Matematika a umění jsou propojeny různými způsoby. Matematiku samotnou lze považovat za uměleckou formu, protože se v ní nachází zvláštní krása . Stopy matematického myšlení se objevují v hudbě, tanci, malbě, architektuře, sochařství a tkalcovském umění. Tento článek je věnován propojení matematiky s výtvarným uměním.
Matematika a umění mají dlouhou historii vztahu. Malíři se uchýlili k matematickým konceptům ze 4. století před naším letopočtem. E. Starověký řecký sochař Polikleitos starší pravděpodobně vytvořil kompozici „Canon“ a sochařský model (zachovaný v přibližných replikách) ideální postavy sportovce. Opakovaně se tvrdilo, že starověcí umělci a architekti používali zlatý řez , ale neexistují pro to žádné vážné důkazy. Italský matematik Luca Pacioli , významná postava italské renesance , napsal pojednání Božský úměr ( latinsky: De Divina Proportione ) ilustrovaný dřevoryty podle kreseb Leonarda da Vinciho . Další italský malíř , Piero della Francesca , rozvinul Euklidovy myšlenky o perspektivě napsáním pojednání O perspektivě v malířství ( italsky De Prospectiva Pingendi ). Rytec Albrecht Dürer ve své slavné rytině „ Melancholia “ poskytl mnoho skrytých symbolických odkazů na geometrii a matematiku. Grafik 20. století M. C. Escher , konzultovaný matematikem Haroldem Coxeterem , hojně využíval obrazy parket a hyperbolické geometrie . Umělci hnutí „ De Stijl “, vedení Theo van Doesburgem a Pietem Mondrianem , explicitně používali geometrické motivy. Matematika ovlivnila různé formy pletení , vyšívání , tkaní a tkaní koberců . Islámské umění je charakterizováno symetriemi nalezenými v perském a marockém zdivu , děrovanými mughalskými kamennými zástěnami a běžnými voštinovými klenbami .
Byla to matematika, která umělcům poskytla nástroje jako lineární perspektivu, analýzu symetrií a dala jim všechny druhy geometrických objektů, jako jsou mnohostěny nebo Möbiův pás . Výuková praxe inspirovala Magnuse Wenningera k vytvoření vícebarevných hvězdicových mnohostěnů . Obrazy Rene Magritte a Escherovy rytiny využívají rekurzi a logické paradoxy. Fraktální grafika je dostupná formám počítačového umění , zvláště ztvárnění sady Mandelbrot . Některé články ilustrují celulární automaty . Umělec David Hockney přišel s ostře zpochybněnou hypotézou, že jeho kolegové od renesance používali camera lucida k přesnému zobrazení scén. Architekt Philip Steadman tvrdí, že Jan Vermeer použil cameru obscuru .
Spojení mezi matematikou a uměním je vyjádřeno mnoha jinými způsoby. Umělecké předměty jsou podrobeny algoritmické analýze pomocí rentgenové fluorescenční spektroskopie . Zjistilo se, že tradiční batika z celé Jávy má fraktální rozměr 1 až 2. Nakonec toto umění dalo podnět k nějakému matematickému výzkumu. Filippo Brunelleschi formuloval teorii perspektivy při vytváření architektonických výkresů a později ji vyvinul Gérard Desargues , čímž položil základy projektivní geometrie . Pythagorejská myšlenka boha-geometru je v souladu s principy posvátné geometrie , což se odráží i v umění. Typickým příkladem je The Great Architect od Williama Blakea .
V dějinách antického umění je znám termín „čtvercové postavy“ (( starořecky τετραγωνος ). Starověký římský spisovatel Plinius starší (23-79 n. l.) nazval bronzové sochy starověkého řeckého sochaře „vypadající čtverec“ ( lat . . signa quadrata ) z argejské školy Polykleta Staršího (asi 450-420 př. n. l.), zejména slavného Doryfora a Diadumena .“ Současně se odvolával na encyklopedistu Marka Terentia Varra (116-27 př. n. l.) , což naznačuje, že slovo „čtverec“ může označovat nikoli povahu siluety sochy, ale způsob proporcí , stanovený v teoretické práci Polikleta „ Kánonu “ [2] . Pojednání, pokud existovalo, nemá přežil, ale má se za to, že sochař vytvořil jako ilustraci stejného oštěpaře, později známého jako Doryforos [3] .Podle autorova záměru měl „Kánon“ stanovit standard pro ideální anatomické proporce v zobrazení mužská postava.
Starověký řecký filozof Platón (asi 427-347 př. n. l.) zmínil geometrickou metodu zdvojnásobení plochy čtverce tím, že na jeho diagonále postavil větší čtverec. Druhý čtverec obsahuje čtyři "poloviny" prvního, proto je jeho plocha dvakrát větší [4] . Tato nejjednodušší konstrukce obsahuje důležitou pravidelnost. Úhlopříčka čtverce je iracionální veličina. Vezmeme-li stranu čtverce jako 1, pak je jeho úhlopříčka rovna nebo 1,414... Systém měr založený na čtverci a jeho úhlopříčce tedy nese dualitu, polyfonní princip vztahů mezi jednoduchými celými čísly a iracionálními čísly.
Sochy sportovců na obrázku Polykleita skutečně vypadají „čtvercově“ (v jiném překladu „široké proporce“). Při analýze jejich proporcí se ukazuje, že modulem figury je strana čtverce, jejíž úhlopříčka zase slouží jako strana většího čtverce atd. Výsledkem je, že všechny části sochy lemují nahoru proporcionálně v systému "párových opatření": racionální a iracionální vztahy. Výška celé postavy je tedy rozdělena na dvě, čtyři a osm částí (hlava postavy je 1/8 výšky). Při plastickém pohybu (sportovec se opírá o jednu nohu, druhá noha je pokrčená v koleni a posazená dozadu) však vznikají iracionální vztahy. Vezmeme-li jako celek (stranu malého čtverce) horní část postavy (bez ohledu na její skutečnou velikost) - hlavu a trup až po hřeben kyčelní (na kterém leží šikmé svaly) - jako celek, pak se spodní část obrázku (pánevní pletenec a opěrná noha) bude rovnat 1,618 (strana většího čtverce). V souladu s tím je celá výška obrázku 2,618. Tyto vztahy spojuje vzor „ zlatého řezu “, který objevili staří Egypťané a který je univerzální [5] .
