Vývoj mnohostěnu

Vývoj mnohostěnu - množina mnohoúhelníků, respektive rovných plochám mnohostěnu, udávající, které strany a vrcholy mnohoúhelníků odpovídají stejným hranám a vrcholům mnohostěnu [1] . Modely mnohostěnů jsou často slepeny dohromady z vývojů nebo jednotlivých polygonů, které označují strany, které by měly být slepeny [1] [2] .

Vývoj platónských těles s "křídly" pro lepení ploch

Velké rozměry

• tesseract

• zkrácený tesseract

• 24-článkový

Vlastnosti

• Existují příklady vývoje, ze kterých lze slepit různé konvexní mnohostěny.
• Jsou známé příklady nekonvexních mnohostěnů, které neumožňují vývoj. [3]
• Mezi čtyřstěny lze nalézt takový příklad, že řezné hrany podél kostry dávají vývoj s vlastním překrýváním.

• V roce 1975 Shepard formuloval domněnku, že každý konvexní mnohostěn má vývoj bez přesahů. [4] Tato hypotéza zůstává otevřená dodnes. [5] [6] Je známo následující:
  • Pro nekonvexní mnohostěny toto tvrzení neplatí.
  • Některé mnohostěny, jako jsou určité typy nepravidelných čtyřstěnů, umožňují překrývající se vývoj.
  • Dohad platí pro mnohostěny, ve kterých má jedna z tváří společnou hranu se všemi ostatními.
  • V roce 2014 Mohamed Gomi dokázal, že takový vývoj lze nalézt, pokud je na mnohostěn aplikován určitý typ afinní transformace. [7] Zejména z jakékoli kombinatorické třídy konvexních polytopů lze vybrat polytop, který lze rozvinout.

Viz také

• Vzor (origami)
• Evolventa je křivka.

Poznámky

1. ↑ 1 2 EEM, kniha IV, 1963 , str. 410.
2. ↑ Wenninger, 1974 .
3. ↑ Demaine, Erik D. & O'Rourke, Joseph (2007), kapitola 22. Edge Unfolding of Polyhedra, Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra , Cambridge University Press, str. 306–338 
4. ↑ Shephard, GC (1975), Konvexní polytopy s konvexními sítěmi , Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society vol. 78(3): 389–403 , DOI 10.1017/s0305004100051860 
5. ↑ Weisstein, Eric W. Shephard 's Conjecture  na webu Wolfram MathWorld .
6. ↑ dmoskovich (4. června 2012), Dürerova domněnka , < http://www.openproblemgarden.org/op/d_urers_conjecture > Archivováno 2. června 2017 na Wayback Machine 
7. ↑ Ghomi, Mohammad (2014), Affine unfoldings of convex polyhedra, Geom. Topol. T. 18: 3055–3090 

Literatura

• Encyklopedie elementární matematiky / Redakční rada: P. S. Aleksandrov, A. I. Markushevich, A. Ya. Khinchin. Editoři čtvrté knihy: V. G. Boltyansky, I. M. Yaglom. - 1963. - T. IV.
• Wenninger M. Modely mnohostěnů / Per. z angličtiny. V. V. Firsová. Ed. a od posledního I. M. Yagloma. — M .: Mir, 1974.