Počet křižovatek (teorie uzlů)

V teorii uzlů je číslo průsečíku uzlu  nejmenším počtem průsečíků v jakémkoli diagramu uzlu. Počet průsečíků je invariant uzlu .

Příklady

Například triviální uzel má nula křížení, trojlístek má tři křížení a osmička má čtyři křížení. Neexistují žádné další uzly se čtyřmi nebo méně uzly a pouze dva uzly s uzly po pěti, ale počet uzlů se specifickými křižovatkami rychle roste s rostoucím počtem křižovatek.

Tabulky

Tabulky jednoduchých uzlů jsou tradičně indexovány počtem průsečíků s dodatečným popisem, který uzel ze sady uzlů s daným počtem průniků je myšlen (toto řazení není založeno na žádných vlastnostech, s výjimkou torusových uzlů , pro které jsou kroucené uzly uvedeny jako první). Seznam začíná 3 1 (jetel), 4 1 (osm), 5 1 , 5 2 , 6 1 atd. Toto pořadí se výrazně nezměnilo od doby, kdy Tait publikoval tabulku v roce 1877 [1] .

Aditivita

V pochopení chování čísla průsečíku v elementárních operacích s uzly došlo k velmi malému pokroku. Velkou otevřenou otázkou je, zda je počet průsečíků aditivní s ohledem na operaci zřetězení . Také se očekává, že satelitní uzel uzlu K bude mít více průsečíků než K , ale to nebylo prokázáno.

Aditivita počtu průsečíků zřetězení uzlů se osvědčila pro speciální případy, např. pokud jsou původní uzly střídavé [2] nebo jsou-li původní uzly torické [3] [4] . Mark Luckenbay dal důkaz, že existuje konstanta N  > 1 taková, že , ale jeho metoda používající normální plochy nemůže zlepšit N na 1 [5] .

Aplikace v bioinformatice

Existuje zvláštní vztah mezi počtem křížení uzlů a fyzickým chováním uzlů DNA . Pro jednoduché DNA uzly je počet křížení dobrým prediktorem relativní rychlosti DNA uzlu elektroforézou na agarózovém gelu . V zásadě vyšší počet přejezdů má za následek vyšší relativní rychlost [6] .

Související invarianty

Existují související pojmy středního počtu průniků a asymptotického počtu průniků. Oba tyto koncepty definují limity standardního počtu křižovatek. Existuje domněnka, že asymptotický počet průsečíků se rovná počtu průniků.

Další číselné invarianty uzlů zahrnují počet mostů , spojovací faktor , počet segmentů a počet rozpletení .

Poznámky

  1. ↑ Tait, 1898 , str. 273-347.
  2. ↑ Adams, 2004 , str. 69.
  3. ↑ Gruber, 2003 .
  4. ↑ Diao, 2004 , str. 857–866.
  5. ↑ Lackenby, 2009 , str. 747-768.
  6. ↑ Jonathan, 1996 , str. 39-58.

Literatura