Vliv „kánonu“ se rozšířil na sochařství starověkého Řecka, starověkého Říma a renesance. Žádné z Polykleitových děl se do dnešních dnů nedochovalo, dochované mramorové repliky jsou přibližné a výrazně se od sebe liší. Ztratil se i samotný text traktátu, i když se zachovaly citace a komentáře antických autorů [3] . Někteří učenci tvrdí, že Poliklet byl zase ovlivněn učením Pythagorejců [6] . „Canon“ pracuje se základními pojmy starověké řecké geometrie: poměr, proporce a symetrie. Systém „Canon“ umožňuje popsat lidskou postavu pomocí souvislých geometrických posloupností [7] .
Ve starověku se umělci neuchylovali k lineární perspektivě . Velikost objektů nebyla dána jejich odlehlostí, ale jejich tematickou důležitostí. Někteří středověcí malíři používali obrácenou perspektivu , aby upozornili na zvláště významné postavy. V roce 1021 islámský matematik Ibn al-Khaytham formuloval teorii optiky , ale neaplikoval ji na umělecké předměty [8] . Renesance je spojena s obnovou starověkých řeckých a římských kulturních tradic. Oživily se také myšlenky o aplikaci matematiky při studiu přírody a umění . Umělci pozdního středověku a renesance se zajímali o matematiku ze dvou důvodů. Nejprve chtěli malíři vědět, jak přesně zobrazit trojrozměrné předměty na dvourozměrném povrchu plátna. Za druhé, umělci, stejně jako někteří filozofové, věřili v matematiku jako pravou podstatu fyzického světa; výtvarné umění jako součást tohoto vesmíru podléhá zákonům geometrie [9] .
Počátky perspektivy vidíme u Giotta (1266-1337), který maloval vzdálené objekty algebraickým určením polohy čar v perspektivě. V roce 1415 zavedl architekt Filippo Brunelleschi spolu se svým přítelem Leonem Battistou Albertim ve Florencii geometrickou metodu vytváření perspektivy. Pomocí podobných trojúhelníků Euklida vypočítali zdánlivou výšku vzdálených objektů [10] [11] . Obrazy s perspektivou samotného Brunelleschiho byly ztraceny, ale Masacciova Trojice nám umožňuje vidět princip v akci [8] [12] [13] . Italský malíř Paolo Uccello (1397-1475) byl uchvácen novou technikou. V „ Bitvě u San Romana “ umístil zlomená kopí mezi perspektivní linie [14] [15] .
Dílo Piera della Francesca (asi 1415-1492) je příkladem přechodu italské renesance k nové ideologii. Jako významný matematik a zejména geometr napsal práce o stereometrii a teorii perspektivy. Mezi ně patří „ O perspektivě v malířství “ ( italsky De Prospectiva Pingendi ), „Pojednání o účtech“ ( italsky Trattato d'Abaco ) a „O pravidelném mnohostěnu“ ( italsky De corporibus regularibus ) [16] [17] [ 18] . Historik Giorgio Vasari ve svých „ biografiích “ nazývá Piera „největším geometrem své doby a možná všech dob“ [19] . Pieroův zájem o perspektivu je vidět v jeho dílech Polyptych sv. Antonína [ 20] , Oltář sv. Augustina a Bičování Ježíše Krista . Jeho geometrické výzkumy ovlivnily další generace matematiků a umělců, mezi nimi Lucu Pacioliho a Leonarda da Vinciho . Je známo, že Pierrot studoval díla starověkých matematiků, včetně Archiméda [21] . Pierrot byl vycvičen v komerční aritmetice na „ škole počítadla “; jeho pojednání jsou koncipována ve stejném stylu jako učebnice „školy“ [22] . Možná byl Piero obeznámen s „ Knihou počítadla “ (1202) od Fibonacciho . Lineární perspektiva postupně pronikla do světa umění. V pojednání "O malbě" ( italsky De pictura , 1435) Alberti napsal: "paprsky světla jdou z bodů na obrázku do oka podél přímky a tvoří pyramidu , kde oko je vrchol." Výřezem této pyramidy je obraz namalovaný podle principu lineární perspektivy [23] .
Piero v díle O perspektivě v malbě převádí svá empirická pozorování o perspektivě do matematických vyjádření a důkazů. Po Euklidovi definuje bod jako „nejmenší předmět vnímatelný okem“ ( italsky: una cosa tanto picholina quanto e possible ad ochio comprendere ) [9] Piero vede čtenáře k zobrazení trojrozměrných těles na dvou -rozměrný povrch pomocí deduktivního uvažování [24] .
Současný umělec David Hockney tvrdí , že od 20. let 14. století jeho kolegové používali camera lucida , což vedlo k dramatickému zvýšení přesnosti a realističnosti maleb. Věří, že Ingres , van Eyck a Caravaggio [25] také používali toto zařízení . Odborný názor na tuto problematiku je nejednotný [26] [27] . Architekt Philip Steadman vyslovil další kontroverzní hypotézu [28] o Vermeerově použití camery obscury [29] .
V roce 1509 Luke (asi 1447-1517) publikoval pojednání „O božské proporci“, věnované matematickým a uměleckým aspektům proporcí , včetně lidské tváře. Leonardo da Vinci (1452–1519), který v 90. letech 14. století studoval u Pacioliho, ilustroval svůj text dřevoryty pravidelných mnohostěnů. Drátěné obrazy mnohostěnů vytvořené da Vincim jsou prvními ilustracemi tohoto druhu, které se k nám dostaly [30] . Byl jedním z prvních, kdo zobrazil mnohostěny (včetně kosočtverečných stěn) postavené na tvářích jiných postav – tak Leonardo demonstroval perspektivu. Samotné pojednání je věnováno popisu perspektivy v dílech Piera della Francesca, Melozza da Forliho a Marca Palmezzana [31] . Da Vinci studoval Pacioliho „Součet“ kopírováním tabulek s proporcemi [32] . Jak " Gioconda " , tak " Poslední večeře " jsou postaveny na principu lineární perspektivy s úběžníkem , který dává obrazu viditelnou hloubku [ 33 ] . Poslední večeře používá proporce 12:6:4:3 - jsou také přítomny v Athénské škole od Raphaela . Pythagoras, který je na něm vyobrazen, drží tabulku ideálních proporcí, které Pythagorejci přikládali posvátný význam [34] [35] . Vitruviánský muž Leonardo odráží myšlenky římského architekta Vitruvia ; dvě na sobě ležící mužské postavy jsou vepsány jak do kruhu, tak do čtverce [36] .
