je formální aktualizace nekonečně velkých a nekonečně malých hodnot a logická formalizace manipulací s nimi. Nestandardní analytické nástroje se přitom ukázaly jako velmi výhodné: získaly výsledky, které nebyly dříve nalezeny klasickými prostředky kvůli nedostatečné viditelnosti [5] .

Nestandardní analýza se dělí na dvě oblasti: sémantickou, využívající modelově-teoretické nástroje, a syntaktickou, využívající různá rozšíření standardní teorie množin . Sémantický směr je založen na místní Maltsevově větě , která umožňuje přenos vlastností z lokálních částí modelů do celého modelu [16] . Existuje velká nezávislá větev sémantického směru nestandardní analýzy - booleovská oceňovaná analýza, postavená na konceptu booleovského oceňovaného modelu [17] . Syntaktický směr vychází z teorie vnitřních množin , jejíž klíčovou myšlenkou je zavedení konceptu nestandardních prvků a predikátu standardnosti a axiomatizace jejich inherentních vlastností. Další variantou syntaktické formalizace je alternativní teorie množin [18] .

Aplikace

Poznámky

  1. ↑ Matematika, 1956 , §7. Moderní matematika // A. D. Aleksandrov, s. 55.
  2. ↑ Dieudonné, 1981 , §1. Fredholmův objev, str. 97.
  3. ↑ Dieudonné, 1981 , Kapitola V. Rozhodující roky a definice Hilbertova prostoru, str. 97.
  4. ↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , ... nestandardní analýza byla považována za poněkud subtilní a dokonce exotickou logickou techniku ​​navrženou k ospravedlnění metody skutečných nekonečně velkých a nekonečně malých čísel <...> Koncem 70. po publikaci teorie vnitřních množin E. Nelsona (a o něco později teorií vnějších množin K. Hrbachka a T. Kawaie) došlo k radikálnímu obohacení a změně názorů na místo a roli nestandardní analýzy. Ve světle nových objevů je možné považovat nestandardní prvky <...> za integrální součásti jakýchkoli známých matematických objektů. Vznikl postoj spočívající v tom, že každý soubor je tvořen standardními a nestandardními prvky, str. viii.
  5. ↑ 1 2 Analýza (sekce matematiky) - článek z Mathematical Encyclopedia . Dragalin A. G. S pomocí N. a. byla zjištěna řada nových skutečností. Mnoho klasických. důkazy znatelně prospívají v jasnosti, když jsou prezentovány metodami nestandardní analýzy
  6. ↑ A. G. Kusraev, S. S. Kutateladze. Úvod do booleovské hodnotové analýzy. — M .: Nauka, 2005. — 526 s. — ISBN 5-02-033710-2 .
  7. ↑ TSB, Mathematics, 1978 , V důsledku systematické konstrukce matematické analýzy na základě rigorózní aritmetické teorie iracionálních čísel a teorie množin vznikl nový obor matematiky - teorie funkcí reálné proměnné.
  8. ↑ TSB, Mathematics, 1978 , pro teorii funkcí reálné proměnné je typický zájem o úplné objasnění reálného rozsahu obecných pojmů analýzy (na samém počátku jejího vývoje B. Bolzano a později K. Weierstrass například zjistil, že spojitá funkce nemusí mít v jednom bodě derivaci ani jednoho z nich).
  9. ↑ Teorie funkcí // Velká sovětská encyklopedie  : [ve 30 svazcích]  / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M  .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
  10. ↑ Matematika, 1956 , §7. Moderní matematika // A. D. Alexandrov), str. 56.
  11. ↑ Dieudonné, 1981 , Jeden může dát mnoho definic “funkční analýzy”. Jeho název by mohl naznačovat, že obsahuje všechny části matematiky, které se zabývají funkcemi, ale to by prakticky znamenalo veškerou matematickou analýzu. Přijmeme užší definici: pro nás to bude studium topologických vektorových prostorů a zobrazení z části topologického vektorového prostoru do topologického vektorového prostoru , přičemž se předpokládá, že tato zobrazení splňují různé algebraické a topologické podmínky, str. jeden.
  12. ↑ Funkční analýza // Velká sovětská encyklopedie  : [ve 30 svazcích]  / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M  .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.
  13. ↑ Harmonická analýza - článek z Encyklopedie matematiky . E. M. Nikitin
  14. ↑ Abstraktní harmonická analýza - článek z Mathematical Encyclopedia . E. A. Gorin, A. I. Stern
  15. ↑ Smale S. Co je globální analýza?  (anglicky)  // American Mathematical Monthly. - 1969. - Sv. 76 , č. 1 . - str. 4-9 . — ISSN 0002-9890 . - doi : 10.2307/2316777 .
  16. ↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , A. Robinson se opíral o lokální teorém A. I. Malceva a vyzdvihl jej jako výsledek „zásadního významu pro naši teorii“, str. jedenáct.
  17. ↑ Gordon, Kusraev, Kutateladze, 2011 , str. xi.
  18. ↑ P. Vopenka. Matematika v alternativní teorii množin = Mathematics in The Alternative Set Theory / přeložil A. Dragalin. — M .: Mir, 1983. — 152 s. — (Novinka v cizí matematice). - 6000 výtisků.

Literatura

  Přejděte na položku Wikidata  Slovníky a encyklopedie
 Odvětví matematiky
Portál "Věda"
Základy matematiky teorie množin matematická logika algebra logiky
Teorie čísel ( aritmetika )
  • Portál "Matematika"
  • Kategorie "Matematika"