Uzelový polynom

V teorii uzlů je polynom uzlu invariant uzlu ve formě polynomu , jehož koeficienty kódují některé vlastnosti daného uzlu .

Historie

První polynom uzlů, Alexandrův polynom , byl představen Jamesem Alexanderem v roce 1923 , ale další polynomy uzlů byly nalezeny až téměř o 60 let později.

V 60. letech navrhl John Conway vztahy přadena pro verzi Alexandrova polynomu, běžně označovaného jako Alexander-Conwayův polynom . Důležitost vztahů přadena nebyla oceněna až do 80. let, kdy Vaughn Jones objevil Jonesův polynom . Tento objev vedl k objevu několika dalších polynomů, jako je polynom HOMFLY .

Krátce po Jonesově objevu si Louis Kaufman všiml, že Jonesův polynom lze vypočítat z hlediska modelu součtu stavů, který používá Kaufmanovy závorky , invariant uzlů . To otevřelo cestu pro výzkum v oblasti teorie spojování uzlů a statistické mechaniky .

V pozdních osmdesátých létech, dva průlomy byly dělány: Edward Witten demonstroval, že Jones polynomial a podobné invarianty tohoto typu jsou popsány v Chern-Simons teorii ; Viktor Vasiliev a Michail Gusarov vytvořili teorii invariantů konečného typu uzlů. Je známo, že koeficienty zmíněných polynomů jsou konečného typu (možná po nějaké "substituci proměnných").

V roce 2003 se ukázalo, že Alexandrův polynom souvisí s Floerovou homologií . Odstupňovaná Eulerova homologická charakteristika Hegaard-Floer Ozwat a Szabo je Alexanderův polynom [1] .

Příklad

Vstup Alexander-Briggs	Alexandrův polynom $\Delta(t)$	Conwayův polynom $\nabla (z)$	Jonesův polynom $V(q)$	Polynom HOMFLY $H(a,z)$
$0_{1}$ ( triviální uzel )	$jeden$	$jeden$	$jeden$	$jeden$
$3_{1}$ ( Jetel )	$t-1+t^{{-1}}$	$z^{2}+1$	$q^{{-1}}+q^{{-3}}-q^{{-4}}$	$-a^{{4}}+a^{{2}}z^{{2}}+2a^{{2}}$
$4_{1}$ ( osm )	$-t+3-t^{{-1}}$	$-z^{2}+1$	$q^{2}-q+1-q^{{-1}}+q^{{-2}}$	$a^{{2}}+a^{{-2}}-z^{{2}}-1$
$5_{1}$ ( mochna )	$t^{2}-t+1-t^{{-1}}+t^{{-2}}$	$z^{4}+3z^{2}+1$	$q^{{-2}}+q^{{-4}}-q^{{-5}}+q^{{-6}}-q^{{-7}}$	$-a^{{6}}z^{{2}}-2a^{{6}}+a^{{4}}z^{{4}}+4a^{{4}}z^{{ 2}}+3a^{{4}}$
$-$ ( dětský uzel )	$\left(t-1+t^{{-1}}\right)^{2}$	$\left(z^{2}+1\right)^{2}$	$\left(q^{{-1}}+q^{{-3}}-q^{{-4}}\right)^{2}$	$\left(-a^{{4}}+a^{{2}}z^{{2}}+2a^{{2}}\right)^{2}$
$-$ ( Přímý uzel )	$\left(t-1+t^{{-1}}\right)^{2}$	$\left(z^{2}+1\right)^{2}$	$\left(q^{{-1}}+q^{{-3}}-q^{{-4}}\right)\left(q+q^{{3}}-q^{{4 }}\že jo)$	$\left(-a^{{4}}+a^{{2}}z^{{2}}+2a^{{2}}\right)\times$ $\left(-a^{{-4}}+a^{{-2}}z^{{-2}}+2a^{{-2}}\right)$

Zápis Alexander-Briggs je zápis, který uvádí uzly podle jejich čísla průsečíku, obvykle za předpokladu, že v seznamu jsou pouze jednoduché uzly (viz seznam jednoduchých uzlů ).

Všimněte si, že Alexandrův polynom a Conwayův polynom NEMOHOU rozlišovat mezi levým a pravým jetelem .

Levý trojlístek.
Správný trojlístek.

Nerozlišují ani mezi ženským uzlem a přímým uzlem, protože složení uzlů dává součin uzlových polynomů. $\mathbb {R} ^{3}$

Viz také

Uzlové polynomy

Související témata

Skaneův vztah pro formální definici Alexandrova polynomu.

Poznámky

↑ Ozsváth, Szabó, 2003 , str. 225-254.

Literatura

Collin Adams. Kniha uzlů. — Americká matematická společnost. - ISBN 0-8050-7380-9 .
WBR Lickorish. Úvod do teorie uzlů. - New York: Springer-Verlag, 1997. - V. 175. - (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-98254-X .
Peter S. Ozsváth, Zoltán Szabó. Heegaard Floer homologie a střídavé uzly // Geom. Topol. - 2003. - Vydání. 7 .

Teorie uzlů a vazeb
Hyperbolický	Osm ( 41 ) Tři poloviční otáčky (5 2 ) Stevedoring ( 61 ) 6 2 6 3 74 _ Mat Carrick ( 818 ) Pár Percos (10 161 ) Krajka (−2,3,7) (12n242) Whitehead (52 1) Boromejské prsteny (63 2) L10a140
satelit	sloučenina ( babiy ) rovný Součet uzlů
torický	Triviální (0 1 ) Trojlístek ( 31 ) Potentilla (5 1 ) Seven-leaf (7 1 ) Unlinked (02 1) Hopf (22 1) Šalamoun (42 1)
Invarianty	střídavé Arfa invariant Počet mostů ( 2 mosty ) Brunnianský odkaz Chiralita ( reverzibilní ) Počet filmů Počet křižovatek Vasiliev invariantní Hyperbolický objem Khovanovova homologie Rod Skupina uzlů Skupina ozubených kol Převodový poměr Polynomy ( Alexandr Kauffmanův držák HOMFLY Jones Kaufman ) Zasnoubení krajky Jednoduchý uzel ( seznam ) Počet segmentů Počet trikolorních zbarvení Počet a úkol rozvázání
Notace a operace	Notace Alexander–Briggs Conwayova notace Docker notace Mutace Reidemeister hnutí Skene poměr
jiný	Alexandrova věta Berge uzel copánková teorie Conwayova koule Dokončení uzlu Dvojitý torusový uzel Vrstvený uzel Páska Střih Součet uzlů Tateovy hypotézy Zkroucený Divoký Twist číslo Seifertův povrch