Již v 15. století používali malíři, kteří se zajímali o vizuální zkreslení, křivočarou perspektivu . Jan van Eyck „ Portrét Arnolfiniů “ (1343) má vypouklé zrcadlo odrážející postavy hrdinů [37] . „Autoportrét ve vypouklém zrcadle“ (kolem 1523-1524) Parmigianino zobrazuje umělcovu téměř nezkreslenou tvář a silně zakřivené pozadí a ruku umístěnou na okraji [38] .
Trojrozměrné objekty mohou být zobrazeny docela přesvědčivě, aniž byste se uchýlili k perspektivě. Šikmé projekce , včetně kavalírské perspektivy (používané francouzskými bitevními malíři v 18. století k malování opevnění), jsou nepřetržitě a všudypřítomné mezi čínskými umělci od 1. do 2. do 18. století. Tato tradice přišla k Číňanům z Indie a tam ze starověkého Říma. Šikmá projekce je vidět v japonském umění, jako například v obrazech ukiyo-e od Torii Kiyonaga [39] .
Paolo Uccello inovativní využití perspektivy ve své „ bitvě u San Romana “ (asi 1435–1460)
Kamera lucida v akci. Scientific American , 1879
Umělec a Camera Obscura . 17. století
Proporce: Leonardův Vitruviánský muž , c. 1490
Brunelleschiho experiment s lineární perspektivou
Schéma z Albertiho pojednání "O malířství" (1435). Perspektiva krabic na mřížce
Křivočará perspektiva : konvexní zrcadlo v Portrétu Arnolfiniů (1434) od van Eycka
„Autoportrét v konvexním zrcadle“. Parmigianino , ca. 1523–1524
Pythagoras s tabulkou proporcí na " škole Athén " od Raphaela . 1509
Šikmá projekce : Ťiajingský císař na člunu. Scroll, ok. 1538
Šikmá projekce: yamen . Detail svitku o Suzhou . Xu Yang, řád císaře Qianlong , 18. století
Šikmá projekce: ženy hrající shogi , go a pan-sugoroku . Kiyonaga , ca. 1780
Zlatý řez , přibližně rovný 1,618, byl znám i Euklidovi [40] . Mnoho současníků tvrdí [41] [42] [43] [44] , že se používal v umění a architektuře starověkého Egypta, starověkého Řecka, ale neexistuje pro to žádný spolehlivý důkaz [45] . Vznik tohoto předpokladu může být způsoben záměnou mezi zlatým řezem a „zlatým průměrem“, který Řekové nazývali „absence přebytku v některém ze směrů“ [45] . Pyramidologové od 19. století hovoří o použití zlatého řezu při navrhování pyramid a argumentují svou pozicí pochybnými matematickými argumenty [45] [46] [47] . S největší pravděpodobností byly pyramidy postaveny buď na základě trojúhelníku o stranách 3-4-5 (úhel sklonu - 53 ° 8 '), který je zmíněn v Ahmesově papyru , nebo na základě trojúhelníku s kosinusem π / 4 (úhel sklonu - 51 ° 50 ') [48] . Fasáda a podlaha Parthenonu , postaveného v 5. století před naším letopočtem. E. v Aténách , údajně navržený na základě zlatého řezu [49] [50] [51] . Toto tvrzení vyvrací i reálná měření [45] . Předpokládá se, že zlatý řez byl také použit při návrhu Velké mešity v Kairouanu v Tunisku [52] . Tato hodnota se však v původním návrhu mešity nenachází [53] . Historik architektury Frederic Makody Lund v roce 1919 uvedl, že katedrála Chartres (12. století), Lane (1157-1205) a katedrála Notre-Dame v Paříži (1160) byly navrženy v souladu s principem zlatého řezu [54] . Někteří badatelé tvrdí, že před zveřejněním Pacioliho práce v roce 1509 nebyla sekce známa ani umělcům, ani architektům [55] . Například výška a šířka fasády Notre-Dame de la Lane mají poměr 8/5 nebo 1,6, ale ne 1,618. Tento podíl je jedním z Fibonacciho poměrů , který je obtížné odlišit od zlatého řezu, protože konvergují k 1,618 [56] . Zlatý řez je pozorován mezi Pacioliho následovníky, včetně Leonardovy Giocondy [57] .
Rovinné symetrie byly pozorovány již několik tisíc let při tkaní koberců, dláždění, tkaní a vytváření mřížových objektů [58] [59] [60] [61] .
Mnoho tradičních koberců, ať už shaggy nebo kilim (ploché tkané), je rozděleno na centrální medailon a okrajovou část. Obě části mohou obsahovat symetrické prvky, přičemž symetrii ručně vyráběných koberců často narušují autorovy detaily, vzor a barevné variace [58] . Motivy anatolských kilimů jsou často samy o sobě symetrické. Obecný vzor implikuje přítomnost pruhů, včetně pruhů s přerušovanými motivy, a podobnosti šestiúhelníkových tvarů. Střední část může být charakterizována tapetovou skupinou pmm, zatímco rám může být charakterizován hraničními skupinami pm11, pmm2 nebo pma2. Kilimové z Turecka a Střední Asie mají zpravidla alespoň tři hranice, popsané různými skupinami. Výrobci koberců rozhodně usilovali o symetrii, ačkoli nebyli obeznámeni s její matematikou [58] . Matematik a architektonický teoretik Nikos Salingaros se domnívá, že estetický efekt koberců je dán speciálními matematickými technikami, blízkými teoriím architekta Christophera Alexandra . Jako příklad uvádí koberce Konya ze 17. století se dvěma medailony. Tyto techniky zahrnují konstrukci protilehlých dvojic objektů; barevný kontrast; geometrické rozlišení ploch pomocí doplňkových obrazců nebo koordinace ostrých rohů; zavedení složitých obrazců (počínaje jednotlivými uzly); konstrukce malých a velkých symetrických postav; reprodukce obrazců ve větším měřítku (poměr každé nové úrovně k předchozí je 2,7). Salingaros tvrdí, že každý úspěšný koberec splňuje minimálně devět z deseti podmínek. Navíc považuje za možné obléknout dané ukazatele do podoby estetické metriky [62] .
Dovedné indické mříže džali , vytvořené z mramoru, zdobí paláce a hrobky [59] . Čínské mřížky, vždy obdařené nějakým druhem symetrie – často zrcadlené , dvojitě zrcadlené nebo rotační – jsou zastoupeny ve 14 ze 17 skupin tapet. Některé mají středový medailon, některé mají okraj patřící do skupiny bordur [63] . Mnoho čínských mřížek bylo matematicky analyzováno Danielem S. Dai. Podařilo se mu prokázat, že centrem tohoto umění je provincie Sichuan [64] .
Symetrie jsou běžné v textilních uměních, jako je prošívání [60] , pletení [65] , háčkování [66] , vyšívání [67] [68] , křížkové stehování a tkaní [69] . Je pozoruhodné, že symetrie na látce může být čistě dekorativní nebo symbolizovat status majitele [70] . Rotační symetrie se vyskytuje u kruhových objektů. Mnoho kupolí je vyzdobeno symetrickými vzory uvnitř i vně, např. mešita Sheikh Lutfulla (1619) v Isfahánu [71] . Reflexní a rotační symetrie jsou charakteristické pro vyšívané a krajkové prvky ubrusů a prostírání, vytvořené špulkami nebo technikou fritování . Tyto objekty jsou také podrobeny matematickému studiu [72] .
Islámské umění ukazuje symetrie v mnoha podobách, zejména perská mozaika girih . Tvoří jej pět kachlových tvarů: pravidelný desetiúhelník, pravidelný pětiúhelník, protáhlý desetiúhelník, kosočtverec a postava připomínající motýlka . Všechny strany těchto obrazců jsou stejné, všechny jejich úhly jsou násobky 36° (π/5 radiánů ), což dává pěti- a desetinásobné symetrie. Dlaždice je zdobena propleteným ornamentem (vlastní girih), který je obvykle viditelnější než okraje dlaždice. V roce 2007 si fyzici Peter Lu a Paul Steinhardt všimli podobnosti girih s kvazikrystalickými Penroseovými dlaždicemi [73] . Geometricky upravené dlaždice zellige jsou charakteristickým prvkem marocké architektury [61] . Voštinové saody nebo muqarnas jsou trojrozměrné, ale byly navrženy - kreslením geometrických buněk - ve dvou rozměrech [74] .
Brokát dynastie Ming (detail) s šestihrannou mřížkou
Mramorová mříž Jali . Mauzoleum Salima Chishtiho , Fatehpur Sikri , Indie
Symetrie: gobelín s florentskou výšivkou bargello
Klenby mešity Sheikh Lutfulla , Isfahán , 1619
Rotační symetrie v krajce : technika fritování
Mozaikový girih : velké a malé vzory na hrudi klenby v chrámu Darb-i Imam, Isfahan, 1453
Parkety : zellige mozaika v Bou Inania Madrasa, Fes , Maroko
Komplexní geometrie voštinových kleneb v mešitě Sheikh Lutfulla v Isfahánu
Voštinová klenba na plánu architekta. Svitek Topkapi
Tupac Tupac Inca Yupanqui . Peru , 1450–1540 Andská látka symbolizuje vysoké postavení [70]
Pravidelné mnohostěny jsou jedním z nejběžnějších předmětů v západním umění. Malý hvězdicový dvanáctistěn se například nachází v mramorových mozaikách baziliky sv. Marka v Benátkách ; autorství je připisováno Paolu Uccellovi [14] . Da Vinciho pravidelné mnohostěny jsou ilustrovány dílem Lucy Pacioliho On Divine Proportion [14] . Skleněný rhombicuboctahedron se nachází na portrétu Pacioliho (1495) od Jacopa de Barbari [14] . Na Durerově rytině „ Melancholia “ [14] je přítomen zkrácený mnohostěn a mnoho dalších předmětů souvisejících s matematikou . Poslední večeře od Salvadora Dalího zobrazuje Krista a jeho učedníky uvnitř obřího dvanáctistěnu .
Albrecht Dürer (1471–1528), rytec a grafik německé renesance, přispěl k teorii vydáním knihy „Guide to Measurement“ ( německy Underweysung der Messung ) v roce 1525. Práce je věnována lineární perspektivě, geometrii v architektuře, pravidelným mnohostěnům a mnohoúhelníkům. Pravděpodobně se Dürer při svých cestách po Itálii inspiroval díly Pacioliho a Piera della Francesca [75] . Vzorky perspektivy v "Průvodci měřením" nejsou plně rozvinuté a nepřesné, ale Dürer plně osvětlil mnohostěn. Právě v tomto textu je poprvé zmíněn vývoj mnohostěnu , tedy rozvinutí (například papírového) mnohostěnu do plochého obrazce, který lze tisknout [76] . Dalším vlivným Dürerovým dílem jsou Čtyři knihy o lidských proporcích ( německy: Vier Bücher von Menschlicher Proportion , 1528) [77] .
Slavná rytina od Dürera „Melancholia“ zobrazuje smutného myslitele sedícího u komolého trojúhelníkového lichoběžníku a magického čtverce [1] . O tyto dva předměty a rytinu jako celek mají moderní badatelé největší zájem v celém Dürerově díle [1] [78] [79] . Peter-Klaus Schuster vydal dvousvazkovou knihu o melancholii [80] , zatímco Erwin Panofsky o tomto díle pojednává ve své monografii [1] [81] . „ Hyperkubické těleso “ od Salvadora Dalího obsahuje trojrozměrné rozvinutí hyperkrychle – čtyřrozměrného pravidelného mnohostěnu [82] .
Tradiční indonéská batikovaná malba používá jako rezervu vosk. Její motivy mohou korespondovat s prvky okolního světa (například rostlinami) nebo být abstraktní, až chaotické. Rezerva nemusí být přesně nanesena, praskání (praskání) vosku zesiluje efekt nahodilosti. Obraz má fraktální rozměr od 1 do 2 v závislosti na oblasti původu. Například batika z Cirebonu má rozměr 1,1, rozměr batiky z Yogyakarty a Surakarty (střední Jáva ) - od 1,2 do 1,5; Lasem (Severní Jáva) a Tasikmalai (Západní Jáva) mají rozměry od 1,5 do 1,7 [83] .
Dílo současného umělce Jacksona Pollocka v technice drippingu je pozoruhodné i svým fraktálovým rozměrem: Obraz „Číslo 14“ ( angl. Number 14 , 1948) má rozměr 1,45. Jeho následná díla se vyznačují vyšším rozměrem, což svědčí o lepším studiu vzorů. Jeden z posledních Pollockových obrazů , Blue Poles , má 1,72 a jeho dokončení trvalo šest měsíců .
Astronom Galileo Galilei ve svém pojednání "The Assay Master " napsal, že vesmír je psán jazykem matematiky a že symboly tohoto jazyka jsou trojúhelníky, kruhy a jiné geometrické útvary [85] . Umělci, kteří chtějí poznat přírodu, musí podle Galilea především rozumět matematice. Matematici se naopak snažili analyzovat výtvarné umění prizmatem geometrie a racionality (v matematickém smyslu slova). Matematik Felipe Kuker navrhl, že tato věda, a zejména geometrie, slouží jako soubor pravidel pro "uměleckou tvorbu řízenou pravidly" ( angl. "rule-driven artist creation" ), i když ne jediná [86] . Některé zvláště pozoruhodné příklady tohoto komplexního vztahu jsou popsány níže [87] .
Matematik Jerry P. King píše o matematice jako o umění a tvrdí, že klíčem k ní jsou krása a elegance, nikoli nudný formalismus. King věří, že právě krása motivuje badatele v této oblasti [88] . Cituje esej „ Apology of a Mathematician “ (1940) jiného matematika G. H. Hardyho , kde se vyznává ze své lásky ke dvěma starověkým teorémům: k důkazu nekonečnosti Euklidových prvočísel a k důkazu iracionality odmocniny ze dvou. King hodnotí druhé podle Hardyho kritérií krásy v matematice : vážnost, hloubka, obecnost, překvapení, nevyhnutelnost a hospodárnost (Kingova kurzíva) a dochází k závěru, že důkaz je „esteticky atraktivní“ [89] . O kráse matematiky, jejíž každý rozměr nelze vyjádřit slovy, hovoří i maďarský matematik Pal Erdős : „Proč jsou čísla krásná? Bylo by ekvivalentní zeptat se, proč je Beethovenova Devátá symfonie krásná . Pokud to nevidíte, nikdo vám to nevysvětlí. ''Vím'', že čísla jsou krásná." [90] [91]
V kontextu výtvarného umění dává matematika tvůrci mnoho nástrojů, jako je lineární perspektiva, popsaná Brookem Taylorem a Johannem Lambertem , nebo deskriptivní geometrie , kterou pozorovali již Albrecht Dürer a Gaspard Monge a nyní se používá pro softwarové modelování trojrozměrného objektů [92] . Od středověku (Pacioli) a renesance (da Vinci a Dürer) umělci využívali výdobytky matematiky pro tvůrčí účely [93] [94] . S výjimkou základů perspektivy ve starověké řecké architektuře se jeho rozšířené používání začalo ve 13. století, mezi průkopníky patřil Giotto . Pravidlo úběžníku formuloval Brunelleschi v roce 1413 [8] . Jeho objev inspiroval nejen da Vinciho a Dürera, ale také Isaaca Newtona , který studoval optické spektrum , Goetha , který napsal knihu „ O teorii barev “, a pak nové generace umělců, mezi něž patřili Philip Otto Runge , William Turner [95] , Prerafaelité a Wassily Kandinsky [96] [97] . Umělci také zkoumají symetrie přítomné v kompozici [98] . Matematické nástroje mohou používat umělci nebo samotní řemeslníci, jako v případě grafika M. C. Eschera (s přispěním Harolda Coxetera ) nebo architekta Franka Gehryho . Ten tvrdí, že počítačově podporované konstrukční systémy mu daly zcela nové způsoby vyjadřování [99] .
Umělec Richard Wright věří, že vizuální modely matematických objektů slouží buď k simulaci určitého jevu, nebo jsou objekty počítačového umění . Wright ilustruje svou pozici obrazem Mandelbrotovy sady , vytvořené celulárním automatem a počítačovým vykreslováním ; s odkazem na Turingův test diskutuje o tom, zda lze produkty algoritmů považovat za umění [100] . Stejný přístup je pozorován u Sasho Kalaidzewského, který uvažuje vizualizované matematické objekty: parkety, fraktály, obrazce hyperbolické geometrie [101] .
Jedním z průkopníků počítačového umění byl Desmond Paul Henry, který vytvořil „Drawing Machine 1“. Analogový výpočetní mechanismus založený na počítači zaměřovače byl představen veřejnosti v roce 1962 [102] [103] . Stroj mohl vytvářet složité, abstraktní, asymetrické, křivočaré, ale opakující se návrhy [102] [104] . Hamid Naderi Yeganeh vytváří postavy ryb, ptáků a dalších objektů reálného světa pomocí rodin křivek [105] [106] [107] . Současní umělci, včetně Mikaela H. Christensena, pracují v žánru algoritmického umění a vytvářejí skripty pro software. Systém vedený umělcem aplikuje matematické operace na daný soubor dat [108] [109] .
Matematická socha od Bathsheba Grossman, 2007
Fractal Sculpture: 3D Fraktal 03/H/dd od Hartmuta Skerbisch, 2003
Fibonacciho slovo : detail díla Samuela Monniera, 2009
Počítačové umělecké dílo , vytvořené "Drawing Machine 1" od Desmonda P. Henryho, 1962
"Flying Bird" od Hamida Naderi Yeganeha tvoří rodina křivek
Je známo, že knihu „Science and Hypothesis“ (1902) od matematika a fyzika Henriho Poincarého četlo mnoho kubistů , včetně Pabla Picassa a Jeana Metzingera [111] [112] . Poincare neviděl v euklidovské geometrii objektivní pravdu, ale jen jednu z mnoha možných geometrických konfigurací. Možná existence čtvrté dimenze inspirovala umělce ke zpochybnění klasické perspektivy renesance a obrátili se k neeuklidovským geometriím [113] [114] [115] . Jedním z předpokladů kubismu byla myšlenka matematického vyjádření zápletky v barvě a formě. Historie abstrakcionismu začíná kubismem [116] . V roce 1910 Metzinger napsal: „[Picasso] vytváří volnou, mobilní perspektivu, z níž geniální matematik Maurice Princet odvodil celou geometrii“ [117] . Ve svých pamětech Metzinger vzpomínal:
„Maurice Princet nás často navštěvoval; ... rozuměl matematice jako umělec, jako estét apeloval na n - rozměrná kontinua. Rád v umělcích vzbuzoval zájem o nové pohledy na prostor , které objevil Schlegel a několik dalších. V tomhle vynikal." [118]
Modelování matematických tvarů pro výzkumné nebo výukové účely nevyhnutelně vede k bizarním nebo krásným tvarům. Ovlivnili je dadaisté Man Ray [119] , Marcel Duchamp [120] a Max Ernst [121] [122] a Hiroshi Sugimoto [123] .
Man Ray fotografoval modely geometrických obrazců v Pařížském institutu. Poincare. Jedním z nejslavnějších děl tohoto cyklu je The Mathematical Object ( francouzsky: Objet mathematicique , 1934). Umělec naznačuje, že "Objekt" jsou Enneperovy povrchy s konstantním negativním zakřivením , odvozeným z pseudosféry . Matematický základ byl pro něj nesmírně důležitý; matematika mu umožnila vyvrátit „abstraktní“ charakter „Objektu“. Man Ray tvrdil, že zachycená postava je stejně skutečná jako pisoár, který Duchamp proměnil v umělecký předmět. Přesto připustil: "[Enneperův povrchový vzorec] pro mě nic neznamená, ale samotné formy byly stejně rozmanité a autentické jako ty, které se nacházejí v přírodě." Fotografie z Poincarého institutu použil v dílech podle Shakespearových her , např. při tvorbě Antony a Kleopatra (1934) [124] . Fejetonista Jonathan Keats, píšící do ForbesLife , tvrdí, že Man Ray fotografoval „eliptické paraboloidy a kuželové body stejným smyslným způsobem, jakým je zobrazovala Kiki de Montparnasse “ [125] a že „důvtipně přehodnotil chladné výpočty matematiků, aby odhalil topologii. touhy“ [126] [127] . Sochaři 20. století, včetně Henryho Moora , Barbary Hepworthové a Nahuma Gaba , také našli inspiraci v matematických modelech [128] . O svém stvoření Stringed Mother and Child ( 1938 ) Moore řekl : „Nepochybně zdrojem mých strunových figurek bylo Muzeum vědy ; ... fascinovaly mě matematické modely, které jsem tam viděl; ... vědecké studium těchto modelů, ale schopnost vidět skrz provázky jako pták vypadá z klece a schopnost vidět jednu formu v druhé." [129] [130]
Umělci Theo van Doesburg a Piet Mondrian založili hnutí „ De Stijl “, které mělo „vytvořit vizuální slovník elementárních geometrických forem, srozumitelný každému a použitelný v jakékoli disciplíně“ [132] [133] [134] . Mnoho jejich děl vypadá jako lemovaná rovina s obdélníky a trojúhelníky, někdy kruhy. Členové „De Stijl“ malovali obrazy, vytvářeli nábytek a interiéry a zabývali se architekturou [133] . Když se hnutí zhroutilo, van Doesburg zorganizoval avantgardní skupinu Art Concret ( francouzsky: Art concret , „konkrétní umění“). O své vlastní „Aritmetické kompozici“ (1929-1930) van Doesburg napsal: „struktura, kterou lze ovládat, určitý povrch bez náhodných prvků nebo osobních rozmarů“ [135] , zatímco „nepostrádá ducha, nepostrádá univerzální a ne ... prázdné, protože vše odpovídá vnitřnímu rytmu“ [136] . Kritik Gladys Fabre vidí ve „kompozici“ dvě progrese: růst černých čtverců a měnící se pozadí [137] .
Matematika parket , mnohostěnů, forem prostoru a sebereprodukce dala grafikovi M. K. Escherovi (1898-1972) doživotní zásobu parcel [138] [139] . Na příkladu mozaiky Alhambra Escher ukázal, že umění lze vytvořit pomocí jednoduchých figurek. Poháněl letadlo a používal nepravidelné mnohoúhelníky, odrazy, symetrii pohledu a paralelní translaci . Vytvářel rozpory mezi perspektivní projekcí a vlastnostmi trojrozměrného prostoru, zobrazoval v reálném světě nemožné, ale estetické konstrukce. Litografie „ Descending and Ascending “ (1960) nám ukazuje nemožné schodiště , jehož objevení je spojeno se jmény Lionela (otec) a Rogera (syna) Penrose [140] [141] [142] .
Teselace vytvořené Escherem jsou poměrně četné a některé nápady se zrodily v rozhovorech s matematikem Haroldem Coxeterem o hyperbolické geometrii [143] . Nejvíce ze všeho Eschera zajímalo pět mnohostěnů: čtyřstěny, krychle, osmistěny, dvanáctistěny a dvacetistěny. Postavy se v jeho díle objevovaly opakovaně, zvláště patrné jsou však v dílech „Řád a chaos“ (1950) a „Čtyři pravidelné mnohostěny“ (1961) [144] . Tyto hvězdicové útvary spočívají uvnitř jiné postavy, což dále narušuje úhel pohledu a vnímání mnohostěnů [145] .
Vizuální komplexnost parket a mnohostěnů tvořila základ mnoha uměleckých děl. Stuart Coffin vytváří mnohostěny ze vzácných dřevin, George W. Hart studuje a vyřezává mnohostěny a Magnus Wenninger vytváří modely hvězdných formací [146] .
Zkreslené perspektivy anamorfózy jsou v malířství známy již od 16. století. V roce 1553 namaloval Hans Holbein Jr. „ Ambassadors “, přičemž do popředí umístil silně zdeformovanou lebku. Následně byly do arzenálu Eschera a další grafiky přidány anamorfní techniky [147] .
Topologické zápletky jsou patrné v současném umění . Sochař John Robinson (1935-2007) je známý svými díly Gordian Knot a Bands of Friendship , ilustracemi teorie uzlů v leštěném bronzu [9] . Některé z dalších Robinsonových soch se zabývají topologií tori . "Stvoření" ( ang. Genesis ) je postaveno na principu boromejských prstenů : tři kruhy nejsou spojeny do párů, ale mohou být rozpojeny pouze zničením celé struktury [148] . Helaman Ferguson vyřezává povrchy a další topologické objekty [149] . Jeho dílo The Eightfold Way je založeno na projektivní speciální lineární grupě PSL(2, 7) , konečné grupě se 168 prvky [150] [151] . Sochařka Bathsheba Grossman je také známá ztělesněním matematických struktur [152] [153] .
Předměty jako Lorentzova manifold a hyperbolická rovina jsou znovu vytvořeny mistry tkacího umění, včetně háčkování [154] [155] [156] . V roce 1949 vydala tkadlena Ada Dietz monografii Algebraické výrazy v ručně tkaných textiliích , kde navrhla nová schémata tkaní založená na expanzi vícerozměrných polynomů [157] . Pomocí pravidla 90 pro buněčný automat vytvořil matematik Jeffrey C. P. Miller tapisérie zobrazující stromy a abstraktní vzory trojúhelníků [158] ; celulární automaty se také používají k přímé tvorbě digitálního vizuálního umění [159] . Math Knitters [ 160] [ 161] Pat Ashforth a Steve Plummer pletou vzory pro hexaflexagon a další figurky pro studenty. Pozoruhodné je, že se jim nepodařilo uvázat Mengerovu houbu – byla vyrobena z plastu [162] [163] . Ashforth a Plummerův projekt mathghans [ 164 ] přispěl k začlenění teorie pletení do osnov britských matematických a technologických osnov [165] [166] .
" De Stijl ": "Složení I. Zátiší" (1916) od Thea van Doesburga
Od pedagogiky k umění: Magnus Wenninger a jeho stelované mnohostěny , 2009
Mobius strip šátek . Háčkování, 2007
Anamorphosis : " Velvyslanci " (1553) od Hanse Holbeina mladšího . V popředí je silně zdeformovaná lebka.
Modelování není zdaleka jediný způsob, jak ilustrovat matematické pojmy. Stefaneschiho Triptych ( 1320) od Giotta obsahuje rekurzi . Střední panel averzu (vlevo dole) nám ukazuje samotného kardinála Stefaneschiho; klečící nabízí jako dárek malou kopii Triptychu [167] . Metafyzické obrazy Giorgia de Chirica , včetně Velkého metafyzického interiéru (1917) se zabývají tématy úrovní reprezentace v umění; de Chirico maluje obrázky do obrázků [168] .
Umění dokáže zachytit logické paradoxy. Surrealista René Magritte tvořil své obrazy jako sémiotické vtipy, zpochybňující vztah mezi povrchy. Obraz " Podmínky lidské existence " (1933) zobrazuje stojan s plátnem; krajina podporuje výhled z okna, jehož rámy jsou naznačeny závěsy. Escher postavil děj Obrazárny (1956) stejným způsobem: zkreslený pohled na město, galerie umístěná ve městě, obraz samotný jako exponát. Rekurze pokračuje do nekonečna [169] . Magritte zkresloval realitu i jinak. Mentální aritmetika (1931) zobrazuje osadu, kde vedle sebe stojí domy s koulemi a kvádry, jako by dětské hračky narostly do obřích rozměrů [170] . Novinář pro The Guardian poznamenal, že „strašidelný plán města hraček“ [171] se stal proroctvím, ohlašujícím uzurpaci „starých vhodných forem“ [172] modernisty . Magritte si zároveň pohrává s lidskou tendencí hledat vzory v přírodě [173] .
Poslední obraz Salvadora Dalího , The Swallow's Tail (1983), uzavírá sérii děl inspirovaných teorií katastrofy Reného Thomase [174] . Španělský malíř a sochař Pablo Palazuelo (1916-2007) vyvinul styl, který nazval „geometrie života a celé přírody“. Palazuelova umělecká díla jsou pečlivě strukturované a barevné sady jednoduchých postav. Jako prostředek sebevyjádření využívá geometrické transformace [9] .
Umělci neberou geometrii vždy doslova. V roce 1979 vyšla kniha Gödel , Escher, Bach od Douglase Hofstadtera , kde se zamýšlí nad zákonitostmi lidského myšlení, včetně propojení umění s matematikou:
„Rozdíl mezi Escherovými kresbami a neeuklidovskou geometrií je v tom, že u neeuklidovské geometrie je možné najít smysluplné interpretace pro nedefinované pojmy takovým způsobem, že se systém stane srozumitelným, zatímco u prvního je konečný výsledek v rozporu s naším pojetím svět, bez ohledu na to, jak dlouho budeme obraz považovat." [175]
Hofstadter odkazuje na paradox Escherovy „Picture Gallery“ a charakterizuje ji jako „podivnou smyčku nebo spletitou hierarchii“ [176] úrovní reality. Umělec sám není v této smyčce zastoupen; jeho existence ani fakt autorství nejsou paradoxy [177] . Vakuum ve středu obrázku přitáhlo pozornost matematiků Barta de Smita a Hendrika Lenstra. Naznačují přítomnost Droste efektu : obraz se sám reprodukuje v otočené a stlačené podobě. Pokud je Droste efekt skutečně přítomen, je rekurze ještě komplikovanější, než došel Hofstadter [178] [179] .
Algoritmická analýza uměleckých děl, například rentgenová fluorescence , umožňuje detekovat vrstvy následně přemalované autorem, obnovit původní vzhled popraskaných nebo ztmavlých obrazů, odlišit kopie od originálu a odlišit mistrovu ruku od studentský [180] [181] .
Technika „kapání“ Jacksona Pollocka [182] je pozoruhodná svou fraktální dimenzí [183] . Pollockův řízený chaos [184] byl pravděpodobně ovlivněn Maxem Ernstem. Otáčením kbelíku s barvou s perforovaným dnem přes plátno vytvořil Ernst Lissajousovy figury [185] . Počítačový vědec Neil Dodgson se pokusil zjistit, zda lze pruhovaná plátna Bridget Rileyové matematicky charakterizovat . Analýza vzdáleností mezi pásy "dala definitivní výsledek", v některých případech byla hypotéza globální entropie potvrzena , ale neexistovala žádná autokorelace , protože Riley měnil vzory. Lokální entropie fungovala lépe, což bylo v souladu s tezemi kritika Roberta Koudelky o umělcově díle [186] .
V roce 1933 představil americký matematik George D. Birkhoff veřejnosti dílo „Aesthetic Measure“ – kvantitativní teorii estetické kvality malby. Birkhoff vyloučil otázky konotace z úvahy a zaměřil se na geometrické vlastnosti ("prvky řádu") obrazu jako mnohoúhelníku. Aditivní metrika nabývá hodnot od -3 do 7 a kombinuje pět charakteristik:
Druhá metrika odráží počet čar obsahujících alespoň jednu stranu mnohoúhelníku. Birkhoff definuje míru estetiky objektu jako poměr . Postoj lze interpretovat jako rovnováhu mezi potěšením, které poskytuje kontemplace objektu, a složitostí konstrukce. Birkhoffova teorie byla kritizována z různých úhlů pohledu a vyčítala mu jeho záměr popsat krásu pomocí vzorce. Matematik tvrdil, že nic takového neměl v úmyslu [187] .
Jsou případy, kdy umění sloužilo jako podnět pro rozvoj matematiky. Poté, co Brunelleschi formuloval teorii perspektivy v architektuře a malířství, otevřel celou řadu studií, které zahrnovaly práci Brooke Taylorové a Johanna Lamberta o matematických základech perspektivy [188] . Na tomto základě Gerard Desargues a Jean-Victor Poncelet postavili teorii projektivní geometrie [189] .
Matematické metody umožnily Tomoko Fuse vyvinout japonské umění origami . Pomocí modulů skládá ze shodných kusů papíru - například čtverce - mnohostěny a parkety [190] . V roce 1893 T. Sundara Rao publikoval Geometric Exercises in Paper Folding, kde podal vizuální důkazy různých geometrických výsledků [191] . Mezi nejvýznamnější objevy v oblasti origami matematiky patří Maekawova věta [192] , Kawasakiho věta [193] a Fujitova pravidla [194] .
Předznamenání projektivní geometrie : schéma L. B. Albertiho (1435–36) zobrazující vnímání kruhu v perspektivě
Origami Mathematics : "Jaro v akci" od J. Beynona vytvořené z jednoho obdélníkového listu papíru [195]
Optické iluze , včetně Fraserovy spirály, demonstrují omezení lidského vnímání vizuálních obrazů. Historik umění Ernst Gombrich nazval efekty, které vytvořili, „nepochopitelné triky“ [196] . Černobílé pruhy, které na první pohled tvoří spirálu , jsou ve skutečnosti soustředné kruhy . V polovině 20. století vznikl styl optického umění , který využíval iluze k tomu, aby obrazům dodal dynamiku, aby vytvořil efekt blikání nebo vibrací. Slavnými představiteli režie, na základě známé analogie známé také jako „op art“, jsou Bridget Riley, Spyros Choremis [197] , Victor Vasarely [198] .
Myšlenka boha-geometru a posvátná povaha geometrie všech věcí je známá již od starověkého Řecka a lze ji vysledovat v západoevropské kultuře. Plutarchos poukazuje na to, že takové názory zastával Platón : „Bůh neustále geometrizuje“ ( Convivialium disputationum , liber 8,2). Platónovy názory jsou zakořeněny v pythagorejském pojetí hudební harmonie, kde jsou tóny rozmístěny v ideálních proporcích diktovaných délkou strun lyry. Analogicky k hudbě pravidelné mnohostěny („platónská tělesa“) určují proporce okolního světa a v důsledku toho dějí v umění [199] [200] . Slavná středověká ilustrace Boha, který stvořil vesmír pomocí kompasu, odkazuje na biblický verš: „Když připravoval nebesa, byl jsem tam. Když nakreslil kruh přes tvář propasti“ ( Kniha Šalamounových přísloví , 8:27) [201] . V roce 1596 představil matematik a astronom Johannes Kepler model sluneční soustavy – soubor vnořených platónských těles, reprezentujících relativní velikosti planetárních drah [201] . Obraz „The Great Architect “ od Williama Blakea , stejně jako jeho monotyp „Newton“, kde je velký vědec zobrazen jako nahý geometr, demonstrují kontrast mezi matematicky dokonalým duchovním světem a nedokonalým fyzickým [202] . Stejným způsobem lze interpretovat Dalího „ hyperkubické tělo “, kde je Kristus ukřižován na trojrozměrném rozvinutí čtyřrozměrné hyperkrychle . Podle umělce může božské oko měřit více než lidské [82] . Dali si představoval , že poslední jídlo Krista s učedníky se odehrává uvnitř obrovského dvanáctistěnu [203] ,
Bůh geometr. Frontispis " Bible moralisée ". Codex Vindobonensis 2554. c. 1220
" Kepler Cup ": pět pravidelných mnohoúhelníkových modelů sluneční soustavy . " Tajemství vesmíru ", 1596
" Velký architekt " (1794) od Williama Blakea
" Hyperkubické tělo " (1954) Dalí
Slovníky a encyklopedie |
---|
Vizualizace technických informací | |
---|---|
Oblasti |
|
Typy obrázků |
|
Osobnosti |
|
Související oblasti |
|
Geometrické vzory v přírodě | ||
---|---|---|
vzory | ||
Procesy | ||
Výzkumníci |
| |
Související články |
|